文档文本内容
机械能守恒定律与功能关系的应用
考点一：机械能守恒定律
考向1：机械能
【例1】如图甲，有一物体由O 点以初速度v0沿水平面向右滑行，物体始终受到一个水平
向左的恒力F，已知物体与水平面间的动摩擦因数
，重力加速度g 取
，其动
能
随离开O 点的距离s 的变化图线如图乙所示，则以下说法正确的是（ ）
A．物体的质量
B．物体受到水平向左的恒力
C．物体与水平面间的摩擦力大小
D．由于摩擦力做负功，物体的机械能不断减小
【答案】B
【详解】ABC．设向右为正方向，如乙图可知，位移
初动能
末动能为
。物体受向左的恒力
和向左的滑动摩擦力
，合外力大小为
，根据动
能定理
代入
、
得
之后，物块向左运动，设向左为正方向，如乙图可知，位移
末动能为
初动能0，物体受向左的恒力
和向右的滑动摩擦力
，合外力大小为
，根据动能
定理
代入
、
得
联立方程解得
，
，
，AC 错误，B 正确；
D．向左运动时，
做正功，机械能增加，虽然摩擦力做负功，但物体的机械能没有不断
减小，D 错误；
故选B。
【变式1-1】如图是跳伞者在下降过程中的速度v 随时间t 变化的图像。下列说法正确的是
（ ）
A．
时刻前，跳伞者只受重力作用
B．在
时间内跳伞者受平衡力作用
C．
时刻后跳伞者匀速降落，其机械能保持不变
D．整个跳伞过程中，跳伞者的重力基本不变
【答案】D
【详解】A．由图可知，
时刻前，跳伞者做加速度逐渐减小的加速运动，跳伞者受到重力
和空气阻力的作用，故A 错误；
B．由图可知，在
时间内，跳伞者的速度减小，则其受非平衡力作用，故B 错误；
C．
时刻后跳伞者匀速降落，质量不变，速度不变，动能不变，高度降低，重力势能减
小，则其机械能减小，故C 错误；
D．整个跳伞过程中，跳伞者的质量不变，则其重力基本不变，故D 正确。
故选D。
【变式1-2】无人机快递是一种以无人机为载体的新型快递方式。如图，已知质量为8kg 的
物资在无人机拉力作用下先竖直向上加速10m，再匀速上升35m，然后减速直到悬停，再
水平方向匀加速移动20m 后，保持水平匀速运动。若空气阻力不能忽略，重力加速度
。则下列说法正确的是（ ）
A．竖直向上加速过程中，物资处于失重状态
B．整个过程，物资机械能增加了3600J
C．物资在匀速上升过程中机械能增加了2800J
D．无人机水平移动过程中空气对它的作用力、重力均不做功
【答案】C
【详解】A．物资竖直向上加速过程中，具有向上的加速度，受到的拉力大于重力，所以
物资处于超重状态，故A 错误；
B．由分析可知，物资在竖直方向加速和匀速过程的总位移为
增加的重力势能为
由于物资还要继续减速上升直到悬停，故上升的总高度大于45m，所以增加的总的重力势
能也大于
。另外在水平方向运动时，动能也增加，所以整个过程物资机械能增加量
大于
。故B 错误；
C．物资匀速上升了35m，此过程机械能的增加值为
，故C 正确；
D．无人机水平加速移动过程中，重力、空气对它的作用力的竖直分力方向与运动方向垂
直，不做功；但空气对它的作用力的水平分力与运动方向相同，所以空气对它的作用力做
正功，故D 错误。
故选C。
考向2：机械能守恒定律的判断
【例2】如图所示，一根轻杆长为
，中点A 和右端点B 各固定一个小球，
，左
端O 为光滑水平转轴．开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动至竖直，在此过程中
以下说法正确的是（ ）
A．A、B 两球的机械能都守恒
B．A、B 两球的机械能不守恒，但它们组成的系统机械能守恒
C．这一过程O、A 间轻杆对
球做正功
D．这一过程A、B 间轻杆对
球做正功
【答案】B
【详解】AB．两小球及轻杆组成的系统的机械能守恒，设摆到竖直时角速度为
，
，则有
解得
即A 的动能为
B 的动能为
可知A 球的机械能减少，B 球的机械能增加，故A 错误，B 正确；
CD．由于A、B 两球组成的系统机械能守恒，则下摆的过程O、A 间轻杆的弹力沿杆方向
不做功；由于A 球的机械能减少，则A、B 之间轻杆对A 球做负功，故CD 错误。
故选B。
【变式2-1】如图所示，蹦极是一种极限体育项目，运动员从高处跳下，弹性绳被拉伸前做
自由落体运动，弹性绳被拉伸后在弹性绳的缓冲作用下，运动员下落一定的高度后速度减
为零。从弹性绳开始张紧到运动员下落到最低点的过程中，忽略空气阻力，下列说法正确
的是（ ）
A．运动员的机械能守恒
B．运动员的加速度一直增大
C．运动员一直处于失重状态
