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第27 讲 机械振动
1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象.
2.知道什么是单摆，知道在摆角较小的情况下单摆的运动是简谐运动，熟记单摆的周期公式.
3.理解受迫振动和共振的概念，掌握产生共振的条件．
考点一 简谐运动的规律
简谐运动的运动规律：x＝Asin (ωt＋φ)
(1)变化规律
位移增大时
(2)对称规律
①做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系，
另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反．
②振动物体来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；振动物体经过关于平衡位置对称的等
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长的两线段的时间相等，如tBC＝
t B′C′，如图所示．
(3)运动的周期性特征
相隔T 或nT 的两个时刻振动物体处于同一位置且振动状态相同．
[例题1] （2024 春•庐江县期中）一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船
上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20cm，周期为6.0s。当船位于
最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10cm 时，游客能舒服地登
船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是（ ）
A．2.0s
B．2.5s
C．3.0s
D．4.0s
[例题2] （2024•二模拟）如图所示，一个质量为m 的物块，左端与轻弹簧栓接，轻弹簧
的另一端固定在墙上的O 点，物块和地面间的动摩擦因数为μ。现用手按住物块静止于A 点，
让弹簧处于压缩状态。某时刻释放物块，物块向右运动，在M 点（图中未画出）获得最大速
度v1，到最右端B 点（图中未画出）后，再向左运动，在M′点（图中未画出）获得向左运
动的最大速度v2，C 点（图中未画出）时速度减为0 并保持静止状态。物块向右运动的时间为
t1，向左运动的时间为t2，设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，则关于两个过程下列说
法正确的是（ ）
A．M 点和M′点在同一位置
B．两个阶段的时间满足t1＝t2
C．两个阶段最大速度满足v1＜v2
D．C 点在M 点左侧
[例题3] （2024•贵州模拟）一振子沿x 轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，振幅为
0.1m，t＝0 时振子的位移为﹣0.05m，沿x 轴正方向运动；t＝0.5s 时位移为0.05m，沿x 轴负
方向运动，则（ ）
A．振子的周期可能为1
3 s
B．振子的周期可能为2
3 s
2
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C．振子的周期可能为5
6 s
D．振子的周期可能为2s
考点二 简谐运动的图象
1．简谐运动的图象
图象
横轴
表示振动时间
纵轴
表示某时刻质点的位移
物理意义
表示振动质点的位移随时间的变化规律
2.振动图象的信息
(1)由图象可以看出振幅、周期．
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．
(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．
①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t 轴．
②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增大，振动质点
的速度方向就是远离t 轴，若下一时刻位移减小，振动质点的速度方向就是指向t 轴．
[例题4] （2024•广州一模）某质点做简谐振动，其位移x 与时间t 的关系如图，则该质点
（ ）
A．振动频率为4Hz
B．在A 点速度最大
C．在B 点加速度最大
D．在0～3s 内通过路程为12.0cm
[例题5] （2024•成都开学）如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O 点，振子在B、C 两
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点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x﹣t 图像。下列说法
正
确
的
是
（
）
A．振子从C 点经过O 点运动到B 点为一次全振动
B．图乙中的P 点时刻，振子的速度沿正方向
C．振子的振动方程为x =0.1sin(2πt + 3 π
2 )m
D．振子在前1.5s 内的位移大小为0.2m
[例题6] （2024•枣强县校级开学）两个弹簧振子甲、乙沿水平方向放置，其振动图像如
图所示，则（ ）
A．甲、乙两弹簧振子的频率之比为1：2
B．t＝2s 时甲具有负向最大加速度
C．t＝2s 时乙具有正向最大位移
D．t＝4s 时甲、乙两弹簧振子的速度方向相同
考点三 单摆周期公式的应用
1．受力特征：重力和细线的拉力
(1)回复力：摆球重力沿切线方向上的分力，F＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F 与位移x 的
方向相反．
(2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F 向＝FT－mgcos θ.
特别提醒 ①当摆球在最高点时，F 向＝＝0，FT＝mgcos θ.
