广东数量关系1000题解析_022026年公考名师课程_1002026年国考&广东小新公考行测刷题_讲义_1数量关系

行测数量关系
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86.6 分
86.5 分
86.5 分
86.3 分
86.1 分
2025 年部分高分战绩
88.5 分
87 分
87 分
91.667 分
91.2 分
91.7 分
88.7 分
88.3 分
86.86 分
86.85 分
86.9 分
86.7 分
86.6 分
86.2 分
85.65 分
2024 年部分高分战绩
91.7 分
88.6 分
88.7 分
89.9 分
90 分
88.3 分
87.5 分
87.1 分
87.4 分
87.5 分
2023 年部分高分战绩
目录
工程问题..........................................................................................................................................................................................................................................1
概率问题........................................................................................................................................................................................................................................18
排列组合问题................................................................................................................................................................................................................................54
数列问题........................................................................................................................................................................................................................................80
行程问题........................................................................................................................................................................................................................................86
经济利润问题..............................................................................................................................................................................................................................115
比例思维题..................................................................................................................................................................................................................................132
多位数问题..................................................................................................................................................................................................................................149
比赛问题......................................................................................................................................................................................................................................150
方阵问题......................................................................................................................................................................................................................................153
容斥问题......................................................................................................................................................................................................................................154
年龄问题......................................................................................................................................................................................................................................161
和差倍比问题..............................................................................................................................................................................................................................166
不定方程......................................................................................................................................................................................................................................174