D．运动员先处于失重状态，后处于超重状态
【答案】D
【详解】A．从弹性绳开始张紧到运动员下落到最低点的过程中，弹性绳一直对运动员做
负功，则运动员的机械能减小，A 错误；
BCD．开始阶段，重力大于弹力，加速度向下，运动员失重，随弹力增加，则加速度减小；
当弹力等于重力时加速度为零，速度最大；以后弹力大于重力，加速度向上，运动员超重，
随弹力增加，加速度增加，即该过程中运动员的加速度先减小后增大，先失重后超重，BC
错误，D 正确。
故选D。
【变式2-2】竖直向上抛出一个小球，忽略空气阻力，小球到最高点后又落回的过程中，小
球距抛出位置的高度h 和运动时间t 的关系图像如图所示。下列关于小球的判断正确的是
（ ）
A．t2时小球的动能最大
B．t2和t3时小球的机械能相等
C．t1时小球的机械能大于t3时小球的机械能
D．小球从t1到t2这段时间内，重力势能转化为动能
【答案】B
【详解】A．小球做竖直上抛运动，由图可知t2时小球到达最高点，此时小球速度为0，动
能为0，动能最小。故A 错误；
BC．小球做竖直上抛运动，忽略空气阻力，全过程机械能守恒，因此在每时每刻机械能都
不变。故B 正确，C 错误；
D．由图可知小球从t1到t2这段时间内，高度变大，根据
可知重力势能变大，由
于全过程机械能守恒，因此动能减小，所以小球从t1到t2这段时间内，动能转化为重力势
能。故D 错误。
故选B。
考向3：铁链下滑问题
【例3】如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L 的光
滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两
侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当
链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】链条从静止至左侧斜面上的链条完全滑到右端的过程中，重力做功为
然后链条下端到达斜劈底端这一过程重力做功为
设链条运动至底端的速度为v，有
解得
故选B。
【变式3-1】如图所示，一根质量为M、长为L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另
一半悬在桌边，链条右端拴有质量为m 的小球。已知桌面足够高，约束链条的挡板光滑。
静止释放至整根链条刚离开桌面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．链条和小球的重力势能共减少
B．链条和小球的重力势能共减少
C．链条的重力势能转化为动能，链条的机械能守恒
D．若仅去掉小球，整根链条刚离开桌面的速度会变大
【答案】A
【详解】AB．静止释放至整根链条刚离开桌面的过程中，小球下落高度为
；链条部分等
效看成水平部分变为整根竖直时的下半部分，则链条和小球的重力势能共减少
，故A 正确，B 错误；
C．链条与小球组成的系统满足机械能守恒，对于链条，由于小球对链条的拉力对链条做
正功，所以链条的机械能不守恒，故C 错误；
D．去掉小球前，对于链条，由链条重力做正功和小球对链条的拉力做正功，根据动能定
理可得
若仅去掉小球，整根链条刚离开桌面时，只有链条重力做功，根据动能定理可得
由于链条重力做功不变，所以仅去掉小球，整根链条刚离开桌面的速度会变小，故D 错误。
故选A。
【变式3-2】如图所示，质量分布均匀的铁链，静止放在半径R＝
m 的光滑半球体上方。
给铁链一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，当铁链的端点B 滑至C 处时其速度大小为3
m/s。已知∠AOB＝60°，以OC 所在平面为参考平面，取g＝10m/s2。则下列说法中正
确的是（ ）
A．铁链下滑过程中靠近B 端的一小段铁链机械能守恒
B．铁链在初始位置时其重心高度
m
C．铁链的端点A 滑至C 点时其重心下降2.8m
D．铁链的端点A 滑至C 处时速度大小为6
m/s
【答案】C
【详解】A．铁链下滑过程中靠近B 端的一小段铁链受到上边拉链的拉力，该拉力做负功，
故机械能不守恒，故A 错误；
B．根据几何关系可知，铁链长度为
L＝
＝2m
铁链全部贴在球体上时，质量分布均匀且形状规则，则其重心在几何中心且重心在∠AOB
的角平分线上，故铁链在初始位置时其重心与圆心连线长度等于端点B 滑至C 处时其重心
与圆心连线长度，均设为h0，根据机械能守恒定律有
