江西省鹰潭市2024-2025 学年高一下学期6 月期末质量检测
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i 是虚数单位，复数
1z 在复平面内对应的点坐标为(1,3)，
2
1i
z
z
=
，则
2z 的虚部为（ ）
A．i
B．i-
C．1
D．1
-
2．如图，在
ABC
V
中，P 在线段BC 上，满足2BP
PC
=
uuur
uuur ，O 为线段AP 上一点，且
1
3
BO
BA
BC
l
=
+
uuur
uuur
uuur
，则l
的值为（ ）
A．1
3
B．7
9
C．2
3
D．2
9
3．已知a 角的终边经过点
( 2,2 3)
P -
，则cos2
=
a
（ ）
A．
1
2
B．
3
2
C．
1
2
-
D．
3
2
-
4．曲线
tan 2
y
x
=
的对称轴方程为（ ）
A．
π
4
k
x
k
=
ÎZ
B．
π
2
k
x
k
=
ÎZ
C．
2
1 π
4
k
x
k
+
=
ÎZ
D．
π
x
k
k
=
ÎZ
5．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为
2 2 ，4 2 ，侧棱长为2 5 ，则该正四棱台的体积为（ ）
A．56
B．224
3
C．56 2
D．112 5
3
6．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边
形网格图，如图所示.设P 为图中7 个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B 为两个固定顶点，则AP AB
×
uuur uuur
的取值范围是（ ）
A．
2,18
-
B．
2 2
- ,
C．
0,16
D．
0,18
7．设函数
sin
cos
f x
x
x
=
+
，下述四个结论：
①
f x 是偶函数②
f x 的图象关于直线
π
2
x =
对称
③
f x 的最小值为
2
-
④
f x 在
π,0
-
上不单调
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
8．
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若sin
2sin cos
2 3
B
C
A ac =
=-
,
则
ABC
V
面积的最大值为
（ ）
A．
1
2
B．
3
2
C．1
D．2
二、多选题
9．设复数z 在复平面内对应的点为Z ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若
1
z = ，则
1
z = ± 或
i
z = ±
B．若1
2
z
£
£
，则点Z 的集合所构成的图形的面积为π
C．
2
3
2025
i
i
i
i
i
+
+
+×××+
=
D．若1 i
- + 是实系数方程
2
0
x
px
q
+
+
=
的一个根，则
0
p
q
+
=
10．已知函数
π
2sin
0,
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø的部分图象如图所示，则（ ）
A．
π
3
wj =
B．
f x 在区间
5π
π,
6
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û 上单调递减
C．
y
f x
=
的图象可由
2cos2
y
x
=
向右平移π
6 个单位得到
D．
2
1
3
cos
4
x
x
-
=
11．在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，点P 是正方形
1
1
BCC B 内的一点（包含边界），则下列说法正
确的是（ ）
A．
1
AC
BD
^
B．若点P 是线段
1
BB 的中点，则平面
1
PAD 截正方体所得的截面的面积为3 2
C．若点P 在线段
1
B C 上，则
1
BP
PD
+
的最小值为
6
2
+
D．若点P 满足
1
AP
BD
^
，则AP 与平面
1
1
ADD A 所成角的正切值的最大值为2
三、填空题
12．已知向量
1,2 ,
, 2
a
b
x
=
=
-
r
r
，且a
b
^
r
r
，则2a
b
-
=
r
r
．
13．设当x
q
=
时，函数
( )
sin
2cos
f x
x
x
=
-
取得最大值，则cosq =
.
14．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重
量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一
种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四
边形ABCD 是边长为2 的正方形，且
,
ADE
BCF
V
V
均为正三角形，EF ∥
,
4
CD EF =
，则该木楔子的外接球
的体积为
．
四、解答题
15．已知z 是复数，若
i
z + 是实数，1 i
z
+ 是纯虚数，其中i 为虚数单位．
(1)求复数z ；
(2)设复数z，z 在复平面内所对应的向量分别是
,
m n
ur r
，若向量m
n
l
+
ur
r 与
2
m
n
-
ur
r 的夹角为钝角，求实数l 的取
值范围．
16．记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
2
1
2
sin 2
C
ab
ab
= +
，
3
cos
cos
a
b
C
c
B
-
=
.
