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第04讲 比例
知识盘点
一、比例的意义
1.图形的放大和缩小。
(1)图形放大的意义。
把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长
的比是2∶1，就是把原来的长方形按2∶1的比放大。
(2)图形缩小的意义。把长方形按1∶2的比缩小，这里的比指的是缩小后的长方形与原来长方形的对
应边长的比是1∶2。
(3)放大和缩小现象在生活中的应用。
用放大镜看书、投影仪放映文件都是放大现象;照相则是缩小现象。
(4)把图形按n∶1(n不为0)的比放大，就是把图形的每条边都放大到原来的 n
1
倍;把图形按1∶n(n不为0)的比缩小，就是把图形的每条边都缩小到原来的 。
n
2.在方格纸上把一个简单图形按指定的比放大或缩小的步骤。
一看:看原图形每边各占几格。
二算:按给定的比计算出图形的各边放大或缩小后得到的新图形各边各占几格。
三画:按计算出的结果画出原图形放大或缩小后的图形。
3.比例的意义。
表示两个比相等的式子叫作比例。
4.根据比例的意义组比例。
判断两个比能否组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能
组成比例;若比值不相等，则不能组成比例。
二、比例的基本性质
1.比例各部分的名称。
(1)组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两
项叫作比例的内项。
(2)任意一个比例都是由两个内项和两个外项组成的。
2.比例的基本性质。
(1)在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。
(2)如果用字母表示比例的四个项，即a∶b=c∶d，那么比例的基本性质可以表
示成a×d=b×c。
3.比和比例的联系与区别。
(1)意义不同。
两个数相除又叫作两个数的比，比表示两个数相除的关系。表示两个比相等的
式子叫作比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。
(2)组成不同。
比由两项组成，分别叫作比的前项和后项;比例由四项组成，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
(3)基本性质不同。
比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变;比
例的基本性质是在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
4.解比例。
(1)求比例中的未知项，叫作解比例。
(2)解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知
的一项。求比例中的未知项的过程是解比例，解比例时先利用比例的基本性质
把比例转化成乘法，再利用等式的性质解方程。
三、比例尺
1.比例尺的意义。
(1)一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
(2)比例尺的数量关系式。
图上距离
图上距离∶实际距离=比例尺或 =比例尺
实际距离
(3)认识常见的两种比例尺。
①数值比例尺。
用数字形式表示的比例尺叫数值比例尺。
②线段比例尺。
用线段表示的比例尺叫线段比例尺。
③当比例尺的前项小于后项时，这个比例尺就是缩小比例尺。例如在绘图时，
需要把实际距离按一定的比缩小， 通常把缩小比例尺写成前项
是1的形式; 当比例尺的前项大于后项时，这个比例尺就是放大
比例尺。例如在生产中，由于某些机器零件比较小，需要把实际尺寸放大一定
的倍数以后，再画在图纸上，通常把放大比例尺写成后项是1的形式。
2.比例尺的应用。
根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据比例尺的意义来求，也可以根据
图上距离
“ =实际距离”直接列式计算。
比例尺典型精讲
知识点一 图形的放大和缩小
1．一个梯形的面积是10平方厘米，把它按 放大，放大后图形的面积是（ ）平
方厘米。
A．200 B．400 C．2000 D．4000
答案：D
2．一个正方形按1∶5的比缩小后，得到新的正方形的周长是12厘米，那么原来的正方形
的周长是( )厘米。
答案：60
3．将直径为4厘米的圆按3∶1放大，新图形的周长和面积与原图形的周长和面积的比各
是多少？
答案：3∶1；9∶1
直径为4厘米的圆按3∶1放大，
放大后的圆的直径为：4×3＝12（厘米）
所以新图形的半径为：12÷2＝6（厘米）
所以新图形的周长为：12π（厘米）
