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专题07 力的合成与分解
题型一 力的合成..............................................................................................................................................2
题型二 力的分解..............................................................................................................................................6
题型三 “动杆”和“定杆”与“活结”和“死结”问题........................................................................11
课时精练..........................................................................................................................................................19
【基础回顾】
一、力的合成与分解
1.合力与分力
（1）定义：如果一个力产生的效果 跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个
力就叫作那几个力的合力 ，原来那几个力叫作分力 。
（2）关系：合力和分力是等效替代 的关系。
2.共点力
作用在物体的同一点 ，或作用线的延长线 交于一点的力。如下图所示均是共点力。
3.力的合成
（1）定义：求几个力的合力 的过程。
（2）运算法则
①
平行四边形定则：求两个互成角度的共点力 的合力，可以用表示这两个力的线段为
邻边
作
平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小 和方向 。如图甲所示。
②
三角形定则：把两个矢量首尾相接 ，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
4.力的分解
（1）定义：求一个已知力的分力 的过程。
（2）遵循原则：平行四边形 定则或三角形 定则。
（3）分解方法：①按力产生的效果 分解；②正交分解。
二、矢量和标量
1.矢量
既有大小又有方向 的量，相加时遵从平行四边形定则 。
2.标量
只有大小没有 方向的量，求和时按代数法则 相加。
题型一 力的合成
1.共点力合成的常用方法
（1）作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2
的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大
小，量出对角线与某一分力的夹角确定合力的方向（如图所示）。
（2）计算法：几种特殊情况的共点力合成
类型
作图
合力的计算
①互相垂直
F＝
tan θ=
②两力等大，夹角
θ
F＝2F1cos
F 与F1夹角为
③两力等大且夹角
120°
合力与分力等大F′＝F
2.两个共点力的合力
（1）两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
（2）两个共点力合力的范围
①当两个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2。
②当两个力方向相反时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|。
③合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
3.三个共点力的合力的最大值与最小值
（1）最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
（2）最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小
值为零，即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大
小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力）。
【例题精讲】
1.（2025 秋•达州期末）一物体仅在三个共点力F1、F2、F3作用下保持静止状态，这三个力的大小分别为
10N、16N、25N，现将F1 突然增大到12N，三个力的方向仍保持不变，则此时物体受到的合力为（
）
A．2N
B．12N
C．16N
D．22N
【答案】A
【解析】解：一物体仅在三个共点力F1、F2、F3作用下保持静止状态，这三个力的大小分别为10N、
16N、25N，三个力的合力为零。
由于三个力的合力为零时，其中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，所以F2、F3的合力
