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专题17 电磁感应中的动力学问题
1．(2024 年浙江省新阵地教育联盟质检)（11 分）如图所示，界线MN 以下存在一个方向水平的磁场（垂直
于纸面向里），取MN 上一点O 作为原点，竖直向下建立y 轴，磁场的磁感应强度B 随y 坐标（以m 为单
位）的分布规律为
。一边长为
，质量为
，电阻
的正方形金属
abcd 从MN 上方静止释放，
后金属框的cd 边到达界线MN，此时给金属框施加一个竖直方向的外力
F，直至金属框完全进入磁场时撤去该外力。已知金属框在进入磁场的过程中电流保持恒定，且金属框运
动过程中上下边始终水平，左右边始终竖直，g 取
，求：
（1）金属框进入磁场过程的电流大小；
（2）金属框进入磁场过程经历的时间；
（3）金属框进入磁场的过程中外力F 做功值；
（4）金属框在磁场中下落的最终速度大小。
【名师解析】．（11 分）：
（1）线框自由落体至cd 边刚进入磁场，
，
处
，
，
（1 分）得
（1 分）。
1
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（2）解法一：
（1 分），
（1 分），
得
（1 分）
解法二：
（1 分），
，
代入整理得
（1 分），作
图像，
图像面积表示运动时间，求得
（1 分）
（3）当线框即将完全进入磁场时，cd 边处于
处，此处磁感应强度
，
由
得
（1 分）
功能关系：
（1 分），
代入数据得
（1 分）
（4）双边切割：
（1 分），
最终双边安培力之和
（1 分）
得
（1 分）
2. （2024 河南高考适应性考试）如图（a）所示，一个电阻不计的平行金属导轨，间距
，左半部
分倾斜且粗糙，倾角
，处于沿斜面向下的匀强磁场中；右半部分水平且光滑，导轨之间存在一个
三角形匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，其边界与两导轨夹角均为
。右半部分俯视图如图
（b）。导体棒
借助小立柱静置于倾斜导轨上，其与导轨的动摩擦因数
。导体棒
以
2
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的速度向右进入三角形磁场区域时，撤去小立柱，
棒开始下滑，同时对
棒施加一外力使
其始终保持匀速运动。运动过程中，两棒始终垂直于导轨且接触良好。已知两磁场的磁感应强度大小均为
，两棒的质量均为
，
棒电阻
，
棒电阻不计。重力加速度大小取
，以
棒开始下滑为计时起点。求
（1）撤去小立柱时，
棒的加速度大小
；
（2）Q 棒中电流随时间变化的关系式；
（3）
棒达到的最大速度
及所用时间
。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【名师解析】
（1）撤去小立柱时，导体棒
刚刚进入三角形磁场区域，没有感应电动势，则对Q 棒受力分析
（2）只有P 棒在切割磁感线，所以感应电动势为
磁场穿过闭合电路的面积与时间的关系为
所以
3
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由闭合电路欧姆定律，Q 棒中电流I 随时间t 变化的关系式
（3）对Q 棒受力分析
当Q 棒速度达到最大时，加速度为零，有
解得此时
，
三角形磁场总长有
而P 棒在4s 内运动的位移为2m，小于L1。
Q 棒的加速度与时间的关系为
画出Q 棒的a-t 图，则Q 棒速度的变化量等于图线下方与坐标轴围成的面积，则
棒达到的最大速度
为
所用时间
=4s。
3. （2024 北京东城期末）在如图所示Oxy 坐标系中，存在垂直Oxy 平面向外的磁场。边长为l 的正三角形
导线框abc 的总电阻为R，顶点a 位于x 轴上，bc 边平行于Ox 轴。
（1）若此示意图表示的磁场是由一条通电直导线产生的，
a.说明此直导线在Oxy 坐标系中的大致位置和电流方向；
b.说明当磁场增强时，导线框abc 中感应电流的方向。
（2）若此示意图表示的磁场有这样的特点：
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磁场在x 方向是均匀的，即磁感应强度不随x 坐标发生变化，
；磁场在y 方向均匀变化，已知磁感
应强度随y 坐标均匀增大，
且
时，
。从某时刻开始，此区域中各点的磁感应强度都随
时间均匀增大且对时间的变化率为k＇，求经过时间t
a.线框中电流的大小I；
b.bc 边受到磁场力的方向和磁场力的大小
；
c.导线框受到磁场力的大小F。
【参考答案】（1）a.见解析，b.见解析；（2）a.
