河北省唐山市2024-2025 学年高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题
1．复数
2
i i
+
的虚部是（ ）
A．2i
B．i
-
C．2
D．1
-
2．已知向量
1,1
a
m
=
+
r
，
3, 3
b =
-
r
，若
/ /
a
b
r
r
，则m = （ ）
A．2
B．2
-
C．
1
2
D．
1
2
-
3．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的电子产品，产量分别为100，400，300 件，为检验不同产品的质
量，现用分层抽样的方法从以上产品中抽取40 件进行检验，则应从C 种型号的产品中抽取的件数为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
4．已知圆台上、下底面的半径分别为1 和2，高为1，则该圆台的体积为（ ）
A．5π
3
B．2π
C．7π
3
D．8π
3
5．唐山河头老街景区近期持续火爆出圈．甲、乙2 人暑假来此地旅游的概率分别为2
5 ，2
3 ，假定2 人的行
动相互没有影响，则暑假至少有1 人来此地旅游的概率为（ ）
A．1
5
B．4
5
C．2
15
D．4
15
6．在
ABC
V
中，已知
π
4
C =
，
2
b =
，
2
c =
，则B 为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
7．某小组有4 名男生和2 名女生，从中任选2 名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个
事件的是（ ）
A．至少有1 名男生和至少有1 名女生
B．至少有1 名男生和全是男生
C．至少有1 名男生和全是女生
D．恰有1 名男生和恰有2 名男生
8．已知直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长均为2，
π
3
BAD
Ð
=
，设a ，b 分别是相邻两个面的对角线所在的
直线，则a 与b 所成角的余弦值不可能为（ ）
A．1
4
B．
2
4
C．
3
4
D．
6
4
二、多选题
9．在
ABC
V
中，M 为边AB 的中点，则（ ）
A．AB
CB
CA
=
-
uuur
uuur
uuur
B．BC
BA
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
C．CM
CB
CA
=
+
uuuur
uuur
uuur
D．BM
CB
CM
=
-
uuuur
uuur
uuuur
10．已知复数
2
1
i
z =
- ，则（ ）
A．
1
z - 是纯虚数
B．z 表示的点在第四象限
C．
2
z =
D．z 是方程
2
2
2
0
x
x
+
+
=
的一个根
11．在
ABC
V
中，
3
AB = ，
4
BC =
，
5
AC =
，分别以边AB ，BC ，AC 所在的直线为轴，其余各边旋转一
周形成的曲面围成3 个几何体，分别记为
1
W ，
2
W ，
3
W ，则（ ）
A．几何体
1
W 侧面积为20π
B．几何体
2
W 与几何体
3
W 的体积之比为5：3
C．几何体
1
W 与几何体
3
W 的外接球半径之比为5：3
D．过几何体
1
W 顶点的平面截
1
W 所得的截面面积最大值为12
三、填空题
12．数据：1，2，3，3，5 的第50 百分位数是
．
13．某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2 小时，方差
为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7 小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为3:2，则该校高一
学生每周平均锻炼时长的方差为
．提示：
2
2
2
2
2
1
2
[
(
) ]
]
[
(
)
m
n
s
s
x
z
s
y
z
m
n
m
n
=
+
-
+
+
-
+
+
．
14．在
ABC
V
中，已知2
cos
cos
b
a
A
c
C
-
=
，角C 的内角平分线交AB 于点E ，且
6
CE = ，则4a
b
+
的最小值为
．
四、解答题
15．已知平面向量a
r
与b
r
的夹角为45°，且
1
a =
r
，
2
b =
r
．
(1)求a b
×
r r
(2)求
2
a
b
+
r
r
；
(3)若
2
a
b
+
r
r
与a
kb
-
r
r
垂直，求k 的值．
16．如图，四棱锥S
ABCD
-
的底面是正方形，SD ^ 平面ABCD ．