与F1等值、反向、共线，为F23＝F1＝10N，
现将F1 突然增大到12N，三个力的方向仍保持不变，所以合力大小为：F＝F1′﹣F23＝12N﹣10N＝
2N，方向与F1的方向相同，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
2.（2025 秋•南通期末）如图所示，两同学用大小相等的力共提一桶水沿水平路面做匀速直线运动。已知
二力在同一竖直平面内。下列说法中正确的是（ ）
A．二力的夹角越大，用力越小
B．二力相互垂直时，用力最小
C．二力与水平方向的夹角相等
D．二力的夹角变大，合力变小
【答案】C
【解析】解：ABD、对桶受力分析，结合共点力平衡可知，两同学用大小相等的力的合力一定与水桶
的重力大小相等，方向相反，所以二力的夹角变大，合力不变；根据平行四边形定则可知，二力的夹
角越大，用力越大，二力的夹角越小，用力越小，故ABD 错误；
C.设两个同学的手臂对水桶的拉力大小为F，设两个同学的手臂与水平方向分别成θ 角和α 角，根据受
力平衡可知，
两同学对水桶的作用力沿水平方向的分力大小相等，方向相反，即：Fsinθ＝Fsinα
解得：θ＝α
可知，二力与水平方向的夹角相等，故C 正确。
故选：C。
3.（2025 秋•温州期末）如图所示，两拖船P、Q 拉着无动力货船S 一起在静水中沿图中虚线方向匀速前
进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持60°，假设水对船S 在水平方向的作用力大小为f，方向与船的
运动方向相反，则缆绳对船S 的作用力为（ ）
A．f
B．❑√3 f
C．2f
D．2❑√3 f
【答案】A
【解析】解：设每根缆绳的拉力为F，缆绳与运动方向（虚线）夹角为60，如图所示
货船匀速前进，受力平衡，缆绳的拉力的合力与水对船S 在水平方向的作用力f 等大反向，又因为缆
绳的拉力夹角为120°，故每根缆绳的拉力大小也为f，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
4.（2025 秋•内江期末）两个大小不变的共点力F1、F2，改变它们的方向时，其合力的最大值为14N，最
小值为2N，当两个力的夹角为90°时，合力的大小为（ ）
A．10N
B．6N
C．8N
D．5 ❑√10 N
【答案】A
【解析】解：根据力的合成原理，当两力同向时合力最大，即F1+F2＝14N 当两力反向时合力最小，
即|F1﹣F2|＝2N 解得F1＝8N，F2＝6N（或F1＝6N，F2＝8N）
当两个力的夹角为90°时，合力大小由勾股定理得F =
❑√F1
2+ F2
2=
❑√8
2+6
2 N =10N，故A 正确，BCD
错误。
故选：A。
5.（2025 秋•石景山区期末）作用在同一物体上的两个共点力，一个力的大小是3N，另一个力的大小是
6N，它们的合力的大小可能是（ ）
A．2N
B．4N
C．10N
D．18N
【答案】B
【解析】解：根据题意分析可知，两力合成时，合力范围为|F1﹣F2|≤F≤F1+F2
结合题意可知，一个力的大小是3N，另一个力的大小是6N，则合力为3N≤F≤9N，故B 正确，ACD
错误；
故选：B。
（多选）6．（2025 秋•哈尔滨月考）下列各组共点力中合力可能为零的是（ ）
A．2N，4N，6N
B．4N，5N，10N
C．5N，5N，5N
D．10N，13N，28N
【答案】AC
【解析】解：共点力合力为零的条件是任意两个力的合力范围包含第三个力。
A、2N 与4N 的合力范围为2N≤F 合≤6N，第三个力6N 在此范围内，故A 正确；
B、4N 与5N 的合力范围为1N≤F 合≤9N，第三个力10N 不在此范围内，故B 错误；
C、5N 与5N 的合力范围为0N≤F 合≤10N，第三个力5N 在此范围内，故C 正确；
D、10N 与13N 的合力范围为3N≤F 合≤23N，第三个力28N 不在此范围内，故B 错误；
故选：AC。
（多选）7．（2025 秋•松原校级期末）有两个大小不变、方向改变的力F1和F2（F1＜F2），这两个力的
合力为F 合，F 合随两分力的夹角α（0≤α≤360°）变化的关系如图所示，下列说法中正确的是
（ ）
A．这两个力的合力大小变化范围是1N≤F 合≤7N
B．这两个力的合力大小变化范围是1N≤F 合≤5N
C．F1和F2的大小分别为3N 和4N
D．F1和F2的大小分别为1N 和5N
【答案】AC
【解析】解：CD、由题图可知，当两分力夹角为180°时，两分力的合力为1N，由于F1＜F2，根据力
的合成法则得F2﹣F1＝1N，
当两分力夹角为90°时，两分力的合力为5N，则有❑√F1
2+ F2
2=5 N，
联立解得这两个分力的大小分别为F1＝3N，F2＝4N，故C 正确，D 错误；
AB、F1和F2的大小分别为3N 和4N 时，当两个分力方向相同时，合力最大，当两个分力方向相反时，
合力最小，所以这两个力的合力大小的变化范围是1N≤F 合≤7N，故A 正确，B 错误。
故选：AC。
题型二 力的分解
1.力的分解的两种常用方法
（1）按力的效果分解
（2）正交分解法