(1)求
ABC
V
的面积；
(2)若
1
sin
sin
6
A
B
×
=
，求a
b
c
+
的值.
17．如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA ^ 平面ABC，
1
AB
BC
AC
AA
=
=
=
， D 是BC 的中点.
(1)求证:
1
/ /
A B
平面
1
AC D ;
(2)求证: 平面
1
AC D ^ 平面
1
1
BCC B ;
(3)求直线AC 与平面
1
AC D 所成角的正弦值.
18．大连某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD ，如图所示，
50
AB =
米，
25 3
BC =
米，为了便于冬天给养
殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带
,
OE EF 和OF ，考虑到整体规划，要求O 是边AB
的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且
90
EOF
Ð
=
° ，设
BOE
a
Ð
=
．
(1)试将OEF
V
的周长l 表示成a 的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)当
1
tan
2
a =
时，求加温带EF 的长；
(3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE 和OF 上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米
增加智能照明装置的费用均为400 元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最
低费用．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
ABC
V
的三个内角均
小于120°时，使得
120
AOB
BOC
COA
Ð
= Ð
= Ð
=
°的点O 即为费马点；当
ABC
V
有一个内角大于或等于120°
时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 所对边分别为
a ，b ，c ，且cos2
cos2
1 cos2
B
C
A
+
= +
，点P 为
ABC
V
的费马点．
(1)求证：
ABC
V
是直角三角形；
(2)若
ABC
V
的面积为
3
2
，且
1
c = ，求tan
PBA
∠
的值；
(3)求PB
PC
PA
+
的最小值．
江西省鹰潭市2024-2025 学年高一下学期6 月期末质量检测
数学试题参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
A
B
A
B
B
BC
ACD
题号
11
答案
ACD
1．D
【详解】因为复数
1z 在复平面内对应的点坐标为(1,3)，所以
1
1 3i
z = +
，
所以
2
1i
1 3i i=
3+i
z
z
=
=
+
-
，所以
2
3
i
z = - - ，所以
2z 的虚部为1
- .
故选：D
2．D
【详解】由已知O 为线段AP 上一点，
设AO
xAP
=
uuur
uuur
，
0,1
xÎ
，
则
1
BO
BA
AO
BA
x
BA
A
x AB
BP
x BA
xBP
P
=
+
=
+
=
+
+
=
-
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
又2BP
PC
=
uuur
uuur ，
则
1
3
BP
BC
=
uuur
uuur
，
所以
1
3
x
BO
BA
AO
x BA
BC
=
+
=
-
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
则
1
1
3
3
x
x
l
ì -
=
ïïí
ï
=
ïî
，
解得
2
3
2
9
x
l
ì =
ïïí
ï
=
ïî
，
故选：D.
3．C
【详解】解：Q角a 的终边经过点
( 2,2 3)
P -
，
2
x
\
= - ，
2 3
y =
，
4
r
\ =
，
2
1
cos
2
4
x
r
a
\
=
= -
= -
，
2
1
cos2
2cos
1
2
a
a
\
=
- = -
．
故选：C．
4．A
【详解】根据函数
tan 2
y
x
=
的图象可知曲线
tan 2
y
x
=
的图象如下图：
因此对称轴方程满足2
π,
Z
2
k
x
k
=
Î
，即可得
π
4
k
x
k
=
ÎZ ，
所以对称轴方程为
π
4
k
x
k
=
ÎZ .