溶液问题......................................................................................................................................................................................................................................178
函数问题......................................................................................................................................................................................................................................182
约数倍数问题..............................................................................................................................................................................................................................187
统筹推断......................................................................................................................................................................................................................................190
星期日期问题..............................................................................................................................................................................................................................194
植树问题......................................................................................................................................................................................................................................200
余数问题......................................................................................................................................................................................................................................201
循环周期问题..............................................................................................................................................................................................................................203
钟表问题......................................................................................................................................................................................................................................204
牛吃草问题..................................................................................................................................................................................................................................206
平均数问题..................................................................................................................................................................................................................................207
不等式..........................................................................................................................................................................................................................................209
整除思维......................................................................................................................................................................................................................................209
特值法..........................................................................................................................................................................................................................................211
几何问题......................................................................................................................................................................................................................................213
最值问题......................................................................................................................................................................................................................................246
1
工程问题
1.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题与工程问题效率类。第二步，赋值
=1，则每名工人效率为1。根据三角形
的性质“等高的两个三角形，面积之比等于底之比”，
与
从B 点出发作高，则两个三角形的高相同，则
，
则
=3，
，则
=2，
，
，除AOB 外的剩余面积为3+2+6=11，第二天完成
需要工人11÷1=11 人，即需要额外增加11-1=10 人。因此，选择B 选项。
2.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，根据甲独立完成需要3 小时，乙和丙合作需要4 小时，赋值工作总量
为12，可得甲的效率是12÷3＝4，乙+丙的效率之和是12÷4=3。设甲乙合作完成需要t 小时，那么乙独立完成需要（t+4）小时，可
列方程：（4+乙）×t=乙×（t+4）=12，联立解得乙=2，则丙的效率为1，所以丙独立完成需要12 小时。因此，选择D 选项。
3.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题，用方程法解题。第二步，设甲的效率为x、乙的效率为y，则合作时甲乙的效
率分别为1.2x、1.2y。根据“甲先施工15 天后乙加入，两队合作15 天后剩余工作乙单独施工还需要10 天完成”可列式（1.2x+1.2y）
×25=15x+（1.2x+1.2y）×15+10y，解得
。因此，选择D 选项。
4.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类。第二步，赋值一台机器的效率为4；两台机器合作时，效率提高
25%，则一台效率为5，两台效率为10；三台机器合作时，效率提高50%，则一台效率为6，三台效率为18。甲、乙、丙机器依次投入
工作，甲救援时间为60 分钟，乙为甲的1/2，则乙的救援时间为30 分钟，丙为乙的1/3，则丙的救援时间为10 分钟。因此可知前30
分钟只有甲机器救援；30 分到50 分共20 分钟，甲乙两台机器救援；最后10 分钟，三台机器一起救援，由此列式：工作总量=30×4+20
×10+10×18=500，如果仅有一台机器救援需要500÷4=125 分钟。因此，选择B 选项。
5.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，假设每名防疫人员每天的工作量为1。根据条件完成乙社区排查的时
间比甲社区要晚5 天，即完成乙的时间比完成甲的时间多5 天，可得方程：
，再根据题干中的第二种情况，可得方程：甲
2
-
=6×4，联立方程可得甲=45，乙=28，即防疫人员的总工作量为45+28=73，时间为6 天内，因此至少需要73÷6≈12.2，即
13 人，因此还需要再增加13-7=6 人。因此，选择C 选项。
6.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题，时间类。第二步，甲单独完成B 工程需要30 天，甲乙两队合作完成B 工程需
要20 天，赋值B 工程总量为60，则甲队工作效率为2，甲乙两队合作效率为3，乙队工作效率为3-2=1；甲乙两队合作完成A 工程需
要30 天，A 工程总量为3×30=90，乙丙合作完成A 工程则需要24 天，则乙丙的工作效率为
＝3.75，丙的工作效率为3.75-1=2.75。
三个工程队合作完成A、B 两个工程的时间为
（天），所以需要27 天。因此，选择D 选项。
7.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，赋值甲乙丙的效率分别为5、4、3，由于天数有具体数值，令工程总
量为5、4、3 的公倍数60x，那么甲乙的天数分别为12x、15x。由丁比甲多4 天，比乙少5 天，可知15x-12x=5+4，解得x=3。第三步，
总量为180，丁的时间为12x+4=40 天，效率为180÷40=4.5。四队合干需要180÷（5+4+3+4.5）≈10.9，取整为11 天。因此，选择B
选项。
8.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查工程问题。第二步，双人双工程模型，分三步计算：①计算相对效率：甲在B 产
品的效率是乙生产线的3 倍，明显高于A 产品的效率倍数。因此甲负责B 产品，乙负责A 产品。②各自干擅长的：甲先干B 产品，由
于效率高，B 产品的X 件完全由甲生产；此时乙干A 产品未干完。③强者帮助弱者：甲干完B 帮乙干A，由“共干1.5X 件”可知A 产
品甲干了0.5X 件；由于甲效率是乙的2 倍可知在合作的时间里乙干了0.25X 件。第三步，那么乙在单干A 产品的时候干了0.25X 件。
这个时间里甲以乙效率的三倍单干B 干了X 件，可知这个时间乙干B 可以干
件。由时间一致可知效率比为0.25X∶
=3∶4。因此，
选择C 选项。解法二：第一步，本题考查工程问题。第二步，赋值乙单位时间内生产A 的件数为1，B 的件数为m，则甲生产A、B 的
效率分别为2、3m。要想两个企业尽快完成任务，且甲最终生产了1.5X 件产品，则让甲负责生产B，生产完B 之后再去帮乙完成A。
则根据甲、乙所用的时间相等列方程：
，化简可得m＝
，因此乙单位时间内生产A 的件数与B 的件数之比为1：
m＝3∶4。因此，选择C 选项。
3
9.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类，用赋值法解题。第二步，设三者工作效率分别为甲、乙、丙，根
据题意则有：2 乙＝甲+丙，3 甲+3 乙+7 乙+7 丙＝7 甲+7 乙+7 丙，推出：3 乙＝4 甲，赋值甲＝3，则乙＝4，解得丙＝5。第三步，B
工作总量＝10 丙＝10×5＝50，则甲乙合作需要
（天），即7 天多。因此，选择C 选项。
10.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题，用比例法解题。第二步，当甲完成50%时，乙完成了450 页，根据校对速度
不变，可知当甲完成20%时，乙完成了450×
＝180（页）。由于此时乙还差420 页，则总量为180＋420＝600（页）。甲完成了
50%时，完成了600×50%＝300（页），此时乙完成了450 页，则甲、乙效率之比为300∶450＝2∶3。第三步，由效率比可知乙完成
600 页时，甲完成600×
＝400（页）。那么当乙完成时，甲还差600－400＝200（页）。因此，选择C 选项。
11.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题，用方程法解题。第二步，设供应商是在开始生产t 天后追加的订单，则两工
厂t 天完成的任务量为（250＋250）×t＝500t，即追加供货量为500t。根据乙工厂增开的效率为200 件/天的生产线，生产10 整天
后与甲工厂同时完成任务，即追加供货量是由增开的效率为200 件/天的生产线工作10 天完成的，故可列方程500t＝200×10，解得t
＝4。因此，选择B 选项。
12.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题，采用赋值法。第二步，赋值工程总量为30，则工厂的效率为2，工作5 天完
成10 个工作量，此时总工作量增加为30×（1＋50%）＝45，还剩35 个工作量，需要在15－5＋5＝15（天）内完成，每天完成
＝
。
第三步，效率比原来效率2 提高了
＝
。因此，选择D 选项。
13.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题，属于条件类，用方程法解题。第二步，赋值每台挖掘机的工作效率为1。10
天未施工，即要在剩余的8 天中干完10＋8＝18（天）的工程量。设每天需多工作t 小时，则80×18×10＝（80＋70）×8×（t＋10），
解得t＝2，故每天需要多干2 小时。因此，选择D 选项。
4
14.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题，属于时间类，用赋值法解题。第二步，赋值总量为60，则全部五条的效率为