①方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…求合力F 时，可把各力沿相互垂直的x 轴、y
轴分解。
x 轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y 轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力的大小：F＝
合力方向：与x 轴夹角为θ，则tan θ＝。
②建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易
分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上）。
2.力的分解中的唯一性和多解性
条件
解的组数
分解一个力，若分力没有附加条件
无数组解
已知合力和两个分力的方向
唯一解
已知合力和一个分力
唯一解
已知合力和两分力的大小，并且F1－F2<F<F1＋F2（在同
一平面内）
两组解
已知合力F 和F1 的大小及
F2的方向，F2与合力F 的夹
角为θ
F1<Fsin θ
无解
F1＝Fsin θ
唯一解
Fsin θ<F1<F
两组解
F1≥F
唯一解
【例题精讲】
1.（2025 秋•梧州期末）如图所示，两个共点力的合力F＝20N，分力F1 的方向与合力F 的方向成α＝
30°角，分力F2（图中未画出）的大小为15N，则（ ）
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
【答案】C
【解析】解：已知一个分力F1 有确定的方向，与F 成30°夹角，知另一个分力的最小值为Fmin＝
Fsin30°＝20×0.5N＝10N
由于另一个分力大小是15N，大于10N，小于20N，所以分解的组数有两组解，F1有两个大小，F2有
两个方向。如图
故C 正确，ABD 错误；
故选：C。
2.（2025 秋•乐平市校级期末）把一个已知力F 分解，要求其中一个分力F1跟F 成30°角，而大小未知；
另一个分力F2=
❑√3
3 F，但方向未知，则F1的大小可能是（ ）
A．2F
B．
❑√3
2 F
C．❑√3F
D．2❑√3
3
F
【答案】D
【解析】解：根据平行四边形定则可知，当F2与F1垂直时F2最小，此时F2= Fsin30° = 1
2 F ＜
❑√3
3 F
故另一个分力F2=
❑√3
3 F时，有如图两种情况（红色）
由余弦定理F2
2= F
2+ F1
2−2 F F1cos30°
解得F1=
❑√3
3 F或F1= 2❑√3
3
F
故ABC 错误，D 正确。
故选：D。
3.（2025 秋•湖州月考）如图所示，将一个F＝40N 的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分
力F1的方向与F 成30°角，则下列说法正确的是（ ）
A．若F2的大小为40
3
❑√3N，则F1一定等于80
3
❑√3N
B．若F2的大小为20N，则F1一定等于20 ❑√3N
C．若F2的大小为35N，则F1只有一个可能值
D．若F2的大小为45N，则F1可能有两个值
【答案】B
【解析】解：B.已知一个分力有确定的方向，与F 成30°夹角，作出F2如图所示：
虚线代表的分力F1的方向，根据三角形法则，当F2与F1垂直时，力F2有唯一最小值，为F2＝Fsin30°
＝40× 1
2N＝20N，此时F1＝Fcos30°＝40×
❑√3
2 N=20 ❑√3 N，故B 正确。
ACD.根据矢量三角形定则可知，当F2＜20N 时，F1没有解；当20N＜F2＜40N 时，F1有两个可能值；
当40N≤F2时，F1只有一个值，故ACD 错误。
故选：B。
4.（2025 秋•辽宁月考）抗战期间，为了转移物资，需要纤夫拉船，如图所示，虚线1、2 的夹角为30°，
在O 点的小船在两个力的作用下运动，其中一个力的大小为F0，方向与虚线1 垂直，为了使小船沿着
虚线2 运动，则另一个力的最小值为（ ）
A．F0
B．
❑√3
2 F0
C．
❑√2
2 F0
D．1
2F0
【答案】B
【解析】解：根据题意分析可知，以虚线2 的方向为标准建立坐标轴，把F0进行正交分解。
F0在垂直于虚线2 方向上的分力为
❑√3
2 F0，当另外一个力与它等大反向时有最小值，即另一个力的最
小值为
❑√3
2 F0，故B 正确，ACD 错误；
故选：B。
5.（2025 秋•银川校级期中）如图所示，将光滑斜面上物体所受的重力mg 分解为F1、F2两个力，下列
结论正确的是（ ）
A．F1是下滑力，F2是物体对斜面的正压力
B．物体受mg、FN、F1、F2四个力作用
C．物体只受重力mg 和弹力FN的作用
D．FN、F1、F2三个力的作用效果不能替代mg、FN两个力的作用效果
【答案】C
【解析】解：A、F1是重力沿斜面方向向下的分力，不是斜面作用在物体上的力，F2是重力垂直于斜
面方向的分力，属于重力的分力，物体对斜面的正压力是弹力性质的力，物体对斜面的正压力的大小
等于F2，故A 错误；
BC、F1和F2是重力的两个分力，物体只受重力mg 和支持力FN两个力，故B 错误，C 正确；
