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长郡中学 2025 年 12 月高一学情检测卷 数学 时量:120 分仲 满分：150 分 (考试范围：必修第一册第 1 章~第 4 章 4.4) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题“ ”的否定形式是（ ） A. C. B. D. 3. 函数 的图象大致为（ ） A B. C. D. 4. 函数 的定义域为（ ） B. A. C. D. 第 1 页/共 4 页 5. 已知 ，那么 是 的（ ） A. 充分不必要条件 . 已知函数 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 关于 y 轴对称，若 D. 既不充分也不必要条件 6 在 上是增函数， 成立，则实 数 t 取值范围是（ ） A. B. D. C. 7. 若实数 ， ， 满足 ，则 ， ， 大小关系不可能是（ D. ） A. B. C. 8. 已知函数 ，若当 时， B. ，则实数 a 的取值范围是（ ） A. C. D. 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法中，正确 是（ ） A. 若 ，则 ，则 B. 若 D. 若 ，则 ，则 C. 若 10. 已知实数 都是正数，且满足 的最大值为 的最小值为 ，则下列说法正确的是（ ） A. C. B. D. 的最小值 的最大值为 .且对任意 ） 11. 设函数 和 是定义在 上的非常数函数， ，都有 ，则下列说法正确的是（ A. 第 2 页/共 4 页 B. 若 为非零函数，则 ，则 为奇函数 C. 若 D. 若 为奇函数且在 上单调递增，则 对任意 成立 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 1 1 2. 已知幂函数 的图象经过点 ，则 ____. _____. 3. 计算： 14. 已知函数 ，若关于 x 的方程 有 6 个不相等的 实数根，则实数 a 的取值范围为_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 . （ （ 1）当 时，求 ； 2）若 ，求实数 a 的取值范围. 16. 已知关于 的不等式 . （ （ 1）若不等式的解集为 ，求实数 的值； 2）若不等式对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围. 17. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余 弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为 ，双曲余弦函数为 ，已知这两个 最基本的双曲函数的定义域为 R ① ，且具有如下性质： 为奇函数， ② 为偶函数； (常数 e 是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题： 1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （ （2）设函数 ，若 在 R 上的最小值为 6，求实数 a 的值. 18. 已知 ，且 恒成立，当 时等号成立， . （1）证明： ，并说明取等号的条件； 第 3 页/共 4 页 （ （ 2）证明， ； 3）已知 满足 ， 满足 .函数 ，比较 与 的大小. 19. 给定函数 ，对于任意 函数 表示 中的最大者.记为 . 表示 ，并求出 中的最小者.记为 . （ （ （ 1）用解析式表示 2）证明： 3）设 的解集； ； ，若对任意 .都有 ，求实数 的取值范围. 第 4 页/共 4 页