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雅礼中学2025 年下学期第二次质量检测试卷高一数学
时间：120 分钟 分值：150 分
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合
，
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用补集和并集的定义直接计算即可.
【详解】
，
，
，
，
.
故选：B.
2. 终边在
轴的非负半轴上的角的集合是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据终边相同的角的集合，即可解题.
【详解】终边在
轴的非负半轴上的角的集合为
.
故选：D
3. 已知半径为
的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（ ）
A.
B.
C. 1
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式列式求解.
【详解】设扇形的圆心角为
，依题意，
，解得
，
所以扇形的圆心角为2.
故选：D
4. “
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解分式不等式，再结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】因为
，所以解得
或
，
则“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
5. 已知
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平方关系先求出
，结合
的范围判断正弦值余弦值的符号，从而求解.
【详解】因
，
则
，
又
时，
，故
是第四象限角，则
.
则
.
故选：A
6.
，下列说法不正确
是（ ）
A.
是偶函数
B.
有最小值，没有最大值
C.
有4 个零点
D.
在
和
单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的定义判断A，根据函数的单调性判断BD，令
求出
的值，判断
C.
【详解】函数
的定义域为
，
对于A：
，所以
偶函数，故A 正确；
对于B、D：当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
上有最小值
，无最大值；
又
是偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上有最小值
，无最大值；
所以
有最小值，没有最大值，故B、D 正确；
对于C：令
，所以
，即
，所以
，
所以
有2 个零点，故C 错误；
故选：C
7. 已知
，则在
这4 个数中，最小的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】对
取以10 为底的对数，得
，再根据对数的性质可得
，即可判断4 个绝
对值的最小值．
【详解】对
取对数得
，
，
，
，
故
，即
且
即
，即
，
故
故在
这4 个数中，最小的是
故选：B
8. 已知函数
，
分别为定义在
上的偶函数和奇函数，且
，若函
数
有唯一零点，则实数
的值为（ ）
A.
或
B. 1 或
C.
或1
D.
或2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出
，结合函数的对称性得出函数
关于
对称，由函数有唯一零点，可知
，即可
求出
.
【详解】函数
，
分别为定义在
上的偶函数和奇函数，
则
，
，
所以
，解得
，
由
为偶函数，关于
对称，则
关于
对称，
又
为偶函数，关于
对称，则
关于
对称，
所以
关于
对称，
则
有唯一零点一定在
处取得，
故有
，
化简得
，解得
或
.
经检验，
时，
对任意
恒成立，因为
关于
对称，
所以
对任意
恒成立，即
时,
有唯一零点，符合题意，同理
符合题意．
故选：A.
二、多项选择题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对得6 分，部分选对得部分分，有选错得0 分．）
9. 已知
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先判断角
终边所在位置，在判断其三角函数的符号，逐项判断即可.
【详解】因为
，为第二象限角，故
，
得
.
故选：BD
10. 已知
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和基本不等式，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，由
，根据不等式的性质，可得
，所以A 正确；
对于B，取
，可得
，所以B 不正确；
对于C，取
，可得
，此时
，所以C 不正确；
对于D，由
，可得
，又由
，
当且仅当
时，即
时，显然等号不成立，所以
，所以D 正确.
故选：AD.
11. 已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数
的图象关于点
对称
B.
C. 若函数
，则
在定义域上单调递增
D. 若实数
，
满足
，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析函数
的奇偶性和单调性，可判断ABC 的真假；利用
的单调性和奇偶
性，可判断D 的真假.
【详解】因为
，
.
所以函数
为奇函数，图象关于原点对称.
对A：因为
，所以
的图象由
的图象向上平移4 个单位得到，所以
的图
象关于点
对称.故A 正确；
对B：因为
，所以
，故B 正确；
对C：因为
，
当
时，
，
都是单调递增的，所以
在
上单调递减，
又
为奇函数，所以
在
上也是单调递减，且
，
所以
在其定义域
上单调递减，故C 错误；
对D：实数
，
满足
，即
.
因为
.
又
在
上单调递减，所以
，即
，故D 正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共3 小题，每小题5 分，共15 分）
12. 某同学用二分法求函数
的零点近似值时，已将一个零点锁定在区间
内，则
该同学第二次所取的区间是______．
【答案】
【解析】
【分析】由二分法计算分析即可判断.
【详解】因为
，
，
因此第二次所取的区间应为
．
故答案为：
13. 已知
是定义在区间
上的减函数，且
，则
的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用函数单调性与定义域列不等式，解不等式，可得答案.
【详解】由题意得
，解得
，
因为
是定义在区间
上的减函数，且
，
所以
，解得
，所以
的取值范围是
.
故答案为：
14. 已知函数
，若存在
，使得
，则
的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数性质，以及基本初等函数性质，画出函数图像，判断有四个零点时，参数的情况，
进而根据对数函数性质和二次函数性质，求出结果.
【详解】当
时，
，
当
时，
，
且
，
，
则函数图像如下图所示，
当
时，
，
即函数在
时的最大值为
，
当存在
，使得
，即
有四个解，分别为
，
由图像可知
，
则
，即
，解得
，
当
，则方程
的解为
，化简得
，
可知
时，
恒成立，则
，
所以
，
由
可知，
.