D.重力mg 分解为F1、F2两个力，根据合力与分力是等效替代关系，可知，力FN、F1和F2三个力的作
用效果跟mg、FN两个力的效果相同，故D 错误。
故选：C。
（多选）6．（2025 秋•和平区校级月考）已知一个力F＝50N，把它分解为两个力，已知其中一个分力F1
与F 的夹角为30°，若要F1有两个取值，则分力F2的值可能为（ ）
A．30N
B．25❑√3N
C．100 ❑√3
3
N
D．25N
【答案】AB
【解析】解：合力大小为50N，一个分力F1与合力方向的夹角是30°，根据点到直线的最小距离可知，
当两个分力的方向垂直时，另一个分力F2最小，最小值为：F2＝Fsin30°＝50sin30°＝25N
但F2最小时是唯一解，所以若要F1有两个取值，则F2应大于25N；同时小于合力50N，故AB 正确，
CD 错误。
故选：AB。
（多选）7．（2025 秋•长春期末）现将一个沿水平方向、大小F＝100N 的力分解成两个分力，已知其中
一个分力的方向与F 的方向成30°角（有确定的方向），下列说法中正确的是（ ）
A．另一分力的大小为40N 时，有唯一解
B．另一分力的大小为50N 时，有唯一解
C．另一分力的大小为60N 时，无解
D．另一分力的大小为80N 时，有两组解
【答案】BD
【解析】解：AB．设方向已知的分力为F1，另一分力为F2。如图所示，作出F1、F2和F 构成的矢量三
角形。
由图可得F2的最小值为
F2min＝Fsin30°，解得F2min＝50N
则另一分力的大小为40N 时，无解，另一分力的大小为50N 时，有唯一解，故A 错误，B 正确；
CD．若50N＜F2＜100N，另一分力的大小为60N 或者80N 时，F1、F2和F 可构成如图所示的两个矢量
三角形，此时有两组解，故C 错误，D 正确。
故选：BD。
题型三 “动杆”和“定杆”与“活结”和“死结”问题
1.“动杆”和“定杆”模型
模型
“动杆”模型
“定杆”模型
模型结构
结构特点
轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可
围绕转轴或铰链自由转动
轻杆被固定在接触面上，不
能发生转动
弹力特点
当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方
向一定沿杆
杆所受的弹力方向不一定沿
杆，可沿任意方向
2.“活结”和“死结”模型
模型
“活结”模型
“死结”模型
模型结构
结构特点
“活结”把绳子分为两段，且可沿
绳移动，“活结”一般由绳跨过滑
轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳
子因“活结”而弯曲，但实际为同
一根绳
“死结”把绳子分为两段，且不可
沿绳移动，“死结”两侧的绳因结
而变成两根独立的绳
弹力特点
“活结”两侧的绳子上的张力大小
处处相等
“死结”两侧的绳子上张力不一定
相等
【例题精讲】
1.（2025 秋•东坡区校级期末）如图甲所示，轻绳AD 跨过固定的水平横梁BC 右端的定滑轮挂住一个质
量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG 一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G 通过细绳EG 拉
住，EG 与水平方向也成30°，轻杆的G 点用细绳GF 拉住一个质量为m2的物体，则下列说法正确的是
（ ）
A．FAC: FEG＝2m1: m2
B．FAC: FEG＝1:1
C．FBC: FHG＝m1:
❑√3m2
D．FBC: FHG＝1:1
【答案】C
【解析】解：分别对点C、G 受力分析，如图所示：
图甲中，同一条绳子张力处处相等，有FAC＝m1g，由平行四边形法则可知FBC＝m1g，
图乙中，构建矢量三角形，有FEG=
m2 g
sin30° ，FHG=
mg
tan30° ，
代入数据可得FAC：FEG＝m1:2m2，FBC：FHG＝m1：❑√3m2，故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
2.（2025 秋•绿园区校级期中）如图所示，质量为3m 的小球P 和质量为m 的小球Q 通过两根长度均为L
的细线悬挂在天花板的O 点，两球之间通过长度为❑√3L 的轻杆相连，重力加速度为g。现对小球P 施
加一拉力F 并确保轻杆始终处于静止状态，则（ ）
A．拉力F 竖直向上时，外力取得最小值2mg
B．拉力F 水平向左时，外力取得最小值2❑√3mg
C．拉力F 垂直于绳子OP 时，外力取得最小值❑√3mg
D．拉力F 垂直于绳子OP 时，外力取得最小值3
2mg
【答案】C
【解析】解：杆是活杆，弹力沿杆方向，对Q 受力分析，构建矢量三角形如图所示：
由几何关系可知，细线与轻杆夹角为30°，由平衡条件可知，N=
mg
tan30° = mg
❑√3
3
= ❑√3mg
，
对P 受力分析，如图所示：
杆的弹力和重力的合力为F1，有F1
= 3mg
cos30° = 3mg
❑√3
2
=2❑√3mg
，合力的大小方向都不变，将细线的弹
力平移，当外力F 垂直细线方向斜向上时，有最小值，F＝F1sin30°，代入数据可得：F= ❑√3mg，故C
