江西省景德镇一中2024-2025 学年高一（20 班）下学期期末考试
数学试题
一、单选题
1．抛物线
2
6
y
x
= -
的准线方程为（ ）
A．
3
2
x = -
B．
3
2
x =
C．
1
24
y =
D．
1
24
y = -
2．若双曲线
1
C 与双曲线
2
C ：
2
2
1
4
3
x
y
-
= 有相同渐近线，且
1
C 过点
2,3 ，则双曲线
1
C 的标准方程为（ ）
A．
2
2
1
3
y
x -
=
B．
2
2
1
6
8
y
x
-
=
C．
2
2
1
6
8
x
y
-
= 或
2
2
1
6
8
y
x
-
=
D．
2
2
1
3
y
x -
= 或
2
2
1
3
x
y -
=
3．已知点P 为双曲线
2
2
:
1
4
y
C x -
= 右支上的一个动点，则点P 到直线:
2
4
l y
x
=
+
的距离的取值范围为
（ ）
A．4 5 ,
5
é
ö
+¥÷
ê
÷
ë
ø
B．4 5 ,
5
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
C．
2,+¥
D．5 ,
4
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过
1,0
A -
，且与圆C ：
2
2
1
9
x
y
-
+
=
相切，则圆心P 的轨
迹是（ ）
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．拋物线
5．已知抛物线
2
:
2
0
C y
px p
=
>
的焦点为F ，斜率为k 的直线l 经过点F ，并且与抛物线C 交于A 、B 两
点，与y 轴交于点M ，与抛物线的准线交于点N ，若
2
AF
MN
=
uuur
uuuur
，则k = （ ）
A．
3
B．
2
C．
2
±
D．
3
±
6．已知曲线C 上任意一点
,
P x y 满足
2
2
2
2
2
1
2
1
2 2
x
y
y
x
y
y
+
+
+ +
+
-
+
=
，则曲线C 上到直线
2
4
0
x
y
-
-
=
的距离最近的点的坐标是（ ）
A．
2
2
(
,
)
3
3
-
B．
6
6
(
,
)
3
3
-
C．3 9
( , )
2 4
D．
6
6
(
,
)
3
3
-
7．已知双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
），斜率为
3
-
的直线l 过原点O 且与双曲线C 交于P，Q 两
点，且以PQ 为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
3
1
2
+
B．
3
1
+
C．2 3
1
-
D．2 3
2
-
8．已知斜率为
15
5
的直线l 过双曲线
2
2
:
1
0
y
C x
m
m
-
=
>
的左焦点F ，且与C 的左，右两支分别交于A ，B
两点，设O 为坐标原点，P 为AB 的中点，若
OFP
△
是以FP 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为
（ ）
A．2
B．
2
C．3
D．
3
二、多选题
9．已知双曲线C：
2
2
1
2
x
y
m -
= （
0
m >
）的一条渐近线方程为
2
0
x
y
-
=
，点
1F ，
2F 分别是C 的左、右焦点，
点
1A ，
2
A 分别是C 的左、右顶点，过点
2F 的直线l 与C 相交于P，Q 点，其中点P 在第一象限内，记直线
1
PA
的斜率为
1k ，直线
2
PA 的斜率为
2k ，则（ ）
A．双曲线C 的焦距为2 10
B．
1
2
|
|
|
| 4 2
PF
PF
-
=
C．|
| 4 2
PQ >
D．
1
2
1
4
k k =
10．已知抛物线
2
8
y
x
=
（如图），过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线和圆
2
2
(
2)
4
x
y
-
+
=
于
A ，C ，D ，B 四点，则（ ）
A．
12
OA OB
×
= -
uuur uuur
B．
4
AC
BD
×
=
C．当直线l 的斜率为
3 时，
128
3
AB
AF
×
=
D．4
18
AF
BF
+
³
11．已知
1
9
4
x x
y y
+
= ，则关于函数
y
f x
=
说法正确的是（ ）
A．函数
f x 在R 上为减函数
B．函数
f x 的图象的对称轴为y
x
=
C．
0
x
$ <
，使得
0
f x <
D．
2
3
f x
x
> -
12．已知椭圆
2
2
:
1
25
9
x
y
C
+
= ，
1F ，
2F 分别为它的左右焦点，
,
A B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上异于
,
A B 的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P 使得
1
2
π
2
F PF
Ð
=
B．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值
9
25
-
C．
1
1
9
PF
<
<
D．若
1
2
PF F
a
Ð
=
，
2
1
PF F
b
Ð
=
，则
1
tan
tan
2
2
9
a
b =
三、填空题
13．已知双曲线
2
2
2
:
1
4
x
y
C a -
= 的一条渐近线方程为
1
2
2
3
0
x
y
F
F
+
= ，，
分别是双曲线C 的左、右焦点，点P
在双曲线C 上，且
1
7
PF =
，则
2
PF =
．
14．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的左焦点为
1
,0 ,
F
c
-
直线
3
y
x
c
=
+
与双曲线E 交于
,
A B 两
点，若
1
1
3
F B
F A
=
uuur
uuur
，则双曲线E 的离心率为
．
15．已知点P 是椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 上一动点，过点P 作
2
2
1
:(
1)
4
G
x
y
+
+
=
的切线PA、PB，切点分别为A、
B，当PG
AB
×
最小时，线段AB 的长度为
．
16．已知椭圆
2
2
1
8
4
x
y
E
+
=
：
，直线
1
3
y
x
=
与椭圆E 交于A
B
、两点，M 为椭圆外一点，直AM
BM
、
分别交
椭圆E 于C
D
、
两点，直线AD
BC
、
交于点N ，则直线MN 的斜率是
.
四、解答题
17．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
y
x
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，且E 过点(1,0) ．
(1)求E 的方程；
(2)若斜率为2 的直线l 与y 轴交于点D ，与E 交于M ，N 两点，证明：
2
2
|
|
|
|
DM
DN
+
为定值．
18．已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为2.且经过点
2,3 .
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A，B 两点，且
0
OA OB
×
=
uuur uuur
（点O 为坐标原点），求AB 的取值范围.
19．如图所示，在三棱锥S
ABC
-
中，SC ^平面ABC ，
3
SC =
，AC
BC
^
，
2
2
CE
EB
=
=
，
3
2
AC =
，
CD
ED
=
.