mgh0－mgh0sin30°＝
代入数据解得
h0＝1.8m
故B 错误；
C．铁链的端点A 滑至C 点时，其重心在参考平面下方
处，则铁链的端点A 滑至C 点时
其重心下降
Δh＝h0＋
＝2.8m
故C 正确；
D．铁链的端点A 滑至C 处过程，根据机械能守恒定律有
解得
故D 错误。
故选C。
考向4：杆连接的机械能守恒应用
【例4】一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m 和2m 的小球A 和B。支架的两直
角边长度分别为2l 和，支架可绕固定轴
在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时
OA 边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为
，则（ ）
A．A 球转动到最低点时，A 球的速度最大
B．
球的最大速度为
C．A 球第一次转动到OA 边与竖直方向的夹角为
时，A 球的速度最大D．A 球的
最大速度为
【答案】D
【详解】根据题意知无论何时小球A 和B 的角速度均相同，A 和B 线速度大小之比
由系统机械能守恒定律可知，A 球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能
最小。
当OA 与竖直方向的夹角为θ 时，由机械能守恒定律得
解得
由数学知识可得
时，
最大为
，此时A 球有最大速度
故选D。
【点睛】
【变式4-1】如图所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量为m 的球，杆可绕
轴O 无摩擦转动，重力加速度大小为g。将杆从水平位置无初速度释放，当杆转到竖直位
置时，杆对固定在A 点的球做的功是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对系统用机械能守恒定律，可得
因为两球在各个时刻对应的角速度相同，根据
可知
对固定在A 点的球，由动能定理可得
解得
故选A。
【变式4-2】如图所示，竖直平面内固定两根互相垂直且足够长的光滑细杆，两杆间的距离
很小，可忽略不计。可视为质点的两个小球a、b 的质量相等，a 球套在竖直杆上，b 球套
在水平杆上，两小球能无阻碍通过两杆叠加处，a、b 球通过铰链用长度为L=1.0m 的刚性
轻杆连接，轻杆与水平杆的夹角为θ=53°。将a 球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，
已知重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。在a 球下落到两杆交叉点O 的运动过
程中，下列说法正确的是（ ）
A．b 球一直在加速
B．轻杆对b 球一直做正功
C．a 球下落过程中，a 球机械能一直减小
D．a 球到两杆交叉点O 时的速度大小为4m/s
【答案】D
【详解】AB．当夹角为零时，b 球速度为零，a 球速度最大，此过程中b 球先加速，后减
速，故轻杆先对b 球做正功，后做负功，故AB 错误；
C．将a 球从图示位置由静止释放，到a 球下落到两杆交叉点O 的运动过程中，系统的机械
能守恒。初、末状态时b 球的速度等于0，机械能等于0，b 球的机械能先增加后减小，所
以a 球的机械能先减小后增大；a 球下落到最低点时，速度等0，机械能等于0，所以a 球
从O 点到最低点的过程中，机械能减小，故C 错误；
D．当夹角为零时，由机械能守恒定律
解得v=4m/s，故D 正确。
故选D。
考向5：绳连接机械能守恒应用
【例5】如图所示，质量均为m 的物块A 和B 用不可伸长的轻绳连接，A 放在倾角为
的
固定光滑斜面上，而B 能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和轻质滑轮中心间的距离为L，物块
B 从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，不计滑轮的摩擦，重力加速度为
g。在物块B 下落到绳与水平方向的夹角为
的过程中，下列说法正确的是（ ）。
A．物块B 的重力势能的减少量等于物块A 的重力势能的增加量
B．物块B 的末速度为
C．物块A 的速度大小等于物块B 的速度大小
D．物块A 的速度大小
与物块B 的速度大小
的关系为：
【答案】B