正确，ABD 错误。
故选：C。
3.（2025 秋•银川校级月考）如图所示，光滑定滑轮通过轻杆OP，OP 通过（铰链）固定在天花板上，轻
绳绕过定滑轮，一端竖直悬挂物块a，另一端连接物块b，物块c 放置在物块b 上，整个系统处于静止
状态。已知mb＝mc＝2ma＝2kg，轻杆OP 与水平方向夹角为60°，重力加速度大小g＝10m/s2，不计滑
轮的重力及轻绳和滑轮之间的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．轻杆OP 的拉力为10N
B．地面对物块b 的支持力为30N
C．地面对物块b 的摩擦力为5 ❑√3N
D．物块b 对物块c 的摩擦力为5N
【答案】C
【解析】解：A.对滑轮受力分析，如图所示：
同一条绳子张力处处相等，由于a 静止，所以绳子张力等于a 的重力，轻杆是活杆，所以弹力沿杆方
向，mag＝1×10N＝10N，由平行四边形法则可知，F1＝10❑√3N，故A 错误；
BC.对bc 整体受力分析，如图所示：
将力正交分解，有：magcos30°＝f，magsin30°+FN＝（mb+mc）g，f＝μFN，代入数据可得：f＝5❑√3N，
FN＝35N，故B 错误，C 正确；
D.物块c 水平方向受力平衡，故不受摩擦力，故D 错误。
故选：C。
4.（2025 秋•宁波期末）如图，四分之一表面光滑圆柱体P 放在水平地面上，圆心O 的正上方有一个大小
可忽略的定滑轮A，一根不可伸长的轻绳跨过定滑轮（轻绳与定滑轮均不计摩擦），一端和置于圆柱
体P 上的质量为m 的小球连接，另一端连接轻质圆环Q 套在固定的竖直杆上的B 点，一质量为m0的
钩码挂在AQ 间的轻绳上，整个装置处于同一竖直平面内，且均处于静止状态。现控制小球和圆柱体
不动，将圆环Q 从B 点缓慢移动一小段距离到C 点后，再解除控制，则（ ）
A．轻绳的张力变大
B．圆环Q 仍可保持静止
C．小球沿圆柱面向下移动
D．地面对圆柱体P 的摩擦力减小
【答案】B
【解析】解：对钩码受力分析如图所示：
由晾衣杆模型可知，圆环向上移动，轻绳夹角不变，张力不变，仅有钩码向右上方移动，所以圆环仍
静止，小球不动，地面对圆柱体的摩擦力不变，故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
5.（2025 秋•让胡路区校级期末）如图所示，轻绳两端分别固定在两根竖直杆的A 点和B 点，A、B 等高，
将挂有衣服的晾衣架挂在绳上，衣架与绳的接触点为O 点。某时刻，吹来一阵风，衣服受到水平向右
的恒定风力之后重新平衡。不计衣架的质量，不计绳与衣架挂钩间的摩擦，下列说法正确的是
（ ）
A．无风时挂钩左右两侧绳的张力大小相等，有风时挂钩左右两侧绳的张力大小不相等
B．与无风时相比，有风时∠AOB 更大
C．若水平风力随时间从零开始缓慢增大到足够大，则细绳的张力一定一直增大
D．若水平风力随时间从零开始缓慢增大到足够大，则细绳的张力可能先减小后增大
【答案】D
【解析】解：A、由于不计绳与挂钩间的摩擦，挂钩左右为一根绳，绳的张力处处相等，故A 错误；
B.由于挂钩的运动轨迹为椭圆，AB 为椭圆的两个焦点，无风时挂钩位于椭圆的短轴处，∠AOB 最大，
有风时∠AOB 变小，故B 错误；
CD、有风时，受力分析图如图所示
可知两根绳的合外力：F= mg
cosα ，F＝2FTcosβ
由几何关系有：sinβ= dcosα
L
，d 为AB 间距，L 为总绳长，联立可得细绳的张力大小为：
FT=
mgL
2cosα
❑√L
2−d
2co s
2α
=
mgL
2
❑√L
2co s
2α −d
2co s
4α
，式中L2cos2α﹣d2cos4α＝﹣d2（cos2α−L
2
2d
2
）2
+ L
4
4 d
2
可知风力随时间从零逐渐的缓慢增大到足够大，α 逐渐增大，细绳的张力大小FT可能一直增大，也可
能先减小后增大，故C 错误，D 正确。
故选：D。
（多选）6．（2025 春•长沙校级月考）如图所示，一根轻质细绳两端分别固定在足够长的两竖直杆上等
高的A、B 点，两竖直杆间的距离为4m，质量为0.6kg、可视为质点的灯笼用轻质光滑挂钩挂在细绳
上。无风时灯笼静止的状态记为状态1，此时细绳状态如实线所示且细绳上的弹力大小为5N；当灯笼
受到水平向右的恒定风力时，灯笼静止的状态记为状态2，细绳状态如虚线所示。细绳长度始终不变，
取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．细绳的长度为5m
B．状态2 下挂钩两侧细绳的夹角小于状态1 下挂钩两侧细绳的夹角
C．若在状态1 下缓慢将细绳右端沿竖直杆下移（灯笼未落地），则细绳上的弹力逐渐减小
D．若在状态2 下缓慢将细绳右端沿竖直杆下移（灯笼未落地），则细绳上的弹力逐渐减小
【答案】ABD
【解析】解：AC、设绳长为L，两杆间距离为d。因挂钩光滑轻质，相当于动滑轮，可知两边绳子的
拉力大小相等，设为F，并设绳子与竖直方向的夹角为θ，由平衡条件可得
2Fcosθ=mg
解得cos＝0.6
则sinθ＝0.8
设灯笼与绳子的交点为O，由几何关系有
LAOsinθ+LBOsinθ=d
