排列组合进阶
（笔记）
主讲教师：田鹏
授课时间：2025.07.31
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1
排列组合进阶（笔记）
【答案汇总】
插板法1-2：DC
错位重排1-3：ACD
环形排列1-3：CCB
跟屁虫原理1-4：CDAB
课程说明
1.本节课内容适用于有排列组合概率基础的同学，若无，则建议先掌握基础
后再学
2.及时互动（有不懂处将问题输入到公屏中）
3.拓展内容有难度是正常的，学到就是赚翻，要开心听课～
4.有问题可以来小红书（粉笔田鹏）找我
排列组合——拓展进阶
一、插（隔）板法
二、错位重排
三、环形排列
四、跟屁虫原理
【注意】排列组合——拓展进阶：
1.插（隔）板法。方法课中讲解过。
2.错位重排。理论课中没有，考查较少。
3.环形排列。理论课中没有，考查较少。
4.跟屁虫原理。理论课中没有，考查较少。
一、插板法——同素分堆
特征：①N 个相同的元素②分给M 个不同的主体③每个主体至少一个
公式：C（n-1,m-1）
2
例：7 个相同的苹果，分给3 个小朋友，每人至少1 个
【注意】插板法——同素分堆：
1.特征：
（1）N 个相同的元素。
（2）分给M 个不同的主体。
（3）每个主体至少一个。
2.公式：C（n-1,m-1）。
3.例：7 个相同的苹果，分给3 个小朋友，每人至少1 个，问有多少种分法。
答：直接套公式C（7-1,3-1）=C（6,2）=15。
【精讲回顾】（2020 联考）某城市一条道路上有4 个十字路口，每个十字
路口至少有1 名交通协管员，现将8 个协管员名额分配到这4 个路口，则每个路
口协管员名额的分配方案有（
）。
A.35 种
B.70 种
C.96 种
D.114 种
【解析】拓展.能看出是插板法，可以直接套公式。N 个相同的元素，分给M
个不同的主体，每个主体至少一个，套公式：C（n-1,m-1）=C（8-1,4-1）=C（7,3）
=7*6*5/（3*2*1）=35，对应A 项。【选A】
插板法（变形）
例1：10 个相同的苹果，分给3 个小朋友，每人至少2 个
例2：15 个相同的苹果，分给4 个小朋友，每人至少3 个
Tips：至少需要x 个，先给x-1 个，变成还需要至少一个，然后剩余再套公
式
【注意】插板法（变形）：至少多个时，先转化为至少1 个。
1.例1：10 个相同的苹果，分给3 个小朋友，每人至少2 个。
答：假设3 个小朋友为A、B、C，要想每个人至少1 个，先给每个小朋友1
个，还剩7 个，每个人再至少给1 个，符合每人至少2 个，套公式：C（n-1,m-1）
=C（7-1,3-1）=C（6,2）=15。
2.例2：15 个相同的苹果，分给4 个小朋友，每人至少3 个。
3
答：假设4 个小朋友为A、B、C、D，先每个人分2 个苹果，还剩15-8=7 个，
每个人再至少给1 个，套公式：C（n-1,m-1）=C（7-1,4-1）=C（6,3）=20。
3.Tips：至少需要x 个，先给x-1 个，变成还需要至少一个，然后剩余再套
公式。
【练一个】（2020 广东事业单位）某公司秘书部门准备将30 份纸质文件发
放给3 个不同的部门，每个部门至少发放9 份纸质文件，则共有（
）种不同的
发放方法。
A.10
B.11
C.12
D.13
【解析】拓展.3 个部门先分别给8 份，一共给出3*8=24 份，还剩30-24-6
份，再每个部门至少1 份，套公式：C（n-1,m-1）=C（5,2）=10，对应A 项。【选
A】
【注意】Tips：至少需要x 个，先给x-1 个，变成还需要至少一个，然后剩
余再套公式。
【例1】（2024 事业单位联考）某单位将11 本《党员学习手册》分发给甲、
乙、丙共3 个党支部。已知甲支部至少分得3 本，乙支部至少分得2 本，丙支部
至少分得4 本，问一共有多少种不同的分配方式？（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】1.《党员学习手册》相同，3 个党支部不同。“已知甲支部至少分
得3 本，乙支部至少分得2 本，丙支部至少分得4 本”，至少分到的本数不同，
先给甲支部2 本、乙支部1 本、丙支部3 本，给出去6 本，还余下5 本，分给三
个支部，每个支部至少1 本，套公式：C（4,2）=6，对应D 项。【选D】
【注意】Tips：至少需要x 个，先给x-1 个，变成还需要至少一个，然后剩
余再套公式。
4
【例2】（2023 重庆事业单位）某学院由行政教辅和三个不同的教学研究室
构成，现引进8 台相同教学设备，每个教学研究室至少分2 台，行政教辅无要求，