【详解】A．在物块B 下落过程中，A、B 组成的系统机械能守恒，所以物块B 的重力势能
的减少量等于物块A 的重力势能的增加量与物块A、B 动能之和，故A 错误；
CD．在物块B 下落到绳与水平方向的夹角为
时，设此时物块A 的速度大小为
，物块B
的速度大小为
，将物块B 的速度分解为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，则有
，故CD 错误；
B．在物块B 下落到绳与水平方向的夹角为
时，物块B 下降的高度为
物块A 沿斜面上升的距离为
根据机械能守恒定律有
联立以上表达式可得
，故B 正确。
故选B。
【变式5-1】如图所示，足够长的轻绳绕过光滑轻质小定滑轮，一端与质量为
的小球相
连，另一端与套在竖直固定光滑杆上的小物块相连。竖直杆上的
点与定滑轮在同一水平
线上，距离为
。当细线与竖直杆的夹角为
时，小物块与小球恰好处于静止状态，
。现将小物块从
点由静止释放，则小物块下降的最大高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设小物块的质量为
，分析小物块的受力，根据平衡条件
有
分析小球受力
有
得
当小物块下降到最低点时，两物体的速度大小均为零
设小物块下降的最大高度为
,以小物块、轻绳和小球为研究对象，由机械能守恒定律
有
其中
解得
故选D。
【变式5-2】如图所示，一轻绳绕过光滑的两个轻质小定滑轮
、
，一端和质量为
的
小球连接，另一端与套在光滑固定直杆上质量为
的小物块连接。直杆与两定滑轮在同一
竖直面内，与水平面的夹角
，直杆上
点与两定滑轮均在同一高度，
是直杆上的
一点，且
。直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将物块从
点由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．小物块刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．物块下滑至绳与杆垂直时，物块的速度最大
C．物块下滑至绳与杆垂直时，物块的机械能最大
D．物块下滑至
点时，小球重力的瞬时功率为零
【答案】C
【详解】A．小物块刚释放时，小物块将加速下滑，小球也向下，处于失重状态，则轻绳
对小球的拉力小于球的重力2mg，A 错误；
B．物块下滑至绳与杆垂直时，物块的加速度为
加速度不为0，速度不是最大，故B 错误；
C．物块下滑至绳与杆垂直前，物块受绳子拉力一直做正功，则物块的机械能一直增大，
物块下滑至绳与杆垂直后，拉力做负功，物块机械能减小，则物块下滑至绳与杆垂直时，
物块的机械能最大，故C 正确；
D．因为
，物块下滑至D 点时，物块的重力势能转化为系统动能，小球的速度不
为0，则重力的瞬时功率不为零，故D 错误。
故选C。
考向6：弹簧连接机械能守恒应用
【例6】如图所示，在倾角为
的斜面上，轻质弹簧一端连接固定在斜面底端的挡板C 上，
另一端连接滑块A。一轻细绳通过斜面顶端的定滑轮质量忽略不计，一端系在滑块A 上，
另一端与小球B 相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住小球B，此时弹簧长度为
原长，滑块A 刚好要沿斜面向上运动。现在由静止释放小球B，不计轻绳与滑轮间的摩擦。
已知
，滑块A 与斜面间的动摩擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，取
，弹簧的劲度系数
。若弹簧原长时弹性势能为0，弹簧伸长
x 时的弹性势能为
。（
，
）下列说法正确的是（ ）
A．释放小球B 前，小球B 对手的压力为12N
B．滑块A 向上滑行
时速度最大
C．当滑块A 向上滑行到速度最大时，弹簧对滑块A 做功
D．经过足够长的时间，滑块A、小球B 都处于静止状态，且弹簧长度为原长
【答案】C
【详解】A．释放B 球前用手托住球B，此时弹簧刚好处于原长，设绳子拉力为T，滑块A
刚要沿斜面向上运动可知
对B 受力分析，设手的托力为F，则
根据牛顿第三定律可知，手受到B 球的压力为10N，故A 错误
B．松手后，A 做加速度减小的加速运动，当A 受到的合力为零时，速度最大，当A 加速
度为零时，B 的加速度也为零，对A 受力分析得
又
，
，解得
，故B 错误
C．松手后到滑块A 最大速度时，弹簧对滑块A 做功为
，故C 正确