(1)求证：DE ^平面SCD ；
(2)求平面ASD 与平面CSD 的夹角余弦值；
(3)求点A 到平面SCD 的距离.
20．已知双曲线
2
2
:
1,
,2
4
x
C
y
M m
-
=
，斜率为k 的直线l 过点M.
(1)若
0
m =
，且直线l 与双曲线C 只有一个交点，求k 的值；
(2)已知点(2,0)
T
，直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A，B，直线
,
TA TB 的斜率分别为
1
2
,
k k ，若
1
2
k
k
+
为
定值，求实数m 的值.
21．已知椭圆
2
2
2
2
:
=1
x
y
E a
b
+
（
0
a
b
>
>
），四点
1(1,1)
P
，
2(0,1)
P
，
3
3
( 1,
)
2
P -
，
4
3
(1,
)
2
P
，中恰有三点在椭圆E
上．
(1)求E 的方程；
(2)设A 、B 是E 的左、右顶点，直线l 交E 于C、D 两点，直线AC 、BD 的斜率分别为
1k 、
2k ．若
1
2
7
k
k
=
；
①证明：直线l 过定点；
②求四边形ACBD 面积S的最大值．
22．在平面直角坐标系xOy 中，
,
P Q 为双曲线
2
2
2
:
1
0
x
C
y
a
a -
=
>
上两不重合的动点，点
3
2, 2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø，且当
, ,
,
O P Q A四点共线时，
10 7
7
PQ =
.
(1)求C 的标准方程；
(2)若直线l 与C 的渐近线垂直，且经过点A ，求直线l 与两坐标轴交点的坐标；
(3)若
,
P Q 均在C 的右支上，且线段OA是
OPQ
△
的角平分线，求直线PQ的方程.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
B
D
B
B
A
ABD
ABD
题号
11
12
答案
AD
ACD
1．C
整理成标准式方程即可得到准线方程.
【详解】
2
6
y
x
= -
即
2
1
6
x
y
= -
，
则准线方程为
1
24
y =
.
故选：C.
2．B
根据共渐近线的双曲线方程为
2
2
1
0
4
3
x
y
l
l
l
-
=
¹
.代入点的坐标即可求解.
【详解】因为
1
C 和
2
C 有相同的渐近线，所以设双曲线
1
C 的方程为
2
2
1
0
4
3
x
y
l
l
l
-
=
¹
，将
2,3 代入得
2
4
1
4
9
3
l
l
l
-
= Þ
= - ，所以双曲线
1
C 的方程为
2
2
1
6
8
y
x
-
= ，
故选：B
3．B
把所求问题转化为求点P 到直线
2
4
y
x
=
+
的最小距离，结合平行线间的距离公式可求.
【详解】双曲线
2
2
1
4
y
x -
= 的渐近线方程为
2
y
x
= ±
，
而直线
2
4
y
x
=
+
与
2
y
x
=
平行，平行线间的距离
4
4 5
5
4 1
d =
=
+
，
由题意可知点P 到直线
2
4
y
x
=
+
的距离大于4 5
5
.
故选：B.
4．B
易得点A 在圆C 内，则圆P 内切与圆C ，再根据椭圆的定义即可得解.
【详解】因为
2
2
1 1
0
4
9
- -
+
=
<
，所以点A 在圆C 内，
所以圆P 内切与圆C ，
由两圆内切的关系可知，
3
C
P
PC
r
r
AP
=
-
=
-
，
从而
3
2
AP
PC
AC
+
=
>
=
，
所以点P 轨迹是以
,
A C 为焦点的椭圆.
故选：B.
5．D
设准线与x 轴的交点为P ，过A 作准线的垂线，垂足为A¢，，根据抛物线的定义以及三角形的性质可得
2
AN
AA
=
¢ ，根据含30o角的直角三角形的性质可得答案.
【详解】当A 在第一象限时，
设准线与x 轴的交点为P ，过A 作准线的垂线，垂足为A¢，
因为OM
PN
∥
，且O 为PF 的中点，
所以OM 为三角形PFN 的中位线，即FM
MN
=
，
所以
2
N
AF
MN
F
=
=
uuur
uuuur
uuur
，又根据抛物线的定义AF
AA
=
¢ ，
所以
2
2
AN
AF
AA
=
=
¢ ，
所以在直角三角形AA N
¢
中，
60
A AN
¢
Ð
=
o，
所以
60
AFx
Ð
=
o ，此时
3
k =
，
根据对称性，当A 在第四象限时，
3
k = -
，
故选：D.
6．B
根据两点间距离公式和椭圆的定义可知曲线C 为椭圆，从而得出椭圆方程；设与直线2
4
0
x
y
-
-
=
平行且与
曲线C 相切的直线方程，与椭圆方程联立，得到一元二次方程，利用判别式为零，求解交点坐标即可.
【详解】
2
2
2
2
2
1
2
1
2 2
x
y
y
x
y
y
+
+
+ +
+
-
+ =
Q
2
2
2
2
1
1
2 2
x
y
x
y
\
+
+
+
+
-
=
设
1 0, 1
F
-
,
2 0,1
F
则
1
2
2
F F =
,
2
2
2
2
1
1
2 2
x
y
x
y
+
+
+
+
-
=
Q
1
2
1
2
2 2
2
PF
PF
F F
\
+
=
>
=
P
\
点的轨迹是以
1 0, 1
F
-
，
2 0,1
F
为焦点的椭圆.
1,
2,
c
a
\ =
=
2
1
b
\
= \曲线C 的方程是：
2
2
1
2
y
x +
=
设与直线2
4
0
x
y
-
-
=
平行且与曲线C 相切的直线方程为2
0
x
y
t
-
+ =
.由
2
2
2
0
1
2
x
y
t
y
x
-
+ =
ìïí
+
=
ïî
得
2
2
2
2
2
x
t
y
x
y
+ =
ì
í
+
=
î
2
2
6
4
2
0
x
tx
t
+
+
-
=
，，
2
2
=16
24(
2)
0
t
t
\D
-
-
=
，
=
6
t
\
±
，
当= 6
t
时，
6
=
3
x
\
-
，
6
= 3
y
；当=
6
t
-
时，
6
= 3
x
\
，
6
=
3
y
-
；又
2
0
x
y
t
-
+ =
Q
中靠近2
4
0
x
y
-
-
=
的点应该在椭圆的下方，\曲线C 上到直线2
4
0
x
y
-
-
=
的距离最近的点的坐标是
6
6
(
,
)
3
3
-
.
