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首都师大附中 2021-2022 学年第二学期三模练习
高三数学试题
2022-05
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则实数 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
2. 若全集 ， , ,则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如果实数 ， ， 满足： ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在圆 中，过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四边形
的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数 ，其中 .若 ，且相邻两个
零点之间的距离大于 ，则（ ）
A. B.C. D.
7. 已知等差数列 ，则“ ”是“ ”成立 （ ）
的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，在正方体 中， 为棱 上的动点， 为棱 的中点，则下列选项正确的
是（ ）
A. 直线 与直线 相交
B. 当 为棱 上的中点时，则点 在平面 的射影是点
C. 存在点 ，使得直线 与直线 所成角为
D. 三棱锥 的体积为定值
9. 已知函数 ，若实数 ，则 在区间 上的最大值
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有一个零点；
②若 ，则 有三个零点；③ ，使得 在 上是增函数；
④ 在 上是增函数.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11. 在 的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）
12. 若 ，请写出一组符合题意的 ___________.
13. 点 ， ， ， ， 为坐标原点，则 与 的夹角的取值范
围是______.
14. 已知双曲线 的焦点为 ，实轴长为2，则双曲线 的离心率是___________；若点
是双曲线 的渐近线上一点，且 ，则 的面积为___________.
15. 颗粒物过滤效率 是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为 ，其中
表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位： ）， 表示经口罩过滤后，单位体积气
体中含有的颗粒物数量（单位： ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过
滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点 的横坐标表示第i种口罩第j次测试时 的
值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时 的值 ．
该研究小组得到以下结论：的
①在第1种口罩 4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;
②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;
③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;
④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．
其中，所有正确结论的序号是__________．
三､解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步最.
16. 如图，直三棱柱 中， =1， 是棱 的中点， .
（1）证明：
（2）求二面角 的大小.
17. 已知 的内角 的对边分别为 ，且
（1）求 的值；
（2）给出以下三个条件：
条件①： ；条件② ；条件③ .这三个条件中仅有两个正确，请选
出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求 的值；
（ii）求 的角平分线 的长.18. “十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在 时， 时，
时， 时公布实时在园人数．下表记录了 月 日至 日的实时在园人数：
日 日 日 日 日 日 日
时 在园
人数
时在园人数
时在园人数
时在园人数
通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，
以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是 万人．
（Ⅰ）甲同学从 月 日至 日中随机选 天的下午 时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；
（Ⅱ）从 月 日至 日中任选两天，记这两天中这 个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为 ，求
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据 月 日至 日每天 时的在园人数，判断从哪天开始连续三天 时的在园人数的方差最大？
（只需写出结论）
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 ．
的
（1）求椭圆 方程；
（2）直线 与椭圆交于 、 两点，过 、 作直线 的垂线，垂足分别为 、
，点 为线段 的中点， 为椭圆 的左焦点．求证：四边形 为梯形．
.
20 已知函数 .（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
21. 设 且 ，集合 ，若对 的任意 元子集 ，都存在 ，满足：
，且 为偶数，则称 为理想集，并将 的最小值记为 .
（1）当 时，是否存在理想集？并说明理由.
（2）当 时，是否存在理想集？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.
（3）求 .