D．当滑块A 和小球B 最终都静止时，由平衡条件可知，弹簧应处于伸长状态， 故D 错误。
故选C。
【变式6-1】如图所示，一劲度系数为
的轻弹簧下端固定于倾角为
的光
滑斜面底端，上端连接物块Q。一轻绳跨过定滑轮
，一端与物块Q 连接，另一端与套在
光滑竖直杆的物块P 连接，定滑轮到竖直杆的距离为
。初始时在外力作用下，物
块P 在A 点静止不动，
段轻绳与斜面平行，绳子张力大小为
。已知物块P 的质量
为
，物块Q 的质量为
，不计滑轮大小及摩擦作用，取
，
，
。现将物块P 由静止释放，则下列说法正确的是（ ）
A．物块P 从A 到B 运动过程中机械能守恒
B．物块P 位于A 时，弹簧的伸长量
C．物块P 上升
至与滑轮
等高的B 点时的速度大小为
D．物块P 上升
至与滑轮
等高的B 点过程，轻绳拉力对其所做的功为8J
【答案】D
【详解】A．物块P 从A 到B 运动过程，存在绳子拉力对其做功，所以物块P 的机械能不
守恒，故A 错误；
B．物体P 位于A 点，假设弹簧伸长量为
，根据受力平衡可得
解得
，故B 错误；
CD．物块P 上升
至与滑轮
等高的B 点时，此时
垂直竖直杆，此时物块
速
度为0，
下降距离为
即弹簧的压缩量为
可知初、末状态弹簧的弹性势能相等；对物体P、Q 及弹簧，从A 到B 根据能量守恒有
解得
对物块P 根据动能定理可得
代入数据解得轻绳拉力对其所做的功为
，故C 错误，D 正确。
故选D。
【变式6-2】为了研究蹦极运动过程，做以下简化：将游客视为质点，他的运动始终沿竖直
方向。弹性绳的一端固定在O 点，另一端和游客相连。游客从O 点自由下落，至B 点弹性
绳自然伸直，经过合力为零的C 点到达最低点D，然后弹起，整个过程中弹性绳始终在弹
性限度内。游客从
的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．从B 到C 过程中，游客速度先增加后减小
B．从B 到D 过程中，弹性绳的弹性势能先增大后减小
C．从O 到C 过程中，重力势能减少，动能先增加后减小
D．从B 到D 过程中，游客的重力势能和弹性绳的弹性势能之和先减小后增大
【答案】D
【详解】A．从B 到C 过程中，重力大于弹力，加速度向下，则游客速度增加，A 错误；
B．从B 到D 过程中，弹性绳的长度一直被拉长，可知弹性势能一直增加，B 错误；
C．从O 到C 过程中，人的高度一直降低，则重力势能减少，速度一直增加，则动能一直
增加，C 错误；
D．从B 到D 过程中，游客在C 点时速度最大，从C 到D，弹力大于重力，加速度向上，
则速度减小，则该过程游客的动能先增加后减小；因为游客只有重力和弹力做功，则游客
的动能、重力势能和弹性绳的弹性势能之和守恒，可知该过程中游客的重力势能和弹性绳
的弹性势能之和先减小后增大，D 正确。
故选D。
考点二：功能关系
考向1：传送带问题中的能量关系
【例7】如图甲所示，某物流车间用电动机传动的匀速运动的传送带运送包裹。一包裹被
轻放在传送带底端，在整个运动过程中，包裹的机械能E 随位移x 变化的图像如图乙所示。
则（ ）
A．包裹在整个过程中受到的摩擦力恒定
B．包裹在整个过程中动能一直增加
C．包裹与传送带相对滑动产生的内能等于
D．电机因传送包裹多消耗的能量等于
【答案】C
【详解】AB．由题可知，包裹与传送带间动摩擦因数
，包裹在整个过程中先做匀
加速后做匀速运动，共速前，包裹受到的摩擦力大小为
方向沿传送带向上，共速后，摩擦力的大小为
方向沿传送带向上，包裹的动能先增大后不变，故AB 错误；
C．设传送带速度v，包裹受到滑动摩擦力f，从滑上传送带到共速时间t，根据功能关系可
知，包裹与传送带相对滑动产生的内能
包裹的机械能E 变化量
因此包裹与传送带相对滑动产生的内能
，故C 正确；
D．电机因传送包裹多消耗的能量
等于包裹机械能增加量和摩擦生热之和，即
，故D 错误。
故选C。
【变式7-1】如图甲所示为宜宾市高铁站的行李安检机，其简化原理图如图乙所示，水平传
送带长为3m，传送带始终以恒定速率0.30m/s 运行。一质量为2.0kg 的小包（可视为质
点）无初速度地轻放上传送带左端，最终到达传送带右端。若小包与该传送带间的动摩擦
因数为0.60，g 取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小包加速运动过程中，摩擦力对小包做负功
B．小包在传送带上运动过程中，摩擦力对小包做的功为36J
C．小包在传送带上运动过程中，因摩擦而产生的热量0.18J