＝12，最快的三条生产线效率和为
＝10，得到最慢的两条生产线的效率和为12－10＝2。第三步，根据产能扩大一倍，得到现
在最慢的两条生产线效率和为4，则时间最多为
＝15（天）。因此，选择C 选项。
15.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题，属于条件类，用赋值法解题。第二步，赋值总量为30 份，则甲的效率为3 份，
乙为2 份。设两人一起做时，甲做了t 小时，根据题意得到，30＝3t＋2（t－
），解得t＝
。第三步，甲比乙多做3×
－2×
（
－
）＝10 份，由于实际上“甲组比乙组多做300 朵”，两者关系为30 倍，故答案为赋值30 份的30 倍，即900 朵。因此，选
择B 选项。解法二：第一步，本题考查工程问题，属于时间类，用赋值法解题。第二步，10 小时=600 分钟，15 小时=900 分钟，赋值
总量为600，900 的公倍数1800，则甲的效率为3，乙的效率为2。设两人一起工作的时间为x 分钟，乙组休息了1 小时40 分，即100
分钟，这100 分钟是甲一个人工作，则（3+2）x+3×100=1800，解得x=300 分钟。第三步，甲每分钟比乙多做1，一起工作的300 分
钟，甲比乙多做300；乙组休息100 分钟时，甲又比乙多做300，总共多300+300=600。根据题意，完成时甲比乙多做300 朵，即600
对应300 朵，则赋值的总量1800 对应1800×0.5=900 朵。因此，选择B 选项。
16.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类，用赋值法解题。第二步，赋值B 队效率为1，则A 队为2。根据
两队共同完成需要6 天，可得工程总量为（2＋1）×6＝18。第三步，由工作效率均提高一倍，得B 队效率变为2，A 队变为4。设A
队最多休息x 天，得到18＝4×（6－x）＋2×（6－1），解得x＝4。因此，选择A 选项。
17.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类，用方程法解题。第二步，赋值阴天的浇水量为2，则晴天的浇
水量为5，可知总量为5×18＝90。第三步，6 月为30 天，设阴雨天有x 个，根据正好用完，可得90＝2x＋5×（30－x），解得x＝
20。因此，选择D 选项。
5
18.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题的时间类。第二步，根据题意，一半工作量，甲用时15 天完成，甲乙合作用时
15-9=6 天，赋值总工作量为60，则一半工作量为30，甲效率为
=2，甲乙效率和为
=5，则乙效率为3，乙工程队独立完成整个工
程需要
=20 天。因此，选择D 选项。
19.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题效率类。第二步，赋值每个人工收银台每分钟结账人数为1，那么总量
=
。每个自助收银台每分钟结账人数为0.9，那么
，解得t=17.54 分钟，取18 分钟。因此，
选择D 选项。
20.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题条件类，用方程法求解。第二步，假设全自动装订机的效率是5x，则工作总量
是5x×4=20x，人工装订的总效率是5x×20%=x，根据最终时间比原计划晚1 小时，即剩下的300 份文件人工所花时间比全自动装订机
多1 小时，可列方程
。第三步，解得x=240，则工作总量是240×20=4800（份）。因此，选择C 选项。
21.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题，属于时间类，用方程法解题。第二步，设甲单独完成需要x 小时（x＞0），
则乙单独完成需要（x+15）小时，赋值工作总量为1，则甲的工作效率为
，乙的工作效率为
。第三步，根据题意甲、乙两个
工程队合作需要4 小时完成，可列式为：
，解得x＝5（小时）。因此，选择A 选项。
22.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题中的条件类，用方程法解题。第二步，根据题意，设丙收割完稻田所用时间为
t 小时，则甲收割完的时间为t+4 小时，乙为t-2 小时，又因为甲、乙的收割速度分别为5 亩/小时和9 亩/小时，根据工作总量一样，
可得5
（t+4）=9
（t-2），解得t=9.5 小时。可知收割完这片稻田的工作总量为5
（9.5+4）=5
13.5=67.5 亩，那么丙的收割
速度为
亩/小时。因此，选择C 选项。
23.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，甲、乙合格率分别为99%、99.8%，设甲、乙分别生产x、y 件，要
求合格率不低于99.5%，列不等式：99%x+99.8%y≥99.5%（x+y），解得x：y≤3：5，现接到36 万件这种零件的生产任务，甲最多生
6
产36×
＝13.5 万件、乙最少生产36×
＝22.5 万件。第三步，甲每小时生产15000 件即1.5 万件，生产13.5 万件需用时
=9
小时；乙每小时生产9000 件即0.9 万件，生产22.5 万件需用时
=25 小时，两生产线合作，至少需要25 小时完成。因此，选择D
选项。
24.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，赋值甲的效率为4，乙的效率为2，此时工作总量为180。两人先合
作10 天，总计完成（4+2）×10=60，然后甲的效率提升到了5，乙的效率提升到了3，再工作10 天，总完成（5+3）×10=80，还剩余
180-60-80=40。乙撤出，甲单独完成剩余工作，需要的时间为40÷5=8 天，总计10+10+8=28 天，比原计划早了2 天。因此，选择A 选
项。
25.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，赋值工程总量为120，则甲的效率为10、乙的效率为12、丙的效率
为15，甲乙丙轮班施工各1h 完成10+12+15=37 的工作量，120÷37=3 周期……9，即甲乙丙各工作3h，剩余9 的工作量甲还需工作
×60=54 分钟，甲工程队的施工时间共计3 小时54 分。因此，选择C 选项。
26.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，赋值工程总量为60，则根据题意可得：2（甲+丙）=20，2（乙+丙）
=（60-20）×45%=18，2（甲+乙）=22，联立解得甲乙丙分别为6、5、4，甲共干了4 天，共干了24，占总量的24÷60=2/5。因此，
选择C 选项。
27.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，A 工程，14（甲+乙）=18 甲，2 甲=7 乙，设甲的效率为7、乙的效
率为2，A 工程总量为18×7=126；B 工程，18（甲+乙）=30 乙，3 甲=2 乙，设甲的效率为2、乙的效率为3，B 工程总量为30×3=90。
第三步，时间最短的方案，甲做A 工程、乙做B 工程，甲18 小时完成A，乙完成了B 工程中18×3=54 的工作量，B 工程剩余90-54=36
的工程量，此时甲乙合作还需36÷（2+3）=7.2 小时，最短需要18+7.2=25.2 小时。第四步，时间最长的方案，甲做B 工程、乙做A
工程，甲单独完成B 工程需要90÷2=45 小时，然后再去帮助乙完成A，此时乙做了2×45=90 的工作量，还剩126-90=36 的工作量，
两人合作完成还需36÷（7+2）=4 小时，共用时45+4=49 小时。综上，两个方案时间之差为49-25.2=23.8 小时。因此，选择D 选项。
28.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，根据题意可知乙丙共完成了总任务的7/8，乙丙效率之比3：4，由
于所用时间相同，则效率与工作量成正比，即乙丙完成的工作量之比也为3：4，则乙完成了总量的
。因此，选择A 选项。
7
29.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题和时间问题杂糅类题型，用方程法解题。第二步，根据题目可知，甲乙两人完
