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专题三 电场和磁场
第9 讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动
一．安培力
1．（2024•重庆模拟）如图，abcd 四边形闭合线框，a、c、d 三点分别在三个正交轴上，坐标值均等于
L，ab 边与x 轴平行，整个空间处于平行于+y 方向竖直向上的匀强磁场中，通入电流I 方向如图所示。则
关于四边形的四条边所受到的安培力的大小（ ）
A．ab 边与bc 边受到的安培力大小相等B．cd 边受到的安培为最大
C．cd 边与ad 边受到的安培力大小相等
D．ad 边受到的安培力最大
变式：2．（2024•江西模拟）为缩短固定翼飞行器着陆后的滑行距离，有人构想在机身和跑道上安装设
备，使飞行器在安培力作用下短距着陆。如图所示，在机身上安装长为10m、匝数为60 匝的矩形线圈，线
圈通以100A 的电流，跑道上有大小为0.2T 的磁场，通过传感器控制磁场区域随飞机移动，使矩形线圈始
终处于图示磁场中。忽略电磁感应的影响，线圈所受安培力的大小和方向是（ ）
A．24000N，向左
B．24000N，向右
C．12000N，向左
D．12000N，向右
变式：3．（2024•合肥一模）如图所示，高压直流输电线上使用“abcd”正方形间隔棒支撑输电线L1、
L2、L3、L4，其目的是固定各输电线间距，防止输电线相碰。图中四根输电线平行且恰好固定在正四棱柱
的四条棱上，abcd 的几何中心为O，O 到四根输电线的距离相等，且远小于输电线的长度。忽略地磁场的
影响，当四根输电线通有等大同向的电流时，下列说法正确的是（ ）
A．O 点磁感应强度方向沿bd 连线
B．四根输电线所受的安培力相同
C．L1所受的安培力方向垂直L1指向L3
D．L1和L3在O 点产生磁场的磁感应强度相同
二．左手定则——磁场对通电导线的作用
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4．（2024•岳麓区校级模拟）如图所示，倾斜轨道与水平面的夹角为θ，倾斜轨道上放置一光滑的导电金
属导轨abcd，导轨间距为L，ab 间接有一直流电源，cd 段垂直于导轨放置一金属棒，回路内的电流为I，
整个空间处在磁感应强度为B 的竖直向上的匀强磁场中，金属棒刚好处于静止状态，已知重力加速度为
g，则（ ）
A．a 端接电源的正极 B．金属棒受到的安培力大小为BIL
C．金属棒的质量为
D．金属棒的质量为
变式：（多选）5．（2024•河南模拟）直流电动机的工作原理可以简化为如图所示的情景。两根平行的光
滑金属导轨固定在同一绝缘水平面内。两轨道左端点间接有直流电源。一金属棒ab 放在两导轨的最右端，
且和两导轨垂直，金属棒ab 的长度刚好和两导轨的间距相同，金属棒ab 的两端分别用绝缘轻绳通过光滑
轻环竖直悬挂在水平固定横梁上的O1，O2点。开始时，开关S 是断开的，轻绳刚好拉直、且金属棒ab 和
两导轨接触良好。两导轨所在的平面处于方向竖直向下的匀强磁场中。当开关S 闭合后，金属棒ab 突然开
始摆动，通过水平横梁的正上方后再摆动下来，如此不断进行下去。根据其工作原理，下列说法正确的是
（ ）
A．当开关S 闭合时，导体棒ab 所受的安培力水平向右
B．当开关S 闭合后，导体棒ab 所受的安培力的冲量水平向左
C．当开关S 闭合后，导体棒ab 所受的安培力对导体棒ab 做正功
D．当开关S 闭合后，导体棒ab 的动量增量方向水平向左
三．安培力的计算
变式：6．（2024•道里区校级一模）如图甲所示，直导线P、Q 分别被两根等长且平行的绝缘轻绳悬挂于
水平轴上，且P 固定于水平轴正下方，两组绳长也相同，其截面图如图乙所示，导线P 通以垂直纸面向里
的电流；导线Q 电流方向未知，平衡时两导线位于同一水平面，且两组绝缘轻绳与竖直方向夹角均为θ。
已知Q 的质量为m，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
2
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A．导线Q 中电流方向垂直纸面向里
B．导线P、Q 间的安培力大小为
C．仅使导线P 中电流I 缓慢增大且θ 不超过90°，导线Q 对悬线的拉力大小逐渐增大
D．当导线P 中电流突然消失的瞬间，导线Q 受到两绳的拉力大小之和为mgsinθ
变式：7．（2024•广西模拟）半径为0.1m 的圆内有匀强磁场，磁感应强度B 大小为0.4T，现将一单匝正
方形线框放入磁场，线框平面与磁场方向垂直，其中一顶点与圆形磁场区域的圆心O 点重合，如图，当通
过线框的电流I 为1A 时，线框所受的安培力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式：（多选）8．（2024•雨花区校级一模）如图所示，水平桌面上固定放置一个绝缘光滑圆弧槽，长直
导线MN 平行于圆弧槽底边AA′放在圆弧槽上，导线中通有M→N 的电流I，整个空间区域存在竖直向上
的匀强磁场（图中未画出），MN 静止时，MO 连线与竖直方向的夹角θ 为30°，圆弧槽对导线MN 的支持
力为FN，PP′与圆心O 等高。下列说法正确的是（ ）
A．若仅将电流I 缓慢增大一点，则导线MN 沿圆弧槽向上运动