原图形的直径为4厘米，半径为：2厘米
所以原图形的周长为：4π（厘米）
所以新图形的周长：原图形的周长＝（12π）∶（4π）＝3∶1
新图形的面积为：6×6×π＝36π（平方厘米）
原图形的面积为：2×2π＝4π（平方厘米）
所以新图形的面积：原图形的面积＝（36π）∶（4π）＝9∶1。
答：放大前后，两个图形周长的比是3∶1，面积比是9∶1。
知识点二 比例的意义
1．能与 ∶ 组成比例的是（ ）。
A．4∶3 B．3∶4 C．2∶3答案：A
2．36的因数有（ ），选其中的4个因数组成一个比例，这个比例是（ ）．
答案：1、2、3、4、6、9、12、18、36；2：3=6：9
3．先填表，再回答下面各题 ．
行驶的路程（千米） 所用时间（时） 行驶的路程和时间的比
第一天 270 6
第二天 315 7
（1）第一天和第二天行驶的路程分别与时间的比能组成比例吗？为什么？如能组成比例，
请写出来 ．
（2）两天行驶路程的比和两天行驶时间的比能组成比例吗？为什么？如能，把组成的比例
写出来 ．
答案：（1）能，270∶6=315∶7 ． ∵270∶6=45，315∶7=45，比值相等，∴能组成比例 ．
（2）能，270∶315=6∶7 ． ∵270∶315=6∶7= ，比值相等，∴能组成比例 ．
知识点三 比例的基本性质和解比例
1．已知一个比例的两个内项的积是40，则两个外项不可能是（ ）。
A．40和1 B．20和20 C．2和20
答案：B
2．甲乙两个建筑队原有水泥重量的比是1∶3。各运进10吨后，甲乙两队水泥重量的比是
3∶4。原来甲有水泥( )吨。
答案：2
3．有一批零件，师傅单独加工要6小时，徒弟每小时加工36个。现在师徒两人合做，完
成任务时，师徒生产的零件个数之比是5∶3，这批零件一共有多少个？
答案：360个
解：设师傅每小时完成零件X个。
X∶36＝5∶3
3X＝36×5
3X＝180
X＝180÷3
X＝6060×6＝360（个）
答：这批零件一共有360个。
知识点四 比例尺的意义及其应用
1．一种微型零件长0.5毫米，画在一幅图上长为 ，这幅图的比例尺是（ ）。
A． B． C． D．
答案：D
2．一幅地图上的2厘米表示实际距离10千米，这幅图的比例尺是( )。在这幅图
上量得甲、乙两地的距离是9厘米，甲、乙两地间的实际距离是( )千米。
答案：1∶500000 45
3．在比例尺是1∶25000000的中国地图上，量得北京到上海的距离是 ，一列火车以
100千米/时的速度从北京开往上海，需要多少小时？
答案：10.5小时
（小时）
答：需要10.5小时。
易错题专训
一、选择题（满分16分）
1．下面每组的四个数中，能组成比例的是（ ）。
A．5、3、15、12 B．5、4、2、3 C． 、2、1.6、6 D． 、 、 、
2．能与 ∶ 组成比例的是（ ）。
A．4∶3 B．3∶4 C． ∶3
3．当一个女性的下肢长与身高比的比值接近0.618时，看上去她的身材最美。明明妈妈的
上身长65厘米，下肢长100厘米明明妈妈总觉得她的下肢短了些，因而她外出总是穿高跟
鞋。明明妈妈穿的高跟鞋高度约是（ ）时，看上去身材最美。
A．2厘米 B．5厘米 C．10厘米 D．8厘米4．把线段比例尺 改写成数值比例尺是（ ）。
A．l∶10 B．l∶1000000 C．l∶3000000 D．l∶2000000
5．黄桥小学教育集团新城校区南北长360米，东西长96米，设计师想把学校的平面图画
在一张长20厘米，宽12厘米长方形纸上。选择（ ）比较合适。
A． B． C． D．
6．甲乙两个长方形的周长相等，甲长方形中长与宽的比是 ，乙长方形中长与宽的比是
，甲乙两个长方形面积的比是（ ）。
A． B． C． D．无法确定
7．一条公路实际长200千米，如果把它用1∶2000000比例尺画在地图上，应该画（ ）。
A．1厘米 B．10厘米 C．10分米
8．在一个比例中，一个内项扩大5倍，要使比例成立，下列说法错误的是（ ）。
A．另一内项也扩大5倍 B．其中一个外项扩大5倍 C．另一个内项缩小5倍
二、填空题（满分16分）
9．下表中，如果x和y成正比例，那么空格里的数是( )；如果x和y成反比例，
那么空格里的数是( )。
x 6 12
y 10
10．一幅地图的比例尺为1∶500000，量得甲、乙两地的图上距离是3厘米，两地的实际
距离是( )千米。
11．一个比的比值是3，如果它的前项扩大到原来的4倍，后项( )，那么比值不
变。
12．甲乙丙共有80元钱，丙比甲少18元，甲乙之和与乙丙之和的比是7∶5，甲有(
)元，乙有( )元，丙有( )元。
13．数A的 等于数B的 （A、B均不为0），那么B与A的比是( )。
14．小明家的书橱共有两层，上层书的本数与下层书的本数比是3∶2。已知上层放了90
本书，下层放了( )本书。
