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专题02 复数小题综合
一、单选题
1．（2023·北京·统考模拟预测）若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C
2．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）已知复数 ，则 的共轭复数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数乘法计算法则计算即可.
【详解】 ，所以 的共轭复数为
故选：C
3．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）复数 在复平
面上对应的点位于虚轴上，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】先化简复数z，然后根据实部为0可解.
【详解】 ，
因为复数z对应点在虚轴上，
所以 ，解得 .
故选：B4．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知复数 ，则复数 在复平面内
对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先求得复数 的代数形式，进而求得其在复平面内对应的点所在象限.
【详解】 ，则 ，
则复数 在复平面内对应的点坐标为 ，该点位于第三象限.
故选：C
5．（2023·北京·模拟预测）设i是虚数单位，复数 为复数z的共轭复数，若满足
，则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的乘、除法运算可得 ，由共轭复数的概念可得 ，结合
复数的几何意义即可求解.
【详解】由题意知，
，
所以 ，在复平面内对应的点为 ，在第四象限.
故选：D.
6．（2023·北京·高三专题练习）若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数模的计算公式计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
则 .
故选：C7．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）若复数z满足 ，
则 （ ）
A． B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】计算出 ，利用复数模长的性质计算出答案.
【详解】 ，故 ，则 .
故选：B
8．（2023·北京·高三专题练习）复数 的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数 ，即可判断其虚部.
【详解】 ，所以复数 的虚部为 .
故选：A
9．（2023·北京·北京二中校考模拟预测）若虚数z使得 是实数，则z满足（ ）
A．实部是 B．实部是 C．虚部是 D．虚部是
【答案】A
【分析】设 （ 且 ），计算 ，由其为实数求得 后可得．
【详解】设 （ 且 ），
，
是实数，因此 ， （舍去），或 ．
故选：A．
10．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知i是虚数单位，复数z满足 ，
则z等于（ ）．
A． B． C．i D．【答案】B
【分析】转化为复数的除法运算，即可求解.
【详解】由题意可知， .
故选：B
11．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）在复平面内，复数z对应的点
的坐标是 ，则复数 的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．i
【答案】B
【分析】由对应点坐标写出复数，结合复数除法运算化简复数即得虚部.
【详解】由题意可得： ，则 ，
所以复数 的虚部是 .
故选：B.
12．（2023·北京·高三专题练习）复数 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据复数运算即可求出结果.
【详解】 ，
，
故选：B.
13．（2023·北京·高三专题练习）若 ，则“ ”是“复数
是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数中纯虚数的概念求解.
【详解】 ，当 时，复数 ，是纯虚数；
复数 是纯虚数时，有 ，解得 .
则“ ”是“复数 是纯虚数”的充分必要条件.
故选：C
14．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知复数 ，
且 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】求复数 的代数形式，由条件结合共轭复数定义列方程求 .
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
15．（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】写出共轭复数，根据复数减法计算即可.
【详解】 ， .
故选：A
16．（2023·北京·高三专题练习）在复平面内， 是原点，向量 对应的复数是
，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，则所得向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由复数的几何意义结合图象可得.
【详解】
如图，由题意可知 ， 与 轴夹角为 ，
绕点 逆时针方向旋转 后 到达 轴上 点，又 ，
所以 的坐标为 ，所以 对应的复数为 .
故选：A.
17．（2023·北京·高三专题练习）已知复数 满足 ，则 的值为
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据共轭复数的概念及复数的乘法运算得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
解得 ，
故选：D
18．（2023·北京·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A．5 B． C． D．3
【答案】B
【分析】由题意求 ，进而可求其模长.
【详解】∵ ，则 ，
则 .
故选：B.19．（2023·北京·统考高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则
的共轭复数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数 ，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
由共轭复数的定义可知， .
故选：D
二、填空题
20．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知a，b均为实数.若 ，则
_____________.
【答案】
【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.
【详解】 ，故 ， .
故答案为： .
21．（2023·北京·高三专题练习）在复平面内，复数 对应的点位于_________．
【答案】第一象限
【分析】先化简，再利用复数的几何意义即可判断.
【详解】因为 ,所以复数 对应的点 ，位于第一象限.
故答案为：第一象限
22．（2023·北京大兴·校考三模）设复数 满足 （ 为虚数单位），则
________.
【答案】【分析】求出 ，进而利用复数的模长性质求出答案.
【详解】 ，故 .
故答案为：
23．（2023·北京·高三专题练习）在复平面内，复数z所对应的点为 ，则
___________．
【答案】2
【分析】根据复数的几何意义可得 ，由乘法运算即可求解.
【详解】由题意可知 ，所以 ，
故答案为：2
24．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）若 ，则 的虚部是_________.
【答案】
【分析】根据复数的除法运算求解.
【详解】因为 ，
所以 ，虚部为 .
故答案为：
三、双空题
25．（2023春·北京西城·高三北京市回民学校校考阶段练习）在 的展开式中，
的系数为________．设复数z满足 ，则它的共轭复数________．
【答案】
【分析】应用二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展
开式中含x项的系数．利用复数代数形式的乘除运算进行化简，再由共轭复数的基本
概念即可得出结果.
【详解】 的展开式中，通项公式为 ，令 ，求得 ，可得展开式中含x项的系数 ，
由 ，
得 ，
则复数z的共轭复数为
故答案为： ;