问一共有多少种不同分法（
）。
A.6
B.8
C.10
D.12
【解析】2.“某学院由行政教辅和三个不同的教学研究室构成”，行政教辅
无要求（至少0 个），三个不同的教学研究室为A、B、C，“每个教学研究室至
少分2 台”，先给A、B、C 各分1 个，行政教辅借1 个（先给x-1 个，即0-1=-1），
理解成-1，先给出去-1+1+1+1=2 台，余下8-2=6 台，分给4 个主体，每个主体
至少分1 个，套公式：C（6-1,4-1）=C（5,3）=10，对应C 项。【选C】
【注意】Tips：至少需要x 个，先给x-1 个，变成还需要至少一个，然后剩
余再套公式。
隔（插）板法小结
应用环境：1.相同元素n 个
2.分给m 个不同的人
3.每人至少一个该元素
公式：C（N-1,N-1）
变形：至少需要x 个，先给x-1 个，变成还需要至少一个，然后剩余再套公
式
错位重排
题型识别：n 个元素，打刮顺序后重新排列，元素均不回到原位置
由来：伯努利——欧拉装错信封问题
欧拉写了n 封不同的信，对应n 个不同的信封，
他把这n 封信都装错了信封，问有多少种装法？
应用环境：借调人员、互换车位、交叉审核等
【注意】错位重排：
5
1.题型识别：n 个元素，打刮顺序后重新排列，元素均不回到原位置。如主
体A 对应a，主体B 对应b，主体C 对应c，打乱顺序，A 对应b，B 对应c，C
对应a。
2.由来：伯努利——欧拉装错信封问题。欧拉写了n 封不同的信，对应n
个不同的信封，他把这n 封信都装错了信封，问有多少种装法？
3.应用环境：借调人员、互换车位、交叉审核等。
举个栗子：
【引例1】一封信，一个信封，信放错信封的情况数？
【引例2】两封信，两个信封，两封信都放错信封的情况数？
【引例3】三封信，三个信封，三封信都放错信封的情况数？
【注意】举例：
1.引例1：一封信，一个信封，信放错信封的情况数？
答：一封信a，一个信封A，不会出现放错的情况，则信放错信封的情况数
D1=0 种。
2.引例2：两封信，两个信封，两封信都放错信封的情况数？
答：正常情况A 对a，B 对b，放错的情况为A 对b，B 对a，则两封信都放
错信封的情况数D2=1 种。
3.引例3：三封信，三个信封，三封信都放错信封的情况数？
答：正常情况A 对应a，B 对应b，C 对应c，放错的情况为A 对应b，B 对
应c，C 对应a，或者A 对应c，B 对应a，C 对应b，则三封信都放错信封的情况
数D3=2 种。
记住D1～D5，拿下公考错位重排！
Dn=（n-1）*（Dn-1+Dn-2）
【注意】
6
1.记住D1～D5，拿下公考错位重排。D 指的是第几项，D1为第一项，D2为第
二项。
2.元素个数为1、2、3、4、5，错位重排数分别对应0、1、2、9、44。
3.推导公式：Dn=（n-1）*（Dn-1+Dn-2）。如D5=4*（9+2）=44。
【例1】（2024 广东事业单位）4 个抽屉里各有1 本不同的笔记本，现在将
所有笔记本取出，重新放入，要求每个抽屉里放1 本且不能放回原来的抽屉，则
分配方式有（
）种。
A.9
B.12
C.14
D.16
【解析】1.“4 个抽屉里”、“不能放回原来的抽屉”，0、1、2、9、44，
4 个元素对应9 种，对应A 项。【选A】
【例2】（2015 山东）某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交
流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方
式？
A.120
B.78
C.44
D.24
【解析】2.“5 个科室”、“交流到其他科室”，意味着都不回到自己原来
的位置，5 个元素对应44 种，对应C 项。【选C】
【练一个】（2014 北京）相邻的4 个车位中停放了4 辆不同的车，现将所
有车开出后再重新停入这4 个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一
共有多少种不同的停放方式（
）
A.9
B.12
C.14
D.16
【解析】拓展.“相邻的4 个车位中停放了4 辆不同的车”、“要求所有车
都不得停在原来的车位中”，0、1、2、9、44，4 个元素对应9 种，对应A 项。
【选A】
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【错位重排——延展变形考法】
部分错位：n 个元素中有m 个元素重排后发生错位
解题方法：先选出错位的元素，再错位重排，即C（n,m）*Dm
【引例】四个装药的瓶子都贴了标签，其中三个贴错了，那么，共有几种可