15．一幅地图的比例尺是1∶3000000，这幅地图上两个城市之间的距离是20cm，那么这两
个城市之间的实际距离是( )km。
16．如图，大长方形被分成了四个小长方形，其甲三个小长方形的面积分别是20平方厘米、30平方厘米、8平方厘米，那么第四个小长方形的面积是( )平方厘米。
三、判断题（满分8分）
17．两个比就能组成一个比例。( )
18．一幅地图的比例尺是 ，表示图上面积与实际面积的比是1∶600。( )
19．交换比例的两个外项，比例仍然成立。( )
20．在比例中，如果两个内项的积是2，那么两个外项的积也一定是2。( )
四、计算题（满分6分）
21．(6分)求未知数 的值。
五、解答题（满分54分）
22．(6分)下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：
平方厘米），求A和B的面积。
23．(6分)某工程队修一条路，15天共修900米，还剩下720米没有修。照这样的速度，
修完这条公路共需要多少天？（尝试用比例的方法解，可得6分，其它方法解得5分）
24．(6分)在一幅比例尺是 的地图上，量得甲乙两个城市之间一段高速公路长9.3厘米，刘晓的爸爸开车4小时行驶完了这段路，他开车超速了吗？（高速公路最高车速不
允许超过120千米/时）
25．(6分)一个直角三角形ABC的两条直角边长分别是4cm和5cm，把它按3∶2放大后得
到三角形DEF。三角形ABC和三角形DEF周长的比是多少？面积的比呢？
26．(6分)小松爸爸身高是170cm，在家庭合影照片上他的身高是6.8cm，小松在这张照片
上的身高是5.4cm。
（1）这张照片的比例尺是多少？
（2）小松的实际身高是多少米？
27．(6分)在比例尺是1∶6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米。如果把南
京到北京的距离画在比例尺是1∶5000000的地图上，应该画多少厘米？
28．(6分)同学们在测量大树有多高时，在大树旁竖了一根高2米的竹竿，测得竹竿的影
长是1.5米，同时测得大树的影长是5.85米，大树实际高多少米？（列比例方程解答）
29．(6分)水果店运来一批水果，第一天卖出总数的 ，第二天卖出40千克，这时剩下的
与卖出的重量比是 ，这批水果重多少千克？
30．(6分)新华机床厂要加工一批机床，原计划每天加工80台，12天完成，由于技术革新，
实际每天多加工40台，实际用多少天完成了任务？参考答案
1．D
2．A
3．B
4．B
5．C6．C
7．B
8．A
9．20 5
10．15
11．也扩大到原来的4倍
12．35 28 17
13．8∶15
14．60
15．600
16．12
17．×
18．×
19．√
20．√
21．x＝ ；x＝2；x＝
解： x＝0.75＋
x＝
x＝
解：3.5x＝7
x＝2
解： x＝25%×
x＝x＝
22．A：8平方厘米，B：36平方厘米
15∶45＝A∶24
解：45A＝15×24
45A＝360
A＝8
15∶45＝12∶B
解：15B＝45×12
15B＝540
B＝36
答：A的面积是8平方厘米，B的面积是36平方厘米。
23．27天
解：设修完这条公路共需要x天。
900∶15＝（720＋900）∶x
900x＝24300
x＝27
答：这条公路共需要27天。
24．没超速
9.3÷ ＝46500000（厘米）
46500000厘米＝465千米
465÷4＝116.25（千米/时）
116.25＜120
答∶开车没超速。
25．3∶2； 9∶4
把三角形ABC按3∶2放大后得到三角形DEF，
三角形ABC与DEF的周长之比是3∶2；面积之比是32∶22＝9∶4；
答：三角形ABC与DEF的周长之比是3∶2；面积之比是9∶4。
26．（1）6.8cm∶170cm＝1∶25
答：这张照片的比例尺是1∶25。（2）5.4÷ ＝135（cm）
135厘米＝1.35米
答：小松的实际身高是1.35米。
27．18厘米
实际距离：
15÷ ＝90000000（厘米）
90000000× ＝18（厘米）
28．7.8米
解：设大树实际高为x米。
2∶1.5＝x∶5.85
1.5x＝5.85×2
1.5x＝11.7
x＝11.7÷1.5
x＝7.8
答：大树实际高7.8米。
29．1400千克
解：设这批水果重x千克，第一天卖出 x千克
（x－ x－40）∶（ x＋40）＝2∶3
3×（x－ x－40）＝2×（ x＋40）
3×（ x－40）＝ x＋80
x－120＝ x＋80
x－ x＝80＋120
x＝200
x＝200÷x＝200×7
x＝1400
答：这批水果重1400千克。
30．答：实际用8天完成任务
解：（80×12）÷（80+40），
=960÷120，
=8（天）；
答：实际用8天完成任务．