B．若仅将磁感应强度大小缓慢增大，导线MN 将有可能沿圆弧槽缓慢运动到PP′上方
C．若仅将磁场方向沿顺时针缓慢旋转45°过程中，则FN先减小后增大
D．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢旋转60°过程中，则MO 连线与竖直方向夹角的最大正切值为
四．磁电式电流表
9．（2023•海淀区校级三模）磁电式电流表是常用的电学实验器材，如图所示，电表内部由线圈、磁铁、
极靴、圆柱形软铁、螺旋弹簧等构成。下列说法正确的是（ ）
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A．极靴与圆柱形软铁之间为匀强磁场
B．当线圈中电流方向改变时，线圈受到的安培力方向不变
C．通电线圈通常绕在铝框上，主要因为铝的电阻率小，可以减小焦耳热的产生
D．在运输时，通常把正、负极接线柱用导线连在一起，是应用了电磁阻尼的原理
五．洛伦兹力的计算
（多选）10．（2023•秦皇岛开学）如图所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度为0.5T 的匀强磁场，
一质量为0.2kg 且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为0.10kg、带电量q＝
+0.2C 的滑块，滑块与绝缘木板之间动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，
现对木板施加方向水平向左，大小为0.6N 的恒力，g 取10m/s2，则（ ）
A．木板和滑块一直做加速度为2m/s2的匀加速运动
B．木板先做匀加速运动，然后做加速度增大的变加速运动，最后做匀加速运动
C．滑块从静止开始达到匀速运动所需时间大于5s
D．最终木板做加速度为3m/s2的匀加速直线运动，滑块做速度为10m/s 的匀速运动
变式：11．（2022•青羊区校级模拟）如图，x 轴正半轴与虚线所围区域内存在着磁感应强度大小为B 的匀
强磁场，方向垂直纸面向里。甲、乙两粒子分别从距x 轴h 与2h 的高度以速率v0平行于x 轴正向进入磁
场，并都从P 点离开磁场，OP＝
h。则甲、乙两粒子比荷的比值为（不计重力，sin37°＝0.6，cos37°＝
0.8）（ ）
A．32：41
B．56：41
C．64：41
D．41：28
六．带电粒子在匀强磁场中的运动
12．（2024•龙凤区校级开学）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q（q
＞0）的带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开
磁场时速度方向偏转60°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转90°。不计重力，则
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为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式：13．（2024•河南模拟）2023 年4 月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了
新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行
的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，R2＝2R1。假设氘核H 沿内环切线向左进入磁场，氚核H 沿内环
切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则H 和H 的速度之比
为（ ）
A．1：2
B．2：1
C．1：3
D．3：1
变式：14．（2024•贵州模拟）如图，半径为R 的圆形区域内有一方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN、
PQ 是相互垂直的两条直径。两质量相等且带等量异种电荷的粒子从M 点先后以相同速率v 射入磁场，其
中粒子甲沿MN 射入，从Q 点射出磁场，粒子乙沿纸面与MN 方向成30°角射入，两粒子同时射出磁场。
不计粒子重力及两粒子间的相互作用，则两粒子射入磁场的时间间隔为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式：15．（2024•沙坪坝区校级开学）如图，半径R＝2m 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P
为磁场边界上的一点，大量相同的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同的速率从P 点射入磁场，这些
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粒子射出磁场时的位置均位于PQ 圆弧上且Q 点为最远点。已知PQ 圆弧长等于磁场边界周长的四分之
一，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为（ ）
A．（3π﹣2）m2
B．（2π﹣2）m2