能的贴法？
A.6
B.8
C.12
D.16
【注意】错位重排——延展变形考法：
1.部分错位：n 个元素中有m 个元素重排后发生错位。
2.解题方法：先选出错位的元素，再错位重排，即C（n,m）*Dm。
3.引例：四个装药的瓶子都贴了标签，其中三个贴错了，那么，共有几种可
能的贴法？
A.6
B.8
C.12
D.16
答：第一步，从4 个瓶子中选出3 个贴错的，为C（4,3），“三个贴错了”，
说明每个都没有回到原来位置，0、1、2、9，D3=2，列式：C（4,3）*2=4*2=8，
选择B 项。
【例3】（2017 国家）某集团企业5 个分公司分别派出1 人去集团总部参加
培训，培训后再将5 人随机分配到这5 个分公司，每个分公司只分配1 人。问5
个参加培训的人中，有且仅有1 人在培训后返回原分公司的概率：
A.低于20%
B.在20%～30%之间
C.在30%～35%之间
D.大于35%
【解析】3.满足要求的情况数：“有且仅有1 人在培训后返回原分公司”，
说明余下的4 个人都错位，从5 个人中选4 人，为C（5,4），4 个人错位有9
种情况，选出1 个人在培训后返回原分公司，为C（5,1），C（5,1）=C（5,4），
两个思路相同，列式：C（5,4）*9；总情况数：5 个人排序，为A（5,5）。概率
=C（5,4）*9/A（5,5）=9/24=3/8=37.5%，对应D 项。【选D】
错位重排小结
8
题型识别：n 个元素，打乱顺序后重新排列，元素均不回到原位置
应用环境：借调人员、互换车位、交叉审核等
解题方法：
①全错位：n 个元素，有n 个位置，重排后均发生错位Dn，牢记D2=1；D3=2；
D4=9；D5=44。
②部分错位：n 个元素中m 个元素重排后发生错位，则先选出错位的元素，
再错位重排，即C（n,m）*Dm
【注意】错位重排小结：
1.题型识别：n 个元素，打乱顺序后重新排列，元素均不回到原位置。
2.应用环境：借调人员、互换车位、交叉审核等。
3.解题方法：
（1）全错位：n 个元素，有n 个位置，重排后均发生错位Dn，牢记D2=1；
D3=2；D4=9；D5=44。一般情况，答案在D4=9、D5=44 之间。
（2）部分错位：n 个元素中m 个元素重排后发生错位，则先选出错位的元
素，再错位重排，即C（n,m）*Dm。Dm是n 个元素，D2是2 个元素，D3是3 个元
素。
环形排列
四个人排成一排，共有多少种排法？
四个人围成一圈，共有多少种排法？
结论：n 个人站成一排，有A（n,n）种排列方式
区分：
n 个人围成一圈，有A（n,n）/n=A（n-1,n-1）种排列方式
n 个人坐在n 把有编号的椅子上，围成一圈，有A（n,n）种排列方式
【注意】环形排列：
1.例：
（1）四个人排成一排，共有多少种排法？
答：所求=A（4,4）=4*3*2*1，n 个人排成一排→A（n,n）。
（2）四个人围成一圈，共有多少种排法？
答：假设这四个人是a、b、c、d，围成一圈，此时排法不是A（4,4）；只要
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左右两边的人不变，则顺序不变，说明圈可以转（如图所示，顺序均为a、b、c、
d）；综上，围成一圈有4 种顺序重复，所求=A（4,4）/4=A（3,3）。
2.结论：n 个人站成一排/一列，有A（n,n）种排列方式。
3.区分：
（1）n 个人围成一圈（重复n 次），有A（n,n）/n=A（n-1,n-1）种排列方
式。
（2）n 个人坐在n 把有编号的椅子上，围成一圈，有A（n,n）种排列方式。
解释：围着桌子转，有4 把标号的椅子，原来是a、b、c、d 对应1、2、3、4
号，转一下→d、a、b、c 对应1、2、3、4 号，发生变化。
【例1】（2025 上海）甲参加公司团建，其中一个项目就是做手工风车，要
将材料袋中的七个不同卡通头像贴在如图所示的七个圆点处。则做出来的风车一
共的可能性有多少种？
10
A.7
B.140
C.840
D.5040
【解析】1.如图所示，圆中间加个点，问做出来的风车一共的可能性有多少
种。中间这个点最特殊，其余的点为环形排列；先从七个不同卡通头像贴中任选
一个放在风车的中间圆点处，为C（7,1）=7；剩下六个不同卡通头像贴进行环
形排列，为A（6-1,6-1）=A（5,5）=120；所求=7*120=840，对应C 项。【选C】
【注意】
1.n 个人围成一圈，有A（n-1,n-1）种排列方式。
2.记住：A（3,3）=6、A（4,4）=24、A（5,5）=120、A（6,6）=720。
【例2】（2023 广东事业单位）某婚宴酒席采用圆桌，每桌均设8 个座位，