成1 个家庭所需要的时间分别为12 分钟和20 分钟，因为是共同完成，则需找两人“共同之处”即每固定周期两人各完成数量。容易
得到12 和20 的最小公倍数60，即每60 分钟（1 小时），甲完成60÷12=5 个、乙完成60÷20=3 个，每一周期（1 小时）甲乙共完成
5+3=8（个）。第三步，需要100÷8=12……4，即需要12 个周期（12 小时），还余4 个。此时，可选择甲完成2 个乙完成2 个或者甲
完成3 个乙完成1 个，分别需要20×2=40（分钟）和12×3=36（分钟），则最少的为12 小时36 分钟。因此，选择C 选项。
30.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题中的条件类。第二步，由题干可知，K 和L 两个仓库的工作量是一样多的。甲
乙丙三个公司合作2 小时后完成了K 仓库任务量的
，那么甲乙丙三个公司合作1 小时可完成任务量的
；此时K 仓库还剩
的任务
量，交给甲公司3 小时可以完成，则甲公司1 小时可完成任务量的
，故乙和丙公司1 小时可以完成任务量的
-
=
。第三步，
当甲花3 小时完成K 仓库剩余的任务量时，乙和丙先去L 仓库工作，工作时间为3 小时，则乙和丙完成了L 仓库任务量的
×3=
；
此时剩余的任务量由甲、乙、丙三者合作完成，他们合作的时间即甲在L 仓库工作的时间T=
小时=20 分钟。因此，选择A 选
项。
31.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类。第二步，由于手工匠人捏糖人的速度都相同，不妨假设每个人
的效率均为1，总工作时间为3t。设方案一有a 名工匠先开工，工作的时间为t，则人数加倍为2a 名工匠，时间为3t-t=2t。根据工
作总量=工作效率×工作时间，则有at+2a×2t=10×3t，解得a=6。因此，选择A 选项。
32.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题中的条件类。第二步，假设前五天徒弟的效率为x，师傅为2x，共生产零件15x，
中间五天徒弟效率为x+5，共生产零件5（x+5），后五天徒弟效率1.5（x+5），师傅2x，共生产零件7.5（x+5）+10x，所有零件总
计1000 个，解得x=25，徒弟生产的零件数为5x+5（x+5）+7.5（x+5）=500。因此，选择B 选项。
33.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，每名司机工作5 天休息2 天，则五名司机就需要休息10 天。为了使
招聘人数尽量少，则只需在这五名司机休息10 天时让其他司机替代工作即可，由于每名司机可工作5 天，则还需要10÷5=2 名司机，
也就是5 辆货车不休息需要七名司机，则100 辆货车需要100÷5×7=140 名司机。因此，选择C 选项。
8
34.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题，属于时间类。第二步，赋值工作总量为时间（200 天、300 天）的公倍数600，
则甲的效率是600÷200=3，乙的效率是600÷300=2。第三步，甲、乙两队共同施工60 天后，还剩余工作量为600－（2＋3）×60=300。
则乙队单独完成需要300÷2=150（天），完成该项目共需60＋150=210（天）。因此，选择D 选项。
35.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，令每台收割机初始效率为1，则x 对应为180。y 台收割机换为新款，
效率提高为1.4；剩余（180－y）台收割机，效率提高为1.2。第三步，由题意得
，整理得
≤y≤80，其中108
÷1.4≈77.1，y 为整数，取值有78、79、80 三种。因此，选择B 选项。
36.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题，利用方程组求解。第二步，设每小时甲、乙车间分别生产口罩x、y 只，可列
方程组，8x+8y=30000，2x+3y=10000，解得x=1250，y=2500，若每天甲乙两个车间分别加班三小时和两小时，则两个车间每日共生产
口罩11x+10y=3.875 万只。则生产62 万只口罩，所需的时间为62÷3.875=16 天。因此，选择C 选项。
37.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，赋值工程总量为120，甲的效率为2、乙的效率为3，甲每天费用为
＝2.4 万元、乙每天费用为
＝3.95 万元，甲完成1 的工作量费用为
=1.2 万元、乙为
≈1.32 万元，要想费用尽可能少，
应尽量多用甲。第三步，甲工作30 天完成30×2＝60 的工作量，剩余60 由乙完成，需要60÷3＝20 天，总费用为2.4×30＋3.95×
20＝151（万元）。因此，选择C 选项。
38.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，设小王原来的效率为x，小张原来的效率为y，提升后小王的效率为
2x。原来小张比小王多做50 件，而最后小王做的总数比小张多50 件，说明第二次小王比小张多做100 件。可列方程组：2x＋y＝400，
2x－y＝100，解得x＝125，y＝150。第三步，设第一次用时为t，150t－125t＝50，解得t＝2，那么一小箱商品有（150＋125）×2
－400＝150（件）。因此，选择C 选项。
39.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，甲乙共同完成A 订单，生产时间一致则生产总量与生产效率成正比，
即3：4。甲完成了3 份，乙完成了4 份，由题意知差的一份是250，可知A 订单一共（3+4）×250=1750（个）。同理，乙丙共同完成
B 订单，生产时间一致则生产总量与生产效率成正比，即4∶5，乙完成4 份是720，一份是180，B 订单总量是（4+5）×180=1620（个）。
A 比B 多1750-1620=130（个）。因此，选择D 选项。
9
40.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，赋值乙的效率为4，那么甲的效率为4×（1＋25%）＝5，则丙的效
率为5×（1＋40%）＝7。总量为5×3＋（4＋5）×18＝177，则甲乙丙合作需要177÷（4＋5＋7）＝11＋，介于10—12 小时之间。
因此，选择C 选项。
41.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，设原计划修路时间为t 天，可列方程：560t＝（560＋80）×（t－3）
＋320，解得t＝20，可得修路总长度为560×20＝11200（米）。第三步，要想时间提前6 天完成，即20－6＝14（天）完成，则每天
共需修路11200÷14＝800（米），那么比原计划每天多修800－560＝240（米）。因此，选择B 选项。
42.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类，用赋值法解题。第二步，根据甲乙速度比为3∶2，赋值甲乙的
效率分别为3 和2，设工程总量为10x，当两人共同完成总任务的一半时，甲完成了3x、乙完成了2x，之后甲的速度变为3×（1-20%）
=2.4、乙的速度变为2×（1+20%）=2.4，当甲完成总量的一半时，甲又完成了2x，由于甲乙效率相同，乙也完成了2x，此时还剩x
的工作量为100 个零件，这批零件总数为10x=1000（个）。因此，选择C 选项。
43.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类。第二步，根据A 和B 的效率比为2∶3，赋值A 和B 的效率为2
和3，工程总量为（2＋3）×8=40，A 和C 的效率比为2∶1，故C 的效率为1，A 和B 生产两天后又投产了C，前两天完成的工程总量
为5×2=10，剩余的工程总量为30，还需要的时间为
=5（天）。一共需要的时间为5+2=7（天），8－7＝1（天），则可以提
前一天完成。因此，选择A 选项。