故选：B
7．B
先由双曲线与直线对称性，得四边形PFQF¢ 为平行四边形，再将已知条件转化为焦点三角形中的长度关系，
然后利用定义求离心率即可.
【详解】设双曲线C 的左焦点F ，右焦点为F¢，P 为第二象限上的点，
连接PF，PF¢，QF，QF¢，
根据双曲线的性质和直线l 的对称性知，四边形PFQF¢ 为平行四边形.
因为以PQ 为直径的圆经过双曲线的一个焦点，
所以PF
QF
^
，即四边形PFQF¢ 为矩形，
由直线l 的斜率为
3
-
，得
60
POF
Ð
=
o ，
又PO
FO
c
=
=
，则POF
V
是等边三角形，所以PF
c
=
.
在Rt
PFQ
△
中，
2
PQ
c
=
，则
3
FQ
c
=
，故
3
PF
c
¢ =
，
又由双曲线定义知
|
| 2
PF
PF
a
¢ -
=
，所以3
2
c
c
a
-
=
，
则
2
3
1
3
1
c
e
a
=
=
=
+
-
.
故选：B.
8．A
由点差法得
OP
AB
k
k
m
×
=
，由条件知直线OP 的倾斜角为AB 倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线
,
AB OP 的
斜率，代入两直线的斜率关系式
OP
AB
k
k
m
×
=
，求得m ，进而得离心率.
【详解】由双曲线
2
2
:
1
0
y
C x
m
m
-
=
>
，可知
2
2
2
1,
,
1
a
b
m c
m
=
=
= +
.
设
1
1
2
2
0
0
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
P x
y
,
由
,
A B 均在
2
2
:
1
y
C x
m
-
= 上，P 为AB 的中点，
得
2
2
1
1
2
2
2
2
mx
m
y
mx
m
y
ì
=
+
í
=
+
î
，则
1
2
1
2
1
2
1
2
m x
x
x
x
y
y
y
y
-
+
=
-
+
，
由
,
A B 分别在C 的左，右两支，则
1
2
0
x
x
-
¹
，且
1
2
0
x
x
+
¹
，
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
2
2
y
y
y
y
y
y
y
m
x
x
x
x
x
x
x
-
+
-
\
×
-
×
=
=
-
+
，
OP
AB
k
k
m
\
×
=
.
设直线AB 的倾斜角为a ，则
15
tan
5
AB
k
a
=
=
，a 为锐角，
OFP
Q△
是以FP 为底边的等腰三角形，则
PFO
OPF
a
Ð
= Ð
=
，
\直线OP 的倾斜角为2a ，则
2
2tan
tan 2
1
tan
OP
k
a
a
a
=
= -
.
2
2
2tan
tan
tan 2
1
tan
OP
AB
k
k
m
a
a
a
a
\
×
=
×
=
=
-
，
由
15
tan
5
a =
代入得，
2
2
15
2
5
3
15
1
5
m
æ
ö
´ç
÷
è
ø
=
=
æ
ö
-ç
÷
è
ø
.
所以椭圆的离心率为
1
2
c
e
m
a
=
=
+
=
.
故选：A.
9．ABD
【详解】A 选项，双曲线C：
2
2
1
2
x
y
m -
= （
0
m >
）的渐近线方程为
2
y
x
m
= ±
，
又一条渐近线方程为
2
0
x
y
-
=
，故
2
1
2
m =
，解得
8
m =
，
故
2
8
2
10
c =
+
=
，解得
10
c =
，故双曲线C 的焦距为2 10 ，A 正确；
B 选项，由A 知，
8
2 2
a =
=
，由双曲线定义得
1
2
|
|
|
| 2
4 2
PF
PF
a
-
=
=
，B 正确；
C 选项，
2
10 0
F
，，当直线l 与x 轴垂直时，
2
2
1
8
2
y
x -
= 中，令
10
x =
时，
2
2
y = ±
，故|
|
2
4 2
PQ =
<
，C 错误；
D 选项，
1
2
2 2 0
2 2 0
A
A
-
，，
，，
设
,
P m n ，则
2
2
1
8
2
m
n
-
= ，即
2
2
2
4
m
n =
-
，
2
1
2
2
2
2
2
1
8
8
4
2 2
2
4
2
n
n
n
k k
m
m
m
m
m
=
×
-
=
=
=
-
-
+
-
，D 正确.
故选：ABD
10．ABD
根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A，根据焦半径即可
求解BC，结合基本不等式即可求解D.
【详解】由题意可得
(2,0)
F
，
设直线l 方程为
2
x
t y
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
则
2
8
2
y
x
x
ty
ì
=
í =
+
î
，
2
8
16
0
y
ty
-
-
=
，所以
1
2
1
2
8 ,
16
y
y
t y y
+
=
= -
，
对于A，
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4 16
12
64
y y
OA OB
x x
y y
y y
×
=
+
=
+
=
-
= -
uuur uuur
，故A 正确，
对于B，
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
4
64
y y
AC
BD
AF
BF
x
x
x x
×
=
-
×
-
=
+
-
×
+
-
=
=
=
，B 正确，
对于C，当直线l 斜率为
3 时，直线方程为
3
2
y
x
=
-
，联立直线与抛物线方程可得
2
3
20
12
0
x
x
-
+
=
，
解得
1
2
2
6,
3
x
x
=
=
，所以
1
2
20
3
x
x
+
=
，
所以
1
2
1
32
256
4
2
8
3
3
AB
AF
x
x
x
×
=
+
+
+
=
´ =
，故C 错误，
对于D，
1
2
1
2
1
2
4
1
1
1
1
2
2
2
2
x
x
AF
BF
x
x
x
x
+
+
+
=
+
=
+
+
+
+
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
8
4
4
4
16
ty
ty
t y
y
ty
ty
t y y
t y
y
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
，
将
1
2
1
2
8 ,
16
y
y
t y y
+
=
= -
代入可得
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
8
1
1
8
8
1
4
16
16
32
16
2
t y
y
t
AF
BF
t y y
t y
y
t
t
+
+
+
+
=
=
=
+
+
+
-
+
+
，
所以
2
8
1
1
4
2 4
10
10
2 16
18
BF
AF
AF
BF
AF
BF
AF
BF
AF
BF
æ
ö
+
=
+
+
=
+
+
³
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
等号成立当且仅当|
| 2 |
| 6
BF
AF
=
=
时等号成立，故D 正确.