(1)求证：AC ^平面SDB ；
(2)若
1
AB = ，直线SB 与平面ABCD 所成的角为60o，求四棱锥S
ABCD
-
的体积．
17．2025 年5 月22 日16 时49 分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8 小
时．安全返回天和核心舱．为了弘扬航天精神，某校组织高二学生进行了航天知识能力测试．现随机抽取
100 名学生的测试成绩（单位：分），将所得数据按照
40,50 ，
50,60 ，
60,70 ，
70,80 ，
80,90 ，
90,100
分成6 组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a 的值；
(2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格（60 分以下）的学生，采用分层随机抽样方法抽出5 名同
学，再从抽取的这5 名同学中随机抽取2 名同学进行情况了解，求这2 名同学分数在
40,50 ，
50,60 各一
人的概率．
18．如图，已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面是正三角形，侧面
1
1
A ACC ⊥平面ABC ．D ，E 分别是棱BC ，1
1
AC
的中点．
(1)求证：
/ /
DE
平面
1
1
A ABB ；
(2)若
1
2
AB
A A
=
=
，
1
π
3
A AC
Ð
=
，求二面角
1A
AB
C
-
-
的正切值．
19．某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园，如图，四边形ABCD 内接于圆O ，ABD
△
为草坪区，
BCD
△
为花卉区，根据规划已知
120
AB =
米，
80
AD =
米，
60
BAD
Ð
=
° ．
(1)当
45
BDC
Ð
=
°时，求边BC 的长；
(2)取BD 的中点E ，连接AE ，求小径AE 的长；
(3)若小径从A 点直通C 点，当线段AC 最长时，求花卉区
BCD
△
的面积．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
C
B
A
D
C
AB
ABC
题号
11
答案
AC
1．C
利用复数的乘法运算化简复数
2
i i
+
，再根据复数虚部的定义求解即可.
【详解】因为
2+i i
1
2i
= - +
，
所以虚部为2 .
故选：C.
2．B
根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量
1,1
a
m
=
+
r
，
3, 3
b =
-
r
，由
/ /
a
b
r
r
，得3(
1)
1 3
m
-
+
= ´ ，所以
2
m = - .
故选：B
3．C
求出分层抽样的抽样比，再求出目标数值.
【详解】依题意，分层抽样的抽样比为
40
1
100
400
300
20
=
+
+
，
所以从C 种型号的产品中抽取的件数为1
300
15
20 ´
=
.
故选：C
4．C
根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解.
【详解】依题意，该圆台的体积为
2
2
1
7π
π(1
2
1 2) 1
3
3
V =
+
+ ´
´ =
.
故选：C
5．B
根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算得解.
【详解】暑假两人都没来此地旅游的概率为
2
2
1
(1
) (1
)
5
3
5
-
×
-
=
，
所以暑假至少有1 人来此地旅游的概率为
1
4
1
5
5
-
=
.
故选：B
6．A
根据给定条件，利用正弦定理求解即得.
【详解】在
ABC
V
中，
π ,
2,
2
4
C
b
c
=
=
=
，由正弦定理得
2 sin
sin
1
4
sin
2
2
π
b
C
B
c
=
=
=
，
而b
c
<
，即B
C
<
，所以
π
6
B =
.
故选：A
7．D
根据互斥一定对立，对立不一定互斥的定义逐项分析判断即可.
【详解】A. 当选到一男一女时，至少有1 名男生和至少有1 名女生同时发生，既不互斥也不对立，A 错误
B. 两名都是男生时，至少有1 名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B 错误
C. 至少有1 名男生和全是女生，是对立事件，C 错误
D. 恰有1 名男生和恰有2 名男生，互斥而不对立，D 正确.
故选：D
8．C
作出直四棱柱由面对角线构成的四面体，在四面体的各个面中求出三角形内角的余弦判断即可.