故选：A
5．B
【详解】设正四棱台的上、下底面中心分别为
1
2
,
O O ，则
1
2
O O 即为正四棱台的高，如图所示：
取过正四棱台的轴
1
2
O O 和侧棱
,
AB CD 的截面，易知
4,
8
AD
BC
=
=
，
所以可得截面是上底为4，下底为8，腰长为2 5 的等腰梯形，
则
2
2
2
1
2
20
2
4
2
BC
AD
O O
AB
-
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以正四棱台的体积为
2
2
1
224
2 2
4 2
8 32
4
3
3
V
é
ù
=
+
+
´
´
=
ê
ú
ë
û
.
故选：B
6．A
【详解】如图建立平面直角坐标系，则
1
3
9
3
0,0 ,
4,0 ,
,
,
,
2
2
2
2
A
B
E
G
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
设
,
P x y ，则
,
,
4,0
AP
x y
AB
=
=
uuur
uuur
，
所以
4
AP AB
x
×
=
uuur uuur
，由于
1 9
,
2 2
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，
所以当点P 与点E 或点F 重合时，AP AB
×
uuur uuur 最小，最小值为2
- ，
当点P 与点G 或点H 重合时，AP AB
×
uuur uuur 最大，最大值为18，
所以
2,18
AP AB
×
Î -
uuur uuur
.
故选：A.
7．B
【详解】①因为
f
x
f x
-
=
，所以
f x 是偶函数，①正确；
②因为
π
sin π
cos π
sin
cos
f
x
x
x
x
x
f x
-
=
-
+
-
=
-
¹
，
所以
f x 的图象不关于直线
π
2
x =
对称，②错误；
③因为
sin
cos ,
2 π,2 π
π
sin
cos ,
2 π
π,2 π
2π
x
x x
k
k
f x
x
x x
k
k
ì
+
Î
+
ï
= í-
+
Î
+
+
ïî
所以
π
2 sin
,
2 π,2 π
π
4
π
2 sin
,
2 π
π,2 π
2π
4
x
x
k
k
f x
x
x
k
k
ì
æ
ö
+
Î
+
ç
÷
ïï
è
ø
= í
æ
ö
ï-
-
Î
+
+
ç
÷
ï
è
ø
î
当
2 π,2 π
π
x
k
k
Î
+
时，
1,
2
f x Î -
é
ù
ë
û ，
当
2 π
π,2 π
2π
x
k
k
Î
+
+
时，
1,
2
f x
ù
Î -
û ，
综合得
1,
2
f x Î -
é
ù
ë
û ，即
f x 的最小值为1
- ，③错误；
④由
π,0
xÎ -
，化简
π
sin
cos
sin
cos
2 sin
4
f x
x
x
x
x
x
æ
ö
=
+
= -
+
= -
-
ç
÷
è
ø ，
令
π
4
t
x
=
-
，则
sin
y
t
=
，
5π
π
,
4
4
t
æ
ö
Î -
-
ç
÷
è
ø，
因为
sin
y
t
=
在
3π
π
,
2
2
t
æ
ö
Î -
-
ç
÷
è
ø 上单调递减，在
π π
,
2 2
t
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø 上单调递增，
故
f x 在
π,0
-
上不单调，④正确.
