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专题 02 平面向量
答案版
考点01 平面向量
1、A
2、D
3、D
4、D
5、B
6、A
7、B
8、C
9、B
10、D
11、ACD
12、
13、15
14、
15、2
16、 ；
17、
18、
19、
20、 /
21、22、(1)
(2)
23、(1)
（2）由（1）可知 ， ， ，
易知直线 的斜率存在，设其方程为 ，则 ，即 ，
联立 ，消去 得， ，
因为直线与椭圆有唯一交点，所以 ，
即 ，则 ，解得 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
以下分别用四种方法证明结论：
法一：则 ，
所以 ，
，
则 ，又 ，
所以 ，即 平分 .法二：所以 ， ， ，
由两直线夹角公式，得 ， ，
则 ，又 ，
所以 ，即 平分 .
法三：则 ， ，
故 ，
又 ，
所以 ，即 平分 .
法四：则 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离为 ，
又点 到直线 的距离也为 ，
所以 平分 .
24、(1)
(2)
(3)
25、(1) ，
(2)证明如下：方法一：由于过 且斜率为 的直线为 ，与 联立，得到方程
.
展开即得 ，由于 已经是直线 和
的公共点，故方程必有一根 .
从 而 根 据 韦 达 定 理 ， 另 一 根 ， 相 应 的
.
所以该直线与 的不同于 的交点为 ，而注意到 的横坐标亦可通过
韦达定理表示为 ，故 一定在 的左支上.
所以 .
这就得到 ， .
所以
.
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
方法二：因为 ， ， ，则 ，由于 ，作差得 ，
，利用合比性质知 ，
因此 是公比为 的等比数列.
(3)证明如下：
方法一：先证明一个结论：对平面上三个点 ，若 ， ，则 .
（若 在同一条直线上，约定 ）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有.
而又有 ， ，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明 的取值是与 无关的定值，所以 .
方法二：由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有.
这就得到 ，
以及 .
两式相减，即得 .
移项得到 .
故 .
而 ， .
所以 和 平行，这就得到 ，即 .
方法三：由于 ，作差得 ，
变形得 ①，
同理可得 ，
由（2）知 是公比为 的等比数列，令 则 ②，
同时 是公比为 的等比数列，则 ③，
将②③代入①，即 ，从而 ，即 .
