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知识点25：抛体运动
考点一：平抛运动
题型一：平抛运动的规律及处理方法：
【知识思维方法技巧】
平抛运动的规律及处理方法：
（1）平抛运动的研究方法：将运动沿初速度方向（匀速直线运动）和垂直于初速度方向
（自由落体运动）进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成法则求合运动。
（2）平抛运动的基本规律：
如图以抛出点O 为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x 轴正方向，竖直向下为y 轴
正方向.
（3）平抛运动的重要推论：
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，
如图所示，即xB＝.
推导：→xB＝
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：→tan θ＝2tan α
③速度改变量：Δv＝gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间
隔Δt 内的速度改变量Δv＝gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
1
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类型一：落点在水平面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
落点在水平面上平抛运动的处理技巧：
除了要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用水平面的特点。
【典例1a 基础题】如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与
水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ 减小
【典例1a 基础题】【答案】D
【解析】落地时的速度分解如图所示，可知：tan θ＝，所以v0＝，选项A 错误．设t 时间
内的位移方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝
＝＝tan θ，B 选项错误．小球的运动时间由高度决定，C 项错误．当初速度增大时，
tan θ＝，t 不变，tan θ 变小，θ 变小，D 项正确．
【典例1a 基础题对应练习】甲、乙两位同学在不同位置沿水平方向各射出一支箭，箭落地
时，插入泥土中的形状如图所示，已知两支箭的质量、水平射程均相等，若不计空气阻力
及箭长对问题的影响，则甲、乙两支箭( )
2
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A．在空中运动时间之比为1∶ B．射出的初速度大小之比为1∶
C．下降高度之比为1∶3 D．落地时动能之比为3∶1
【典例1a 基础题对应练习】【答案】B
【解析】根据两支箭在竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，可知下落高
度h＝gt2，水平射程x＝v0t，可得x＝v0 ，由水平射程相等，有v 甲 ＝v 乙；由末速度的方
向与水平方向之间的夹角的正切值tanθ＝＝，有＝，＝，可得2gh 甲＝3v 甲2，2gh 乙＝v 乙
2。联立可得h 甲＝3h 乙，即下落的高度之比为3∶1；根据h＝gt2，得t＝，可知运动时间之
比为∶1，故A、C 错误。运动时间之比为∶1，可知射出的初速度大小之比为1∶，故B
正确。它们下落的高度之比为3∶1，但射出的初速度大小之比为1∶，所以落地的动能之
比不等于3∶1，故D 错误。
类型二：落点在斜面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
落点在斜面上平抛运动的处理技巧：
（1）除了要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面的倾角，找出斜面倾角
同位移和速度的关系，从而使问题得以顺利解决。
（2）顺着斜面平抛，要分解位移。求物体离斜面距离最大，要分解速度。
（3）对着斜面平抛，要分解速度。
（4）斜面上平抛运动的推论：
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落
到斜面速度方向相同。
【典例1b 基础题】在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和的速度沿同一方向水平抛
出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
【典例1b 基础题】【答案】A
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【解析】如图所示，可知：x＝vt，x·tan θ＝gt2则x＝·v2，即x∝v2，甲、乙两球抛出速度
为v 和，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也为4∶1，由自由
落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2∶1，则可得落至斜面时速率之比为
2∶1。
【典例1b 基础题对应练习】在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和的速度沿同一方
向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(
)
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
【典例1b 基础题对应练习】【答案】A
【解析】甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同
根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向
夹角的正切值的2 倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值
等于初速度比值，A 正确．
类型三：落点在圆弧面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
如图甲所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2，R±＝v0t.
联立两方程可求t.
如图乙所示，小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB 垂直于速度方向，圆
心角α 与速度的偏向角相等．
如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q 点沿切线飞过，此时半径OQ 垂直于速度方向，圆心角
θ 与速度的偏向角相等．
【典例1c 基础题】如图所示，P 是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B 点以某速度v0水平飞
出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A 点沿圆弧切线方向进入轨道，
O 是圆弧的圆心，θ1是OA 与竖直方向的夹角，θ2是BA 与竖直方向的夹角，则( )
A．＝2
B．＝2
C．tan θ1tan θ2＝2
D．＝2
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【典例1c 基础题】【答案】C
【解析】做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动.