故选：B
8．B
【详解】由sin
2sin cos
B
C
A
=-
可得
sin
2sin cos
0
C
A
C
A
+
+
=
,
sin cos
cos
sin
2sin cos
0
cos
sin
3sin cos
0
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
+
+
=
Þ
+
=
，
故tan
3tan
A
C
= -
，
2
tan
+ tan
2tan
2
tan
tan(
)
1
1
tan
tan
1 3tan
3tan
tan
A
C
C
B
A
C
A
C
C
C
C
= -
+
= -
=
=
-
+
+
,
则tan
,tan
B
C 同号，故,
B C 为锐角，故
1
3tan
2 3
tan
C
C +
³
，即
2
1
tan
1
3
3tan
tan
B
C
C
=
£
+
，当且仅当
1
tan
3
C =
时取等号，
故B 的最大值为π
6 ，
故
1
1
1
1
3
sin
2
2
2
4
2
ABC
S
ac
B
ac
ac
=
£
´
=
=
V
，故面积的最大值为
3
2
，
故选：B
9．BC
【详解】对于A 中，例如：复数
1
3 i
2
2
z =
+
，可得
1
z = ，所以A 不正确；
对于B 中，由复数的几何意义，可得1
2
z
£
£
是以半径为1和半径为2 的圆构成的圆环，
其中圆环的面积为
2
2
π ( 2)
π 1
π
S =
´
-
´
=
，所以B 正确；
对于C 中，由虚数的运算性质：4
4
1
4
2
4
3
i
i
i
i
0
n
n
n
n
+
+
+
+
+
+
=
，
可得
2025
506 4
2
3
5
1
202
506 0
i
i
i
i
i
i
i
´ +
=
´ +
=
+
+
+×××+
= ，所以C 正确；
对于D 中，由复数1 i
- + 是实系数方程
2
0
x
px
q
+
+
=
的一个根，
可得复数1 i
- - 是实系数方程
2
0
x
px
q
+
+
=
的另一个根，
则
1 i
( 1 i)
2
p
-
= - + + - -
= - 且
( 1 i)( 1 i)
2
q = - +
- -
=
，即
2,
2
p
q
=
=
，
所以
4
p
q
+
=
，所以D 不正确.
故选：BC.
10．ACD
【详解】由条件可知，
0
2sin
1
f
j
=
= ，则
1
sin
2
j =
，且
π
2
j <
，
所以
π
6
j =
，
由图象可知，2π
1
5π
2
12
w ´
>
，得
12
0
5
w
<
<
，
当
5π
12
x =
时，
5π
π =π
2 π
12
6
k
w ×
+
+
，得
24
2
,
Z
5 k k
w =
+
Î
，
所以
2
w =
，所以
π
3
wj =
，故A 正确；
π
2sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，因为函数的周期为π，
5π
π,
6
x
é
ù
Î -
-
ê
ú
ë
û 的单调性和
π
0, 6
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 的单调性一致，由图可知，
π
0, 6
é
ù
ê
ú
ë
û 是函数的增区间，故B 错误；
π
2sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 向左平移π
6 个单位得到函数
π
π
2sin 2
2cos2
6
6
y
x
x
é
ù
æ
ö
=
+
+
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
，故C 正确；
由条件可知，
1
2
π
π
3π
2
2
2
6
6
2
x
x
+
+
+
=
´
，则
1
2
4π
3
x
x
+
=
，所以
2
1
4π
3
x
x
=
-
，
所以
2
1
1
1
4π
π
cos
cos
2
cos
2
3
3
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
=
-
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
因为
1
π
3
2sin 2
6
2
x
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，所以
1
π
3
sin 2
6
4
x
æ
ö
+
= -
ç
÷
è
ø
，
因为
1
1
1
π
π
π
π
3
cos
2
cos
2
sin 2
3
2
6
6
4
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
=
+
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，
所以
2
1
3
cos
4
x
x
-
=
，故D 正确.
故选：ACD
11．ACD
【详解】对于选项A：因为正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
，所以
1
,
AC
BD AC
BB
^
^
，
又
1
BB
BD
B
Ç
=
，
1,
BB BD Ì 平面
1
1
BDD B ，所以AC ^平面
1
1
BDD B .
又
1
BD Ì平面
1
1
BDD B ，所以
1
AC
BD
^
.故A 正确.
对于选项B：取
1
1
B C 中点Q ，连接
1
,
PQ D Q ，平面
1
PAD 截正方体所得截面为等腰梯形
1
PQD A.
因为
1
1
2
2
PQ
BC
=
=
，
1
2 2
AD =
，
1
5
AP
D Q
=
=
，所以等腰梯形
1
APQD 的高为3 2
2
，
所以梯形面积为
3 2
2
2 2
9
2
2
2
S
+
´
=
=
，所以B 错误.