D．由于传送该小包，电动机多消耗的电能为0.18J
【答案】D
【详解】A．摩擦力使小包加速运动，摩擦力与小包位移同向，对小包做正功，故A 错误；
B．在水平传送带上，小包受滑动摩擦力作用，而不受静摩擦力作用，由牛顿第二定律有
解得
则小包若能加速到与传送带相同速度v0，则其加速位移为
则其能加速到与传送带相同速度，则摩擦力对小包做功为
，故B 错误；
C．小包加速运动时间为
则此过程传送带位移为
二者因摩擦而产生的热量为
解得Q=0.09J，故C 错误；
D．由功能关系，可知由于传送该小包，电动机需多消耗的电能为
解得E 电=0.18J，故D 正确。
故选D。
【变式7-2】如图所示，一电动倾斜传送带上端与一光滑水平面平滑相连，将物块A 轻放
在传送带底端，已知传送带顺时针方向匀速运行，与水平面夹角为
，传送带长
，
速度
，A 与传送带间的动摩擦因数
（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），A
的质量为
，重力加速度
取
。则（ ）
A．物块A 在传送带上运行的过程中，摩擦力对A 先做正功后不做功
B．物块A 在传送带上运行的时间为
C．把A 从底端运送到顶端的过程中，摩擦力对物块A 做的功为75J
D．把A 从底端运送到顶端的过程中，电动机多消耗的电能为
【答案】D
【详解】B．刚放在传送带上时先加速上滑，根据
解得
加速到与传送带速度相等所用时间
加速过程的位移
之后物块A 以速度匀速运动，匀速运动的时间
所以物块A 在传送带上运行的总时间
，故B 错误；
A．A 物块先受到滑动摩擦力后受到静摩擦力，都沿斜面向上，对物块一直做正功，故 A
错误；
CD．电动机多消耗的电能等于物块A 增加的机械能与因摩擦产生的热量之和。物块A 增
加的机械能
故摩擦力对物块A 做功为85J。在传送带上加速阶段，传送带位移
二者的相对位移
因摩擦产生的热量
所以电动机多消耗的电能
，故 C 错误， D 正确。
故选D。
考向2：板块问题中的能量关系
【例8】如图甲所示，质量为M 的长木板A 放在光滑的水平面上，质量为
的物体B
（可看成质点）以水平速度
滑上原来静止的长木板A 的上表面。由于A、B 间存
在摩擦，之后A、B 速度随时间变化情况如图乙所示。下列说法正确的是（g 取
）
（ ）
A．A、B 间的动摩擦因数为0.2
B．木板A 的质量
C．木板A 的最小长度为2m
D．系统损失的机械能为2J
【答案】D
【详解】A．根据
图像可知，物体A、B 的加速度大小为
对物体A，根据牛顿第二定律可得
解得A、B 间的动摩擦因数
，故A 错误；
B．对物体B，根据牛顿第二定律可得
解得木板A 的质量
，故B 错误；
C．
时间内，二者的相对位移为
解得
，故C 错误；
D．根据能量关系可得系统损失的机械能
代入数据解得
，故D 正确。
故选D。
【变式8-1】一块质量为M、长为l 的长木板A 静止放在光滑的水平面上，质量为m 的物体
B（视为质点）以初速度
从左端滑上长木板A 的上表面并从右端滑下。该过程中，物体
B 的动能减少量大小为
，长木板A 的动能增加量为
，A、B 间摩擦产生的热量为
Q，关于
，
，Q 的值，下列情况可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】AC．根据木板A 和物体B 组成的系统能量守恒
故AC 错误；
BD．画出物体B 和长木板A 的速度一时间图线，分别如图中1 和2 所示
图中1 和2 之间的梯形面积表示板长，1 与轴所围的面积表示物体B 的位移，2 与轴所
围的面积表示长木板A 的位移
，由图可知
根据功能关系
联立解得
故B 正确，D 错误。
故选B。
【变式8-2】如图甲所示，一足够长的木板静置于水平地面上，右端放置一可视为质点的小
物块。在
时刻对木板施加一水平向右的恒定拉力
，作用
后撤去F，整个过
程木板运动的
图像如图乙所示。已知小物块的质量
，木板的质量M，物块与
木板间及木板与地面间动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
，物块始终未从木板掉落。下列说法正确的是（ ）
A．木板的质量
B．物块与木板及木板与地面间的动摩擦因数大小为0.1
C．整个过程系统因摩擦而产生的热量为
D．整个过程木板运动的位移大小为
【答案】D
【详解】AB．由图像乙可知，在
时木板的加速度发生了变化，说明此时小物块与木
板的速度相等，小物块对木板的摩擦力方向发生了变化，在1-1.5s 时间内小物块相对木板
