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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题28 开普勒行星运动定律、天体质量密度估算和不同位置重力加速度
导练目标 导练内容
目标1 开普勒行星运动定律
目标2 天体质量密度估算
目标3 不同位置重力加速度
【知识导学与典例导练】
一、开普勒行星运动定律
定 律 内 容 图示或公式
开普勒第一定律(轨 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在
道定律) 的一个焦点上
开普勒第二定律(面 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内
积定律) 扫过的面积相等
a3
开普勒第三定律(周 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的 =k,k是一个与行星无关
期定律) 二次方的比值都相等
T2
的常量
注意：
①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；
②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；
③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。
【例1】2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波
进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站。对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ，神舟十二号飞船沿着半径为 的圆轨道I运动到Q点时，通过变轨操作，沿椭圆轨道Ⅱ运动
到P点与天和核心舱对接，从Q到P经历的时间为T，则（ ）
A．神舟十二号在轨道I上的周期为
B．天和核心舱在轨道Ⅲ上的周期为
C．神舟十二号飞船在轨道上经过Q点的加速度小于轨道Ⅱ上经过Q点的加速度
D．在相同的时间内，轨道Ⅰ上神舟十二号与O点的连线和轨道Ⅲ上天和核心舱与O点的连线扫过的面积
相等
二、天体质量密度估算
1.“自力更生”法(g－R)：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
2.“借助外援”法(T－r)：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
(1)由G＝mr得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环
绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。【例2】“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为
t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G。下列正确的是（ ）
A．月球表面重力加速度
B．月球的质量为
C．月球的第一宇宙速度
D．月球同步卫星离月球表面高度为
【例3】2020年6月23日9时43分，长征三号乙运载火箭成功发射第55颗北斗导航卫星，并顺利进入地
球静止轨道，实现了全球卫星导航系统组网成功。已知该卫星在地球静止轨道距离地面的高度为地球半径
的N倍，其运行周期约为T，地球的半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．该卫星的发射速度可以小于7.9km/s
B．该卫星的质量为
C．地球的质量为
D．地球表面的重力加速度为
三、不同位置重力加速度
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F ，如
向
图所示。(1)在赤道上：G＝mg ＋mω2R。
1
(2)在两极上：G＝mg 。
2
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由 ，得
所以 。
3．万有引力的“两个推论”
推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F =0。
引
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为 r的同心球体(M')对其的
M'm
万有引力,即F=G 。
r2
【例4】在北极重力为 的物体，在赤道上重力变为 。若将地球看成质量分布均匀的球体，北极的重力
加速度为 ，则地球半径与自转周期的平方之比为（ ）A． B． C． D．
【例5】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内
物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A．1－ B．1＋
C． D．
【多维度分层专练】
1．2020年7月，我国用长征运载火箭将“天问一号”探测器发射升空，探测器在星箭分离后，依次进入
地火转移轨道、捕获轨道、停泊轨道、探测轨道，如图所示。2021年5月在火星乌托邦平原着陆。则探测
器（ ）
A．每次经过P点时的加速度相等
B．每次经过P点时的机械能相等
C．绕火星运行时在探测轨道上的周期最大
D．绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等
2．2021年10月16日，长征二号F运载火箭遥十三搭载着翟志刚、王亚平与叶光富三位航天员的神舟十三
号载人飞船发射升空，神舟十三号采用自主快速交会对接模式成功对接于天和核心舱径向端口，与此前已
对接的天舟二号、天舟三号一起构成四舱（船）组合体，如图甲所示。如图乙所示，轨道Ⅰ为空间站运行圆轨道，轨道Ⅱ为载人飞船运行椭圆轨道，两轨道相切于A点，载人飞船在A点与空间站组合体完成对接，
若空间站组合体距地球表面的高度为h，地球半径为R，航天员与载人飞船始终相对静止，则下列说法正
确的是（ ）
A．翟志刚、王亚平与叶光富三位航天员随空间站组合体做圆周运动过程中，所受向心力大小相等
B．对接前，载人飞船与地心的连线和空间站组合体与地心的连线在相同时间内扫过的面积相同
C．若载人飞船在轨道Ⅰ、Ⅱ的运行周期之比为 ，则轨道Ⅱ近地点距地球表面的距离为
D．载人飞船上在轨道Ⅰ、Ⅱ上运行经过A点时向心加速度不相等
3．随着科技的发展，人们期待将来有一天能在地球与其他星球之间自由往返。若航天爱好者在登陆某星
球（可视为质量分布均匀的球体）的过程中，测得航天器在该星球表面附近飞行的周期为T，着陆后用测
力计测得质量为m 的砝码重力为P，引力常量为G，由此可算出（ ）
0
A．该星球同步卫星的质量m′和半径R
B．该星球的质量M和航天器的质量m
C．该星球的半径R和密度ρ
D．该星球的公转周期T 和第一宇宙速度v
0
4．在浩瀚的天空，有成千上万颗的人造天体一直在运行。为研究某未知天体，人类发射了一颗探测器围
绕该天体做圆周运动，如图所示。若测得该天体相对探测器的张角为θ，探测器绕该天体运动的周期为
T，引力常量为G，则该天体的密度为（ ）A． B．
C． D．
5．数千年以来，人类不断探索着未知而又神秘的宇宙。我们期待着能认识宇宙中每一个星球，期待着将
来某一天能在宇宙空间任意穿梭。如果航天器登陆某星球（可视为质量分布均匀的球体）的过程中，测得
航天器在该星球表面附近做匀速圆周运动的周期为T，着陆后用测力计测得质量为m 的砝码重力为F，已
o o
知引力常量为G。忽略星球自转影响，由此推算的结果正确的是（ ）
A．该星球表面重力加速度为 B．该星球的半径
C．该星球的密度 D．该星球的第一宇宙速度
6．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离
地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为（质量分布均匀的球壳对内
部物体的万有引力为零）（ ）
A． B． C． D．
7．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表
面处引力加速度为g．则关于地球引力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是（ ）A． B．
C． D．
8．2021年2月24日，“天问一号”探测器成功进入火星停泊轨道，标志着中国正式开始了对火星表面的
探测活动。若探测器绕火星做半径为R、周期为T的匀速圆周运动，已知火星的半径为R、自转周期为
0
T，且火星可视为质量均匀的球体，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
0
A．火星的质量为
B．火星的质量为
C．火星赤道处的重力加速度为
D．火星赤道处的重力加速度为
9．已知地球半径为R，质量为M，自转周期为T，在赤道处用弹簧秤悬挂某物体（质量为m），静止时示
数为F，万有引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．在北极进行同样的操作，弹簧秤示数依然是F
B．在赤道处重力的大小等于F，且C．假如地球自转周期减小，那么赤道上物体的重力也减小
D．地球的第一宇宙速度v＝
1
10．某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利用一些常见的数据计算出地球的半径
和质量。已知常见数据为万有引力常量G，地球的自转周期T，地球两极处的重力加速度g。若视地球为
0
质量分布均匀的球体，赤道处的重力加速度g已经测出，则下列说法中正确的是（ ）
A．地球的半径为
B．地球的半径为
C．地球的质量为
D．地球的质量为