C．3πm2
D．2πm2
变式：16．（2024•长沙开学）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚
线所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束质子在纸面内从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速
率。不计重力和粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为+q。则在磁场中运动时间最长的粒
子，其运动速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式：17．（2024•西山区校级开学）如图所示为一圆形区域的匀强磁场，在O 点处有一放射源，沿半径
方向射出速率为v 的不同带电粒子，其中带电粒子1 从A 点飞出磁场，带电粒子2 从B 点飞出磁场，不考
虑带电粒子的重力，则（ ）
A．带电粒子1 的比荷与带电粒子2 的比荷的比为1：3
B．带电粒子1 的比荷与带电粒子2 的比荷的比为1：
C．带电粒子1 与带电粒子2 在磁场中运动时间的比为2：3
D．带电粒子1 与带电粒子2 在磁场中运动时间的比为2：1
变式：（多选）18．（2024•成都二模）如图，在竖直平面内有一半径为R、圆心为O 的圆形区域，在圆
形区域内可以添加匀强电场或匀强磁场。一电荷量为﹣e、质量为m 的电子从圆形区域边界上的A 点沿半
径AO 方向以速度v0射入圆形区域，要使电子从圆形区域边界上的B 点离开圆形区域，∠AOB＝120°，不
计电子重力。下列说法正确的是（ ）
A．可加磁感应强度大小为
、方向垂直于纸面向里的匀强磁场
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B．可加磁感应强度大小为
、方向垂直于纸面向外的匀强磁场
C．可加电场强度大小为
、方向竖直向上的匀强电场
D．可加电场强度大小为
、方向竖直向上的匀强电场
变式：19．（2024•南昌一模）如图所示，在PM 和QK 之间有大量相同带电粒子以同一速度沿水平方向射
入以O 为圆心的圆形匀强磁场区域，该圆形磁场方向垂直纸面向外，PM 与圆心O 在同一水平直线上，PM
和QK 间距离为0.5R，已知所有粒子均从O 点正下方的N 点射出圆形磁场区域，立即进入下方垂直于纸面
向里的匀强磁场，并都能打到水平挡板的下表面，挡板的左侧紧贴N 点，已知下方磁场的磁感应强度是上
方磁场的两倍，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则挡板下表面有粒子打到的区域长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式：20．（2024•武汉模拟）如图，虚线圆形区域内、外均分布着垂直于纸面的匀强磁场（图中未画
出），磁感应强度大小相同、方向相反，一带电粒子从圆上的A 点正对圆心入射。仅改变带电粒子的入射
速率，可分别得到图甲和图乙中实线所示的运动轨迹。则甲、乙两图中粒子的入射速率之比为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
变式：（多选）21．（2024•开福区校级模拟）如图所示，空间中有一竖直向下的匀强磁场，等边三角形
AOC 在水平面内，边长为L，D 为AC 中点。粒子a 以速度v0沿AO 方向从A 点射入磁场，恰好能经过C
点，粒子b 以沿OC 方向的速度从O 点射入磁场，恰好能经过D 点。已知两粒子的质量均为m、电荷量的
绝对值均为q，粒子的重力及粒子间的相互作用均可忽略，则下列说法中正确的是（ ）
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A．a、b 两粒子都带负电
B．粒子a、粒子b 的半径之比为3：2
C．粒子b 的速度为2v0
D．粒子a 从A 点出发到第一次经过C 点的时间与粒子b 从O 出发到第一次经过D 点的时间之比为2：1
变式：22．（2024•市中区校级模拟）一倾角为α 的绝缘光滑斜面处在与斜面平行的匀强磁场中，磁感应
强度大小为B。质量为m，电荷量为﹣q 的小球，以初速度v0从N 点沿NM 边水平射入磁场。已知斜面的
高度为h 且足够宽，小球始终未脱离斜面。则下列说法正确的是（ ）
A．小球在斜面上做变加速曲线运动 B．小球到达底边的时间为
C．小球到达底边的动能为mgh D．匀强磁场磁感应强度的取值范围
变式：23．（2023 秋•渝中区校级期末）如图所示，在空间中有一坐标系xOy，其第一象限内充满着两个
匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP 是它们的边界。区域Ⅰ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ
中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内；边界上的P 点坐标为（8L，6L）。一质量为m、电荷量为g 的
带正电粒子从P 点平行于y 轴负方向射入区域Ⅰ，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O。忽略粒子重