对于选项C：如图：
当P 为
1
B C 中点时，因为
1
BP
B C
^
，所以BP 取得最小值，为2 ，
此时因为
1
1
B CD
V
为等边三角形，且边长为2 2 ，
1
1
PD
B C
^
，所以
1
PD 也取得最小值，为
3
2 2
6
2
´
=
.
所以
1
BP
PD
+
的最小值为
6
2
+
，故C 正确；
对于选项D：如图：
由
1
AC
BD
^
，
1
BD ^平面
1
ACB ，点P 的轨迹是线段
1
B C .
过P 作PH ^平面
1
1
ADD A ，垂足为H ，则H 在线段
1A D 上，连接
,
AH AP ，则
PAH
Ð
为AP 与平面
1
1
ADD A 所
成的角.
2
tan
PH
PAH
AH
AH
Ð
=
=
，又
2
AH ³
，所以tan
2
PAH
Ð
£
，当P 为
1
B C 中点时取“ = ”.故D 正确.
故选：ACD.
12．2 10
【详解】因为a
b
^
r
r
，所以
4
0
a b
x
×
=
-
=
r
r
，解得
4
x =
，
所以
2
2,4
4, 2
2,6
a
b
-
=
-
-
= -
r
r
，则
2
2
2
2
6
2 10
a
b
-
=
-
+
=
r
r
，
故答案为：2 10 ．
13．
2 5
5
-
；
【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝
5
5
2 5
sin
cos
5
5
x
x
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
＝
5 sin(x－φ)，其中sin φ＝2 5
5
，cos φ＝
5
5
，当
x－φ＝2kπ＋2
p (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2
p ＋φ 时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－
sin φ＝－2 5
5
.
14．32
3
p / 32
3 p
【详解】如图，分别过点
,
A B 作EF 的垂线，垂足分别为
,
G H ，连接
,
DG CH ，则
4
2
1
2
EG
-
=
= ，故
2
2
2
2
2
1
3
AG
AE
EG
=
-
=
-
=
.
取AD 的中点O¢ ，连接GO¢，
又
,
AG
GD
GO
AD
¢
=
\
^
，则
2
2
2
2
AD
GO
AG
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
¢
.
由对称性易知，过正方形ABCD 的中心
1
O 且垂直于平面ABCD 的直线必过线段EF 的中点
2
O ，
且所求外接球的球心O 在这条直线上，如图.
设球O 的半径为R ，则
2
2
2
1
1
R
OO
AO
=
+
，且
2
2
2
2
2
R
OO
EO
=
+
，
从而
2
2
1
2
2
OO
OO
=
+
，即
1
2
1
2
2
OO
OO
OO
OO
+
-
=
，
当点O 在线段
1
2
O O 内（包括端点）时，有
1
2
2
OO
OO
GO
=
¢
+
=
，得
1
2
2
OO
OO
-
=
，
从而
1
2
OO =
，即球心O 在线段EF 的中点，其半径
2
R =
.
当点O 在线段
1
2
O O 外时，
2
2
1
2
2
2
2,
2
2
O O
OO
OO
=
+
=
+
，解得
2
0
OO =
（舍）.
故所求外接球的体积
3
4π
32π
3
3
R
V =
=
.
故答案为：32π
3 .
15．(1)
1 i
z = -
(2)
2
l <
且
1
2
l ¹ -
.
【详解】（1）设复数
i
,
z
a
b a b
=
+
ÎR ，
由
i
z + 是实数知
1
0
b + =
，即
1
b = - ，
所以
i
z
a
=
- ．
又因为1 i
z
+ 是纯虚数，则
i
1 (
1)i
1 i
2
a
a
a
-
- -
+
=
+
为纯虚数，
即
1
0
a - =
且
1
0
a + ¹
，
所以
1
a = ，
所以
1 i
z = - ．
（2）由（1）知
1 i
z = - ，
则
1, 1 ,
1,1
m
n
=
-
=
r
r
，
所以
1,
1
m
n
l
l
l
+
=
+
- +
r
r
，
2
1, 3
m
n
-
= - -
r
r
，
因为向量m
n
l
+
ur
r 与
2
m
n
-
ur
r 的夹角为钝角，
所以
2
0
m
n
m
n
l
+
×
-
<
r
r
r
r
，且m
n
l
+
ur
r 与
2
m
n
-
ur
r 不共线，
即
1
3
1
0
l
l
-
+
-
- +
<
，且
3
1
1
0
l
l
-
+
+ - +
¹
解得
2
l <
且
1
2
l ¹ -
.