由题知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为
θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C.
【典例1c 基础题对应练习】如图所示为四分之一圆柱体OAB 的竖直截面，半径为R，在
B 点上方的C 点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D 点与圆柱体相切，OD 与OB 的夹角
为60°，则C 点到B 点的距离为( )
A．R B． C． D．
【典例1c 基础题对应练习】【答案】D
【解析】设小球平抛运动的初速度为v0，由题意知小球通过D 点时的速度与圆柱体相切，
则有＝tan 60°，即＝；小球平抛运动的水平位移：x＝Rsin 60°＝v0t，联立解得：v0
2＝，vy
2
＝，设平抛运动的竖直位移为y，vy
2＝2gy，解得：y＝，则CB＝y－R(1－cos 60°)＝，故D
正确，A、B、C 错误.
类型四：落点在抛物面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
结合抛物面方程解题，注意符号。
【典例1d 基础题】如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y 轴上有一
点P，坐标为(0,6)．从P 点将一可看成质点的小球水平抛出，初速度为1 m/s.则小球第一次
打在曲面上的时间为(不计空气阻力，g 取10 m/s2)( )
A. 1 s
B.
s
C.
s
D.
s
【典例1d 基础题】【答案】A
【解析】小球做平抛运动，则打在曲面上时，竖直方向位移为h＝gt2，水平位移x＝v0t，
则小球的坐标为(v0t,6 m－
)，小球打在曲面上，则满足曲面的方程，将小球坐标代入曲
面方程解得t＝1 s，故A 正确，B、C、D 错误．
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类型五：落点在竖直面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d 相同，t＝。
【典例1e 基础题】如图所示，将一小球从水平面MN 上方A 点以初速度v1向右水平抛出，
经过时间t1打在前方竖直墙壁上的P 点，若将小球从与A 点等高的B 点以初速度v2向右水
平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N 点，不计空气阻力，下列选项中正确的是( )
A．v1>v2 B．v1<v2 C．t1>t2 D．t1＝t2
【典例1e 基础题】【答案】A
【解析】小球在竖直方向上为自由落体运动，则根据t＝可知，t1<t2；在水平方向上为匀速
直线运动，根据v＝，因x1>x2，则v1>v2，故选A.
【典例1e 基础题对应练习】 如图所示是消防车利用云梯(未画出)进行高层灭火，消防水
炮离地的最大高度H＝40 m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高
h＝20 m 的楼层，水水平射出的初速度在5 m/s≤v0≤15 m/s 之间，可进行调节，出水口与着
火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则( )
A．如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x 最大为40 m
B．如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x 最小为10 m
C．如果出水口与着火点的水平距离x 不能小于15 m，则射出水的初速度最小为5 m/s
D．若该着火点高度为40 m，该消防车仍能有效灭火
【典例1e 基础题对应练习】【答案】B
【解析】出水口与着火点之间的高度差为Δh＝20 m，又Δh＝gt2，t＝2 s，又5 m/s≤v0≤15
m/s，因此出水口与着火点的水平距离x 的范围为10 m≤x≤30 m，故A 错误，B 正确；如果
出水口与着火点的水平距离不能小于15 m，则最小出水速度为7.5 m/s，故C 错误；如果
着火点高度为40 m，保持出水口水平，则水不能到达着火点，故D 错误。
类型六：落点在水平台阶上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
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（1）临界速度法（2）虚构斜面法
【典例1f 基础题】某学生在台阶上玩玻璃弹子。他在平台最高处将一个小玻璃弹子垂直于
棱角边推出，以观察弹子的落点位置。台阶的尺寸如图所示，高
a＝0.2 m，宽b＝0.3 m，不计空气阻力。(g 取10 m/s2)
(1)要使弹子落在第一级台阶上，推出的速度v1应满足什么条件？
(2)若弹子被水平推出的速度v2＝4 m/s，它将落在第几级台阶上？
【典例1f 基础题】【答案】(1)V1≤1.5 m/s (2)8
【解析】(1)显然v1不能太大，考虑临界状况(落在尖角处)：根据gt＝a，解得t1＝0.2 s 则