力，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则下列说法中正确的是（ ）
A．该粒子不一定沿y 轴负方向从O 点射出
B．该粒子射出时与y 轴正方向夹角可能是74°
C．该粒子在磁场中运动的最短时间
D．该粒子运动的可能速度为
（n＝1，2，3…）
变式：（多选）24．（2024•岳麓区校级模拟）如图为“双聚焦分析器”质谱仪的结构示意图，静电分析
器中与圆心O1等距离的各点场强大小相等、方向沿径向，电场强度大小可表示为
为考查点到球心
O1的距离，磁分析器中以O2为圆心、圆心角为90°的扇形区域内，分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，磁
感应强度大小为B，其左边界与静电分析器的右端面平行。在静电分析器前有一可以整体左右平移的粒子
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源和加速器。由粒子源发出的一电荷量为q 的正离子经加速电场加速后，从静电分析器正中间的M 点垂直
于电场方向，沿半径为R 的四分之一圆弧轨迹做匀速圆周运动，从N 点射出，接着由P 点垂直磁分析器的
左边界射入，最后垂直打在荧光屏的Q 点，已知Q 点与圆心O2的距离为d。则下列说法正确的是（ ）
A．加速电压为
B．离子的质量为
C．若仅将离子质量变为原来的
，其他条件不变，则它打在荧光屏的位置在Q 点左侧
D．若粒子源和加速器整体向右平移一小段距离，则离子在分析器中不能做匀速圆周运动
七．带电粒子在有界磁场中的运动
25．（2024•包头一模）如图，一直角三角形边界匀强磁场磁感应强度为B，其中ac＝2d，bc＝d，c 点有
一发射带正电粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向进入磁场，粒子比荷为k，不计粒子重力及粒子
之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．ab 边有粒子出射的区域长度为0.5d
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．若粒子从ac 边出射，入射速度v＞kBd D．若某粒子
，则粒子可以恰好从a 点飞出
变式：26．（2024•贵阳模拟）一磁约束装置的简化示意图如图所示。在内、外半径分别为R、
R 的环
状区域内有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的粒子从P 点
沿圆的半径方向射入磁场后恰好不会穿出磁场的外边界，且被约束在大圆以内的区域内做周期性运动，不
计粒子重力。则该粒子的运动周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式：（多选）27．（2024•成都模拟）如图所示，矩形磁场区域abcd 内存在垂直纸面向外的匀强磁场，
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O1为ab 边中点位置，O2为Oa 段中点位置；现同时从O1、O2处水平向右发射速度相同的M、N 两粒子，M
粒子恰好可以从b 点飞出磁场，M、N 两粒子的运动轨迹相交于P 点（如图中未标出），且在P 点处时
M、N 速度方向垂直。已知ad 边长为ab 边的两倍，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的
是（ ）
A．M、N 两粒子的比荷为3：4 B．M、N 两粒子的比荷为1：2
C．M、N 两粒子不会同时到达P 点 D．P 点与边界cd 和边界bc 的距离相等
变式：（多选）28．（2024•洛阳一模）如图甲所示，ABCD 是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度
按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁场的正方向，图中
，一质量为m、所带电荷量为q
的带正电粒子以速度v0在t＝0 时从A 点沿AB 方向垂直磁场射入，粒子重力不计。则下列说法中正确的是
（ ）
A．若粒子经时间
恰好垂直打在CD 上，则磁场的磁感应强度
B．若粒子经时间
恰好垂直打在CD 上，则粒子运动的半径大小
C．若要使粒子恰能沿DC 方向通过C 点，磁场变化的周期
（n＝1，2，3…）
D．若要使粒子恰能沿DC 方向通过C 点，则磁场的磁感应强度的大小
（n＝1，2，3…）
变式：29．（2024•浑南区校级模拟）如图所示，边长为4a 的正方形ABCD 的顶点A 处有质子源，沿AD
边射出速率为v 的质子。正方形内有以正方形中心O 为圆心、半径为a 的圆形区域，正方形的对角线AC
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与圆形区域的交点分别为M、N，在圆外、正方形内区域（含边界）分布着方向垂直纸面向里的匀强磁
场。已知质子比荷为k，不计重力。（1）若质子恰能从M 点进入圆形区域，求磁场的磁感应强度大小B；
（2）在圆形区域内加上匀强电场，方向与对角线BD 平行，若质子恰能从M 点进入电场、从N 点离开电
场回到磁场，求：①电场的电场强度E 的大小；②质子从A 点运动到C 点的时间。
