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2024 年高考物理一轮大单元综合复习导学练
专题28 开普勒行星运动定律、天体质量密度估算和不同位置重力加速度
导练目标
导练内容
目标1
开普勒行星运动定律
目标2
天体质量密度估算
目标3
不同位置重力加速度
【知识导学与典例导练】
一、开普勒行星运动定律
定 律
内 容
图示或公式
开普勒第一定律(轨
道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆, 太阳处在
的一个焦点上
开普勒第二定律(面
积定律)
对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内
扫过的面积相等
开普勒第三定律(周
期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的
二次方的比值都相等
a
3
T
2=k,k 是一个与行星无关
的常量
注意：
①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；
②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；
③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。
【例1】2023 年5 月30 日搭载景海鹏、朱杨柱、桂海潮三名航天员的神舟十六号飞船在酒泉卫星发射中心
成功发射。飞船入轨后先在近地停泊轨道1 上进行数据确认，后经椭圆转移轨道2 与在轨道3 做匀速圆周
运动的空间站组合体完成自主快速交会对接，其变轨过程可简化如图所示，已知停泊轨道半径近似为地球
半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为
，则（ ）
A．飞船在停泊轨道上的速度大于第一宇宙速度
1
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B．飞船在转移轨道上P、Q 两点的速率之比约为
C．若飞船在Ⅰ轨道的点P 点火加速，至少经过时间
，才能在Ⅱ轨道的Q 点与空间站完成
交会对接
D．空间站的物品或宇航员可以漂浮，说明此时它们或他们不受地球引力作用
二、天体质量密度估算
1.“自力更生”法(g－R)：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R。
(1)由G＝mg 得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
2.“借助外援”法(T－r)：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r。
(1)由G＝mr 得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环
绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【例2】宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽
毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。不考虑月球
自转的影响，则下列表述正确的是（ ）
A．月球表面的自由落体加速度g 月＝
B．月球的质量M＝
C．月球的密度ρ＝
D．月球的密度ρ＝
【例3】2023 年5 月21 日，我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号”丙运载火箭，成功发射首颗内地与澳
门合作研制的空间科学卫星“澳门科学一号”。若“澳门科学一号”入轨后，在到地心距离为
（其中k
为大于1 的常数，
为地球的半径）的轨道上做匀速圆周运动，地球表面的重力加速度大小为g，引力常
量为G，球的体积
（r 为球的半径），则下列说法正确的是（ ）
2
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A．“澳门科学一号”的线速度大小为
B．“澳门科学一号”的线速度大小为
C．地球的平均密度为
D．地球的平均密度为
三、不同位置重力加速度
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如
图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h 处的重力加速度为g′，由
，得
所以
。
3．万有引力的“两个推论”
推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F 引=0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M')对其的
万有引力,即F=G M 'm
r
2
。
3
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【例4】由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处
的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球
可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是( )
A．质量为m 的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m 的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C．地球的半径为
D．地球的密度为
【例5】近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7000m 大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网
阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的
球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在
处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【综合提升专练】
1．2020 年6 月23 日9 时43 分，长征三号乙运载火箭成功发射第55 颗北斗导航卫星，并顺利进入地球静
止轨道，实现了全球卫星导航系统组网成功。已知该卫星在地球静止轨道距离地面的高度为地球半径的N
倍，其运行周期约为T，地球的半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．地球的质量为
B．该卫星的质量为
C．地球的密度为
D．地球表面的重力加速度g=
2．2022 年6 月5 日，神舟十四号飞船成功发射，神舟十四号飞船与空间站组合体成功实现自主快速交会
4
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对接。已知空间站做圆周运动的轨道高度约为400km，地球半径为
，空间站的向心加速度大小为
，
引力常量为
。下列说法正确的是（ ）
A．空间站的运行周期小于
B．飞船需要与空间站在同一个轨道上点火加速完成对接
C．地球的质量