，b.
，c.
【名师解析】
（1）a.根据题意，由通电直导线产生的磁场特点，结合题图可知，直导线在bc 边上方，与x 轴平行，由安
培定则可知，电流方向沿x 轴负方向。
b. 当磁场增强时，由楞次定律可知，感应磁场垂直纸面向里，由安培定则可知，导线框abc 中感应电流方
向为顺时针。
（2）a.根据题意可知，经过
时间，各点磁感应强度的增加量
均为
，因此整个导线框的磁通增
加量
为
，其中
由法拉第电磁感应定律
和闭合回路欧姆定律
得
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b.根据题意，结合上述分析，由左手定则可知，bc 边受到磁场力的方向沿y 轴负方向，初始时刻bc 边所在
处磁感应强度用
表示，由已知
且y＝0 时，B＝0，可知
经过时间t，各点磁感应强度都增加了
，因此t 时刻bc 边所在处磁感应强度
由
得
c.先研究ac 边受力，可将ac 边分为很多小段进行研究，每一小段受力方向都垂直ac 边指向三角形内侧。
在ac 边上紧靠c 的位置取一小段长度Δl，这一小段Δl 所处位置的磁感应强度为
，受力大小记
，则有
同时在ac 边上紧靠a 的位置取一小段长度Δl，这一小段Δl 所处位置的磁感应强度
受力大小记为
，则有
可知
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在ac 边上紧靠刚才那一小段的位置再取一小段长度Δl，Δl 所处位置的磁感应强度为
受力大小记
，则有
同时在ac 边另一端取对应的一小段长度Δl，这一小段Δl 所处位置的磁感应强度为
受力大小记为
，则有
可知
以此类推，可知每两个对应小段所受力的大小之和均为
，对ac 边求和，记为
，得到
同理，ab 边的受力情况为各小段受力垂直ab 边指向三角形内侧，受力大小情况与ac 边相同。由对称关系
可知，ac 边的磁场力与ab 边的磁场力沿x 方向的分力合力为零，沿y 方向的分力合力沿y 轴正向，大小为
，因此导线框所受磁场力
F=
=
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3. （2024 年1 月安徽联考） 如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角
的斜面上，
其间距
。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度
。两根金属棒
和
与导
轨始终保持垂直且接触良好，
棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器
已校零），细线平行于导轨。已知
棒的质量为
棒和
棒接入电路的电阻均为
，导轨电阻
不计。将
棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力
，作出力
随时间t 的变化图像如图乙所示（力
大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g 取
。求：
（1）
时，金属棒
的速度大小；
（2）
时，外力F 的大小；
（3）已知金属棒
在
的时间内产生的热量为
，求这段时间外力F 所做的功。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）设棒NQ 的质量为M，当t=0 时
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解得
，棒NQ 受到沿斜面向上的拉力
，对棒NQ 分析
根据
，解得
感应电动势为
根据
，解得
（2）当
，棒NQ 受到沿斜面向上的拉力
，对棒NQ 分析
根据
，解得
感应电动势为
根据
，解得
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由以上可知棒ab 的速度可表示为
由于FT随时间均匀增大，所以ab 在做匀加速直线运动，其加速度为
对棒ab 分析
解得
（3）在
的时间内金属棒的位移为
对金属棒
运用动能定理分析
这段时间ab 克服安培力所做的功等于电路中产生的焦耳热，因为电路里有两根电阻相等的棒，所以电路中
产生的焦耳热为9J。
所以