v1≤＝1.5 m/s。
(2)构造由题图中尖角所成的斜面，建立坐标系：水平向右为x 轴：x＝v2t，竖直向下为y 轴：
y＝gt2，又＝tan θ＝，联立解得t＝ s，h＝gt2≈1.42 m，分析知，玻璃弹子将落在第8 级台
阶上。
【典例1f 基础题对应练习】如图所示，虚线为A、B 两小球的从等宽不等高的台阶抛出的
运动轨迹。A 球从台阶1 的右端水平抛出后，运动至台阶2 右端正上方时，B 球从台阶2 的
右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3 右端点相遇，不计空气阻力。则( )
A．两球抛出时的速度大小相等
B．两球相遇时A 的速度大小为B 的两倍
C．台阶1、2 的高度差是台阶2、3 高度差的4 倍
D．两球相遇时A 的速度与水平方向的夹角的正切值为B 的两倍
【典例1f 基础题对应练习】【答案】AD
【解析】两球在水平方向做匀速直线运动，且从台阶2 右端正上方运动到台阶3 右端点所
s
h
v0
)θ
θ(
s
h
v0
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有时间相同，水平位移相等，则两球抛出时的速度大小相等，故A 正确；
由于各台阶等宽，水平方向做匀速直线运动，则A 球从台阶1 运动到台阶2 所用的时间与
从台阶2 运动到台阶3 所用时间相等，由竖直方向可知，连续相等时间的位移之比为1：
3，则台阶1、2 的高度差是台阶2、3 高度差的3 倍，在台阶3 右端点时，A 球竖直方向的
速度为B 球的两倍，水平方向速度相等，由平行四边形定则可知，两球相遇时A 的速度大
小并不是B 的两倍，故BC 错误；
由公式：
可知，由于A 球运动的时间是B 球的两倍，则两球相遇时A 的速
度与水平方向的夹角的正切值为B 的两倍，故D 正确。故选AD。
题型二：平抛运动的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
平抛运动临界极值问题的处理技巧：
（1）找出临界状态对应的临界条件。分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方
法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到产生临界的条件。
（2）分解速度或位移．
（3）画出临界轨迹．
类型一：乒乓球平抛运动的临界极值问题
【典例2a 基础题】(多选)乒乓球在我国有广泛的群众基础，并有“国球”的美誉，里约奥
运会乒乓球男子单打决赛，马龙战胜上届冠军张继科夺得冠军，成为世界上第五个实现大
满贯的男子选手。如图所示，已知球台长L、网高h，若球在球台边缘O 点正上方某高度
处，以一定的垂直于球网的水平速度发出，球反弹后恰好在最高点时越过球网。假设乒乓
球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和
空气阻力。则根据以上信息可以求出(设重力加速度为g)( )
A.球的初速度大小
B.发球时的高度
C.球从发出到第一次落在球台上的时间
D.球从发出到被对方运动员接住的时间
【典例2a 基础题】【答案】ABC
【解析】球从发出至到达P1点，做平抛运动，根据运动的对称性知，发球的高度等于h，
根据h＝gt2得，球从发出到第一次落到球台上的时间t＝，球的初速度v0＝＝，选项A、
B、C 正确；由于对方运动员接球的位置未知，无法求出球从发出到被对方运动员接住的时
间，选项D 错误。
【典例2a 基础题对应练习】(多选)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等
高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同
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的球1 和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程
中，下列说法正确的是( )
A．起跳时，球1 的重力功率等于球2 的重力功率
B．球1 的速度变化率小于球2 的速度变化率
C．球1 的飞行时间大于球2 的飞行时间
D．过网时球1 的速度大于球2 的速度
【典例2a 基础题对应练习】【答案】AD
【解析】乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动．重力的瞬时功率等于
重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh 得，起跳时竖
直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A 正确；速度变化率即加速
度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B 错误；由h
＝gt2可得两球飞行时间相同，C 错误；由x＝vt 可知，球1 的水平位移较大，运动时间相
同，则球1 的水平速度较大，D 正确．
类型二：曲面模型平抛运动的临界极值问题