D．地球表面的重力加速度大小
3．行星各自卫星的轨道可以看作是圆形的。某同学根据a 行星和b 行星的不同卫星做圆周运动的半径r 与
周期T 的观测数据，作出如图所示的图像，其中图线A 是根据a 行星的不同卫星的数据作出的，图线B 是
根据b 行星的不同卫星的数据作出的。已知图线A 的斜率为
，图线B 的斜率为
，a 行星半径为b 行星
半径的n 倍，则（ ）
A．a 行星与b 行星的质量之比为
B．a 行星与b 行星表面的重力加速度之比为
C．a 行星与b 行星的第一宇宙速度之比为
D．a 行星与b 行星的平均密度之比为
4．近期，多个国家和组织相继发布了一系列探月规划，其中不乏新颖的亮点，比如建设月球通信导航星
座，利用低轨探测器、跳跃探测器等手段寻找水冰资源。人造航天器在月球表面绕月球做匀速圆周运动时，
航天器与月球中心连线在单位时间内扫过的面积为
，已知月球的半径为R，引力常量为G，则（ ）
A．航天器的环绕周期为
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B．月球的质量为
C．航天器的加速度大小为
D．月球的密度为
5．假设地球的半径为R 且质量分布均匀。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为
σg0（σ<1）；引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．质量为m 的人站在赤道上，对地球的压力大小为σmg0
B．质量为m 的人站在赤道上，对地球的压力大小为2σmg0
C．地球的自转周期为
D．地球的自转周期为
6．某人用弹簧秤在北极的地面称量质量为m 的物体时，示数是F1；若在北极上空距地面高为h 处称量，
示数为F2；若在赤道表面称量，示数为F3；若在地球同步卫星中称量，示数为F4。已知地球的质量为M，
地球的半径为R，自转周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利用一些常见的数据计算出地球的半径和
质量。已知常见数据为万有引力常量G，地球的自转周期T，地球两极处的重力加速度g0。若视地球为质
量分布均匀的球体，赤道处的重力加速度g 已经测出，则下列说法中正确的是（ ）
A．地球的半径为
B．地球的半径为
6
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C．地球的质量为
D．地球的质量为
8．地球和哈雷彗星均绕太阳运行。地球的公转轨道接近圆，圆半径为r，运行周期为
；哈雷彗星轨道为
椭圆，运行周期为T，在近日点与太阳中心的距离为
、加速度为
，在远日点与太阳中心的距离为
、
加速度为
。不考虑地球和哈雷彗星间的相互作用，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图所示，B 为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为TB；C 为绕地球沿圆周
运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC。下列说法或关系式中正确的是（ ）
A．地球位于B 卫星轨道的一个焦点上，位于C 卫星轨道的圆心上
B．卫星B 和卫星C 运动的速度大小均不变
C．
，该比值的大小与地球和卫星有关
D．
，该比值的大小不仅与地球有关，还与太阳有关
10．“太空探索”（SpaceX）公司研制的“重型猎鹰”运载火箭，从肯尼迪航天中心试射成功，把一辆红
色特斯拉跑车送进地球和火星之间的轨道。其简化图形如下图，定义地球和太阳平均距离为1 个天文单位，
已知特斯拉远日点离太阳距离为2.6 个天文单位，火星和太阳平均距离是1.5 个天文单位，地球和火星轨道
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都视作圆轨道。则（ ）
A．发射特斯拉的初速度介于7.9km/s 到11.2km/s 之间
B．特斯拉跑车在远日点机械能大于其在近日点时的机械能
C．特斯拉环绕运动的周期约为39 个月
D．火星、地球分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积之比是
11．2021 年6 月17 日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示。天和核心舱处
于半径为
的圆轨道Ⅲ上；神舟十二号飞船处于半径为
的圆轨道Ⅰ上，运行周期为
，经过A 点时，通
过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B 处与核心舱对接，则神舟十二号飞船（ ）
A．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
B．沿轨道Ⅱ从A 运动到
的过程中，机械能增大
C．在轨道Ⅰ上的速度小于沿轨道Ⅱ运动经过
点的速度
D．沿轨道Ⅱ运行的周期为
12．黑洞是一种密度极大、体积极小的天体，引力大到光都无法逃脱其“魔掌”，所以黑洞无法直接被观
测，但可以通过观测绕其运动的恒星，大致推测出黑洞的质量。观察发现，某恒星绕银河系中心黑洞人马
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座
的周期为n 年，此恒星到人马座
的平均距离为
（地球到太阳的平均距离为
），不考
虑相对论效应，则人马座
的质量与太阳质量的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．2022 年9 月1 日“神舟十四”乘组进行首次出舱开展舱外作业。若把“天和核心舱”的运动看作是绕
地球运行的匀速圆周运动，一航天爱好者研究发现，陈冬从打开舱门到完成出舱活动的时间t 内，“天和
核心舱”组合体绕地心转过的角度为
。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量
为G，不考虑地球自转，由此可得到（ ）
A．“天和核心舱”绕地球转动的周期是
B．“天和核心舱”距地球表面的高度是
C．陈冬在随“天和核心舱”运行的过程中受到的重力为零
D．地球质量可表示
或
14．2020 年12 月1 日嫦娥五号探测器实施月面“挖土”成功，“挖土”采用了钻取和表取两种模式。假
设月球可看作质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有
引力为零，万有引力常量为G。某次钻取中质量为m 的钻尖进入月球表面以下h 深处，则此时月球对钻尖
的万有引力为（ ）
A．0
B．
C．
D．
15．课堂上老师布置了一个题目：假设地球是一半径为
、质量分布均匀的球体，并忽略自转，已知质量
分布均匀的球壳对内物体的引力为零，某一矿井的深度为
，求矿井底部的重力加速度为
和地球表面处
的重力加速度
大小之比．
小明同学的思考过程如下：由万有引力和重力的关系可知，
（
为引力常量，
为地球质量，
为各点距地心的距离，
为该点的重力加速度）．所以地球表面的重力加速度
，矿井底部的重
9
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力加速度
．由此可知，矿井底部和地球表面处的重力加速度大小之比为
．
对于小明的思考过程，下列说法中正确的是（ ）
A．小明的答案是正确的
B．小明的答案是错误的，因为
不成立
C．小明的答案是错误的，因为
不成立
D．小明的答案是错误的，比值应该为
10
