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延庆区 2024-2025 学年第二学期统测试卷
高三数学
2025.02
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 （ ）
.
A B. 1 C. D. 4
3. 已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
4. 某圆锥高为 ，母线与底面所成的角为 ，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 设x， ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
6. 延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一
条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数 的部分
图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）A. 为奇函数 B. 的最大值为1
C. 在 上单调递增 D. 方程 有2个实数解
7. “ ”是“直线 与抛物线 只有一个公共点”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知圆 和两点 ， （ ）.若圆C上存点P，使得
，则m的最大值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 已知等比数列 的公比为q，前n项和为 .若 ，且 ， 则下列结论错误的
是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知正方体 的棱长为1，若在该正方体的棱上有点M，满足 ，则
点M的个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 的展开式中， 的系数为________.
12. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，则其离心率为________.13. 已知 是第四象限角且 ， ，则 的值为________.
14. 数列 中，若存在 ，使得“ 且 ”成立，（ ， ）则称 为 的
一个峰值.若 ，则 的峰值为________；若 ，且 不存在峰值，则实数
的取值范围为________.
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：
① ，使得 关于直线 对称；
② ，使得 存在最小值；
在
③ ， 上单调递减；
④ ，使得 有三个零点；
的
其中所有正确 结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形， 底面ABCD，且 ，E是PC
的中点，平面ABE与线段PD交于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ，求直线BE与平面BCF所成角的正弦值.
17. 在 中， ， .
（1）求b；（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 为锐角三角形，并求
的
面积.
条件①： ；条件②：AB边上中线的长为 ；条件③： .
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活
动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据
下表的统计结果，回答以下问题.
时间 周 周 周 周 周 周 周
地点 一 二 三 四 五 六 日
康庄镇刁千营村 √ √
康庄镇榆林堡村 √ √
康庄镇小丰营村 √ √
延庆镇付余屯村 √ √
延庆镇东小河屯
√ √ √ √ √ √ √
村
香营乡屈家窑村 √
旧县镇米粮屯村 √ √
旧县镇东羊坊村 √
永宁镇古城北街 √ √ √ √ √ √ √
（1）若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率；
（2）若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列
及期望 ；
（3）从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设 为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这
三天的大集中任选2个大集，设 为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量 和随机变量 的数学期望的大小.（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 的左，右顶点分别为A，B，且 ，离心率为 .
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线 与x轴交于点Q，点P是直线 上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，
直线AM与直线 交于点N，判断是否存在点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，说明理由.
20. 已知函数 .
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）若 ，求 的单调区间；
（3）若 ，且 ，证明： .
21. 数字 的任意一个排列记作 ，设 为所有这样的排列构成的集合.集合
任意整数 都有 ，集合
任意整数 都有
（1）用列举法表示集合 ；
（2）求集合 的元素个数；
（3）记集合 的元素个数为 ，证明：数列 是等比数列.