4（16 分）．2024 年4 月长沙名校质检）如图甲所示，水平面上固定着间距为
的两条平行直轨道
（除
是绝缘的连接段外，其他轨道均为不计电阻的导体，且轨道足够长。），
之间有一个
的定值电阻，
的左侧轨道内分布着竖直向下的匀强磁场
，该磁场随时间的变化情况如图乙
所示，
的右侧轨道内分布着垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度
，方向竖直向上。
时
刻，质量
、电阻
的
棒静止在距离导轨左侧
处，质量
、电阻
的
棒在距离
右侧
处被一种特定的装置锁定，两棒均长
，且与轨道接触
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良好。
左侧的轨道与棒间的动摩擦因数
右侧的轨道光滑且足够长，可认为最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，不考虑轨道连接处的阻碍。
时，对
棒施加水平向右
的恒力，在离开
磁场区域时已达到稳定的速度，过
后撤去恒力。当
棒刚接触到
棒时，
棒的锁定装置迅速解
除，随后两棒发生弹性碰撞。
（1）
时，通过
棒的电流大小及方向（图中向上或向下）；
（2）
棒刚进入
磁场时，求
棒两端的电势差
；
（3）求
棒在整个过程中产生的焦耳热；
【名师解析】：（1）
内，磁场增强，由楞次定律判断，
棒上的电流方向为向上（逆时针）
假设
棒不动，根据法拉第电磁感应定律可得：
根据闭合电路欧姆定律可得感应电流为：
根据安培力的计算公式可得：
由于最大静摩擦
，假设成立，
棒不动，
所以通过
棒的电流大小为2A；
（2）
棒离开
时已达到稳定速度，此时有：
根据闭合电路欧姆定律可得：
解得：
，
棒以
的速度冲入
的匀强磁场，产生的感应电动势为：
解得：
，
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棒两端的电势差为：
代入数据解得：
；
（3）考虑
棒进入磁场时，与
棒相距
棒在与
棒相撞前，
棒一定处于静止状态，设
棒
与
棒碰撞前瞬间的速度为
，
以
棒为研究对象，取向右为正方向，由动量定理，有：
解得
棒在与
棒相撞前的速度为：
由能量守恒定律可知，从
棒刚进入
磁场开始到
两棒碰撞前瞬间，
棒减少的动能转化为电能，
通过电流做功，释放焦耳热，则有：
代入数据解得：
；
碰后
速度交换，设碰后速度为
，
则
最终b 棒带动a 运动，两者达到共速。
则
则
答：（1）
时，通过
棒的电流大小为2A，方向为向上（逆时针）；
棒刚进入
磁场时，
棒两端的电势差
；
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5．（2024 年山东潍坊重点高中3 月质检）如图甲所示，倾角为θ＝37°足够长的倾斜导体轨道与光滑水平轨道平滑连接。轨
道宽度d＝0.5m，电阻忽略不计。在水平轨道平面内有水平向右的匀强磁场，倾斜轨道平面内有垂直于倾斜轨道向下的
匀强磁场，大小都为B，现将质量m＝0.4kg、电阻R＝1Ω 的两个相同导体棒ab 和cd，垂直于轨道分别置于水平轨道上
和倾斜轨道的顶端，同时由静止释放。导体cd 下滑过程中加速度a 和速度v 的关系如图乙所示。cd 棒从开始运动到最大
速度的过程中流过cd 棒的电荷量q＝0.4C（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2），则：
（1）cd 和倾斜轨道之间的动摩擦因数是多少；
（2）ab 和水平轨道之间的最大压力是多少；
（3）cd 棒从开始运动到速度最大的过程中ab 棒上产生的焦耳热是多少。
（附加题）
【名师解析】（1）由图乙所示图象可知，刚释放导体棒cd 时，加速度：a＝5m/s2，
对导体棒cd，由牛顿第二定律得：mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma，
代入数据解得：μ＝0.125；
（2）由图乙所示图象可知，a＝0 时cd 棒速度达到最大，此时电路中的电流最大，
此时cd 速度：v＝1m/s，ab 安培力达到最大，对地面压力也达到最大，
由平衡条件得：
对导体棒cd：mgsinθ＝F 安培+μmgcosθ，
对导体棒ab：FN＝mg+F 安培，
代入数据解得：FN＝6N，F 安培＝2N，