滑动，根据图象，可得此时木板的加速度为
对木板，由牛顿第二定律
根据图象，在0-1s 时间内木板的加速度为
对木板，由牛顿第二定律
联立解得
，
故AB 错误；
CD．在0-1.5s 时间内小物块始终相对木板滑动，由牛顿第二定律，则小物块的加速度
小物块的位移为
木板的位移为v−t 图像包围的面积，则有
时，小物块与木板相对静止，则整个过程小
物块相对木板运动的位移大小为
整个过程小物块相对木板运动时产生的热量为
木板与小物块相对静止后，一起运动的位移
木板运动的总位移
木板与地面之间的摩擦产生的热量为
因此整个过程系统因摩擦而产生的热量为
故C 错误，D 正确。
故选D。
高考真题练
1．野外高空作业时，使用无人机给工人运送零件。如图，某次运送过程中的一段时间内，
无人机向左水平飞行，零件用轻绳悬挂于无人机下方，并相对于无人机静止，轻绳与竖直
方向成一定角度。忽略零件所受空气阻力，则在该段时间内（ ）
A．无人机做匀速运动
B．零件所受合外力为零
C．零件的惯性逐渐变大
D．零件的重力势能保持不变
【答案】D
【详解】D．无人机沿水平方向飞行，零件相对于无人机静止，也沿水平方向飞行做直线
运动，故零件的高度不变，可知零件的重力势能保持不变，D 正确；
AB．对零件受力分析，受重力和绳子的拉力，由于零件沿水平方向做直线运动，可知合外
力沿水平方向，提供水平方向的加速度。零件水平向左做匀加速直线运动，AB 错误；
C．惯性的大小只与质量有关，零件的质量不变，故零件的惯性不变，C 错误。
故选D。
2．如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前
助跑速度为10m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力
加速度取10m/s2）（ ）
A．4m
B．5m
C．6m
D．7m
【答案】B
【详解】在理论上：当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为零势能
面，根据机械能守恒定律有
可得其理论的最大高度
故选B。
3．如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距
。一根长为
的
轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量
的小球，小球与水平地面接触但无压力。
时，小球以水平向右的初速度
开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着
绳子绕过N、M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平
抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g 取
。
(1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小；
(2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离；
(3)若在
时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求初
速度的最小值。
【答案】(1)
，
(2)4m
(3)
【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M 正下方距离为L 的位置时，根据机
械能守恒定律
在该位置时根据牛顿第二定律
解得
，
（2）小球做平抛运动时
，
解得x=4m
（3）若小球经过N 点正上方绳子恰不松弛，则满足
从最低点到该位置由动能定理
解得
4．如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q 分别为轨道的两个
端点且位于同一高度，P 处轨道的切线沿水平方向，Q 处轨道的切线沿竖直方向。小物块
a、b 用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b 被锁定。一质量
的小球自Q 点正上方
处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P 点水平抛出，恰好击中a，与a 粘在
一起且不弹起。当弹簧拉力达到
时，b 解除锁定开始运动。已知a 的质量