【详解】直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，四面体
1
1
ACB D 的六条棱所在直线能表征直四棱柱各个面上所有对
角线，
该四棱柱的所有棱长都为2，
π
3
BAD
Ð
=
，则
1
1
1
1
2 2
AB
AD
B C
CD
=
=
=
=
，
1
1
2,
2 3
B D
AC
=
=
，
在
1
1
AB D
V
中，
1
1
8
8
4
3
cos
4
2 2 2
2 2
B AD
+ -
Ð
=
=
´
´
，
1
1
1
1
1
2
cos
cos
4
2 2
AB D
AD B
Ð
=
Ð
=
=
；
在
1
ACB
V
中，
1
8
8 12
1
cos
4
2 2 2
2 2
AB C
+ -
Ð
=
=
´
´
，
1
1
3
6
cos
cos
4
2 2
B AC
ACB
Ð
=
Ð
=
=
；
在
1
1
CB D
V
中，
1
1
8
8
4
3
cos
4
2 2 2
2 2
B CD
+ -
Ð
=
=
´
´
，
1
1
1
1
1
2
cos
cos
4
2 2
CB D
CD B
Ð
=
Ð
=
=
；
在
1
ACD
△
中，
1
8
8 12
1
cos
4
2 2 2
2 2
AD C
+ -
Ð
=
=
´
´
，
1
1
3
6
cos
cos
4
2 2
D AC
ACD
Ð
=
Ð
=
=
，
所以选项ABD 均有可能，C 不可能.
故选：C
9．AB
根据平面向量的加减法运算法则及数乘运算计算求解.
【详解】在
ABC
V
中，AB
CB
CA
=
-
uuur
uuur
uuur
，A 选项正确；
BC
BA
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，B 选项正确；
在
ABC
V
中，M 为边AB 的中点，则2CM
CB
CA
=
+
uuuur
uuur
uuur
，C 选项错误；
CB
CM
MB
-
=
uuur
uuuur
uuur
，所以D 选项错误；
故选：AB.
10．ABC
利用复数的除法求出z ，再逐项判断即可.
【详解】复数
2
2(1 i)
2
2i
1 i
1 i
(1 i)(1 i)
2
z
+
+
=
=
=
= +
-
-
+
，
对于A，
1
i
z - = 是纯虚数，A 正确；
对于B，
1
i
z = - 表示的点(1, 1)
-
在第四象限，B 正确；
对于C，|
2
|
z =
，C 正确；
对于D，
2
0
1 i)
1 i
(
2
2
4i
)
(
4
+
+
+
+
+
=
¹
，D 错误.
故选：ABC
11．AC
根据给定条件，利用圆锥的侧面积公式、体积公式求解判断AB；借助圆锥轴截面求出其外接球半径判断
C；求出过顶点的圆锥截面面积最大值判断D.
【详解】在
ABC
V
中，
2
2
2
25
AB
BC
AC
+
=
=
，即
ABC
V
是直角三角形，且
90
ABC
Ð
=
o ，
对于A，
1
W 是底面圆半径为4，母线长为5 的圆锥，侧面积为π 4 5
20π
´ ´ =
，A 正确；
对于B，
2
W 是底面圆半径为3，高为4 的圆锥，体积为
2
2
1 π
3
4
12π
3
V =
´
´
=
，
3
W 是底面圆半径为12
5 ，直线AC 为轴的共底面的两个圆锥组合而成，
体积为
2
3
1
12
48
π (
)
5
π
3
5
5
V =
´
´
=
，
2
3
5
4
V
V =
，B 错误；
对于C，
1
W 轴截面等腰三角形底角正弦为3
5 ，其外接球半径为1
5
25
3
6
2
5
r =
=
´
，
3
W 的外接球半径3
1
5
2
2
r
AC
=
=
，因此
1
3
25
2
5
6
5
3
r
r =
´
=
，C 正确；
对于D，
1
W 轴截面等腰三角形顶角等于2 CAB
Ð
是钝角，
过几何体
1
W 顶点的平面截
1
W 所得的截面等腰三角形顶角为(0
2
)
CAB
q
q
<
< Ð
，
该截面面积
2
1
25
5 sin
2
2
S
q
=
´
£
，
当且仅当
90
q =
o 时取等号，D 错误.