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②当摆球在最低点时，F 向＝，F 向最大，FT＝mg＋m.
2．周期公式：T＝2π，f＝
(1)只要测出单摆的摆长l 和周期T，就可以根据g＝，求出当地的重力加速度g.
(2)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
圆弧的圆心．
(3)g 为当地的重力加速度．
考点四 受迫振动和共振的应用
1．受迫振动
(1)概念：振动系统在周期性外力作用下的振动．
(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．
2．共振
(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大．
(2)条件：驱动力的频率等于系统的固有频率．
(3)特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线：如图所示．
3．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动
项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决
定，即固有周期T0或
固有频率f0
由驱动力的周期或频
率决定，即T＝T 驱或f
＝f 驱
T 驱＝T0或f 驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不
变
由产生驱动力的物体
提供
振动物体获得的能量
最大
常见例子
弹簧振子或单摆
(θ≤5°)
机械工作时底座发生
的振动
共振筛、声音的共鸣
等
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[例题7] （2024 春•永川区校级期中）如图所示，甲、乙两小球都能视为质点，小球甲在
竖直面内摆动的周期为T，悬线长为L；小球乙在水平面内做匀速圆周运动，悬点为O1、轨迹
圆圆心为O2。下列说法正确的是（ ）
A．小球甲的向心力由合力来充当
B．小球甲的向心力由悬线拉力来充当
C．小球乙的向心力由悬线拉力来充当
D．小球乙的向心力由合力来充当
[例题8] （2024•顺义区二模）如图甲所示，O 点为单摆的固定悬点，将力传感器固定在
O 点。现将摆球拉到A 点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C 之间来回摆动，其中B 点为
运动过程中的最低位置。图乙表示摆球从运动至A 点开始计时细线对摆球的拉力大小F 随时间
t 变化的图像，重力加速度g 取10m/s2。（ ）
A．单摆的振动周期为0.2πs
B．单摆的摆长为0.1m
C．摆球的质量为0.05kg
D．摆球运动过程中的最大速度0.08m/s
[例题9] （多选）（2024•潍坊二模）如图所示，倾角为α 的斜面固定在水平面上，一根
不可伸长的轻绳一端连接在置于斜面的物体a 上，另一端绕过光滑的定滑轮与小球b 连接，轻
绳与斜面平行，定滑轮到小球b 的距离为L。用手按住物体a 不动，把小球b 拉开很小的角度
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θ（θ＜5°）后释放，使小球b 做单摆运动，稳定后放开物体a。当小球运动到最高点时，物体
a 恰好不下滑，整个过程物体a 始终静止。忽略空气阻力及定滑轮的大小，重力加速度为g。
下列说法正确的是（ ）
A．小球b 多次经过同一位置的动量可以不同
B．小球b 摆到最低点时，物体a 受到的摩擦力一定沿斜面向下
C．物体a 与斜面间的摩擦因数μ＝tanα
D．物体a 受到的摩擦力变化的周期T = π√
L
g
题型1 简谐运动中各物理量的分析
1.
（2024•台州二模）控制噪声的基本原则是设法将噪声的能量转化为其他形式的能量，
如图所示是一种利用薄板消除噪声的方法。将薄板安放在框架上，并与框架之间留有一定的空
气层，当声波入射到薄板上时，引起板的振动。由于板本身的内耗使振动的能量转化为热量。
改变薄板的材料和空气层的厚度，可有效消除不同频率的噪声。下列说法正确的是（ ）
A．薄板振动频率始终与入射声波的频率相等
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B．随着入射声波频率的增加，薄板振动的幅度一定增大
C．当噪声停止后，薄板振动频率仍等于原噪声频率，但振幅减小
D．该系统可有效消除的噪声频率范围在其可调节的共振频率之间
2.