44.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类。第二步，设A、B 两条生产线的效率均为1，对于订单乙，一条
生产线单独y 天完成，则y=n；对于订单甲，两条生产线共合作2x 天，且还需一条生产线单独生产y 天，才能完成，则2×2x+y=5n，
解得x=n。x、y 均为n，所以x=y。因此，选择B 选项。
45.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题，用代入排除法解题。第二步，设甲的效率为a、乙的效率为b，按原计划工程
总量分别可表示为（a+b）x、（1.5a+b）（x－2）、（a+4b）（x－4）。依次代入选项：A 选项：工程总量为6（a+b）①、4（1.5a+b）
②、2（a+4b）③，利用②=③，解得a=b，而①≠③，排除；B 选项：工程总量为8（a+b）①、6（1.5a+b）②、4（a+4b）③，利用
①=③，解得a=2b，且②＝③，完全符合题意。因此，选择B 选项。
46.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查工程问题。第二步，设机器维修清理前每小时生产3x 个建材，那么维修清理后
每小时生产4x 个建材。维修清理花费20 分钟，最后又提前40 分钟完成，后一半任务的实际用时比原来少1 小时。可列方程：
10
，解得x＝20，那么机器维修清理后每小时生产20×4=80（个）建材。因此，选择A 选项。解法二：第一步，本题考查
工程问题，用数字特性解题。第二步，效率提高三分之一，即机器维修清理前后单位时间内生产建材个数之比为3∶4。由倍数特性可
知机器维修清理后每小时生产个数是4 的倍数，只有A 符合。因此，选择A 选项。
47.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，根据“赵、钱、孙、李四位师傅单独完成，分别需20 小时、20 小
时、15 小时和12 小时”，赋值一个订单的总量为60，则赵、钱、孙、李四位师傅的效率分别为3、3、4、5。第三步，三个订单的总
数为60×3=180，要同时完工且用时最短，则四人都参加做工，所用时间=180÷（3+3+4+5）=12（小时），钱12 小时做工3×12=36，
剩余60－36=24 由赵做完，所需要时间为24÷3=8（小时）。因此，选择A 选项。
48.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，设甲案件的总量为2，乙案件的总量为24，则张警官的效率分别是
1、3；王警官的效率分别是2、4，相对效率之比分别为1∶3 和1∶2，可知张警官更擅长梳理乙案件的资料。第三步，让张警官去梳
理乙案件，王警官梳理甲案件需要1 小时，此时乙案件还剩24－3=21 的工作量，两人合作需要21÷（3+4）=3（小时）。一共需要1+3=4
（小时）。因此，选择B 选项。
49.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，赋值工作总量为50 和80 的最小公倍数400，则甲的工作效率为8，
乙的工作效率为5。设丙的工作效率为X，根据题意可得20×（8+5）+12×（5+X）=400，解得X=20/3，则丙单独完成所需的时间为
400÷20/3=60（天）。因此，选择D 选项。
50.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题，属于时间类。第二步，根据甲乙共同完成需要12 天、甲单独完成需要20 天，
赋值工作总量为60（12、20 的最小公倍数），可知甲乙效率和为5、甲的效率为3、乙的效率为5－3＝2。甲队先干5 天，完成的工
作量为15；甲、乙合作3 天，完成的工作量为15；剩余工作量为60-15-15=30，乙队单独完成还需要30÷2=15 天，工程完成共需要
5+3+15=23 天。第三步，8 月15 日开始施工，即8 月共工作17 天，9 月还需工作23-17=6 天，则工程完成的日期是9 月6 日。因此，
选择B 选项。
51.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，由12 天后甲车间完成总任务的10%，可得甲车间完成任务需要120
天，由12 天后乙车间完成总任务的15%，可得乙车间完成任务需要80 天，赋值工程总量为240，那么甲车间的效率为2，乙车间的效
率为3，合作12 天完成（2＋3）×12＝60，工程还剩240－60＝180，计划42 天完成，还剩42－12＝30（天），乙车间的效率变为3
11
×80%＝2.4。第三步，设丙的效率为x，可列方程：（2＋2.4＋x）×30＝180，解得x＝1.6，那么丙车间的产能是甲的
＝80%。因
此，选择B 选项。
52.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，设一幅拼图的总工作量为6，则甲乙丙各自的拼图效率为6、5、4。
共同完成两幅拼图需要6×2÷（6+5+4）=0.8（小时），排除A、C。甲的效率高于乙，则丙肯定帮甲干的时间短，排除D。或计算出
丙帮甲的时间为（6－6×0.8）÷4=0.3（小时），帮乙的时间为0.8－0.3=0.5（小时）。因此，选择B 选项。
53.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题，用赋值法解题。第二步，甲队单独施工30 天可以完成该项工程的
，那么甲
队单独施工90 天可以完成该项工程，而甲队施工30 天后，乙队加入，再同时施工15 天可完成该项工程，可列方程：90 甲＝30 甲＋
（甲＋乙）×15，解得：乙＝3 甲，即甲乙效率之比为1∶3，赋值甲队的效率为1，那么乙队的效率为3，该项工程的总量为1×90＝
90。第三步，要使乙队施工天数尽可能少，则甲队施工天数应该尽可能多，而甲队施工时间不能超过36 天，则让甲队施工36 天，完
成1×36＝36，该项工程还剩90－36＝54，乙队需要
（天）。因此，选择D 选项。
54.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题，用赋值法解题。第二步，可赋值甲总量为30、乙总量为20，甲的效率为6、
乙的效率为5。乙完成工作所需时间为20÷5=4，甲完成工作量一半所需时间为（30÷2）÷6=2.5，甲完成90%还需完成的工作量为30
×90%-15=12，所需时间为4-2.5=1.5，则效率为12÷1.5=8，故效率提升了
=
=33.3%，即X＝33.3%，在B 选项范围内。因此，
选择B 选项。
55.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类。第二步，由原计划20 天完成此项工程，则赋值原计划每天效率
为1，则工作总量为20；两天后剩余18 个工作量。第三步，根据题意，第三天效率为2，第四天效率为4，第五天效率为8，2＋4＋8
＝14
18，因此还需要干一天即可完成，因为第六天效率为16，完全可以达到目标，故则需要工作到第六天。因此，选择D 选项。
56.【答案】A。解析：第一步，本题考查给定时间型的工程问题，用赋值法解题。第二步，根据甲、乙、丙三人工作时间分别为
3 天、4 天和12 天可赋值工作总量12，可求出三人效率分别为甲=4，乙=3、丙=1，要求在两天内完成且费用最少，因此应该安排效率
高且费用低的人完成，已知三人每天的费用分别为1000 元，850 元，350 元，因此可先算每个人做每一个工作量的费用，甲为
=250
12
元，乙为
元，丙为
=350 元，因此甲费用最低，故让甲做两天工作量为2×4=8，剩下12-8=4，故只需乙和丙各一天完成即可。
第三步，可得总费用为1000×2＋850×1＋350×1=3200。因此，选择A 选项。
57.【答案】B。解析：第一步，本题考查工程问题，用赋值法解题。第二步，赋值工作总量为170（10 和17 的公倍数），那么甲
的效率为17，乙的效率为10，那么一个周期即甲乙各做一天完成10＋17＝27，170÷27＝6……8，即需要6 个周期，还剩8 个工作量，
6 个周期是12 天，结束后第13 天该甲继续做工，甲1 天可完成17，那么剩下的8，甲可在第13 天完成。因此，选择B 选项。
58.【答案】E。解析：第一步，本题考查条件综合型工程问题，用方程法解题。第二步，由甲需要12 天完成，乙需要18 天完成，