故选：AC
12．3
第50 百分位数为数据的中位数，即得.
【详解】数据：1，2，3，3，5 的第50 百分位数是3.
故答案为：3
13．2
根据给定条件，求出该校高一学生每周平均锻炼时长，再利用方差公式计算出方差.
【详解】高一男生、女生锻炼时长平均数为
4.2,
3.7
x
y
=
=
，方差分别为
2
2
1
2
1.96,
1.91
s
s
=
=
，
则该校高一学生每周锻炼时长的平均数
3
2
4
5
5
z
x
y
=
+
=
，
所以该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为
2
2
2
3
2
[1.96
(4.2
4) ]
[1.91
(3.7
5
2
4)
5
]
s =
+
-
+
-
=
+
.
故答案为：2
14．18 3
利用正弦定理边化角，逆用和角的正弦公式化简求出C ，再利用三角形面积公式，结合基本不等式求出最
小值.
【详解】在
ABC
V
中，由2
cos
cos
b
a
A
c
C
-
=
及正弦定理得2sin
sin
cos
sin
cos
B
A
A
C
C
-
=
，
即2sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin(
)
sin
B
C
A
C
A
C
A
C
B
=
+
=
+
=
，而sin
0
B >
，
则
1
cos
2
C =
，而0
π
C
<
<
，解得
π
3
C =
，而角C 的内角平分线交AB 于点E ，且
6
CE = ，
由
ACE
BCE
ABC
S
S
S
+
=
V
V
V
，得1
π
1
π
1
π
6sin
6sin
sin
2
6
2
6
2
3
b
a
ab
×
+
×
=
，
整理得1
1
3
6
a
b
+
=
，因此
1
1
4
4
2 3(
)(4
)
2 3(5
)
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
+
=
+
+
=
+
+
4
2 3(5
2
)
18 3
b
a
a
b
³
+
×
=
，当且仅当
4
b
a
a
b
=
，即
2
6 3
b
a
=
=
时取等号，
所以4a
b
+
的最小值为18 3 .
故答案为：18 3
15．(1)1
(2) 13
(3)
3
5
k =
【详解】（1）
2
cos45
1
2
1
2
a b
a b
×
=
= ´
´
=
o
r
r
r
r
；
（2）
2
2
4
2
1
4
8
4
13
a
b
b
a
a
b
=
+
+
=
×
+
+
=
+
r
r
r
r
r
r
；
（3）由题意可知，
2
2
2
2
2
0
a
b
a
kb
a
k a b
kb
+
×
-
=
+
-
×
-
=
r
r
r
r
r
r
r
r
即
21
2
1 4
0
k
k
+
-
´ -
=
，解得：
3
5
k =
16．(1)证明见解析；
(2)
6
3
【详解】（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC
BD
^
，
因为SD ^ 平面ABCD ，AC Ì 平面ABCD ，所以SD
AC
^
,
因为BD
SD
D
Ç
=
，且
,
BD SD Ì 平面SDB ,
所以AC ^平面SDB ；
（2）因为SD ^ 平面ABCD ，所以
SBD
Ð
为直线SB 与平面ABCD 所成的角，
因为ABCD 是正方形，且
1
AB = ，
所以
2
2
2
BD
AB
AD
=
+
=
，所以
1
ABCD
S
AB
AD
=
´
= ，
因为SB 与平面ABCD 所成的角为60o，
所以tan
3
2
SD
SD
SBD
BD
Ð
=
=
=
，解得：
6
SD =
，
所以四棱锥S
ABCD
-
的体积为
1
1
6
1
6
3
3
3
V
Sh
=
=
´ ´
=
.
17．(1)0.030
(2)71
(3) 3
5
【详解】（1）由题意可得(0.010
0.015
0.015
0.025
0.005) 10
1
a
+
+
+
+
+
´
= ，可得
0.03
a =
；
（2）由题意可得(0.010 45
0.015 55
0.015 65
0.03 75
0.025 85
0.005 95) 10
71
´
+
´
+
´
+
´
+
´
+
´
´
=
，
本次航天知识能力测试成绩的平均数为71.