由牛顿第三定律可知，ab 对过道的压力：FN′＝FN＝6N；
（3）导体棒所受安培力大小：F 安培＝BId＝
，
代入数据解得：B＝4T，
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通过导体棒cd 的电荷量：q＝
Δt＝
Δt＝
Δt＝
＝
，
代入数据解得，cd 从释放到刚运动运动时下滑的距离：x＝0.4m，
cd 从开始到速度最大的过程中，能量守恒定律得：mgxsinθ＝μmgxcosθ+
+Q，
ab 棒上产生的焦耳热：Qab＝
Q，
代入数据解得：Qab＝0.3J；
6．（2024 年山东潍坊重点高中3 月质检）如图所示，固定光滑平行轨道abcd 的水平部分处于磁感应强度
大小为B 方向竖直向上的匀强磁场中，bc 段轨道宽度为2L，cd 段轨道宽度为L，bc 段轨道和cd 段轨道
均足够长。质量为2m 的导体棒P 和质量为m 的导体棒Q，有效电阻分别为2R 和R，分别置于轨道上
的ab 段和cd 段，且均与轨道垂直，金属棒Q 原来处于静止状态。现让金属棒P 从距水平轨道高为h 处
无初速度释放，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计其它电阻及阻力，重力加
速度大小为g，求：
（1）两金属棒稳定运动的速度以及通过金属棒Q 的电荷量；
（2）当两棒相距最近时，电路的热功率。
．【名师解析】（1）P 棒下滑过程中，根据机械能守恒定律得
2mgh＝
解得P 棒刚进入磁场时的速度为：v0＝
当P 棒进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流，P 棒受到向左的安培力而减速，Q 棒受到向右的安
培力而加速，Q 棒运动后也将产生感应电动势，与P 棒感应电动势反向，因此回路中的电流将减小，最
终P、Q 产生的感应电动势大小相等，相互抵消，回路中的感应电流为零，两棒不再受安培力，均做匀
速直线运动。
所以最终有：Ep＝EQ，即B•2LvP＝BLvQ
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解得：vQ＝2vP
设P 棒从进入水平轨道开始到两棒均做匀速运动所用的时间为t，取向右为正方向，对P、Q 分别应用动
量定理得：
对P 棒：﹣（B •2L）t＝2mvp﹣2mv0
对Q 棒：B L•t＝mvQ﹣0
联立解得两金属棒稳定运动的速度分别为：vp＝
，vQ＝
通过金属棒Q 的电荷量为q＝•t，结合B L•t＝mvQ，解得：q＝
（2）当P、Q 两棒的速度相等时，相距最近，设P 棒从进入水平轨道开始到两棒共速经过的时间为
t′，共同速度为v，取向右为正方向，对P、Q 分别应用动量定理得：
对P 棒：﹣（B •2L）t′＝2mv﹣2mv0
对Q 棒：B L•t′＝mv﹣0
联立解得：v＝
回路总的感应电动势为：E＝B•2Lv﹣BLv＝BLv＝BL•
＝
当两棒相距最近时，电路的热功率为P＝
解得：P＝
7. （2024 年3 月江西赣州质检）磁力刹车是为保证过山车在最后进站前的安全而设计的一种刹车形式，刹
车金属线框安装在过山车底部或两侧，在轨道间的磁场作用下而减速。简化模型如图所示，在水平面上的
两根平行直导轨间，有等距离分布的方向相反的竖直匀强磁场B1和B2，且B1=B2=B，每个磁场分布区间的
长都是L，相间排列。正方形刹车线框边长为L，电阻为R，以初始速度大小v0进入磁场。已知过山车的质
量为m，不计轨道摩擦和空气阻力，求：
（1）线框ab 边刚进入磁场时的电流大小I；
（2）线框ab 边刚进入磁场B2中时加速度大小a、
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【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）线框ab 边刚进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律有
感应电流为
（2）线框ab 边刚进入磁场B2中时，线框中的电荷量为
设此时线框的速度为v，根据动量定理有
根据牛顿第二定律有
解得
16
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