故选：ABD.
11．AD
利用不同象限表示不同的圆锥曲线图象可求解.
【详解】当
0,
0
x
y
³
³
时，原等式化为
2
2
1
9
4
x
y
+
= ，
当
0,
0
x
y
³
<
时，原等式化为
2
2
1
9
4
x
y
-
= ，
当
0,
0
x
y
<
³
时，原等式化为
2
2
1
4
9
y
x
-
= ，
当
0,
0
x
y
<
<
时，原等式化为
2
2
1
9
4
x
y
-
-
= ，此方程无解，
结合椭圆、双曲线的图象作出图象如下：
由图象可知，函数
f x 在R 上为减函数，所以A 正确；
第一象限的图象为椭圆的部分，不关于y
x
=
，所以B 错误；
函数图象不出现在第三象限，所以不存在
0
x <
，使得
0
f x <
，
所以C 错误；
因为第四象限部分双曲线
2
2
1
9
4
x
y
-
= 的渐近线与第二象限的双曲线
2
2
1
4
9
y
x
-
= 部分的渐近线都为
2
3
y
x
= -
，
所以结合函数图象
2
3
f x
x
> -
恒成立，所以D 正确.
故选:AD.
12．ACD
当点P 在上下顶点时，
1
2
F PF
Ð
最大，结合余弦定理即可判断A 选项；
根据题意，计算直线PA 与直线PB 斜率乘积即可判断B 选项；
根据椭圆上任意一点到一个焦点的最小距离a
c
-
，最大距离a
c
+ ，即可判断C 选项；
利用正弦定理和三角恒等变换，把
,
a b 用
,
2
2
a b 表示，进而得到
1
tan
tan
2
2
1
e
e
a
b
-
= +
，即可判断D 选项.
【详解】椭圆
2
2
:
1
25
9
x
y
C
+
= ，设
1
2
,
F F 分别为它的左右焦点，
,
A B 分别为它的左右顶点，
,
D E 分别为它的
上下顶点，如图:
所以
2
2
2
2
25,
9,
4
a
b
c
a
b
=
=
=
-
=
，
5,0
A -
，
5,0
B
，
1
2
4,0 ,
4,0
F
F
-
.
对于A：当点P 在上下顶点时，
1
2
F PF
Ð
最大，因为
2
2
2
1
2
5
5
8
7
cos
2 5 5
25
F DF
+
-
Ð
=
= -
´ ´
，所以
1
2
F DF
Ð
为钝角，
因此存在P 使得
1
2
π
2
F PF
Ð
=
，故A 正确；
对于B：设
,
(
5)
P x y
x ¹ ±
，在
2
2
1
25
9
x
y
+
= 上，于是有
2
2
9(1
)(
5)
25
x
y
x
=
-
¹ ±
，
所以
2
2
2
2
2
2
9
9(1
)
(
25)
9
25
25
(
5)
5
5
25
25
25
25
PA
PB
x
x
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
x
-
-
-
×
=
×
=
=
=
= -
¹ ±
+
-
-
-
-
，
则直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值
9
25
-
，故B 错误；
对于C：由点P 是椭圆上异于
,
A B 的一个动点得，所以点P 到做焦点
1F 的最小距离大于
1
a
c
-
= ，最大距离
小于
9
a
c
+ =
，
可得
1
1
9
PF
<
<
，故C 正确；
对于D：设离心率为e，则
4
5
c
e
a
=
=
，
由正弦定理可得
2
1
1
2
2
sin
sin
sin[π
(
)]
sin(
)
PF
PF
F F
c
a
b
a
b
a
b
=
=
=
-
+
+
，
即
1
2
2 sin
2 sin
,
sin(
)
sin(
)
c
c
PF
PF
b
a
a
b
a
b
=
=
+
+
，
又
1
2
2
PF
PF
a
+
=
，而2 sin
2 sin
2
sin(
)
sin(
)
c
c
a
b
a
a
b
a
b
+
=
+
+
，即sin
sin
1
sin(
)
a
c
e
a
b
a
b
+
=
=
+
，
因为sin
sin
sin(
)
sin(
)
2sin(
)cos(
)
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
-
+
-
+
=
+
+
-
=
，
sin(
)
sin(2
)
2sin(
)cos(
)
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
=
´
=
，
所以
2sin(
)cos(
)
sin
sin
1
2
2
sin(
)
2sin(
)cos(
)
2
2
e
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
-
+
=
=
+
+
+
，即
cos(
)
1
2
cos(
)
2
e
a
b
a
b
-
=
+
，
化简得
cos
cos
sin
sin
1
tan
tan
1
2
2
2
2
2
2
cos
cos
sin
sin
1
tan
tan
2
2
2
2
2
2
e
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
=
=
-
-
，即
1
tan
tan
2
2
1
e
e
a
b
-
= +
，
所以
4
1
1
5
tan
tan
4
2
2
9
1
5
a
b
-
=
=
+
，故D 正确.
故选：ACD.