则L＝LAO+LBO=
d
sinθ = 4
0.8m＝5m
若在状态1 下缓慢将细绳右端沿竖直杆下移（灯笼未落地），由sinθ= d
L可知，θ 角不变，则绳上的拉
力F 不变，故A 正确，C 错误；
BD、当灯笼受到水平向右的恒定风力时，灯笼增加一个风力，四力平衡，两个绳子的拉力的合力与重
力、风力的合力相平衡，如图所示：
设有风时绳子夹角的一半为α，由几何关系有
L1+L2＝Lsinα
由上述分析可知无风时，由几何关系有
d＝Lsinθ
因为
d＞L1+L2
联立可知α＜θ
当在有风的情况下，缓慢将细绳右端沿竖直杆下移（灯笼未落地），根据图像可以看出，两端绳子之
间的夹角变小，但是两细绳拉力的合力为恒力，则绳上的拉力变小，故BD 正确。
故选：ABD。
（多选）7．（2025•河南模拟）如图所示，轻绳两端分别固定在两根竖直杆的A 点和B 点，A、B 等高，
将挂有衣服的晾衣架挂在绳上，衣架与绳的接触点为O 点。某时刻，吹来一阵风，衣服受到水平向右
的恒定风力之后重新平衡。不计衣架的质量，不计绳与衣架挂钩间的摩擦，下列说法正确的是
（ ）
A．无论是有风还是无风，挂钩左右两侧绳的张力大小都相等
B．与无风时相比，有风时∠AOB 更大
C．若水平风力随时间从零开始缓慢增大到足够大，则细绳的张力一定一直增大
D．若水平风力随时间从零开始缓慢增大到足够大，则细绳的张力可能先减小后增大
【答案】AD
【解析】解：A、由于不计绳与挂钩间的摩擦，挂钩左右为一根绳，绳的张力处处相等，故A 正确；
B.由于挂钩的运动轨迹为椭圆，AB 为椭圆的两个焦点，无风时挂钩位于椭圆的短轴处，∠AOB 最大，
故B 错误；
CD、有风时，受力分析图如图所示
可知F = mg
cosα ，F＝2FTcosβ，由几何关系有sinβ = dcosα
L
，d 为AB 间距，L 为总绳长，联立可得细绳
的
张
力
大
小
为
FT =
mgL
2cosα
❑√L
2−d
2co s
2α
=
mgL
2
❑√L
2co s
2α −d
2co s
4α
，
式
中
L
2co s
2α −d
2co s
4α =−d
2(co s
2α −L
2
2d
2 )
2+ L
4
4 d
2，可知风力随时间从零逐渐的缓慢增大到足够大，
α 逐渐增大，细绳的张力大小FT可能一直增大，也可能先减小后增大，故C 错误，D 正确。
故选：AD。
课时精练
一．选择题（共8 小题）
1．（2025 秋•汕头期末）两个共点力F1＝4N、F2＝6N，它们的合力范围是（ ）
A．1N≤F≤10N
B．2N≤F≤10N
C．4N≤F≤6N
D．0≤F≤10N
【答案】B
【解析】解：当两个共点力方向相同时，合力最大，即F 合≤F1+F2
当两个共点力方向相反时，合力最小，即|F1﹣F2|≤F 合
可知|F1﹣F2|≤F 合≤F1+F2，解得2N≤F 合≤10N，故ACD 错误，B 正确。
故选：B。
2．（2025 秋•独山子区校级期末）如图所示，一物块静止在倾角为θ 的固定斜面上，物块所受的重力为
G，沿平行于斜面和垂直于斜面的两个方向分解重力G，这两个方向上的分力分别为F1和F2，则分力
F1的大小为（ ）
A．G•sinθ
B．G•cosθ
C．G
sinθ
D．G
cosθ
【答案】A
【解析】解：斜面上物体的重力，按效果分解的力图如题目图。根据数学知识可知：F1＝Gsinθ
故A 正确，BCD 错误；
故选：A。
3．（2026•江苏模拟）为确保公共安全，市民遛狗时应牵绳。如图所示，一市民遛狗时匀速前行，已知
绳中拉力大小为F、方向与水平面的夹角为θ。则绳中拉力在水平方向的分力大小为（ ）
A．Fcosθ
B．Fsinθ
C．F
cosθ
D．F
sinθ
【答案】A
【解析】解：已知绳中拉力大小为F、方向与水平面的夹角为θ，根据平行四边形定则，将绳中拉力沿
水平方向和竖直方向正交分解，根据三角函数得绳中拉力在水平方向的分力大小为Fx＝Fcosθ，故A
正确，BCD 错误。
故选：A。
4．（2025 秋•兰州期末）F1、F2为两个分力，F 为F1与F2的合力，则在下面四个矢量三角形中，正确描
述三个力关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：根据力的三角形定则可知，在选项A 中F 与F2为分力，合力为F1；在选项B 中F 与F1为
分力，合力为F2；在选项C 中F1与F2为分力，合力为F；在选项D 中F1与F2为分力，合力与F 等大
反向。故C 正确，ABD 错误；
故选：C。
5.（2025 秋•渝北区校级月考）如图所示，F1、F2、F3、F4、F5五个共点力的合力为零。现保持其他力不
变，下列选项正确的是（ ）
A．如果将F5减半，则其余四个力的合力大小减半
B．如果将F3逆时针旋转90°，则这五个力的合力大小将变为
❑√2
2 F3
C．如果将F4旋转180°，这五个力的合力大小将变为2F4
D．F4、F5的合力与F2、F3的合力可能相同
【答案】C
【解析】解：A、物体在五个共点力作用下保持平衡，F5与其余四个力的合力大小相等，方向相反。
如果将F5减半，则其余四个力的合力大小不变，总合力为F5的一半，故A 错误；
B.物体在五个共点力作用下保持平衡，F3与其余四个力的合力大小相等，方向相反。如果将F3逆时针
