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秘密★考试结束前[练习时间：2026年8月20日18:00] SCGK
字节精准教育联盟·一轮摸底
2027 年普通高等学校招生全国统一考试
（高2027届暑假素养提升反馈练习）
数学参考答案与试题解析
ZJ-GZ-GA-2027S-G27-GSRXMD AI赋能·精准测评
一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。在每题所给出的四个选项中，只有一项是
正确的。
1．B
【难度】0.85
【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、
总体百分位数的估计
【分析】将数据重写排列，然后分别按照中位数，方差，平均数，百分位数概念计算判断即可.
【详解】将数据从小到大排列为1，3，3，3，4，6，6，8，8，8，
中位数为 ，平均数为 ，
由 ，所以85%分位数为第9个数为8，
方差为 ，
所以ACD正确，B错误.
故选：B
2．D
【难度】0.85
【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解
【详解】因为 是 的中点，所以 ；
数学试题参考答案与试题解析 第 1 页（共13页）
○
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学科网（北京）股份有限公司又 是 的中点，根据向量中点性质： ，
将 代入得： .
3．B
【难度】0.65
【知识点】诱导公式二、三、四、求cosx(型)函数的值域
【分析】推导出 ，利用余弦函数的基本性质可得出 的最大值.
【详解】因为角 与 的终边关于 轴对称，则 ，故
，
因为 ， ，所以 ，
故 的最大值为 .
故选：B.
4．D
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法
【详解】因为 ，则 ，当 时， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
5．D
【难度】0.95
数学试题参考答案与试题解析 第 2 页（共13页）
○
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】求平面两点间的距离、根据抛物线方程求焦点或准线
【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，抛物线 的焦点坐标为 ，
故两焦点之间的距离 ．
6．A
【难度】0.94
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数
【分析】求导，研究函数的单调性，得到函数的最小值，列出方程，求出 的值.
【详解】 ，当 时， ，函数单调递减，当 时，
，函数单调递增．故当 时函数取得极小值，也是最小值 ．故 ，所以a＝
－1．
故选：A．
7．D
【难度】0.65
【知识点】求等差数列前n项和
【详解】由 可知 是以2为首项，以2为公差的等差数列，
由 可知 是以2为首项，以3为公差的等差数列，
所以 是以2为首项，以6为公差的等差数列，
所以 .
8．C
【难度】0.85
【知识点】计算古典概型问题的概率
【详解】设 中随机取一个点 ，且点 不与点 重合，
若直线 与 轴平行，则 ，可知 ，
数学试题参考答案与试题解析 第 3 页（共13页）
○
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学科网（北京）股份有限公司设样本空间为 ，直线 与 轴平行为事件A，
则 ， ，
所以该点与 构成的直线与 轴平行的概率为 .
二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。在每题所给出的四个选项中，有多项是正
确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．ABD
【难度】0.88
【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，故D正确.
10．AD
【难度】0.85
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】配方后化为圆的标准方程进而即得.
【详解】由 可得 ，
所以圆心坐标为 ，半径为 .
故选：AD
11．ABD
【难度】0.65
【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直
【分析】先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理
数学试题参考答案与试题解析 第 4 页（共13页）
○
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学科网（北京）股份有限公司判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直
推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。
【详解】
对于A，因为 分别是 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，A正确；
对于B，在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，
，
所以 ，所以 为等边三角形，B正确；
对于C，连接 ，假设 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以
在 中， ， ， ，
所以 ，所以 为等腰三角形， 故 与 不垂直，
这与 矛盾，因此假设不成立，C错误；
对于D，根据圆锥侧面积公式 ，所以圆锥 的侧面积为 ，D正确．
三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。
12．
【难度】0.94
数学试题参考答案与试题解析 第 5 页（共13页）
○
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】求椭圆的顶点坐标、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据题意求出 ，再根据椭圆的离心率公式即可得解.
【详解】椭圆 的左顶点和上顶点的坐标分别为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 ，则 ，
所以 的离心率 .
故答案为： .
13．
【难度】0.82
【知识点】求函数值
【分析】将 分解质因数，取质因数的不同组合即可求解.
【详解】将 分解质因数： ，而 也为因数，
则所有正因数为： ，共 个.
14．
【难度】0.28
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】由前 项和公式推出每连续三项的和 . 将连续9项按起始位置模3分类，每类
中利用三项块和等于 得到关于公比 的比例关系，通过相邻块和之比解得 的上界，即可取
得最大值.
【详解】令 ，由题意得 ，
因此每个三项块 的和为 .
设这9项为 ，记 . 由于 ，且完整三项块和均为正，
数学试题参考答案与试题解析 第 6 页（共13页）
○
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学科网（北京）股份有限公司下面按 除以3的余数讨论.
若 ，这9项正好包含三个完整三项块，
得 ， ， ，
于是 且 ，矛盾，故这种起点不存在.
若 ，其中两个完整三项块为第 块，第 块，
得 ， ，所以 .
若 ，其中两个完整三项块为第 块，第 块，
得 ， ，所以 .
综上 ，所以 ，即 的最大值为 .