【典例2b 基础题】(多选)如图所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，然后水平跳跃
并离开屋顶，在下一个建筑物的屋顶上着地．如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5 m/s，那
么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g 取9.8 m/s2)( )
A．他安全跳过去是可能的
B．他安全跳过去是不可能的
C．如果要安全跳过去，他在屋顶跑动的最小速度应大于6.2 m/s
D．如果要安全跳过去，他在屋顶跑动的最小速度应大于4.5 m/s
【典例2b 基础题】【答案】BC
【解析】根据y＝gt2，当他降落在下一个屋顶时，下落的高度y＝4.9 m，所用时间t＝ ＝
s＝1.0 s，最大水平位移：x＝vmt＝4.5×1.0 m＝4.5 m＜6.2 m，所以他不能安全到达下一个
屋顶．要想安全跳过去，他的跑动速度至少要大于 m/s，即6.2 m/s.故B、C 正确．
【典例2b 基础题对应练习】如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿
摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a 点比右边缘b 点高0.5h。若摩托车经过a 点
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时的动能为E1，它会落到坑内c 点。c 与a 的水平距离和高度差均为h；若经过a 点时的动
能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b 点。E2/E1等于（ ）
A．20 B．18
C．9.0
D．3.0
【典例2b 基础题对应练习】【答案】B
【解析】摩托车从a 点做平抛运动到c 点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝gt 可解得v1
＝ 动能E1＝mv＝，摩托车从a 点到b 点，水平方向3h＝v2t2，竖直方向0.5h＝gt 解得v2
＝3，动能E2＝mv＝mgh，故＝18.
题型三：平抛运动的相遇问题
【知识思维方法技巧】
平抛运动相遇问题的处理技巧：
（1）找关系：根据两物体的相遇点，寻找两物体相遇时的时间关系、位移(水平位移和竖
直位移)关系、速度关系，以及两物体在初始时刻的位置关系等。
（2）用规律：依据抛体运动的基本规律(位移规律、速度规律等)，列方程求解。
类型一：平抛运动与其他运动的相遇问题
【典例3a 基础题】如图所示，某同学利用玩具枪练习射击，空中用细线悬挂一个可视为质
点的小球，小球离地高度为h，玩具枪的枪口与小球相距为d 且在同一水平面上，子弹以
v0的初速度沿水平方向射出，同时剪断悬挂小球的细线，不计空气阻力，重力加速度为g，
则下列说法中正确的是( )
A．子弹在自由飞行的过程中，相同时间内其速度变化量不相等
B．子弹在自由飞行的过程中，其动能随高度的变化是不均匀的
C．要使子弹在小球落地前击中小球，则小球的高度必须满足h>
D．子弹一定能击中小球
【典例3a 基础题】【答案】C
【解析】子弹从枪膛射出后做平抛运动，由Δv＝gΔt 可知，子弹在相等时间内速度的变化
量相等，选项A 错误；对子弹，由动能定理可得ΔEk＝mgΔh，由此可知，子弹动能随高度
的变化是均匀的，选项B 错误；若子弹刚好在小球落地时击中小球，有d＝v0t，h＝gt2，解
得h＝，故要想在小球落地前击中小球，则必须满足h>，选项C 正确；若子弹的初速度v0
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较小，则可能出现子弹落地时其水平位移小于d 的情况，此时不能击中小球，选项D 错误。
【典例3a 基础题对应练习】如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地
足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P 点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v 从枪
口向P 点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气
阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P 点，t 大于 B．将击中P 点，t 等于
C．将击中P 点上方，t 大于 D．将击中P 点下方，t 等于
【典例3a 基础题对应练习】【答案】B
【解析】由题意知枪口与P 点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子
弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝gt2
可知下落高度相同，所以将击中P 点；又由于初始状态子弹到P 点的水平距离为L，子弹
在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B.