旋转90°，根据平行四边形定则，合力为：F= ❑√2F3，故B 错误；
C.物体在五个共点力作用下保持平衡，F4 与其余四个力的合力大小相等，方向相反。如果将F4 旋转
180°，合力大小将变为2F4，故C 正确；
D.根据平行四边形法则可知F4、F5 的合力是向左上方的，而F2、F3 的合力方向是向下，两者不可能
相同，故D 错误；
故选：C。
6．（2025 秋•南开区期末）图甲为古代榨油场景，图乙是简化原理图，快速撞击木楔，木块向两侧挤压
油饼便可将油榨出。若木楔可看作顶角为θ 的等腰三角形，撞击木楔的力为F，则下列说法正确的是（
）
A．为了增大木块对油饼的压力，θ 通常设计得较小
B．木楔对每个木块的压力一定均为F
2
C．若F 一定，增大θ，木块受到木楔对它的压力增大
D．无论θ 多大，木块受到木楔对它的压力始终小于F
【答案】A
【解析】解：AB.将F 分解如图所示
将力F 沿垂直侧面方向分解可知F1= F2=
F
2sin θ
2
木楔对油饼的压力为F ′ = F1cos θ
2 =
F
2tan θ
2
可知为了增大木块对油饼的压力，θ 通常设计得较小，木锲对每个木块的压力大于F
2 ，故A 正确，B
错误；
C.由F ′ = F1cos θ
2 =
F
2tan θ
2
可知，若F 一定，增大θ，木块受到木楔对它的压力减小，故C 错误；
D.为了增大木块对油饼的压力，θ 通常设计得较小，可能会出现tan θ
2 ＜1
2，故木锲对每个木块的压力
不一定小于F，故D 错误；
故选：A。
7.（2025 秋•绍兴期末）如图所示，水平面上放置3 个完全相同、紧靠在一起的质量均为m 的半球，在它
们上方放置1 个圆球，质量为2m，它们的半径均为R，且球面光滑，而半球底部圆截面和水平面间的
最大静摩擦力是正压力的2 倍，整个系统处于静止状态，下列说法正确的是（ ）
A．圆球受到3 个力
B．地面对每个半球的支持力为5
3mg
C．地面对每个半球的摩擦力为0
D．适当增大半球间距离，在系统仍能静止时，地面对每个半球的摩擦力大小不变
【答案】B
【解析】解：A.圆球受重力2mg，以及三个半球对它的支持力（每个半球一个），共4 个力，由于球
面光滑，无摩擦力，故A 错误；
B.系统总重力3mg+2mg＝5mg，三个半球对称，地面支持力均匀分配F = 5mg
3
，故B 正确；
C.由于三个半球对称分布，三个支持力大小相等，设为F，其方向与竖直方向夹角为θ，则竖直方向
3Fcosθ＝2mg
压力的水平分力为Fsinθ，半球静止不动，因此静摩擦力f＝Fsinθ，不为零，故C 错误；
D.当半球间距离增大时，三个半球球心构成的等边三角形边长变大，球心连线与竖直方向的夹角θ 增
大，sinθ 变大。由f＝Fsinθ，可知，摩擦力f 会变大，故D 错误。
故选：B。
8.（2025 秋•南通期末）一条船由两岸纤夫拉着沿平行河岸方向前进，右岸纤夫以与航线夹θ 角的恒力F
拉船，如图所示。则左岸纤夫拉力的最小值及方向是（ ）
A．F•sinθ、与河岸垂直
B．F•tanθ、与河岸垂直
C．F•tanθ、与F 垂直
D．F•sinθ、与F 垂直
【答案】A
【解析】解：由题意可知，当拉力F2垂直于拉力F，即垂直于河岸时，拉力F2最小，如图所示
根据平行四边形定则，结合几何关系，则有F2＝F1sinθ，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
二．多选题（共3 小题）
（多选）9．（2025 秋•集美区校级月考）两个共点力F1与F2大小不变，方向可变。设两力之间的夹角为
θ，其合力为F 随θ 变化图像如图所示。以下说法正确的是（ ）
A．x＝8
B．x＝10
C．若F3＝12N，方向可变，则F1、F2与F3三力可平衡
D．若F3＝12N，方向可变，则F1、F2与F3三力不可平衡
【答案】BC
【解析】解：AB、由F﹣θ 图像可知，F1+F2＝14N，F1﹣F2＝2N
解得F1＝8N，F2＝6N
当θ＝90°，F=
❑√F1
2+ F2
2=
❑√8
2+6
2N＝10N，即x＝10N，故A 错误；B 正确；
CD、F1、F2的合力范围为2N≤F 合≤14N，F3＝12N 在此范围内，可通过调整F3的方向使其与F1、F2
的合力等大反向，三力可平衡，故 C 正确；D 错误。
故选：BC。
（多选）10．（2025 秋•昆明月考）两个分力F1、F2夹角恒为90°，F1大小不变。两个力的合力F 合的大
小随F2的大小变化的关系图像的一部分如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．分力F1的大小为1N
B．随分力F2大小变化，F 合可能等于0
C．当F2＝3N 时，F 合与F1的夹角为60°
D．分力F2增大时合力F 合一定也增大
【答案】AD
【解析】答：A、由题中所给的信息，F1和F2之间的夹角为90°，同时从图中可观察到当F2＝3N 时，F
合= ❑√10N，由力的矢量合成可得，F 合=
❑√F1
2+ F2
2，代入可得F1=
❑√F合
2−F2
2=
❑√
❑√10
2−3
2=1N，故
A 正确；
