文档内容
沧州市 2023—2024 学年第二学期期末教学质量监测
高一数学
班级________ 姓名________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A． B．4 C．0 D．4或
2．样本数据11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的第80百分位数是（ ）
A．18 B．19 C．18.5 D．18或19
3．某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学
a被抽到的可能性为（ ）
A． B． C． D．
4．已知四棱柱 的高为3，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法） 如图
所示，其中 ， ，则这个四棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
学科网（北京）股份有限公司6．在 中， ， ，P是BN上一点，且 ，则 （
）
A． B． C．0 D．1
7．河北定州开元寺塔是世界上现存最高的砖木结构古塔（如图），著名古建专家罗哲文誉其为“中华第一
塔”．为了测量开元寺塔的高度，一研究小组选取了与该楼底部 O在同一水平面内三个共线的测量基点A，
B，C，分别测得塔顶P点的仰角为 ， ， ，且 ，示意图如图，则该塔高
（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正三棱台 中， ，M，N分别是AB， 的中点，则异面直线
MN， 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知事件A，B满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立
B．事件A与事件B可能为对立事件
C．若事件A与事件B相互独立，则
学科网（北京）股份有限公司D．若事件A与事件B互斥，则
10．已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最小值为3
C．若 ，则 D．若 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是
11．如图，在棱长为2的正方体 中，E，F分别是 ， 的中点，点P是线段 上
的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点P到平面BEF的距离不变
B．平面BEF截该正方体所得的截面面积为5
C．当点P在线段 上运动时，始终有 平面
D． 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知i是虚数单位，则复数 的共轭复数为________．
13．为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有奖答题活动，参加活动的员工依次回答三个问题，不管答对
或者答错，三题答完活动结束．规定每位员工只能参加一次活动，且至少答对两道题才能获奖．已知员工甲
第一题答对的概率为 ，第二题答对的概率为 ，第三题答对的概率为 ，假设员工甲是否答对每一题相互
独立，则员工甲获奖的概率为________．
14．在 中， ， ， ，M，N分别为AC，AB上的动点（不包括端点），将
学科网（北京）股份有限公司沿MN折起，使点A到达点 的位置，且平面 平面BCMN．若点 ，B，C，M，N均在
球O的球面上，则球O表面积的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知复数 ， ， 在复平面内表示的点分别为 ，
，O为坐标原点．
（1）若复数 在复平面内对应的点在直线 上，求 的值；
（2）若 与 的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
16．（本小题满分 15分）已知 ， 是平面内两个不共线的向量，若 ， ，
．
（1）证明：A，B，C三点共线；
（2）若 ， ，点 ，B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP，求点P的坐标．
17．（本小题满分15分）某学校高一年级举办了数学竞赛活动，共有1000名学生参加．从中随机抽取了100
名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按 ， ， ，
， 的分组作出频率分布直方图，如图所示．
（1）求实数x的值，并估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该
组区间的中点值表示）；
（2）现从 ， 两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7人组成数学学习小组，再从
这7人中抽取2人作为组长，求至少一名组长来自 的概率．
18．（本小题满分17分）在如图所示的几何体中， ， 平面ABCD，四边形ABCD为菱形，
学科网（北京）股份有限公司， ， ，点M为AB的中点．
（1）证明： 平面ABF；
（2）证明：平面 平面ABF；
（3）求直线EM与平面ADE所成角的正弦值．
19 ． （ 本 小 题 满 分 17 分 ） 在 中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 是 a ， b ， c ，
．
（1）求角A；
（2）若D为BC边上一点，且满足 ， ，
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求 的取值范围．
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高一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C A D A C D C ACD BD ACD
1．B 解析：复数 为纯虚数．所以 ，解得 ，故选B．
2．C 解析：共10个数．已经从小到大排列好， ，则第80百分位数是第8个和第9个数的平均
数．即18.5．故选C．
3．A 解析：总体有60个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为 ，故选A．
4．D 解析：由于直观图 的面积为 ．所以四边形ABCD的面积为 ，所以四棱柱
的体积是 ，故选D．