，
b 的质量
，方形物体的质量
，重力加速度大小
，弹簧的劲度
系数
，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式
（x 为弹簧的
形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P 点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小
、
；
(2)弹簧弹性势能最大时，b 的速度大小
及弹性势能的最大值
。
【答案】(1)
，水平向左，
，水平向右
(2)
，水平向左，
【详解】（1）根据题意可知，小球从开始下落到
处过程中，水平方向上动量守恒，则有
由能量守恒定律有
联立解得
，
即小球速度为
，方向水平向左，大物块速度为
，方向水平向右。
（2）由于小球落在物块a 正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块
水平方向上动量守恒，则有
解得
设当弹簧形变量为
时物块
的固定解除，此时小球和物块
的速度为
，根据胡克定律
系统机械能守恒
联立解得
，
固定解除之后，小球、物块
和物块
组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性
势能最大，由动量守恒定律有
解得
，方向水平向左。
由能量守恒定律可得，最大弹性势能为
5．足够长的传送带固定在竖直平面内，半径
，圆心角
的圆弧轨道与平台
平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件A 从圆弧顶点无初速度下
滑，在平台与B 碰成一整体，B 随后滑上传送带，已知
，
，A、B 可视为
质点，AB 与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中，因摩擦生热
，
忽略轨道及平台的摩擦，
(1)A 滑到圆弧最低点时受的支持力；
(2)A 与B 整个碰撞过程中损失的机械能；
(3)传送带的速度大小。
【答案】(1)
，方向竖直向上；
(2)
(3)
或
【详解】（1）A 从开始到滑到圆弧最低点间，根据机械能守恒
解得
在最低点根据牛顿第二定律
解得
，方向竖直向上；
（2）根据题意AB 碰后成一整体，根据动量守恒
解得
故A 与B 整个碰撞过程中损失的机械能为
（3）第一种情况，当传送带速度小于
时，AB 滑上传送带后先减速后匀速运动，设
AB 与传送带间的动摩擦因数为
，对AB 根据牛顿第二定律
设经过时间
后AB 与传送带共速，可得
该段时间内AB 运动的位移为
传送带运动的位移为
故可得
联立解得
，另一解大于
舍去；
第二种情况，当传送带速度大于
时，AB 滑上传送带后先加速后匀速运动，设经过时
间
后AB 与传送带共速，同理可得
该段时间内AB 运动的位移为
传送带运动的位移为
故可得
解得
，另一解小于
舍去。
6．如图为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平
滑连接的平台组成，滑槽高为
，平台高为
。药品盒A、B 依次被轻放在以速度
匀速
运动的传送带上，在与传送带达到共速后，从
点进入滑槽，A 刚好滑到平台最右端
点
停下，随后滑下的B 以
的速度与A 发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B 恰好落在
桌面上圆盘内直径的两端。已知A、B 的质量分别为
和
，碰撞过程中损失的能量为碰
撞前瞬间总动能的
。
与传送带间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，AB 在滑至N 点
之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点。求：
（1）A 在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间；
（2）B 从
点滑至
点的过程中克服阻力做的功
；
（3）圆盘的圆心到平台右端
点的水平距离．
【答案】（1）
（2）
；（3）
【详解】（1）A 在传送带上运动时的加速度
由静止加速到与传送带共速所用的时间
（2）B 从
点滑至
点的过程中克服阻力做的功
（3）AB 碰撞过程由动量守恒定律和能量关系可知
解得
（另一组
舍掉）
两物体平抛运动的时间
则
解得