若某桌宾客均为结对夫妻，且每对夫妻均相邻而坐，则该桌共有（
）种落座方
式（不考虑座位方位）。
A.768
B.192
C.96
D.48
11
【解析】2.已知“每桌均设8 个座位，若某桌宾客均为结对夫妻”，说明有
4 对夫妻。要求“每对夫妻均相邻而坐”，相邻问题，利用捆绑法；做题思路：
先捆要相邻的元素（计算内部顺序），将捆起来的看成一个整体、再排序。本题
有4 对夫妻→捆4 次，每对内部有2 个人，内部顺序为2*2*2*2=2
4=16；将每对
看成1 个整体，即4 个元素进行环形排列，为A（4-1,4-1）=A（3,3）=6。综上，
所求=16*6=96，对应C 项。【选C】
【注意】
1.n 个人围成一圈，有A（n-1,n-1）种排列方式。
2.区分：“既……又……”→分步用乘法，“要么……要么……”→分类用加
法。
3.计算：A（4,4）=4*3*2*1=24，建议背下来。
【例3】（2021 联考）两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木
马，那么两个大人不相邻的概率为：
A.2/5
B.3/5
C.1/3
D.2/3
【解析】3.问“两个大人不相邻的概率”，不相邻问题利用插空法；解题思
路：先排可以相邻的元素，再插不能相邻的元素。两个大人不相邻→四个孩子可
以相邻，先排四个孩子，“圆型旋转木马”→环形排列，为A（4-1,4-1）=A（3,3）；
四个孩子可以形成四个空位、放两个不一样的大人，有顺序→A（4,2）；先排再
插，为A（3,3）*A（4,2）。总的情况数：6 个人进行环形排列，为A（6-1,6-1）
=A（5,5）。综上，所求=A（3,3）*A（4,2）/A（5,5）=6*4*3/（5*4*3*2*1）=3/5，
12
对应B 项。【选B】
【注意】
1.n 个人围成一圈，有A（n-1,n-1）种排列方式。
2.其他方法：先计算两个大人相邻的概率（利用“跟屁虫”的方法），让第
一个大人随便坐，还剩5 个位置、相邻的位置有2 个（左右两边），P 两个大人相邻=2/5；
所求=1-2/5=3/5，对应B 项。
【拓展】（2024 广东事业单位）6 位老友围坐一圈吃晚饭，则老王与老刘相
邻而坐的情况一共有48 种。（
）
A.0（错误）
B.1（正确）
【解析】拓展.课堂正确率为55%。要求老王与老刘相邻而坐，先对相邻的
两个人进行捆绑，内部顺序为A（2,2）；将捆在一起的两个人看成一个整体、再
与另外4 人进行环形排列，即5 个人进行环形排列，为A（4,4）。所求=A（2,2）
*A（4,4）=2*24=48，说法正确，对应B 项。【选B】
【注意】n 个人围成一圈，有A（n-1,n-1）种排列方式。
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跟屁虫原理
题型特征：两人（物）要在同一排、列、队、两个人环形相邻
【引例】教室有5 排共30 个座位，每排座位数相同，小张和小李随机入座，
则他们坐在同一排的概率：
解题思路：
第一步：让一个人随便选，P1=1（必然事件）
第二步：计算第二个人找到的概率，P2
分步用乘法：P=P1*P2=P2
【练一个】教室有5 排共30 个座位，每排座位数相同，小张和小李随机入
座：
问1：他们坐在同一列的概率：
问2：他们坐不在同一列的概率：
【注意】跟屁虫原理：
1.题型特征（背下来）：两人（物）要在同一排、列、队，即你去哪、我就
去哪；或者，两个人环形相邻。
2.引例：教室有5 排共30 个座位，每排座位数相同，小张和小李随机入座，
则他们坐在同一排的概率：
答：已知“5 排共30 个座位，每排座位数相同”，每排30/5=6 个座位，问
“他们坐在同一排的概率”。
（1）过去的方法——纯计算：从5 排中选1 排→C（5,1），从6 个位置中选
2 个、对调则结果不一样（有顺序）→A（6,2），总的情况数为从30 个位置中选
2 个→A（30,2），所求=C（5,1）*A（6,2）/A（30,2）=5*6*5/（30*29）=5/29。
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（2）利用“跟屁虫”的方法：先让其中一个人随便选1 个位置，还剩下30-1=29
个位置、同一排还剩下6-1=5 个位置，所求=5/29。
3.解题思路：
（1）第一步：让一个人随便选，P1=1（必然事件）。
（2）第二步：计算第二个人找到的概率，P2。
（3）分步用乘法：P=P1*P2=P2。
4.练习：教室有5 排共30 个座位，每排座位数相同，小张和小李随机入座。