四、解答题：共5小题，满分77分。解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写
出文字描述。
15．【难度】0.66
【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行、证明面面垂直、面面垂直
证线面垂直
【分析】（1）由平面与平面垂直的性质定理可得 平面 ，再由平面与平面垂直的判
定定理得平面 平面 ，最后由平面与平面垂直的性质定理得 平面 ；
（2）取棱 的中点 ，连接 ，由平面与平面平行的判定定理得平面 平面 ，
∥
进而证得 平面 .
∥
【证明】(1)
平面 平面 ，平面 平面 ，
∵
平面 ， 平面 .
∴
平面 ， 平面 平面 .
∵ ∴
四边形 是菱形， .
∵ ∴ 数学试题参考答案与试题解析 第 7 页（共13页）
○
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学科网（北京）股份有限公司又 平面 ，平面 平面 ，
平面 ．
∴(2)
取棱 的中点 ，连接 .
分别是棱 的中点，
∵
， .
∴ ∥ ∥
， .
∵ ∥ ∴ ∥
平面 ， 平面 ，
∵
平面 ；
∴ ∥
同理由 ，得 平面 .
∥ 平∥面 ，
∵平面 平面 ；
∴ ∥
又 平面 ， 平面 .
∴ ∥
16．【难度】0.66
【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用
【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式得 ，求出 ；
（2）由正弦定理和余弦定理得 ，开方可得答案
【解】（1）因为 ，由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
即 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ；
数学试题参考答案与试题解析 第 8 页（共13页）
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知， ，又 ，
则由正弦定理得 ．
由余弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，
根据正弦定理得， ，
因为 ，则 ，所以 ，
所以 ．
17． 【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、计数
原理与概率综合
【解】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签，
恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为 ，抽到2个均为“国产”的概率为 ，
因为 ， ，其中 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
解得 ；
（2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为 ，
因为随机变量 可以取 ，
其中 ，
，
数学试题参考答案与试题解析 第 9 页（共13页）
○
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学科网（北京）股份有限公司，
，
所以 的分布列用表可以表示如下：
0 1 2 3
所以 ．
另解：因为 ，所以 ．
（3）设事件 ：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一个是二等奖“合资”，
设事件 ：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两个一等奖．
则所求问题即为：事件 发生条件下 发生的概率，
由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“国产”，有3个标记“合资”，
则 ， ，
所以
所以已知其中至少有一个是二等奖“合资”，抽到的3个签中恰有两个一等奖的概率为 .
18． 【难度】0.76
【知识点】轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中向量点乘问
题
【分析】（1）曲线 上动点 满足 ，得出 ，求出几何量，即可得到
椭圆的方程；
数学试题参考答案与试题解析 第 10 页（共13页）
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学科网（北京）股份有限公司（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及 ，即可求得结论．
【解】（1）由题意知曲线 是椭圆，
设椭圆的焦半距为 ，则由题设，得 ， ，
所以 ，
故所求椭圆 的方程为 ；
（2）若以 为直径的圆经过原点，
设点 ， ， ， ，
将直线 的方程 代入 ，
并整理，得 ，
则 ， ．
因为以线段 为直径的圆恰好经过坐标原点 ，
所以 ，即 ．
又 ，
于是 ，解得 ，
，
当 时， ，符合条件，
所以以 为直径的圆经过原点， ．
19．【难度】0.23
数学试题参考答案与试题解析 第 11 页（共13页）
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式
恒成立问题
【分析】（1）构造函数并利用导数判断单调性，进而证明不等式即可.
（2）对原函数合理同构得到 ，再转化为 ，最后结合分离参数法求解
最值即可.
（3）建立方程关系，变量代换，构造函数求最值.
【解】（1）由题意得函数 的定义域为 ．
当 时， ，求导得 ，
令 ，求导得 ，令 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 ，又 ，
当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
，故 成立．
（2）由题意得 ， ，
令 ， ，
则 时， 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 ，而 等价于 ，
又因 ，则 在 上成立，令 ， ，
则 ，得到 在 上单调递增，
数学试题参考答案与试题解析 第 12 页（共13页）
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学科网（北京）股份有限公司则 ．所以 ，即 ．
（3） ，则 ，
令 ，由题意得 不符合题意； ，
当 时， 在 递减，在 递增，
得到 ， ， ， ， ，
而 有两个零点 ，
且 ，故 ，
若 ， ， ， 单调递减，
若 ， ， ， 单调递增，
若 ， ， ， 单调递减，
若 ， ， ， 单调递增，
此时 的极小值点为 ，且 ， ．
两边取对数得， ， ，
令 ，则 ，代入解得 ， ，
于是 ，
设 ，求导得 ，
令 ，得到 ，
令 ， ， 单调递增，令 ， ， 单调递减，
而 ， ， ，
所以 在 内存在唯一零点 ， ，
使得 在 上单调递减，在 上单调递增，故 在 处取得最小值．
数学试题参考答案与试题解析 第 13 页（共13页）
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
而 ，得到 ，故整数 的最大值为2．
数学试题参考答案与试题解析 第 14 页（共13页）
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472- 川 -2701
学科网（北京）股份有限公司
