山西省太原市2024-2025学年高一下学期期中考试数学PDF版含答案_2024-2027高一（7-7月题库）(1)_2025年05月试卷_0507山西省太原市2024-2025学年高一下学期期中考试

试卷第1页，共3页
2025 年期中高一数学试题
参考答案及评分建议
一．选择题：
B
C
A
D
C
D
A
B
二．选择题：
9.ABD
10.ACD
11.BCD
三．填空题:
12.5
13.
)
2,1(
14.
24
3
48

四．解答题：
15.解：（1）当
0
2
2


m
m
时，即当
1


m
或
2

m
时，复数z 是实数；
………4 分
（2）当








,0
2
,0
2
2
2
m
m
m
m
时，即当
0

m
时，复数z 是纯虚数；
………8 分
（3）当








,0
2
,0
2
2
2
m
m
m
m
时，即当
0
1



m
时，
复数z 对应的点位于复平面的第四象限.
………13 分
16.解:（1）设a 与b 夹角为，则
13
cos
3
2
2
7
2
|
|
2
2
2











b
a
b
a
b
a
，
2
3
cos



，




180
0


，



30

；
………6 分
（2）由题意得
b
a
b
a
b
a
b
a
n
m










)
3
2
(
3
2
)
(
)
3
2
(
2
2








30
cos
)
3
2
(
3
2
9
8


0
3
30
cos
)
3
2
(
3
2
9
8












，
3



，
令
n
k
m 
，则
b
k
a
k
b
a
k
b
a







)
(
3
2
，即
0
)
3
(
)
2
(




b
k
a
k
，








,0
3
,0
2
k
k








,3
,
3
2
k

3
2
3






或
3
2



，
综上，实数的取值范围为
)
,
3
2
(
)
3
2
,3
(





.
………15 分
17.解：（1）由题意得
2
21
2
3
sin
2
1







AD
BAD
AD
AB
S ABD
，
7

AD
，
由余弦定理得
25
cos
2
2
2
2






BAD
AD
AB
AD
AB
BD
，
5

BD
.
………6 分
（2）在△ABD 中，由余弦定理得
5
4
2
cos
2
2
2






BD
AD
AB
BD
AD
ADB
，
5
3
sin



ADB
，
BC
AD //

，
ADB
CBD




，
5
3
sin



CBD
，
5
4
cos

CBD
，
………9 分
在△BCD 中，



135
BDC

，






45
DBC
CBD
，
由正弦定理
BCD
BD
CBD
CD



sin
sin
，
)
45
sin(
3
sin
sin
CBD
BCD
CBD
BD
CD









2
15
)
sin
(cos
2
2
3





CBD
CBD
，
………13 分
试卷第2页，共3页
△BCD 的面积为
2
75
sin
2
1






BDC
BD
DC
S BCD
.
………15 分
18.解：（1）当平面与的距离为
)
0
(
R
h
h


时，
由题意得左边半球
1
O 被平面截得的截面为圆面，其半径
2
2
1
h
R
r


，
则

)
(
2
2
1
h
R
S


；
………4 分
右边几何体被平面截得的截面为圆心相同的圆环，易得大圆的半径为R ，因为圆柱的高
等于底面半径，所以小圆的半径为
h
r 
2
，则

)
(
2
2
2
h
R
S


.
………8 分
（2）由（1）得当平面与的距离为
)
0
(
R
h
h


时，

)
(
2
2
2
1
h
R
S
S



，
即对于任意
h
]
,0
[
R ，都有
2
1
S
S 
，
………10 分
由祖暅原理可得左边半球的体积等于右边几何体体积，
即
3
3
3
3
2
3
1
R
R
R
V
V
V








圆锥
圆柱
半球
，
………15 分
所以半径为R 的球体的体积公式为
3
3
4 R
V


.
………17 分
19.解：（1）由正弦定理得
0
2
2
2
2




bc
a
c
b
，
bc
a
c
b
2
2
2
2





，
2
2
2
cos
2
2
2






bc
a
c
b
A
，




180
0
A

，





120
135
A
，
………3 分
点P 为点A ，
4
2
2
cos










bc
BAC
bc
AC
AB
PC
PB
，
2
4

bc
，……6 分
20
2
8
8
)
(
)1
2
2
(
2
)
(
cos
2
2
2
2
2
2













c
b
bc
c
b
BAC
bc
c
b
a

，
2
8
12
)
(
2




c
b
，
2
2
2




c
b
，
………7 分
△ABC的周长为
2
2
2
5
2





c
b
a
.
………8 分
（2）由正弦定理得
C
B
A
C
A
sin
sin
2
sin
cos
cos


，
B
C
A
C
A
C
A
B
A
sin
)
sin(
sin
cos
cos
sin
sin
cos
2






，




180
0
B

，
2
1
cos


A
，




180
0
A

，



60
A
，
C
B
A
,
,

都小于

120 ，
………11 分
△ABC 的面积为
3 ，
3
4
3
sin
2
1





bc
A
bc
S ABC
，
4

bc
，
………12 分
设
)
60
0
(








PAB
，则





60
PAC
，
试卷第3页，共3页
在△PAB 中，由正弦定理得


120
sin
sin
AB
PB

，



120
sin
sin
c
PB
，
在△PAC 中，同理可得




120
sin
)
60
sin(

b
PC
，
………14 分






120
cos
)
60
sin(
sin
3
4


bc
PC
PB
)
60
sin(
sin
3
8






)
sin
2
1
cos
2
3
(
sin
3
8






)
30
2
sin(
3
4
3
2





，
………16 分




60
0


，






150
30
2
30


，
0
3
2





PC
PB
，
PC
PB

的取值范围为
)
0,
3
2
[
.
………17 分