（1）问1：他们坐在同一列的概率：第一个人随便坐，还剩29 个座位、同
一列还剩4 个座位，所求=4/29。
（2）问2：他们坐不在同一列的概率：结合（1），所求=1-4/29。
【拓展】（2018 国考）某单位的会议室有5 排共40 个座位，每排座位数相
同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：
A.不高于15%
B.高于15%但低于20%
C.正好为20%
D.高于20%
【解析】拓展.课堂正确率为74%。“5 排共40 个座位”→每排40/5=8 个座
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位，问“他们坐在同一排的概率”；先让第一个人随便坐，还剩下39 个座位、同
一排还剩下7 个座位，所求=7/39≈18%，对应B 项。【选B】
【注意】解题思路：
1.第一步：让一个人随便选。
2.第二步：计算第二个人找到的概率。
【例1】（2019 联考）某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝
火四周，其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：
A.2/97
B.2/98
C.2/99
D.2/100
【解析】1.问“小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率”，“围坐在篝火四
周”→两个主体环形排列，利用“跟屁虫”的方法；先让一个人随便坐，剩下
99 个位置、相邻的位置有2 个（左右两边），所求=2/299，对应C 项。【选C】
【注意】解题思路：
1.第一步：让一个人随便选。
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2.第二步：计算第二个人找到的概率。
【例2】（2021 江苏）某次圆桌会议共设8 个座位，有4 个部门参加，每个
部门2 人，排座位时，要求同一部门的两人相邻，若小李和小王代表不同部门参
加会议，则他们座位相邻的概率是：
A.1/48
B.1/24
C.1/12
D.1/6
【解析】2.要求同一部门的两人相邻，小李（假设搭档为a）和小王（假设
搭档为b）代表不同部门参加会议；先让第一个人随便坐，且同一部门的两人相
邻→选其中1 个相邻的位置，则剩下6 个位置、相邻的位置只剩1 个，所求=1/6，
对应D 项。【选D】
【注意】解题思路：
1.第一步：让一个人随便选。
2.第二步：计算第二个人找到的概率。
【例3】（2018 联考）某单位工会组织桥牌比赛，共有8 人报名，随机组成
4 队，每队2 人。那么，小王和小李恰好被分在同一队的概率是：
A.1/7
B.1/14
C.1/21
D.1/28
【解析】3.问小王和小李恰好被分在同一队的概率，让第一个人随便选，还
剩7 个位置、同一队只剩1 个位置，所求=1/7，对应A 项。【选A】
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【注意】解题思路：
1.第一步：让一个人随便选。
2.第二步：计算第二个人找到的概率。
【例4】（2025 浙江）某班级只有两个宿舍的男生，每宿舍4 人。每周从这
8 人中随机抽取一人担任周管理员，同一人不连续两周担任管理员。问开学前三
周的管理员都来自同一宿舍的概率在以下哪个范围？
A.0%～10%
B.10%～20%
C.20%～30%
D.30%～40%
【解析】4.要求“同一人不连续两周担任管理员”，问开学前三周的管理员
都来自同一宿舍（同一队）的概率在以下哪个范围。第一周随便选，概率为1；
此时一共剩下7 个、第二周可选3 个，概率为3/7；第一个人在第三周可以参与
选举，此时一共剩下7 个、第三周可选3 个，概率为3/7；综上，所求=1*（3/7）
*（3/7）=9/49=10
+%，对应B 项。【选B】
【注意】解题思路：
1.第一步：让一个人随便选。
2.第二步：计算第二个人找到的概率。
跟屁虫原理
题型特征：两人（物）要在同一排、列、队、两个人环形相邻
解题思路：
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第一步：让一个人随便选，P1=1（必然事件）
第二步：计算第二个人找到的概率，P2
分步用乘法：P=P1*P2=P2
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遇见不一样的自己
Be your better self