（2024•岳麓区校级模拟）一个有固定转动轴的竖直圆盘如图甲所示，圆盘转动时，
固定在圆盘上的小圆柱带动一个T 形支架在竖直方向振动，T 形支架的下面系着一个由弹簧和
小球组成的振动系统，小球做受迫振动。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙
所示（以竖直向上为正方向）。下列说法正确的是（ ）
A．乙图中，t＝1s 到t＝2s 小球所受的回复力增加，且方向为x 轴正向
B．乙图中，t＝2s 到t＝3s 弹簧弹性势能一定减小
C．若圆盘以0.5r/s 的转速匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期为4s
D．若圆盘以0.5r/s 的转速匀速转动，欲使小球振幅增加，可使圆盘转速适当减小
3.
（2023•大庆模拟）如图所示，学校门口水平路面上两减速带的间距为2m，若某汽车
匀速通过该减速带，其车身悬挂系统（由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成）的固有频率为
2Hz，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车行驶的速度越大，颠簸得越厉害
B．汽车行驶的速度越小，颠簸得越厉害
C．当汽车以3m/s 的速度行驶时，颠簸得最厉害
D．当汽车以4m/s 的速度行驶时，颠簸得最厉害
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题型2 对简谐运动图像
4.
（2024•郑州模拟）一质点做简谐运动，其相对于平衡位置的位移x 与时间t 的关系图
线如图所示，由图可知（ ）
A．该简谐运动的周期是2.5×10﹣2s，振幅是7cm
B．该简谐运动的表达式可能为x =7sin(100 πt + 3 π
2 )cm
C．t＝0.5×10﹣2s 时振子的速度最大，且方向向下
D．t＝0.25×10﹣2s 时振子的位移为﹣5cm
5.
（2024•黄浦区校级开学）如图所示是某弹簧振子的振动图像，对于该弹簧振子说法
错误的是（ ）
A．振子的振幅为5cm
B．振子的周期为16s
C．第12s 末振子的速度为负值，加速度为零
D．第16s 末振子的速度最大，加速度为零
6.
（2023 秋•奉化区期末）小球做简谐运动，若从平衡位置O 开始计时，经过0.5s，小
球第一次经过P 点，又经过0.2s，小球第二次经过P 点，则再过多长时间该小球第三次经过P
点（ ）
A．0.6s
B．2.4s
C．0.8s
D．2.1s
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题型3 弹簧振子模型
7.
（2024•浙江）如图1 所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂
于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运
动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图
2 所示，则（ ）
A．t1时刻小球向上运动
B．t2时刻光源的加速度向上
C．t2时刻小球与影子相位差为π
D．t3时刻影子的位移为5A
8.
（2023 秋•龙岗区期末）如图（a），弹簧振子（带笔的小球）在水平方向做简谐运动
的过程中，摇动把手使纸带运动就在纸带上画出如图（b）所示的振动图像。下列分析正确的
是（ ）
A．振动的振幅为8cm
B．振动的周期为5s
C．振动的频率为0.2Hz
D．位移—时间的表达式为x＝8sin0.5πt（cm）
9.