类型二：反向平抛的相遇问题
【典例3b 基础题】如图所示，将a、b 两小球以大小均为20 m/s 的初速度分别从A、B 两
点水平相向、相差1 s 先后抛出，a 小球从A 点抛出后，经过时间t，a、b 两小球恰好在空
中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s2。则抛出点A、B
间的水平距离为( )
A．80 m
B．100 m
C．200 m
D．180 m
【典例3b 基础题】【答案】D
【解析】a、b 两球在空中相遇时，设a 球运动的时间为t，则b 球运动的时间为t－1 s，此
时两球速度相互垂直，如图所示，由图可得tan α＝＝，代入数据解得t＝5 s，故抛出点
A、B 间的水平距离为x＝v0t＋v0(t－1 s)，解得x＝180 m，故选项D 正确。
【典例3b 基础题对应练习】如图所示，A、B 两小球从相同高度同时水平抛出，它们在下
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落高度为9 m 时，在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的3 倍，不计空气阻力，则
自抛出到它们在空中相遇时，两球下落的高度为( )
A．6 m B．3 m C．3 m D．1 m
【典例3b 基础题对应练习】【答案】D
【解析】两球同时抛出，竖直方向上做自由落体运动，相等时间内下降的高度相同，始终
在同一水平面上，设两球抛出点之间的距离为l，自抛出到相遇所用时间为t，根据l＝vAt＋
vBt 以及l 不变知，当两球的抛出速度都变为原来的3 倍，则两球从抛出到相遇经过的时间
为，根据h＝gt2，H＝g()2，得：H＝＝1 m，故选D.
考点二：类平抛运动
【知识思维方法技巧】
类平抛运动问题分析：
（1）受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
（2）运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直
线运动，加速度
。
（3）求解方法：
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即
沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解。
题型一：光滑斜面模型
【典例1 基础题】如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可视为质点)沿斜
面左上方顶点P 水平射入，恰好从底端Q 点离开斜面，则( )
A．P→Q 所用的时间t＝2 B．P→Q 所用的时间t＝
C．初速度v0＝b D．初速度v0＝b
【典例1 基础题】【答案】C
【解析】物块在斜面上的加速度为：a＝gsinθ，根据l＝at2，得：t＝ ，故A、B 错误；物
块的初速度为：v0＝＝b，故C 正确，D 错误．
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题型二：竖直弹性碰撞模型
【典例2 基础题】有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示，一
个质量为m 的小球以速度v 从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性
碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不
变)，不计空气阻力．从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球下落时间与小球质量m 有关
B．小球下落时间与小球初速度v 有关
C．小球下落时间与水井井口直径d 有关
D．小球下落时间与水井井口到水面高度差h 有关
【典例2 基础题】【答案】D
【解析】因为小球与井壁做多次弹性碰撞，碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反
向，则将小球的运动轨迹连接起来就是一条做平抛运动的抛物线，可知小球在竖直方向做
自由落体运动，由t＝可知，下落时间与小球的质量m、小球初速度v 以及井口直径均无关，
只与井口到水面高度差h 有关，故选项D 正确．
题型三：其他模型
【典例3 基础题】 (多选)为了研究空气动力学问题，如图所示，某人将质量为m 的小球从
距地面高h 处以一定初速度水平抛出，在距抛出点水平距离L 处，有一根管口比小球直径
略大的竖直细管，上管口距地面的高度为。小球在水平方向上受恒定风力作用，且小球恰
能无碰撞地通过管口，则下列说法正确的是( )
A.小球的初速度大小为L
B.风力的大小为
C.小球落地时的速度大小为2
D.小球落地时的速度大小为
【典例3 基础题】【答案】BD
【解析】小球在竖直方向上做自由落体运动，故从抛出点到上管口的运动过程中，有＝，
小球在水平方向上做匀减速运动，因恰能无碰撞地通过管口，故小球到管口时水平速度刚
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好减为零，设小球的初速度为v0，有L＝t，联立以上两式解得v0＝2L，故A 错误；设风力
大小为F，根据牛顿第二定律有，小球在水平方向上的加速度大小a＝，依题设条件有0－
v＝－2aL，即0－v＝－2L，将初速度v0＝2L 代入得F＝，选项B 正确；小球到达上管口时，
水平速度减为零，进入管中后其不再受风力作用，只有竖直方向的运动，从抛出到落地全
程，小球在竖直方向上做自由落体运动，所以有v2＝2gh，则小球落地时的速度大小为v
＝，故选项D 正确，C 错误。
考点三：斜上抛运动及类斜抛运动
题型一：斜上抛运动的处理方法
【知识思维方法技巧】
斜抛运动问题的处理方法：