故答案为：
.
四、解答题（本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. （1）已知
，求
的值．
（2）已知角
终边上一点
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】（1）利用商数关系，化弦为切即可得；
（2）由三角函数定义、诱导公式即可求解。
【详解】（1）由
，
故
；
（2）由角
终边上一点
，得
，
故
16. 现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C 的水泡制，待茶水温度降至
60°C 时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，
每隔
测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时
间/
min
0
1
2
3
4
5
水
温/
℃
10
0
9
2
84.
8
78.3
2
72.4
9
67.2
4
设茶水温度从100°C 经过
后温度变为
°C，现给出以下三种函数模型：
①
；
②
；
③
.
（1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3 组数据求出该解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：
，
）；
【答案】（1）选模型②，
且
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再
结合数据求解析式；
（2）根据（1）求出的模型进行计算.
【小问1 详解】
由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，
选模型②，则
，可得
，
所以
且
；
【小问2 详解】
令
，则
，
所以泡好
茶达到最佳饮用口感的放置时间为
.
17. 已知关于
的函数
，定义域为
（1）当
时，求函数
的零点；
（2）若函数
有零点，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令
，求解出对应
的值，则零点可知；
（2）将问题转化为“
在
上有解”，根据对勾函数的单调性求解出
的值域，
则
的取值范围可知.
【小问1 详解】
当
时，
，
，
令
，则
，则
，
所以
或
(舍)，解得
，
所以
的零点为
【小问2 详解】
由题意可知，
在
上有解，
令
，则
在
上有解，
则
在
上有解，即
在
上有解，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，所以
的值域为
，
所以
的取值范围是
.
18. 已知函数
．
（1）设
．
（i）求
的最小值，并求出当
取得最小值时
的值；
（ii）求
的单调递减区间．
（2）对任意
、
，
恒成立，求
的取值范围．
【答案】（1）（i）
最小值为
，
；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）令
，
，则
，利用二次函数的基本性质可求
出
的最小值及其对应的
的值；
（ii）利用复合函数法可求得函数
的单调递减区间；
（2）令
，则
可化为
，记函数
在
上的最大值为
，最小值为
，问题可化为
，对实数
的取值进行分类讨论，分析二
次函数
在
上的单调性，结合
可求得实数
的取值范围.
【小问1 详解】
（i）当
时，
，
的定义域为
，
令
，
，则
，
当
，即当
时，即
时，
取得最小值，最小值为
.
（ii）
在
上单调递增，
上单调递减，令
，解得
，
所以
的单调递减区间为
.
【小问2 详解】
当
时，令
，
可化为
．
记函数
在
上的最大值为
，最小值为
，
由对任意
、
，
恒成立，得
恒成立．
，其图象开口向上且对称轴为直线
．
①当
时，
在
上单调递增，
可得
，
，
由
，得
，解得
，不符合题意；
②当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
，
当
时，由
，可得
，所以
，
解得
，此时
；
当
时，由
，可得
，解得
，此时
；
③当
时，
，
由
，可得
，解得
，不符合题意．
综上，
的取值范围为
.
19. 若函数
满足：
①对于
，都有
；
②对于
，都有
；
则称函数
为“雅礼函数”．
已知
为幂函数且
是偶函数，函数
过点
．
（1）试求
的解析式；
（2）试判断函数
与
是否是“雅礼函数”；
（3）若函数
为“雅礼函数”，求
的取值范围．
【答案】（1）
，
（2）
是“雅礼函数”，
不是“雅礼函数”，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义先确定
的可取值，再根据奇偶性确定出
的值，则
可求；代入
于
，则
可求，则
可求；
（2）根据“雅礼函数”的定义进行判断即可；
（3）根据“雅礼函数”的定义将问题转化为“对于
，都有
”以及“
对
于
恒成立”，由此求解出结果.
小问1 详解】
因为
为幂函数，所以
，解得
或
，
当
时，
，定义域为
关于原点对称，且
，所以是奇函数，不符合
条件，
当
时，
，定义域为
关于原点对称，且
，所以是偶函数，
符合条件，
所以
；
因为
过点
，所以
，解得
，
所以
.
【小问2 详解】
对于
：
对于
，都有
，故满足①，
对于
，都有
，
所以
，故满足②，
所以
是“雅礼函数”；
对于
：
对于
，都有
，故满足①，
对于
，都有
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，故不满足②，
所以
不是“雅礼函数”.
【小问3 详解】
因为
为“雅礼函数”，所以对于
，都有
，
即对于
，都有
，即对于
，都有
，
即对于
，都有
，
因为
，所以
，所以对于
，都有
，
所以
，所以
；
因为
为“雅礼函数”，所以对于
，都有
，
即对于
，都有
，
即对于
，都有
，
即对于
，都有
，
上述不等式两边同乘
可得
，
即对于
，都有
，
即对于
，都有
，
因为
，所以
，
所以
对于
恒成立，所以
，所以
，
综上所述，
的取值范围是
.