（3）由题意，
40,50 ，
50,60 的频率比为0.010:0.015
2:3
=
，
设抽取的5 人中
40,50 有2 人为,a b 、
50,60 有3 人为, ,
A B C ，
任抽2 人有
,
,
,
,
,
,
,
,
,
ab aA aB aC bA bB bC AB AC BC ，共10 种情况，
其中分数在
40,50 ，
50,60 各一人有
,
,
,
,
,
aA aB aC bA bB bC ，共6 种情况，
所以这2 名同学分数在
40,50 ，
50,60 各一人的概率为6
3
10
5
=
.
18．(1)证明见解析；
(2)2.
【详解】（1）在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，取
1
1
A B 中点F ，连接
,
EF BF ，由E 是
1
1
AC 的中点，
得
1
1
1
1
1
/ /
/ /
,
2
EF
B C
BC EF
B C
BD
=
=
，则四边形BDEF 是平行四边形，
/ /
DE
BF ，
而BF Ì 平面
1
1
A ABB ，DE 平面
1
1
A ABB ，所以
/ /
DE
平面
1
1
A ABB .
（2）在平面
1
1
ACC A 内过点
1A 作
1AH
AC
^
于H ，由平面
1
1
A ACC ⊥平面ABC ，侧面
1
1
A ACC Ç 平面
ABC
AC
=
，
得
1A H ^ 平面ABC ，而AB Ì 平面ABC ，则
1A H
AB
^
，在平面ABC 内过H 作HG
AB
^
于G ，
连接
1AG ，又
1
1
,
,
A H
HG
H A H HG
Ç
=
Ì 平面
1AGH ，则AB ^平面
1AGH ，
又
1AG Ì 平面
1AGH ，则
1
AB
AG
^
，
1AGH
Ð
是二面角
1A
AB
C
-
-
的平面角，
由
1
2
AB
A A
=
=
，
1
π
3
A AC
Ð
=
，得
1
π
2sin
3,
1
3
A H
AH
=
=
= ，
π
3
sin 3
2
GH
AH
=
=
，
因此
1
1
tan
2
A H
AGH
GH
Ð
=
=
，所以二面角
1A
AB
C
-
-
的正切值为2.
19．(1) 40 42
3
米；
(2)20 19 米；
(3)1600 3
3
平方米.
【详解】（1）由四边形ABCD 内接于圆O ，
60
BAD
Ð
=
° ，得
120
BCD
Ð
=
°，
在
ABD
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
1
2
cos60
120
80
2 120 80
11200
2
BD
AB
AD
AB AD
=
+
-
×
=
+
- ´
´
´
=
o
，
则
40 7
BD =
，在
BCD
△
中，由正弦定理得sin
sin
BD
BC
BCD
BDC
=
Ð
Ð
，
所以
40 7 sin 45
40 42
sin120
3
BC =
=
o
o
（米）.
（2）由E 为BD 的中点，得
1 (
)
2
AE
AB
AD
=
+
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
1
1
|
|
(
)
2
2
2
AE
AB
AD
AB
AD
AB AD
=
+
=
+
+
×
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
2
2
1
1
120
80
2 120 80
20 19
2
2
=
+
+ ´
´
´
=
（米）.
（3）当AC 为圆O 的直径时，AC 最长，在
ABD
△
中，
40 7
BD =
，
由正弦定理得
40 7
80 21
2
sin
sin 60
3
BD
AC
R
BAD
=
=
=
=
Ð
o
，
在Rt
ACD
△
中，
2
2
2
25600
160
,
3
3
CD
AC
AD
CD
=
-
=
=
，
在Rt
ACB
△
中，
2
2
2
1600
40
,
3
3
CB
AC
AB
CB
=
-
=
=
，
1
1600 3
sin120
2
3
BCD
S
CB CD
=
×
=
o
V
，
所以花卉区
BCD
△
的面积为1600 3
3
平方米.
