文档内容
2024 届高一 1+3 期末考试
数学
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．幂函数 在 上单调递增，则 过定点（ ）
A．(1，1) B．(1，2) C．(﹣3，1) D．(﹣3，2)
4．已知 则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．折扇在我国已有三千多年的历史，它常以字画的形式体现我国的传统文化，右图为其结构简化图，设
扇面A，B间的圆弧长为 ，C，D间的圆弧长为 ，当弦长 AB为 ，圆弧所对的圆心角为
，则扇面字画部分的面积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．π B． C． D．
6．区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域．在区块链技术中，某个密码的长度设定为
512B，则密码一共有 种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行 次运算．现在有一台计算机，
每秒能进行 次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（ ）(参
考数据： )
A． B． C． D．
7．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．定义：若集合A，B满足 ，存在 且 ，且存在 且 ，则称集合A，B为
嵌套集合．已知集合 ， ．若集合A，
B为嵌套集合，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列与412°角的终边相同的角是（ ）
A．52° B．778° C．﹣308° D．1132°
10．下列选项中正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若集合 ，且 ，则实数a的取值所组成的集合是 ．
C ． 若 不 等 式 的 解 集 为 ， 则 不 等 式 的 解 集 为
学科网（北京）股份有限公司D．已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是 ．
11．已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 ______．
13．设函数 ，则使得 成立的x解集是______．
14 ． 已 知 函 数 若 方 程 有 四 个 不 同 的 解 ， 且
，则a的最小值是______，(2分) 的最大值是______．(3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)
(1)计算：
(2)已知 ，求 的值．
16．(15分)(1)已知集合 ．若 是 的必要不充分
条件，求实数a的取值范围．
(2)若命题“ ”为假命题，求x的取值范围．
17．(15分)(1)已知函数 ，求函数 的解析式；
(2)已知关于x的不等式 在 上有解，则实数m的取值范围．
18．(17分)某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，
空气中释放的浓度 y(单位：毫克/立方米)随着时间 x(单位：天)变化的函数关系式近似为
学科网（北京）股份有限公司若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释
放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
(1)若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天?
(2)若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒a个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效
去污，试求a的最小值?(精确到0.1)
19．(17分)已知函数 ，且函数 是偶函数．
(1)求 的解析式；
(2)若不等式 在 上恒成立，求n的取值范围；
(3)若函数 恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点．
数学答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．C【解析】由 ，解得 ，则 ．又∵ ，
∴ ．故选：C．
2．D【解析】命题“ ”的否定是：“ ”．故选：D．
3．D【解析】由题意得： 解得 或 ，
又函数 在 上单调递增，则 ，则 ，
当 即 时， ，
则 过定点 ．故选：D．
4．A【解析】 是R上的单调增函数，故 ，故 ；
又 是R上的单调减函数，故 ，即 ；
学科网（北京）股份有限公司又 是 上的单调增函数，故 ，即 ；
综上所述： ．故选：A．
5．A【解析】记 ，如图，在 中，因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，所以 ，
所以扇面字画部分的面积为 ，故选：A．
6．D【解析】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为x秒，则有 ；
两边取常用对数，得 ；
所以 ．故选：D．
7．A【解析】由 移项变形为
设
因为 、 单增，易知 是定义在R上的增函数，故由 ，可得 ，
所以 ，从而 ，故选：A．
学科网（北京）股份有限公司8．A【解析】因为 ，所有 ，
由 ，得 ，
如图，作出函数 的图象，
由图可知，不等式 的解集为[2，4]，
所以 ，
由 ，得 ，
当 ，即 时，则 ，不符题意；
当 ，即 时，则 ，
由 ，得 ，
根据嵌套集合的定义可得 ，解得 ；
当 ，即 时，则 ，
由 ，得 ，根据嵌套集合的定义可得 ，无解，
综上所述，实数a的取值范围为 ．故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
学科网（北京）股份有限公司9．ACD【解析】因为 ，
所以与412°角的终边相同角为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上，选项A、C、D正确.故选：ACD．
10．CD【解析】对于A，当 时，若 ，有 ，不满足 ，故A错误；
对于B，当 时，方程 无解，则 ；
当 时，由方程 ，解得 ，可得 或 ，解得 或﹣1，
综上所述，a的解集为 ，故B错误；
对于C，由题意可知：方程 的解为 ，且 ，
由韦达定理可得 ，则 ，
解得 ，
则不等式 为
由 ，则不等式变为 ，解得 ，故C正确；
对于D，由题意可得 ，则 ，所以函数 的定义域为 ，
对于函数 ，则 ，解得 ，所以其定义域为 ，故D正确；
故选：CD．
11．ACD【解析】对于A，因为 ，且 ，由 ，
学科网（北京）股份有限公司得 ，当且仅当 时，等号成立，所以A正确；
对于B，因为 ，且 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所
以B错误；
对于C，因为 ，且 ，所以
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以C正确；
对 于 D ， 因 为 ， 且 ， 所 以 ， 即
，当且仅当 时，等号成立，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 【解析】因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，
，则
13． 【解析】因为函数 的定义域为 R， ，所以函数
为偶函数，
当 时， ，易知 在 上递增，
在 上递减，所以函数 在 上递增．
原不等式等价于 ，所以 ，解得： ．故答案为： ．
14．(1)1(2分) (2)4(3分)
【解析】画出 的图象：
学科网（北京）股份有限公司因为方程 有四个不同的解 ，故 的图像与 有四个不同的交点，又由图，
故a的取值范围是 ，故a的最小值是1．
又由图可知， ，故
，故 ．
故 ．
又当 时， ．当 时， ，故 ．
又 在 时 为 减 函 数 ， 故 当 时 取 最 大 值 ， 此 时
．
故答案为：(1)1(2)4
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)解：(1)原式 ；
(2)因为 ，所以 ，
所以 ．
(采用其他方法，依步骤给分)
16．(15分)解：(1)由 是 的必要不充分条件，得B是A的真子集，
则当 时， ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，或 ，解得 或 ，
综上所述， ．
(2)由题意知“ ”为真命题．
令 ，
则 ，即 解得
所以x的取值范围为 ．
17．(15分)解：(1)令 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
(2)由题意知，问题转化为 在 上有解，
设 ，
则 ，又 ，
当且仅当 时取等号，
则 ，故 ．
所以实数m的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司18．(17分)解：(1)依题意，令 则 或 ．
解得 或
∴一次喷洒1个单位的去污剂，去污时间可达7天．
(2)设从第一次喷洒起，经 天空气中的去污剂浓度为 ，
则 ，
依题意 对一切 恒成立 ，
又 在 上单调递减， ，
∴ ，∴ ，
故a的最小值为0.2．
19．(17分)解：(1) ，
．
是偶函数， ．
，
．
(2)令 ，∵ ，∴ ，
不等式 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
令 ，则 ．
学科网（北京）股份有限公司(3)令 ，则 ，
方程 可化为 ，
即 ，也即 ．
又∵偶函数 恰好有三个零点，所以必有一个零点为0，
∴ 有一个根为2，∴ ，∴ ，解得 或 ．
由 ，得 ，由 ，得 ，∴零点为0，﹣2，2．
学科网（北京）股份有限公司