16．(1) 2
(2)
6
2
【详解】（1）由
2
1
2
sin 2
C
ab
ab
= +
，得
2
1 2sin
1
2
C
abæ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
所以
cos
1
ab
C =
由正弦定理
2 sin
a
R
A
=
，
2 sin
b
R
B
=
，
2 sin
c
R
C
=
得
3sin
sin
cos
sin cos
A
B
C
C
B
-
=
所以
3sin cos
sin cos
cos sin
sin
sin
sin
A
C
B
C
B
C
B
C
A
A
p
=
+
=
+
=
-
=
由sin
0
A >
，得
1
cos
3
C =
所以
1
3
cos
ab
C
=
=
由sin
0
C >
，得
2
1
2 2
sin
1 cos
1
9
3
C
C
=
-
=
-
=
所以
ABC
V
的面积
1
1
2
sin
3
2
2
2
2
3
S
ab
C
=
=
´ ´
=
（2）由余弦定理得
2
2
2
cos
1
2
a
b
c
ab
C
ab
ab
+
-
=
´
=
化简得
2
2
2
2
a
b
c
+
-
=
方法一：边运算
设
ABC
V
的外接圆的半径为R
由正弦定理得
2 sin
a
R
A
=
，
2 sin
b
R
B
=
，
2 sin
c
R
C
=
所以
2
4
sin sin
ab
R
A
B
=
，解得
2
3
4
18
1
sin sin
6
ab
R
A
B
=
=
=
所以2
3 2
R =
所以
2
2 sin
3 2
2
4
3
c
R
C
=
=
´
=
所以
2
2
2
2
2 16
18
a
b
c
+
=
+
=
+
=
所以
2
2
2
2
18
6
24
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
=
+
=
由
0
a
b
+
>
，得
2 6
a
b
+
=
所以
2 6
6
4
2
a
b
c
+
=
=
方法二：边运算
由正弦定理sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
=
=
，
得
2
2
3
18
1
sin
sin sin
6
c
ab
C
A
B
=
=
=
所以
2
2
8
18sin
18
16
9
c
C
=
=
´
=
所以
2
2
2
2
2 16
18
a
b
c
+
=
+
=
+
=
所以
2
2
2
2
18
6
24
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
=
+
=
由
0
a
b
+
>
，得
2 6
a
b
+
=
所以
2 6
6
4
2
a
b
c
+
=
=
方法三：角运算
由（1）知
1
cos
3
C =
，
2 2
sin
3
C =
所以
2
1
2 2
sin sin
sin sin
sin
sin cos
3
3
A
B
A
A
C
A
A
A
=
+
=
+
1
2
1
1
1
1 cos2
sin2
2 2sin2
cos2
6
3
6
6
6
A
A
A
A
=
-
+
=
+
-
=
化简得2 2sin2
cos2
0
A
A
-
=
因为
4
2 2
2 2
sin
sin
sin
sin
sin
cos
2sin
cos
3
3
3
A
B
A
A
C
A
A
A
A
+
=
+
+
=
+
=
+
所以
2
2
2
8
sin
sin
2sin
cos
2sin2
9
A
B
A
A
A
+
=
+
+
8
1
1 cos2
1 cos2
2sin2
9
2
A
A
A
é
ù
=
-
+
+
+
ê
ú
ë
û
8 2 2sin2
cos2
3
8
3
4
9
2
2
9
2
3
A
A
æ
ö
-
=
+
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
由sin
sin
0
A
B
+
>
，得
2 3
sin
sin
3
A
B
+
=
所以由正弦定理得
2 3
sin
sin
6
3
sin
2
2 2
3
a
b
A
B
c
C
+
+
=
=
=
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
5
5
.