13．1或13
由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|．
【详解】由题知双曲线
2
2
2
:
1
4
x
y
C a -
= 的一条渐近线方程为2
3
0
x
y
+
=
，
即
2
3
y
x
= -
，则
2
3
b
a =
，
又
2
3
b
a
=
\
=
，
，
由双曲线的定义得，
1
2
2
6
PF
PF
a
-
=
= ，
1
7
PF =
Q
，
2
1
PF
\
= 或
2
13
PF =
．
故答案为1或13
14．4
【详解】方法一：可知直线
3
y
x
c
=
+
过左焦点
1
,0
F
c
-
，斜率
3
k =
，
且直线与双曲线E 相交，可知
3
b
a >
，则
2
1
2
c
b
e
a
a
æ
ö
=
=
+
>
ç
÷
è
ø
，
联立方程
2
2
2
2
3
1
y
x
c
x
y
a
b
ì
=
+
ïí
-
=
ïî
，消去x 可得
2
2
2
2
4
3
2 3
3
0
b
a
y
b cy
b
-
-
+
=
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
2
4
1
2
1
2
2
2
2
2
2 3
3
,
3
3
b c
b
y
y
y y
b
a
b
a
+
=
=
-
-
，
由
1
1
3
F B
F A
=
uuur
uuur
可知
2
1
3
y
y
=
，
与
2
1
2
2
2
2 3
3
b c
y
y
b
a
+
=
-
联立可得
2
2
1
2
2
3 3
3
2
3
b c
y
y
b
a
=
=
-
，
代入
4
1
2
2
2
3
3
b
y y
b
a
=
-
可得
2
2
4
2
2
2
2
3
3
3
3
2
3
b c
b
b
a
b
a
é
ù
ê
ú =
-
-
ê
ú
ë
û
，则
2
2
16
c
a
=
，
所以双曲线E 的离心率
2
2
4
c
c
e
a
a
=
=
=
；
方法二：由题意可知：直线
3
y
x
c
=
+
的斜率
3
k =
，则直线
1F A的倾斜角
π
3
q =
，
可得
2
2
1
π
1
cos 3
2
b
b
F A
c
a
c
a
=
=
+
+
，
2
2
1
π
1
cos 3
2
b
b
F B
c
a
c
a
=
=
-
-
，
因为
1
1
3
F B
F A
=
uuur
uuur
，可知
1
1
3
F B
F A
=
uuur
uuur
，
即
2
2
3
1
1
2
2
b
b
c
a
c
a
=
-
+
，整理可得
4
c
a
=
，
所以双曲线E 的离心率
4
c
e
a
=
=
；
方法三：因为直线
3
y
x
c
=
+
过点
,0
c
-
，将直线方程写为参数方程
3
x
c
t
y
t
= - +
ìïí
=
ïî
，
代入双曲线
2
2
2
2
2
1
x
y
a
c
a
-
=
-
可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
c
a
c
a t
c c
a
t
c
a
-
+
-
-
+
-
=
，
整理得
2
2
2
2
2
2
0
c
a t
c
a
c
a t
c
a
é
ù é
ù
-
-
-
+
-
-
=
ë
û ë
û
，
可知两解为
2
2
2
2
1
2
,
2
2
c
a
c
a
t
t
c
a
c
a
-
-
=
=
-
+
，
由
1
1
3
F B
F A
=
uuur
uuur
可知
1
1
3
F B
F A
=
uuur
uuur
，则1
2
3
t
t
=
，
即
2
2
2
2
3
2
2
c
a
c
a
c
a
c
a
-
-
=
-
+
，整理可得
4
c
a
=
，
所以双曲线E 的离心率
4
c
e
a
=
=
；
方法四：若以
1F 为极点、x 轴方向为极轴建立极坐标系，
则双曲线方程可以写为
1
cos
p
r
e
q
= +
，其中p 为焦点到相应准线的距离．
由直线的倾斜角为60o可知，取
π 4π
,
3
3
q =
可得
,
A B 两点，
由条件知B 在
1F A的延长线上，则当
4π
3
q =
时为负值，
可得
1
1
2
2
,
π
4π
2
2
1
cos
1
cos
3
3
p
p
p
p
F A
F B
e
e
e
e
=
=
= -
=
+
-
+
+
，
则
1
1
3
F B
F A
=
，即2
2
3
2
2
p
p
e
e
=
+
-
，解得
4
e =
.
故答案为：4.
15．
3
2
根据题意结合四边形PAGB 的面积分析可知当且仅当点P 为左顶点时，PG 取到最小值
1
a
c
-
= ，进而可得
线段AB 的长度.
【详解】由椭圆方程可知：
2
2
2,
3,
1
a
b
c
a
b
=
=
=
-
= ，
圆
2
2
1
:(
1)
4
G
x
y
+
+
=
的圆心为
1,0
G -
（也为椭圆的左焦点），半径
1
2
r =
，
因为PG
AB
^
，可知四边形PAGB 的面积
1
2
PAGB
S
PG
AB
=
×
，
当PG
AB
×
最小时，即为四边形PAGB 的面积
PAGB
S
最小，
又因为
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
4
PAGB
PAG
S
S
r
PA
PG
r
PG
=
=
´
×
=
-
=
-
△
，
可知当PG 取到最小值时，四边形PAGB 的面积
PAGB
S
最小，即PG
AB
×
最小，
且点P 是椭圆C 上一动点，
由椭圆性质可知：当且仅当点P 为左顶点时，PG 取到最小值
1
a
c
-
= ，
此时
3
π
,
2
6
PA
APG
=
Ð
=
，由对称性可知：
3
π
,
2
6
PB
BPG
=
Ð
=
，
即
π
3
APB
Ð
=
，PAB
V
为等边三角形，则
3
2
AB =
.
故答案为：
3
2
.
16．
3
2
-
设出点
,
,
,
,
A C D M N 的坐标，利用斜率坐标公式并表示出方程，再表示出直线MN 的斜率即可得出结论.
【详解】设
1
1
2
0
2
0
(
,
( ,
)
)
,
),
,
(
x
y
C x
A
y
D x
y
，则
0
0
0
0
,
,
3
(
)
B
x
x
y
y
-
=
-
，
2
2
2
2
0
0
1
1
8
2
,
8
2
x
y
x
y
=
-
=
-
，
令直线
,
,
,
CA CB DA DB 斜率分别
,
,
,
CA
CB
DA
DB
k
k
k
k
，
则
2
2
2
2
1
0
1
0
1
0
1
0
2
2
2
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
8
2
(8
2
)
2
CA
CB
y
y
y
y
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
x
y
y
-
+
-
-
×
=
×
=
=
= -
-
+
-
-
-
-
，同理
1
2
DA
DB
k
k
×
= -
，
设
3
3
4
4
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，由直线AC 过点M 得
3
0
3
0
(
)
AC
y
y
k
x
x
-
=
-
，
由直线BC 过点N 得
4
0
4
0
(
)
BC
y
y
k
x
x
+
=
+
，两式相乘得
3
0
4
0
3
0
4
0
1
(
)(
)
(
)(
)
2
y
y
y
y
x
x
x
x
-
+
= -
-
+
，
同理得
3
0
4
0
3
0
4
0
1
(
)(
)
(
)(
)
2
y
y
y
y
x
x
x
x
+
-
= -
+
-
，
两式相减得
3
4
0
3
4
0
2(
)
(
)
y
y
y
x
x x
-
= -
-
，直线MN 的斜率
3
4
0
3
4
0
3
2
2
MN
y
y
x
k
x
x
y
-
=
= -
= -
-
，
所以直线MN 的斜率为
3
2
-
.