5．A 解析：由正弦定理可得 ，化简可得 ，即 ，
由正弦定理可得 ，即 ．所以 或 ．即
或 ，所以这个三角形是等腰三角形或直角三角形，故选A．
6．C 解析： ， ，且 ， ，B，N三点共
线， ，即 ， ，
所以 ．故选C．
7．D 解析：设 ，由在点A，B，C处分别测得塔顶P点的仰角为 ， ， ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司， ， 在 ， 中 ， 由 余 弦 定 理 知 ，
， 因 为 A ， B ， C 三 点 共 线 ． 所 以 ， 则
．解得 ，故选D．
8．C 解析：如图所示，连接MC， ，取MC的中点P，连接 ，PB，在正三棱台 中，
设 ，由M，N分别是AB， 的中点易知． ，且 ，
所以四边形 是平行四边形．所以 ， 即为异面直线MN， 所成角（或其补角），
在梯形 中，MN 为梯形的高，易知 ， ， ，即 ，
，在 中，易知 ．所以 ，即异面直线
MN， 所成角的余弦值为 ．故选C．
9．ACD 解析：对于 A，根据相互独立事件的定义易知正确；对于 B，对立事件的概率和为 1，但
．故B错误；对于C，根据相互独立事件的定义， ，
学科网（北京）股份有限公司故C正确；对于D．事件A与事件B互斥，则 ，故D正确，故选ACD．
10．BD 解析：对于 A，由 ， ．得 ．由 ，得
． 解 得 ， 故 A 错 误 ； 对 于 B ． ． 因 此
． 故 B 正 确 ； 对 于 C ． 因 为 ． 所 以
，即 ，故C错误；对于D，向量 在向量 上的投影向量为 ．
故D正确．故选BD．
11．ACD 解析：对于A．易知 ， 平面BEF， 平面BEF．所以 平面BEF，点
P在线段 上，所以点P到平面BEF的距离不变，故A正确；对于B，如图1，连接 ， ，易知
， ． 平 面 BEF 截 该 正 方 体 所 得 的 截 面 为 平 面 ， ，
．所以易知四边形 的面积为 ，故B错误；对于C．如图2，连接
， ，易知平面 平面 ．又因为 平面 ．所以始终有 平面 ．故
C正确；对于D，如图3．连接 ，把平面 沿 展开到平面 所在平面，如图4，连接
交 于点 P，此时 取得最小值，即最小值为 ，在 中， ，
．由余弦定理得， ，故D正确，故选ACD．
图1 图2 图3 图4
12． 解析：由题意可得， ，所以复数 的共轭复数
学科网（北京）股份有限公司为 ．
13． 解析：员工甲答对两题的概率为 ．员工甲答对三题的概率
为 ．所以员工获奖的概率为 ．
14． 解析：显然M不与A重合，由点 ，B，C，M，N地在球O的球面上，得B，C，M，N四点共
圆，则 ．又 为直角三角形．AB为斜边，则有 ，如图，将 翻折
后， ， ，又平面 平面BCMN，平面 平面 ，
平面 ， 平面BCMN，于是 平面BCMN， 平面 ，显然 ，BM的中点
D，E 分别为 ，四边形 BCMN 外接圆圆心，则 平面 ， 平面 BCMN．因此
， ．取NM的中点F．连接DF，EF，则有 ， ．所以四边
形EFDO为平行四边形．设 且 ， ， ．设球O的半径
R．则 ，当 时， ，所以球 O 表面积的最小值为
．
15．解：（1） ，因为复数 在复平面内对应的点在直线 上，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ．
所以 ．
所以 ．
（2） ， ，
因为 与 的夹角为锐角，则 且两向量不同向，
所以 ，
即 ，即 ，解得 或 ，
当两向量共线且同向时，设 且 ，
即 ， ，所以 ，解得 ， ，
所以 ，
综上，实数m的取值范围为 ．
16．解：（1）因为 ，所以 ．
所以A，B，C三点共线．
（2）设点P的坐标为 ，则 ， ，
因为B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP．所以 ，
即 ，解得 ，
所以点P的坐标为 ．
17．解：（1）在频率分布直方图中， ，解得 ，
结合频率分布直方图，估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数为75分，
落在 的频率为0.16， 的频率为0.3， 的频率为0.4．则中位数落在 内，设中
学科网（北京）股份有限公司位数为y，则 ，解得 ，即中位数为71分，
平均数为 （分）
（2）按比例分配的分层随机抽样方法． 中抽取的人数为 ， 中抽
取的人数为 ．
记来自 的5人和来自 的2人分别为 ， ， ， ， ， ， ，
则所有基本事件为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，共21个，满足题意的有11个，
由古典概型知，至少一名组长来自 的概率为 ．
18．解：（1）因为 ， 平面ABCD，所以 平面ABCD，
因为 平面ABCD，所以 ，
因为 是等边三角形，点M为AB的中点，所以 ，
又 ，BF， 平面ABF，所以 平而ABF．
（2）如图，取AF的中点N，连接EN，MN，
因为M，N分别为AB，AF的中点，所以 ， ，又因为 ， ，所以
， ．所以四边形EDMN为平行四边形，所以 ，
由（1）知 平面ABF．所以 平面ABF，
学科网（北京）股份有限公司因为 平面AEF．所以平面 平面ABF．
（3）因为 平面ABCD， 平而ADE，所以平面 平面ADE．
又平面 平面 ．
过点M作AD的垂线，重足为Q，即 ，所以 平面ADE，连接EQ．
所以 是直线EM与平面ADE所成的角．
易知点Q为AD上靠近点A的四等分点．
在 中， ，则 ，
因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ，
又 ，所以在 中， ．
因为 平面ADE， 平面ADE，所以 ，
在 中， ，
所以直线EM与平而ADE所成角的正弦值为 ．
19．解：（1）由余弦定理，等式左边 ，
因为 ．所以 ，所以等式左边 ．
所以 ，化简得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
代入上式化简得 ．
因为 ．所以 ．所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，因为 ，所以 ．
（2）（ⅰ） ，所以AD是 的平分线，
由（1）知， ，所以 ，
在 中， ，
即 ，
化简得 ，则 ．
（ⅱ）在 中，由正弦定理得 ．
即 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为 ．所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
学科网（北京）股份有限公司