B、由于两个分力之间夹角为90°，F 合≥F1，F1＝1N，所以F 合不可能为0，故B 错误；
C、当F2＝3N 时，F合
F1
≠cos60°，所以F 合和F1之间夹角不可能为60°，故C 错误；
D、由F 合=
❑√F1
2+ F2
2，F1大小不变，且两个力之间夹角恒为90°，所以当F2增大时，F 合也一定增大，
故D 正确。
故选：AD。
（多选）11．（2022 秋•青羊区校级期中）如图所示，倾角为30°的粗糙斜面固定在水平地面上，一根轻
绳的一端与斜面上的物块a 相连，另一端绕过光滑的定滑轮系在竖直杆上的P 点，用光滑轻质挂钩把
物块b 挂在O 点，此时竖直杆与绳OP 间的夹角为60°，a 与斜面之间恰好没有摩擦力且保持静止，已
知物块a 的质量为M，物块b 的质量为m，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
A．M＝2m
B．剪断定滑轮与a 之间轻绳的瞬间，a 的加速度大小为0.5g
C．将P 端缓慢向上移动一小段距离，a 将受到沿着斜面向下的摩擦力
D．将竖直杆缓慢向右移动一小段距离，a 将受到沿着斜面向下的摩擦力
【答案】AD
【解析】解：A、对结点O 和物体a 受力分析如图所示：
由平行四边形定则得，O 点三个力夹角互为120°，根据共点力平衡得：2Tcos60°＝mg
则绳上的拉力T＝mg
对a，根据共点力平衡条件得：T＝Mgsin30°
联立解得：M＝2m
故A 正确；
B、剪断定滑轮与a 之间轻绳的瞬间，a 与斜面上有摩擦力，加速度的大小与摩擦力有关，动摩擦因数
未知，加速度大小未知，故B 错误；
C、将P 端缓慢向上移动一小段距离，绳与竖直方向的夹角不变，绳上的拉力不变，a 与斜面间没有摩
擦力，故C 错误；
D、将竖直杆缓慢向右移动一小段距离，绳与竖直方向夹角变大，绳上拉力变大，a 有沿斜面向上运动
的趋势，受到沿斜面向下的摩擦力，故D 正确；
故选：AD。
三．解答题（共3 小题）
12．（2025 秋•裕华区校级月考）证明：晾衣架模型中绳长L 和MN 间距d 一定时，将端点b 上下移动，
绳与竖直方向夹角θ 不变，绳张力T 不变（用已知量写出证明的表达式）。
【答案】见解析。
【解析】解：根据平衡状态的分析可得：
2Tcosθ＝mg
又
sinθ = d1
L1
= d2
L2
d＝d1+d2；L＝L1+L2
得：d1+d2＝（L1+L2）sinθ
即d＝Lsinθ
将端点b 上下移动过程中，d 和L 均不变，则θ 不变，绳张力T 不变。
答：见解析。
13．（2025 秋•蚌埠期末）图示为生活中两种悬挂物体方式的简化示意图，甲图中轻杆DB 一端用铰链固
定在竖直墙壁上，另一端B 通过水平轻绳AB 固定在竖直墙壁上，∠DBA＝30°，轻杆的B 端用轻绳
BC 拉住一个质量为M 的物体；图乙中轻绳EQ 跨过固定在竖直墙壁的轻杆HP 右端的光滑定滑轮拉住
一个质量也为M 的物体，EP 水平，∠HPE＝30°，重力加速度为g。求：
（1）轻杆DB 对B 点的支持力大小；
（2）轻绳AB 段与轻绳EP 段的拉力大小之比。
【答案】（1）轻杆DB 对B 点的支持力大小为2Mg；
（2）轻绳AB 段与轻绳EP 段的拉力大小之比为❑√3：1。
【解析】解：（1）对重物，由平衡条件可知，轻绳BC 的张力大小为Mg，
DB 为活杆，弹力沿杆方向，对B 点受力分析，构建矢量三角形如图所示：
有FD=
Mg
sin30° = Mg
1
2
=2Mg；
（2）由上图可知，轻绳AB 拉力大小TA＝FDcos30°，代入数据可得：TA= ❑√3Mg，
乙图中，HP 为死杆，轻绳EQ 张力处处相等，对重物，由平衡条件可知，轻绳EP 的张力大小TE＝
Mg，
所以轻绳AB 段与轻绳EP 段的拉力大小之比TA：TE= ❑√3：1。
答：（1）轻杆DB 对B 点的支持力大小为2Mg；
（2）轻绳AB 段与轻绳EP 段的拉力大小之比为❑√3：1。
14．（2025 秋•济宁期中）如图所示，一倾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面顶端装有一个
光滑定滑轮，一轻绳跨过滑轮，一端连接在A 点，另一端连接质量M＝4kg 的物体P。质量m＝2kg 的
小物块Q 通过轻绳系在O 点上，轻绳OB 段水平，斜面上方部分与斜面平行，OA 段与竖直方向的夹
角α＝45°，整个系统处于静止状态。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）轻绳OA、OB 上的拉力大小；
（2）物体P 所受摩擦力的大小与方向。
【答案】（1）轻绳OA、OB 上的拉力大小分别为20❑√2N，20N；
（2）物体P 所受摩擦力的大小为4N，方向沿斜面向上。
【解析】解：（1）对结点O 受力分析，构建矢量三角形如图所示：
有：TA= mg
cosα ，TB＝TAsinα，代入数据可得：TA＝20❑√2N，TB＝20N；
（2）对P 受力分析如图所示：
将力正交分解，沿斜面方向有Mgsinθ＝TB+f，代入数据可得：f＝4N，所以P 受到的摩擦力大小为
4N，方向沿斜面向上。
答：（1）轻绳OA、OB 上的拉力大小分别为20❑√2N，20N；
（2）物体P 所受摩擦力的大小为4N，方向沿斜面向上。