故答案为：
3
2
-
17．(1)
2
2
1
4
y
x
+
=
(2)证明见解析
（1）利用椭圆离心率的性质结合椭圆经过的点求解基本量，得到椭圆方程即可；
（2）利用韦达定理表示出
2
1
2
1
2
4
,
2
8
t
t
x
x
x x
-
+
= -
=
，再利用两点间距离公式表示出目标式，化简得到定值
即可.
【详解】（1）由题意得
2
2
1
3
2
b
a
b
a
=
ì
ïí
-
=
ïî
，得
2
a =
，
故E 的方程为
2
2
1
4
y
x
+
= ；
（2）设
1
1
2
2
(0, ),
,
,
,
D
t M x y
N x
y
，则直线l 的方程为
2
y
x
t
=
+ ，
与
2
2
1
4
y
x
+
= 联立，得
2
2
8
4
4
0
x
tx
t
+
+
-
=
，
则
2
Δ
16 8
0
t
=
-
>
，且
2
1
2
1
2
4
,
2
8
t
t
x
x
x x
-
+
= -
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
|
|
DM
DN
x
y
t
x
y
t
+
=
+
-
+
+
-
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
5
5
2
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
é
ù
=
+
+
+
=
+
=
+
-
=
ë
û
，
故
2
2
|
|
|
|
DM
DN
+
为定值．
18．(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)
6,
é
+¥
ë
（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得
2
2
3
3
2
k
m
+
=
，根据弦
长公式，结合不等式即可求解，
【详解】（1）由题意可得
2
2
2
2
2
4
9
1
2
a
b
a
b
a
ì
-
=
ïïí
+
ï
=
ïî
，解得
2
2
1,
3
a
b
=
=
，
故双曲线方程为
2
2
:
1
3
y
C x -
= .
（2）当直线l 斜率不存在时，可设
,
,
,
A
A
A
A
A x
y
B x
y
-
，
则
,
,
,
A
A
A
A
OA
x
y
OB
x
y
=
=
-
uuur
uuur
，
将其代入双曲线方程
2
2
1
3
A
A
y
x -
= ，
又
2
2
0
A
A
OA OB
x
y
×
=
-
=
uuur uuur
，解得
6
2
A
y = ±
，
此时
2
6
A
AB
y
=
=
，
当直线l 斜率存在时，设其方程为y
kx
m
=
+
，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
联立
2
2
2
2
2
3
2
3
0
1
3
y
kx
m
k
x
kmx
m
y
x
=
+
ìï
Þ
-
-
-
-
=
í
-
=
ïî
，
故
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
0
2
3
3
3
Δ
4
12
1 3
12
3
0
k
km
x
x
k
m
x x
k
k m
m
k
m
k
ì -
¹
ï
ï
+
=
ï
-
ïí
-
-
ï
=
-
ï
ï
=
+
+
-
=
-
+
>
ïî
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
OA OB
x x
y y
x x
kx
m
kx
m
×
=
+
=
+
+
+
uuur uuur
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
3
2
1
1
0
3
3
m
km
k
x x
km x
x
m
k
km
m
k
k
-
-
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
-
-
，
化简得
2
2
3
3
2
k
m
+
=
，此时
2
Δ
6
9
0
k
=
+
>
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
AB
k
x
x
k
x
x
x x
=
+
-
=
+
×
+
-
2
2
2
2
2
2
3
1
4
3
3
km
m
k
k
k
-
-
æ
ö
=
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
2
2
2
2
2
12
3
1
3
m
k
k
k
-
+
=
+
-
4
2
2
4
2
4
2
10
9
16
6
6 1
6
9
6
9
k
k
k
k
k
k
k
+
+
=
=
+
-
+
-
+
，
当
0
k =
时，此时
6
AB =
，
当
0
k ¹
时，此时
2
2
16
6
1
9
6
AB
k
k
=
×
+
+
-
，
2
2
2
2
2
9
9
3
0,
2
6
k
k
k
k
k
-
¹
\
+
>
×
=
Q
，故
2
2
16
0
9
6
k
k
>
+
-
，
因此
2
2
16
6
1
6
9
6
AB
k
k
=
×
+
>
+
-
，
综上可得
6,
AB
¥
é
Î
+
ë
.
19．(1)证明见解析
(2)
3
6
(3) 3 2
4
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明DE
CD
^
，DE
CS
^
，由线线垂直证明线面垂直，即得证；
（2）由（1）DE
uuur 为平面SCD 的一个法向量，求解平面SAD 的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；
（3）由（1）DE
uuur 为平面SCD 的一个法向量，利用点面距离的向量公式
E
AD
d
D
DE
×
=
uuur
uuu
uu
r
u r
即得解
【详解】（1）证明：以C 为原点，CA ､CB ､CS 所在直线分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系，如图
则
(0 0 0)
C
，，，
3
(
0 0)
2
A
，，，(
)
0 0 3
S
，，，
(0 2 0)
E
，，，
取CE 的中点M ，作DN
AC
^
交AC 于点N
因为CD
ED
=
所以DM
CE
^
，又AC
BC
^
，
所以DM ∥AC ，DN ∥BC
所以BM
DM
BC
AC
=
，四边形DNCM 为平行四边形，
又
2
2
CE
EB
=
=
，
所以
2,
3,
1
BM
BC
CM
DN
=
=
=
= ，由
3
2
AC =
所以
2
1
3
3
2
DM
DM
=
Þ
= ，故
(11 0)
D ，，，
∵
( 11 0)
DE = -
uuur
，，，
(11 0)
CD =
uuur
，，，
(0 0 3)
CS =
uuur
，，，
∴
1 1 0
0
DE CD
×
= - + +
=
uuur uuur
，
0
0
0
0
DE CS
×
=
+
+
=
uuur uuur
，
即DE
CD
^
，DE
CS
^
，
∵CD
CS
C
Ç
=
，CD Ì 平面SCD ，CS Ì 平面SCD ，
∴DE ^平面SCD ；
（2）由（1）可知
( 11 0)
DE = -
uuur
，，为平面SCD 的一个法向量，
设平面SAD 的法向量为
(
)
n
x
y
z
=
r
，，
，而
1
(
1 0)
2
AD = -
uuur
，，，
3
(
0 3)
2
AS = -
uuur
，，，
则
1
0
2
3
3
0
2
n AD
x
y
n AS
x
z
ì ×
= -
+
=
ïïí
ï ×
= -
+
=
ïî
uuruuur
uuruuur
，令
2
x =
，可得
(211)
n =
r
，，，
设平面ASD 与平面CSD 的夹角为q ，
∴
2 1
0
3
cos
| cos
| |
|
6
,
2
6
DE n
q
- + +
=
=
=
×
uuur r
，
即平面ASD 与平面CSD 的夹角的余弦值为
3
6 ；
（3）
1
(
1 0)
2
AD = -
uuur
，，，平面SCD 的法向量为
( 11 0)
DE = -
uuur
，，，
设点A 到平面SCD 的距离为d ，
∴
1
1
3 2
2
4
2
AD DE
d
DE
+
×
=
=
=
uuur uuur
uuur
，
即点A 到平面SCD 的距离为3 2
4
.