可知工作总量既能被12 整除，也能被18 整除，所以可将工作总量设为36x，得到甲的效率为3x，乙的效率为2x；由两人共同制作，
可以得到两人共同工作完成的时间
（天）。由完成时甲比乙多制作72 个，列出方程
，解得
，
则工作总量为360，甲的效率为30，乙的效率为20；按“甲制作一天、乙制作两天”的方式重复，该周期时间内完成的工作量为70
个，
余10，发现完成时一共5 个周期剩余10 个工作量。第三步，计算甲的工作量为5×30+10=160（个），得到甲总共完
成160 个风筝。因此，选择E 选项。
59.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类。第二步，由题意可知，甲先开始工作，3 分钟后乙开始工作，
再3 分钟后丙开始，所以题目中乙工作12 分钟和甲工作量相同，此时甲应该工作15 分钟。根据工程问题核心公式：工作总量
工作
效率
工作时间，可以得到：12
乙的效率
15
甲的效率①；又根据题意可知，当丙工作20 分钟时，甲工作26 分钟，此时可以得
到：20
丙的效率
26
甲的效率②，①②两式联立，可以得到丙的效率
1.04
乙的效率。因此，选择A 选项。
60.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题，用方程法解题。第二步，设A 计算机的效率为5x，B 计算机的效率为2y，则
任务总量为（5x＋2y）×30，共同运行18 小时可以完成（5x＋2y）×18，任务还剩（5x＋2y）×12，由于A 计算机抽调走20%即
，
则A 计算机此时效率变为4x，B 计算机抽调走50%即
，B 计算机的此时效率为y，需要30－18＋6＝18（小时），可列方程：（5x＋
2y）×12＝（4x＋y）×18，解得y＝2x，那么A 计算机的效率为5x，B 计算机的效率为4x，那么合作18 小时后，剩下的工作B 计算
机单独完成需要
（小时）。因此，选择C 选项。
13
61.【答案】C。解析：第一步，本题考查工程问题，用方程法解题。第二步，设甲乙丙开工时，丁已经完成x，根据题意可列方
程组：（12－丁）×3＝x；（8－丁）×5＝x，解得丁＝2，x＝30。丙用了8 天赶上进度，故（丙－2）×8＝30，得丙＝
。因此，
选择C 选项。
62.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题。第二步，由题意可知，第一种以牛开始的轮流方式，每个周期效率是“牛＋
羊”；第二种以羊开始的轮流方式每个周期的效率是“羊＋牛”，由于两种方式每个周期的效率是相同的，但完成的天数差半天，故
在周期轮流的时候肯定不会恰好轮流整数个“牛+羊”的周期（否则将会是一样的天数）。因此，第一种方式最后剩余量需牛吃一天；
第二种方式比第一种多吃半天，故最后剩余量需羊吃一天，牛再吃半天。根据剩余量相同可列，牛＝羊＋0.5 牛，推知牛＝2 羊。第三
步，赋值羊每天的食量为1，则牛每天的食量为2。羊单独吃总量可够吃16 天即总量为16，够牛单独吃16÷2=8（天）。因此，选择
A 选项。
63.如果把总量赋值为16，牛的效率为2，羊的效率为1，第一种方式牛羊一个周期吃草量为3，5 个周期后还剩草量为1，只够牛
吃半天，与题目中整数天产生矛盾，故本题出题人在设计数据时考虑不全面。2.本题并不是“牛吃草”模型，牛吃草最大的特点是草
每天在均匀地生长，而本题中并没有说到，故无需考虑。
64.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题，属于时间类，用赋值法解题。第二步，赋值工作总量为8 和10 的最小公倍数
40，则小李的效率为40÷8＝5，小张的效率为40÷10＝4。第三步，两人合作时间为3＋1＝4（小时），合作的工作量为（5＋4）×4
＝36，剩余工作量为40－36＝4，由小张一个人做，工作时间为4÷4＝1（小时），即为小张比小李多做的时间。因此，选择A 选项。
65.【答案】D。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类，用方程法解题。第二步，设水池原有水量为x，每台抽水机效
率为1，则根据水池总水量相等，2×（6×1＋x）＝8×3＋x，解得x＝12，则水池的总水量为8×3＋12＝36。第三步，池中排空水，
则总共需要灌的水量为36，4 台抽水机，则总用时为36÷4＝9（小时）。因此，选择D 选项。
66.【答案】C。12：00 至16：00，3 台收割机均工作4 小时，共收割
亩小麦，则12：00 之前3 台收割机收割50-24=26
亩小麦。设12：00 之前乙收割机工作了x 小时，收割面积为2x 亩，根据题意可列等式：
，解得x=4，
即乙收割机在12：00 之前工作了4 小时，则乙是在8：00 开始工作的。
14
67.【答案】A。由“甲的效率是乙的1.5 倍”，可赋值甲的效率为3，则乙的效率为2。设丙的效率为a，根据题意可列式：8×
3+6×2+4a=6×(3+2)+5a，解得a=6，即丙的效率为6，这项工程总量为6*(3+2)+5*6=60，则丙单独完成这项工程需要60÷6=10 天。
68.【答案】B。设甲和乙两条生产线的效率分别为1 和x，根据“共同生产一批设备12 天后正好完成一半”，可得：(1+x)*12=
工作总量/2.......①。根据“甲的效率提升为原来的2x 倍，乙的效率提升为原来的y 倍”，则甲生产线的效率变为2x，乙生产线的
效率变为xy，根据“又用了6 天正好完成生产任务”，可得：(2x+xy)*6=工作总量/2.......②。联立①②，可得：(1+x)×12=(2x+xy)*6，
化简得：xy=2。
69.【答案】A。根据题意，赋值甲生产线每小时的效率为6，则乙的效率为3，丙的效率为2。某日8：00 甲生产线开始生产，9：
00 时其当日产量=1×6=6，根据“9：00 时甲的当日产量是乙的6 倍”，可知9：00 时乙的当日产量=6÷6=1，10：00 时乙的当日产量
为1+3×1=4。根据“10：00 时乙的当日产量是丙的4 倍”，可知10：00 时丙的当日产量=4÷4=1，即已用时=1÷2=0.5 小时=30 分钟，
则丙是从9：30 开始生产的。
70.【答案】D。根据题意可知：工作总量=30（甲+乙）=2×[5×（甲+乙）+15 乙]，整理可得：20 甲=10 乙，即甲：乙=1：2。赋
值甲、乙的效率分别为1、2，则工作总量=30×（1+2）=90。根据题干“该工程比原计划提前2 天完成”可知，实际完成该项工程需
要30-2=28 天，当丙工程队加入时，时间已经过了5+15=20 天，即完成工程的后一半中乙、丙工程队的工作时间为28-20=8 天，根据
“3 天后甲工程队返回”可知，甲工程队的工作时间为28-20-3=5 天。综上可列式：1/2*90+(30-2-5-15)*(2+丙)+(30-2-5-15-3)*1=90，
整理可得：8*(2+丙)+5*1=45，解得：丙=3，则丙工程队的效率是甲工程队的3÷1=3 倍
71.【答案】B。根据题意，所有人工作效率相同，则工作效率=200 家/(5 人+*10 人)；再根据题意，原来5 人，后面假设增加x
人，则后来为（5+x）人；原计划10 天完成，先探访了5 天，后面按原计划需要再做10-5=5 天，最终完成总的工作量，总的工作量为
200+300=500 家。列式：5×4×5+（5+x）×4×5=500，解得x=15。
15
72.【答案】B。用M、N 分别表示两架无人机的工作效率，根据题意可得：
，化简得M：N=2：1。赋值M
无人机的工作效率为2，N 无人机的工作效率为1，则喷洒整片农田的工作量为2×2+5×1=9，仅由M 无人机喷洒农药，那么喷洒完整
片农田需要9÷2=4.5 小时。
73.【答案】D。据题意可列式：5×张+9×李=7×张+6×李，化简可得：
。赋值张师傅每天工作效率为3，李师傅每天工作
效率为2，则总工程量=5×3+9×2=33。张师傅和李师傅一起施工3 天共做了(3+2)*3=15，则剩余工作还需时间
天。
74.【答案】D。赋值升级之前甲、乙、丙三家工厂每天的效率分别为3、4、5，则生产任务总量=12×（3+4+5）=144。升级后三
家工厂每天的效率之和为144/(12-4)=18，则升级后丙每天的效率为18*4/(2+3+4)=8，故丙的效率提升了(8-5)/5=3/5。
75.【答案】B。根据题意“甲的效率是乙的1.5 倍”，赋值甲的效率为3、乙的效率为2，故A 订单工作总量=3×8=24，B 订单工
作总量=2×8=16。则甲生产线完成B 订单需要