【详解】（1）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，连接
1AC 交
1
AC 于O，连接OD，
则O 是
1AC 的中点，又D 是BC 的中点，
1
/ /
OD
A B ，
而
1A B Ë 平面
1
AC D ，ODÌ 平面
1
AC D ，
所以
1
/ /
A B
平面
1
AC D .
（2）由AB
BC
AC
=
=
，D 是BC 的中点，得AD
BC
^
，
由
1
AA ^ 平面ABC ，得
1
BB ^ 平面ABC ，又ADÌ 平面ABC ，则
1
BB
AD
^
，
又
1
BB ､BC 是平面
1
1
BCC B 内的两条相交直线，因此AD ^ 平面
1
1
BCC B ，而ADÌ 平面
1
AC D ，
所以平面
1
AC D ^ 平面
1
1
BCC B
（3）在平面
1
1
BCC B 内过C 作CE
1
^ C D 于E，连AE，
由（2）知，平面
1
AC D ^ 平面
1
1
BCC B ，平面
1
AC D I 平面
1
1
1
BCC B
D
C
=
，
则CE ^ 平面
1
AC D ，
CAE
Ð
是AC 与平面
1
AC D 所成的角，
在直角
1
C CD
V
中，令
1
,
=2
1
2
a
CD
BC
a CC
=
=
，则
1
5
C D
a
=
，
1
1
2
5
CC
CD
a
CE
C D
×
=
=
，
在直角CAE
V
中，
5
sin
2
5
5
2
a
CE
AC
CAE
a
=
=
Ð
=
，
所以直线AC 与平面
1
AC D 所成角的正弦值为
5
5
.
18．(1)
25(1 sin
cos
)
sin
cos
l
a
a
a
a
+
+
=
，
π π
[
,
]
6 3
a Î
；
(2)
125
2
EF =
．
(3)当
25
BE
AF
=
=
米时，照明装置费用最低，最低费用为20000 2 元．
【详解】（1）在Rt
,Rt
BOE
AOF
V
V
中，由
A
BOE
FO
a
Ð
=
=
Ð
，得
25
cos
OE
a
=
，
25
sin
OF
a
=
，
又Rt
EOF
△
中，由勾股定理得
2
2
2
2
25
25
25
(
)
(
)
cos
sin
sin
cos
EF
OE
OF
a
a
a
a
=
+
=
+
=
，
因此
25
25
25
25(1 sin
cos
)
cos
sin
sin
cos
sin
cos
l
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+
=
，
当点F 在点D 时，此时a 的值最小，
π
6
a =
，当点E 在点C 时，此时a 的值最大，
π
3
a =
，
所以函数关系式为
25(1 sin
cos
)
sin
cos
l
a
a
a
a
+
+
=
，定义域为π π
[
,
]
6 3 .
（2）由（1）知
25
1
, tan
sin
cos
2
EF
a
a
a
=
=
，
因此
2
2
2
sin
cos
tan
2
sin
cos
sin
cos
tan
1
5
a
a
a
a
a
a
a
a
×
×
=
=
=
+
+
，
于是
125
2
EF =
.
（3）依题意，要使费用最低，只需OE
OF
+
最小即可，
由（1）得
25(sin
cos
)
π π
,
[
,
]
sin
cos
6 3
OE
OF
a
a
a
a
a
+
+
=
Î
，
设sin
cos
t
a
a
+
= ，则
2
1
sin
cos
2
t
a
a
-
×
=
，
2
2
25
50
50
1
1
1
2
t
t
OE
OF
t
t
t
t
+
=
=
=
-
-
-
，
π
2 sin(
)
4
t
a
=
+
，由
π π
[
,
]
6 3
a Î
，得5π
π
7π
12
4
12
a
£
+
£
，
7π
5π
sin
sin
12
12
=
π
π
2 1
3
6
2
sin(
)
(
)
6
4
2
2
2
4
+
=
+
=
+
=
，于是
3
1
2
2
t
+ £ £
，
令
1
( )
f t
t
t
= - ，函数
1
( )
f t
t
t
= - 在(0,
)
+ ¥ 上为增函数，
则当
2
t =
时，OE
OF
+
最小，且最小值为50 2 ，此时
π
4
a =
，
所以当
25
BE
AF
=
=
米时，照明装置费用最低，最低费用为20000 2 元．
19．(1)证明见解析；
(2)
3
tan
5
PBA
Ð
=
；
(3)2
2 3
+
.