20．(1)
1
2
k = ±
或
5
2
k = ±
；
(2)
2
m =
.
（1）设直线:
2
l y
kx
=
+
，联立双曲线方程得
2
2
(1 4
)
16
20
0
k
x
kx
-
-
-
=
，讨论
2
1
4
0
k
-
=
、
2
1
4
0
k
-
¹
，
分别求直线与双曲线只有一个交点情况下对应k 值；
（2）设直线:
2
l y
kx
mk
=
+
-
，
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，联立双曲线并应用韦达定理，
结合
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2(
)
2
2
2(
)
4
k
y
y
x y
x y
y
y
x
x
x
x
k
x
x
+
-
+
=
+
=
-
-
+
+
-
+
，韦达定理代入化简，根据定值列方程组求得参数m.
【详解】（1）由题设
0 2,
M
，设直线:
2
l y
kx
=
+
，联立双曲线，得
2
2
4(
2)
4
x
kx
-
+
=
，
所以
2
2
(1 4
)
16
20
0
k
x
kx
-
-
-
=
，
当
2
1
4
0
k
-
=
，即
1
2
k = ±
时，直线与双曲线只有一个交点，
当
1
2
k =
，交点为
5 3
(
, )
2 4
-
；当
1
2
k = -
，交点为5 3
( , )
2 4 ；
当
2
1
4
0
k
-
¹
，此时
2
2
256
80(1 4
)
0
k
k
D =
+
-
=
，则
5
2
k = ±
，
当
5
2
k =
，切点为
1
(
5,
)
2
-
-
；当
5
2
k = -
，切点为
1
( 5,
)
2
-
；
综上，
1
2
k = ±
或
5
2
k = ±
.
（2）由题设直线:
(
)
2
2
l y
k x
m
kx
mk
=
-
+
=
+
-
，
联立双曲线方程，得
2
2
4
2
4(
)
x
kx
mk
+
-
-
=
，则
2
2
2
2
4
1)
8 (2
)
4(
4
5)
0
( k
x
k
mk x
m k
mk
-
+
-
+
-
+
=
，
故
2
2
2
2
64
(2
)
16
4
) [(2
)
]
0
(1
1
k
mk
k
mk
-
+
´
-
-
+
´
=
>
D
，所以
2
2
(2
)
4
1
mk
k
-
>
- ①，
设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，则
1
2
2
8 (
2)
4
1
k mk
k
x
x
-
+
=
-
，
2
1
2
2
2
4(
4
5)
4
1
x
mk
x
m k
k
-
+
-
=
，
由
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
2)
(
2)
2(
)
2
2
2(
)
4
2(
)
4
x
k
y
y
y x
y
x
x y
x y
y
y
x
x x
x
x
x x
x
x
k
-
+
-
+
-
+
=
+
=
=
-
-
-
+
+
+
+
-
+
又
1
1
2
y
kx
mk
=
+
-
，
2
2
2
y
kx
mk
=
+
-
，
1
2
k
k
+
1
2
1
2
1
2
1
2
2
(2
2 )(
)
4
8
2(
)
4
kx x
mk
k
x
x
mk
x x
x
x
+
-
-
+
+
-
=
-
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2
2 )
4
8
2
4
4(
4
5)
8 (
2)
4
1
4
1
4(
4
5)
8 (
2)
4
1
4
1
m k
mk
k m
m
k
mk
k
mk
k
k
k
m k
k
k mk
k
k
-
+
-
-
-
×
+
-
-
×
+
-
=
-
+
-
-
-
- ×
+
2
2
(8
4 )
8
(4
16
16)
(32 16 )
16
m k
m
m
k
m k
-
+
=
-
+
+
-
+
为定值，
所以
2
4
16
16
0
2
m
m
m
-
+
=
Þ
=
，此时
1
2
1
2
k
k
+
=
为定值.
21．(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)①证明见解析；②8
3
（1）根据椭圆对称性，必过
3P 、
4P ，又
4P 横坐标为1，椭圆必不过
1P ，将
2
3
3
0,1
1, 2
P
P æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
代入椭圆方
程即可求解；
（2）①设
1
1
2
2
,
,
,
C x y
D x
y
，因为若直线l 的斜率为0，则点
,
C D 关于y 轴对称，必有
1
2
k
k
= -
，不合题意，
所以直线l 斜率必不为0，设其方程为
(
2)
x
ty
n n
=
+
¹ ±
，与椭圆E 联立，求出D 和韦达定理，设直线BC 的
斜率为
3k ，求出
1
3
k
k
×
，求出
2k 和
3k 的关系即可证明；②由①求出
1
2
y
y
+
和
1
2
y y ，根据
1
2
2
S
y
y
=
-
即可求
解.