（2023 秋•苏州期末）如图甲，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡
位置开始计时，相对平衡位置的位移x 随时间t 变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，对于
这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（ ）
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A．单摆振动的频率是2Hz
B．单摆的摆长约为1m
C．若仅将摆球质量变大，单摆周期变大
D．t＝1s 时摆球位于平衡位置O，加速度为零
题型4 单摆模型
10. （2024 春•南海区期中）如图所示，用细绳系住一摆球，让摆球在倾角为θ 的光滑斜
面上做小幅度（α＜5°）摆动，摆长为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．该单摆的周期T =2π√
Lsinθ
g
B．该单摆的周期T =2π√
L
gsinθ
C．摆球的振幅会影响单摆的周期
D．摆球的质量会影响单摆的周期
11. （2024•广州二模）如图甲，由细线和装有墨水的容器组成单摆，容器底端墨水均匀
流出。当单摆在竖直面内摆动时，长木板以速度v 垂直于摆动平面匀速移动距离L，形成了如
图乙的墨痕图案，重力加速度为g，则该单摆的摆长为（ ）
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A．
g L
2
16 π
2v
2
B．g L
2
π
2v
2
C．gL
4 πv
D．gL
πv
12. （2024•浙江模拟）如图甲，小球在光滑球面上的A、B 之间来回运动。t＝0 时刻将
小球从A 点由静止释放，球面对小球的支持力大小F 随时间t 变化的曲线如图乙，若弧长AB
远小于半径，则（ ）
A．小球运动的周期为0.2πs
B．光滑球面的半径为0.1m
C．小球的质量为0.05kg
D．小球的最大速度约为0.10m/s
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题型5 受迫振动和共振规律
13. （2024 春•城关区校级期中）如图所示的装置，在曲轴上悬挂一个弹簧振子，若不转
动把手，让其自由振动，周期为T1。现使把手以周期T2匀速转动（T2＞T1），当其运行到稳
定后，则（ ）
A．弹簧振子的振动周期为T1
B．弹簧振子的振动周期为T1+T2
C．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手的转速减小
D．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手的转速增大
14. （2024 春•洛阳期中）分别在地球和月球上利用单摆装置进行受迫振动实验，振幅A
随驱动力频率f 的关系图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．若两摆长相等，则图线Ⅱ是月球上的单摆共振曲线
B．若使图线I 达到最大振幅，则需要驱动力的周期为0.2s
C．图线Ⅱ可知当频率在0.4Hz～0.6Hz 范围内，单摆能量一直增加
D．已知g＝6g 月，则图线Ⅰ、Ⅱ对应振幅出现最大时的摆长之比为L1：L2＝25：24
15. （2024 春•广州期中）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c 摆的摆长相
同且小于b 摆的摆长。当a 摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各
摆也振动起来。图乙是c 摆稳定以后的振动图像，图丙是c 摆的共振曲线，不计空气阻力，则
（ ）
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A．b、c 摆振动达到稳定时，b 摆振幅较大
B．若减小a 摆的振动周期，则c 摆共振曲线的峰将向右移动
C．a、c 摆的固有周期相等
D．由图乙可知，此时b 摆的周期大于t0
题型6 实际生活中的受迫振动和共振
16. （2024 春•郑州期中）自然界有许多地方有共振的现象，人类也在其技术中利用共振
现象。如图把一个筛子用四根弹簧支起来（后排的两根弹簧未画出），筛子上有一个电动偏心
轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，筛子做自由振动时，完成7
次全振动用时21s，在某电压下，电动偏心轮转速是30r/min，已知增大电压可使偏心轮转速提
高；增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，那么要使筛子的振幅增大，下列说法正确的
是（ ）
A．筛子振动的固有周期为2s
B．电动偏心轮的转动周期为2s
C．要使筛子的振幅增大，需增加筛子质量
D．要使筛子的振幅增大，需提高输入电压
17. （2023 秋•奉化区期末）飞力士棒是一种轻巧的运动训练器材，是一根弹性杆两端带
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有负重的器械，如图a。某型号的飞力士棒质量为600g，长度为1.5m，固有频率为5.5Hz。如
图b，某人用手振动该飞力士棒进行锻炼，则下列说法正确的是（ ）
A．使用者用力越大，飞力士棒振动越快
B．手每分钟振动330 次时，飞力士棒产生共振
C．手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度一定变大
D．手振动的频率增大，飞力士棒振动的频率不变
18. （2023 秋•长宁区校级期末）近些年，科学家们逐步对极地进行开发和探索，由于极
地大面积被冰雪覆盖，开发和探索的进度受到影响，人们为了加快进度发明了共振破冰船，如
图所示。破冰船利用专用传感器感应冰面的振动反馈，自动调节锤头振动频率。当冰层与锤头
发生共振时，可以大幅提高破冰效率。结合所学知识，下列说法正确的是（ ）
A．锤头振动频率越高，冰层的振动幅度越大，破冰效果越好
B．破冰效果最好时，锤头的振动频率等于冰层的固有频率
C．破冰船停止工作后，冰层余振的振幅越来越小，频率也越来越小
D．对于不同冰层，破冰效果最好时，锤头的振动频率相同
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