变式：30．（2024•重庆模拟）地磁场对宇宙高能粒子有偏转的作用，从而保护了地球的生态环境。赤道
平面的地磁场简化为如图，O 为地球球心、R 为地球半径，地磁场只分布在半径为R 和2R 的两边界之间的
圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂
直MN 沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m。电荷量均为q。不计粒子的重力及相互作用力。则（
）
A．粒子无论速率多大均无法到达MN 右侧地面
B．若粒子速率为
，正对着O 处入射的粒子恰好可以到达地面
C．若粒子速率小于
，入射到磁场的粒子可到达地面
D．若粒子速率为
，入射到磁场的粒子恰能覆盖MN 右侧地面一半的区域
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变式：（多选）31．（2024•碑林区校级模拟）2023 年7 月5 日，中核集团正式签约承建全球首个全高温
超导核聚变实验装置，彰显了我国在此领域技术水平居国际前列。在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子
的运动，叫磁约束。如图所示为核聚变中磁约束装置的简化图，圆环状匀强磁场区域的内半径为R1，外半
径为R2，磁感应强度大小为B，方向垂直于环面，中空区域内带电粒子的质量为m，电荷量为q，具有各
个方向的速度。下列说法正确的是（ ）
A．要使所有带电粒子约束在半径为R2的区域内，则带电粒子的最大速度为
B．从内环边缘相切射出的带电粒子，仍在磁场区域运动的最大速度为
C．要使以大小为v 的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域，
D．要使以大小为v 的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域，
变式：32．（2024•石家庄模拟）微观粒子的运动轨迹可以通过磁场、电场进行调节。如图所示，宽度为L
的竖直条形区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，宽度为L 的竖直条形区域
Ⅱ内存在方向竖直向下的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q 的带电粒子，以初速度v0＝
从区域Ⅰ
左边界上O 点水平向右垂直射入磁场，从区域Ⅰ右边界上的P 点（图中未画出）进入区域Ⅱ，最终从区域
Ⅱ右边界水平向右射出。不计粒子的重力。
（1）求区域Ⅱ匀强电场强度E 的大小；
（2）若仅调整区域Ⅱ的宽度，使粒子从与P 点等高的Q 点（图中未画出）离开区域Ⅱ，求粒子在区域
Ⅰ、Ⅱ中运动的总时间；
（3）若在区域Ⅱ再加一个垂直纸面向里、磁感应强度大小也为B 的匀强磁场，调整区域Ⅱ的宽度，使粒
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子仍能从区域Ⅱ右边界水平射出，求该情况下区域Ⅱ的宽度。
变式：33．（2024•包头一模）如图所示，在xOy 平面内，以坐标原点O 为圆心、半径为R 的圆形区域内
存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，直线x＝﹣R 的左侧区域存在平行y 轴向下的
匀强电场。质量均为m、电荷量均为+q 的甲、乙粒子分别从圆上的N（
R，﹣
R）、M（0，﹣R）两点
垂直x 轴射入匀强磁场，均从圆上的P 点位置离开磁场，甲粒子经过P 点时的速度方向平行于x 轴向左，
电场强度的大小为E＝
，sin53°＝
，cos53°＝
，不计粒子重力，求：
（1）甲、乙粒子射入磁场时的速率之比；
（2）甲粒子从射入磁场到第二次经过x 轴所用的时间；
（3）乙粒子轨迹上的最高点到x 轴的距离。
变式：34．（2024•厦门二模）如图所示，直角坐标系xOy 平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里
的匀强磁场B 和沿y 轴正方向的匀强电场E，E、B 大小均未知。质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的粒子
从x 轴负半轴M 点与x 轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0从点P（0，d）垂直y 轴进入磁
场，最后从N 点与x 轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。
（1）求粒子进入电场时的速度大小；
（2）求磁感应强度B 的大小；
（3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f＝kv（k 为已知常量），粒子恰好从Q 点（图中未标
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出）垂直x 轴射出磁场，求Q 点的坐标；
（4）在第（3）问的情况下，求粒子从P 点运动到Q 点的轨迹长度。
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