【详解】（1）根据椭圆对称性，必过
3P 、
4P ，又
4P 横坐标为1，
椭圆必不过
1P ，所以过
2
3
4
P
P
P
，
，三点，将
2
3
3
0,1
1, 2
P
P æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
代入椭圆方程得
2
2
2
1
1
3
1
4
1
b
a
b
ì
=
ï
ïí
ï
+
=
ïî
，解得
2
4
a =
，
2
1
b =
，
∴椭圆E 的方程为：
2
2
1
4
x
y
+
= ；
（2）①
依题意，点
( 2,0),
(2,0)
A
B
-
，设
1
1
2
2
,
,
,
C x y
D x
y
，
因为若直线l 的斜率为0，则点
,
C D 关于y 轴对称，
必有
1
2
k
k
= -
，不合题意，所以直线l 斜率必不为0，
设其方程为
(
2)
x
ty
n n
=
+
¹ ±
，与椭圆E 联立
2
2
4
4
x
y
x
ty
n
ì
+
=
í =
+
î
，
整理得：
2
2
2
4
2
4
0
t
y
nty
n
+
+
+
-
=
，
所以
2
2
2
2
Δ
4
4
4
4
0
t n
t
n
=
-
+
-
>
，
且
1
2
2
2
1
2
2
2
,
4
4.
4
tn
y
y
t
n
y y
t
ì
+
= -
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
因为点
1
1
,
C x y
是椭圆上一点，
即
2
2
1
1
1
4
x
y
+
= ，设直线BC 的斜率为
3k ，
所以
2
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
3
1
1
4
2
2
4
4
4
x
y
y
y
k
k
x
x
x
x
-
×
=
×
=
=
= -
+
-
-
-
，
所以
2
1
3
1
7
4
k
k
k
= -
=
，即
2
3
28
1
k
k
×
= - ，
因为
1
2
1
2
2
3
1
2
1
2
28
28
28
2
2
2
2
y y
y y
k
k
x
x
ty
n
ty
n
×
=
=
-
-
+
-
+
-
1
2
2
2
1
2
1
2
28
(
2)
(
2)
y y
t y y
t n
y
y
n
=
+
-
+
+
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
28
4
28(
2)
4
4
(
2)
2
(
2)
4
2
(
2)
(
2)
4
4
n
n
t
t
n
t
n
t n
n
t
t n n
n
t
t
-
+
+
=
=
-
+
-
+
-
+
-
-
+
-
+
+
28(
2)
7
14
1
4(
2)
2
n
n
n
n
+
+
=
=
= -
-
-
，
所以
3
2
n = -
，
此时
2
2
2
Δ
16
4
4 4
7
0
t
n
t
=
+
-
=
+
>
，
故直线l 恒过定点
3 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ；
②由①得
2
1
2
1
2
2
2
2
3
4
7
,
4
4
4
4
t
n
y
y
y y
t
t
t
-
+
=
=
= -
+
+
+
，
所以
1
2
2
S
y
y
=
-
2
2
1
2
1
2
2
4 4
7
2
4
4
t
y
y
y y
t
+
=
+
-
=
+
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
9
4
9
4
3
2
4
4
9
4
4
3
4
3
4
4
t
t
t
t
t
+
-
æ
ö
=
=
-
=
-
-
+
ç
÷
+
+
è
ø
+
+
8
3
£
（当且仅当
2
3
2
4
3
t
=
+
即
2
1
2
t =
时等号成立），
所以S的最大值为8
3 ．
22．(1)
2
2
1
x
y
-
= .
(2)
7 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 和
7
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø或1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 和
1
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
(3)
22
25
21
42
y
x
=
-
【详解】（1）∵
, ,
,
O P Q A四点共线时，
10 7
7
PQ =
，根据双曲线对称性，
∴
,
P Q 关于原点对称，不妨设P 在Q 在右侧，即
,
P Q 在圆
2
2
25
7
x
y
+
=
，
又
3
2, 2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø，∴
3
:
4
OA
l
y
x
=
，与圆联立得
4 7 3 7
,
7
7
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
4 7
3 7
,
7
7
Qæ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
代入
2
2
2
1
x
y
a -
= ，
2
2
16
9
1
1
7
7
a
a -
= Þ
= ，
∴双曲线C 的标准方程为
2
2
1
x
y
-
= .
（2）∵
:
C
2
2
1
x
y
-
= ，∴渐近线为y
x
=
或y
x
= - ，
∵直线l 与C 的渐近线垂直，且经过点A ，
当渐近线为y
x
=
时，直线
7
:
0
2
l x
y
+
-
=
，
与x 轴交点为
7 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，y 轴交点为
7
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
当渐近线为y
x
= - 时，直线
1
:
0
2
l x
y
-
-
=
，
与x 轴交点为1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，y 轴交点为
1
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
综上，直线l 与两坐标轴交点的坐标为
7 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 和
7
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 或1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 和
1
0,
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
（3）如图，
根据题意直线PQ斜率存在，设
:
PQ
l
y
kx
m
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
联立
2
2
2
2
2
1
2
1
0
1
y
kx
m
k
x
kmx
m
x
y
=
+
ì
Þ
-
-
-
- =
í
-
=
î
，
∴
1
2
2
2
0
1
km
x
x
k
+
=
>
-
，
2
1
2
2
1
0
1
m
x x
k
-
-
=
>
-
，
解得
1
k < - 或
1
k > ，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
m
k
y y
kx
m
kx
m
k x x
km x
x
m
k
-
=
+
+
=
+
+
+
=
-
，
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
k
x y
x y
kx x
m x
x
k
-
+
=
+
+
= -
，
设直线
,
,
OP OA OQ 的倾斜角分别为
, ,
a q b ，
∵OA是
OPQ
△
的角平分线，
∴
2
2tan
24
tan
tan 2
1
tan
7
q
a
b
q
q
+
=
=
=
-
，
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
24
1
tan
2
1
2
1
7
1
1
y
y
k
x
x
x y
x y
k
k
y y
m
k
x x
y y
m
k
x x
k
a
b
-
+
+
-
-
+
=
=
=
=
=
-
- +
-
-
- +
-
-
，
2
2
12
7
24
12
k
k
m
+
=
+
，
又点
3
2, 2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø在PQ 上，所以
3
2
2
k
m
+
=
，
故
2
2
3
12
7
24
2
12
2
k
k
k
æ
ö
+
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
整理得
2
84
151
66
0
k
k
-
+
=
，解得
3
4
k =
或
22
21
k =
，
又
1
k < - 或
1
k > ，所以
22
21
k =
，
故直线PQ的方程为
22
25
21
42
y
x
=
-
.