（1）常规分解法：将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线
运动。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解．
（3）逆向思维法：把物体的斜抛运动看做从最高点开始的反向的平抛运动．斜抛运动可以
从最高点分段研究，后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动
时间、位移和速度具有对称性．
类型一：应用常规分解法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
应用常规分解法解决斜上抛运动的技巧：
将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线运动。
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，
建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物体的位移和速度分别为x＝v0xt＝(v0cos θ)t ①vx＝v0x＝v0cos θ ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt ④
斜抛运动中的极值：在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由③式得总时间t 总＝⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm＝
当θ＝45°时，sin 2θ 最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
【典例1a 基础题】某同学参加学校的跳远比赛，其运动轨迹可以简化为如图所示，该同学
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以速率v 沿与水平地面成某一角度方向跳出，运动过程中离开地面的最大高度为H＝，若
该同学可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则该同学本次跳远的成绩为( )
A． B． C． D．
【典例1a 基础题】【答案】A
【解析】设速度v 与水平方向夹角为θ，则H＝，运动时间t＝，水平位移x＝vcos θ·t，联
立解得x＝，故选A.
【典例1a 基础题对应练习】 狞猫弹跳力惊人，栖息在干燥的旷野和沙漠中，善于捕捉鸟
类。一只狞猫以某一初速度斜向上与水平地面成θ 角跳离地面，落地前其最大高度为h，
最大水平位移为x。不考虑空气阻力。下列说法正确的是 ( )
A．保持起跳速度大小不变，增大θ 角，狞猫在空中的运动时间不变
B．保持起跳速度大小不变，增大θ 角，狞猫在空中的最大高度h 增大
C．保持起跳角度θ 不变，增大起跳速度，x 与h 的比值减小
D．保持起跳角度θ 不变，增大起跳速度，x 与h 的比值增大
【典例1a 基础题对应练习】【答案】B
【解析】狞猫做斜抛运动，在竖直方向有vy＝v0sin θ＝gt1，狞猫在空中的运动时间t＝2t1
＝，保持起跳速度大小不变，增大θ 角，狞猫在空中的运动时间增大，故A 错误；狞猫在
空中的最大高度h＝gt＝，保持起跳速度大小不变，增大θ 角，狞猫在空中的最大高度增大，
故B 正确；狞猫最大水平位移为x＝vxt＝，最大水平位移与最大高度的比值为＝；保持起
跳角度θ 不变，增大起跳速度，x 与h 的比值不变，故C、D 错误。
类型二：应用逆向思维法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
应用逆向思维法解决斜上抛运动的技巧:
把物体的斜抛运动看做从最高点开始的反向的平抛运动．斜抛运动可以从最高点分段研究
后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动时间、位移和速度具
有对称性．
【典例1b 基础题】如图所示，将一篮球从地面上方B 点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上
A 点，不计空气阻力，若抛射点B 向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直
击中A 点，则可行的是( )
A．增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ B．减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ
C．增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0 D．增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0
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【典例1b 基础题】【答案】C
【解析】由于篮球始终垂直击中A 点，可应用逆向思维，把篮球的运动看做从A 点开始的
平抛运动．当B 点水平向左移动一小段距离时，A 点抛出的篮球仍落在B 点，则竖直高度
不变，水平位移减小，球到B 点的时间t＝不变，竖直分速度vy＝不变，水平方向由x＝vxt
知x 减小，vx减小，合速度v0＝变小，与水平方向的夹角tan θ＝变大，综合可知选项C 正
确．
【典例1b 基础题对应练习】如图所示，将小球以速度v 沿与水平方向成θ＝37°角斜向上抛
出，结果球刚好能垂直打在竖直墙面上，球反弹的瞬间速度方向水平，且速度大小为碰撞
前瞬间速度大小的，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，空气阻力不计，则当反弹后小球的速
度大小再次为v 时，速度与水平方向夹角的正切值为( )