【详解】（1）由cos2
cos2
1
cos2
B
C
A
+
= +
，得
2
2
2
1 2sin
1 2sin
1 1 2sin
B
C
A
-
+ -
= + -
，
即
2
2
2
sin
sin
sin
A
B
C
=
+
，由正弦定理得
2
2
2
a
b
c
=
+
，
所以
ABC
V
是直角三角形.
（2）由（1）知
π
2
A =
，
ABC
V
的面积为
1
1
3
sin
1
2
2
2
S
bc
A
b
=
=
´ =
，则
2
2
3
2
,
b
a
b
c
=
=
+
=
，
所以在Rt
ABC
△
中，
3
1
sin
,sin
2
2
b
c
B
C
a
a
=
=
=
=
，
所以
π
π
,
3
6
B
C
=
=
，
由P 为
ABC
V
的费马点，得
2π
3
APB
BPC
CPA
Ð
= Ð
= Ð
=
，
设
PBA
q
Ð
=
，则
π
3
BAP
PBC
q
Ð
= Ð
=
-
，
BCP
q
Ð
=
，
在PAB
V
中，由正弦定理得sin
sin
AB
BP
APB
PAB
=
Ð
Ð
，
即
π
2sin(
)
1
3
,
2π
π
3
sin
sin(
)
3
3
BP
BP
q
q
-
=
=
-
，
在
PBC
△
中，由正弦定理得sin
sin
BC
BP
CPB
PCB
=
Ð
Ð
，则
2
4sin
,
2π
sin
3
sin 3
BP
BP
q
q
=
=
，
因此
π
2sin(
)
4sin
3
3
3
q
q
-
=
，整理得
3
1
cos
sin
2sin
2
2
q
q
q
-
=
，即
3
5
cos
sin
2
2
q
q
=
，
所以
3
tan
5
q =
，即
3
tan
5
PBA
Ð
=
.
（3）由P 为
ABC
V
的费马点，得
2π
3
APB
BPC
CPA
Ð
= Ð
= Ð
=
，
设
,
0
0
,
,
,
,
0
PB
mPA PC
nPA PA
x m
n
x
=
=
=
>
>
>
，则PB
PC
m
n
PA
+
=
+
，
在PAB
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2
2π
2
cos
(
1)
3
AB
x
m x
mx
m
m
x
=
+
-
=
+
+
，
在PAC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2
2π
2
cos
(
1)
3
AC
x
n x
nx
n
n
x
=
+
-
=
+
+
，
在
PBC
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2π
2
cos
(
)
3
BC
m x
n x
mnx
m
n
mn x
=
+
-
=
+
+
，
由
2
2
2
AC
AB
BC
+
=
，得
2
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
)
n
n
x
m
m
x
m
n
mn x
+
+
+
+
+
=
+
+
，
化简得
2
m
n
mn
+
+
=
，又
,0
0
m
n
>
>
，则
2
2
(
)
2
m
n
m
n
mn
+
+
+
=
£
，当且仅当m
n
=
时取等号，
整理得
2
(
)
4(
)
8
0
m
n
m
n
+
-
+
-
³
，因此
2
2 3
m
n
+
³
+
，或
2
2 3
m
n
+
£
-
（舍去），
所以PB
PC
PA
+
的最小值为2
2 3
+
.