A. B. C.
D.
【典例1b 基础题对应练习】【答案】B
【解析】采用逆向思维，小球做斜抛运动看成是平抛运动的逆运动，将抛出速度沿水平和
竖直方向分解，有：vx＝vcos θ＝v·cos 37°＝0.8v，vy＝v·sin 37°＝0.6v，球撞墙前瞬间的速
度等于0.8v，反弹速度大小为：vx′＝×0.8v＝0.6v；反弹后小球做平抛运动，当小球的速度
大小再次为v 时，竖直速度为：vy′＝＝＝0.8v，速度方向与水平方向的正切值为：tan θ＝
＝＝，故B 正确，A、C、D 错误。
考点四：三维空间抛体运动
题型一：平抛运动模型
【典例1 基础题】 如图所示，O 点为正四面体
的顶点，
处在水平面上，D 点
为
边的中点，在O 点沿不同方向水平抛出两个小球，甲球恰好落在A 点，乙球恰好落
在D 点，空气阻力不计。则甲球和乙球平抛初速度大小的比为（ ）
A．4：1
B．2：1
C．3：2
D．7：1
【典例1 基础题】【答案】B
【解析】设O 在面ABC 的投影点为
，由几何知识可知
竖直位移相同，故t 相同，
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则有
，可得
故选B。
【典例1 基础题对应练习】如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝2|AD|＝2|AA1|，将可视
为质点的小球从顶点A 在∠BAD 所在范围内(包括边界)分别沿不同方向水平抛出，落点都
在A1B1C1D1范围内(包括边界)。不计空气阻力，以A1B1C1D1所在水平面为重力势能参考平
面，则小球( )
A．抛出速度最大时落在B1点
B．抛出速度最小时落在D1点
C．从抛出到落在B1D1线段上任何一点所需的时间都相等
D．落在B1D1中点时的机械能与落在D1点时的机械能相等
【典例1 基础题对应练习】【答案】C
【解析】由于小球抛出时离地高度相等，故各小球在空中运动的时间相等，则可知水平位
移越大，抛出时的速度越大，故落在C1点的小球抛出速度最大，落点靠近A1点的小球速度
最小，故A、B 错误，C 正确；由题图可知，落在B1D1中点和落在D1点的水平位移不同，
所以两种情况中对应的水平速度不同，则可知它们在最高点时的机械能不相同，因下落过
程机械能守恒，故落地时的机械能也不相同，故D 错误。
题型二：流体抛体运动
【典例2 基础题】如图所示为某次火灾现场由于楼层太高，地面水枪喷射不到，消防队员
从邻近的高楼上向起火大楼喷射洒水的示意图。假设水从水枪水平射出，水管的横截面积
为，出水点与着火点的竖直高度为，两栋楼的间距为
，则水管的流量（单位时间射出
水的体积）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2 基础题】【答案】A
【解析】根据题意，水枪喷射到着火点，设水出水管的速度为，水在空中的飞行时间为，
根据平抛运动规律可知；可知则水管的流量则BCD 错误，A 正确。故选A。
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