小时，乙完成A 订单需要
小时。故甲完成B 订单的用时比乙完成A 订单
的用时少
小时=6 小时40 分。
76.【答案】A。设上午工人数量为x 人，则下午工人数量为
人。根据每名工人的工作效率相同，且效率不变，赋值每
名工人的工作效率为1。根据题意可得，上午工人每40 分钟休息1 次，到11：50 共休息了
次······30 分钟，即上午工
作时间为5×30+30=180 分钟，则下午工作量=上午工作量=180x，下午工作时间为
分钟=2 小时，根据下午每30
16
分钟休息5 分钟，可得下午共休息
分钟（最后一次30 分钟结束时已完成任务不需要再休息），故完成当天任务的时
间是16：15。
77.【答案】C。根据题意，甲先用机器生产，乙先手工生产，刚开始生产阶段甲的效率（即图中的斜率）大于乙，排除A、B 两项。
手工生产与机器生产的效率之比为2：6=1：3。甲先用机器生产任务总量的一半，剩余任务量换手工生产，任务量相同，时间与效率
成反比，则甲后一半任务量用时是前一半任务量的3 倍，排除D 项。
78.【答案】A。赋值该项任务的工作总量为1，设甲的效率为x，乙的效率为y，且x>y，根据“甲、乙分别单独完成的天数之和
是合作完成天数的4.5 倍”，可列式：
，化简为：
，解得：x=2y 或2x=y（排除）。根据“甲、乙先
合作12 天，乙再单独工作12 天，恰好完成”，可列式：12（x+y）+12y=12x+24y=1，将x=2y 代入可得：12x+12x=1，解得
，则
甲单独完成这项任务需要
天。
79.【答案】B。甲乙丙三台机器下午同时从12：00 工作直到16：00，则三台机器工作效率确定3×2 = 6。工作时间由12:00 到
16：00，共四个小时，工作总量为三台机器总效率乘以工作时间，6×4 = 24，下午工作量为24，则上午工作量为50−24 = 26，此时
甲是乙的1.5 倍，且比丙多6，则可设乙为x，甲为1.5x，丙为1.5x−6，甲乙丙工作总量为x + 1.5x + 1.5x −6 = 26，解得x = 8，
则乙12 点时收割8 亩，根据时间等于工作总量除以时间，则乙工作时间为8/2 = 4，则乙从8：00 开始工作。
80.【答案】B。合作完成40 台机械所需的A = 40×3 = 120 个，B = 40×2 = 80 个，根据题干问最少需要多少天则“擅长的人，
做擅长的事”，甲先完成A 需要120÷6 = 20 天，此时乙完成B 的量为20×2 = 40 个，B 剩余80−40 = 40 个，甲乙合作完成剩余的
量需要的天数40÷(3+2)= 8 天，总共需要20 + 8 = 28 天。
81.【答案】C。据题意可列方程为（9X-Y)*8=800，800+8X=2Y，得出X=100，Y=800。
17
青蛙跳井
1.【答案】C。一个周期内上升4 米，则最后一次跳之前，一共需(20-10)÷4=2.5 个周期，两个周期不能满足，即需要三个周期，
会跳到离井口5 米范围内，再跳一次出井。一个周期需要跳一次，三个周期即跳三次，即一共需要3+1=4 次跳出井口。故本题选择C。
2.【答案】B。先预留出最后一天白天可以跳出井的距离6 米，剩余的24-6=18 米再按照整个周期去算天数，所以青蛙是完整地度
过前18÷2=9 天之后，第10 天的白天跳出井口的。选择B 项。
3.【答案】B。总高度是10 米，一个周期前进2 米，则有(10-5)÷2=2.5，两个周期不能满足，即需要三个周期跳到离井口5 米范
围内，一个周期需要跳一次，三个周期即跳三次，此时青蛙再上跳一次即可跳出井口，即一共需要3+1=4 次跳出井口。选择B 项。
4.【答案】C。先预留出5 米，剩余的20-5=15 米再按照整个周期去算天数，所以青蛙是完整地度过前15÷3=5 天之后，第6 天的
白天跳出井口的。选择C 项。
5.【答案】C。先预留出4 米，剩余的40-4=36 米再按照整个周期去算天数，所以青蛙是完整地度过前36÷3=12 天之后，第13 天
的白天跳出井口的。选择C 项。
6.【答案】C。先预留出5 米，剩余的30-5=25 米再按照整个周期去算天数，所以青蛙是完整地度过前25÷1=25 天之后，第26 天
的白天跳出井口的。选择C 项。
7.【答案】A。由于有进水口和出水口之分，即效率就会有正负之分，属于既有正效率又有负效率的问题，题目中按甲乙丙的循环
轮流开放三个水管，并且已知的都是完成一项工程的多个时间，因此可以设工作总量为6、5、3 的最小公倍数30，我们可先得出P 甲
=5，P 乙=6，P 丙=-10。一个周期内的工作总量为（5+6-10）×1=1。一个周期内按顺序累计完成的最大工作量为11，因此，完整周期
数=（30-11）+1=19，即经历了19 个完整的周期，每个周期有3 小时，那么19 个完整的周期共19×3=57 小时，那么剩下的工作量11
还需经历2 小时。所以总共用时57+2=59 小时。选择A。
8.【答案】D。设工作总量为60(3、5、4、6 的最小公倍数);则甲、丙、乙、丁的效率分别为20、12、-15、-10，一个循环周期
内时间为4 小时，周期效率为20+12-15-10=7，周期峰值为17(按轮流顺序计算最大峰值)，预留周期峰值，求出周期数并向上取整，
18
(60-60× 6
1 -17)÷7=4……5，取整为5 个周期，求出剩余工作量为50-5×7=15，所以开始溢水共需时间为5 个周期的时间5×4=20 小
时再加上剩余工作量所需时间15÷20= 4
3 小时，所以总时间为20 小时45 分钟，故本题选D。
9.【答案】A。设甲的速度未1，则乙的速度未3。7 点甲出发，到11 点走了4×1=4 的距离。先预留3 的距离，（4-3）=1，1÷
（2-1）=1 小时，则总计2 小时追上。选A。
10.【答案】D。设乙的速度为2，则甲的速度为5，因甲跑半小时会休息半小时，故甲实际速度为2.5。在这里就假设甲没休息的
情况下设经过x 小时甲追上乙，所列方程为（2.5-2）×x=2×2，解得x=8，经算当经过7 小时时甲和乙相距2×（2+7）-7×2.5=0.5，
则剩下距离甲追上乙还需0.5/（5-2）=1/6=10 分钟，则甲追上乙所需时间为7+1/6=7 小时10 分钟，即甲16：10 追上乙。故本题答案
为D 项。
概率问题
1.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，属于分类分步型。第二步，根据概率=满足条件情况数/总数，总数为10 台电
脑分配给两个不同学校，有
种情况；满足条件的情况为两所学校分得的平板电脑数量都不超过3 台，有两种情况：①甲学校
分得2 台平板电脑、乙学校分得3 台平板电脑；②甲学校分得3 台平板电脑，乙学校分得2 台平板电脑，两种情况的情况数都为
=100 种，则满足的情况数共200 种。第三步，两所学校分得的平板电脑数量都不超过3 台的概率为
。因此，选择D
选项。
2.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题，用公式法解题。第二步，根据题意可知，甲乙共有9 名职工，甲有5 名职工。
时间为前两周，要求均来自甲办公室。那么第一周和第二周的总情况均为9 名职工，满足情况均为甲的5 名职工。根据公式总概率=
满足情况数/总情况数，分步概率用乘法可得∶
。因此，选择B 选项。
19
3.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，用公式法解题。第二步，根据公式：某随机事件发生的概率=满足要求的情况
数/总情况数。本题中的总情况数要求是“单位将10 个培训名额分配给4 个分公司，要求在每个分公司至少分配1 个名额的所有分配
方案中，随机选择1 个方案实施”，名额属于相同的东西，分配n 个相同东西为m 组，每组至少一个用隔板法解题，总情况数有：
种。本题中要满足的要求是：“4 个分公司中有3 个分配名额数量相同”，符合的情况有三种①1、1、1、7；
②2、2、2、4；③3、3、3、1，而每一种情况中，四个分公司里，任何一个分公司被分到的数量均可以是相异的那个，所以每一种里
又有4 种情况，即符合要求的情况数为：4×3=12 种。第三步，所求概率
，只有D 符合。因此，选择D 选项。
4.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题，属于分类分步型。第二步，分类考虑如下：（1）甲商场打折7 天，
乙甲商场打折0—6 天，概率为；
；（2）甲商场打折6 天，乙甲商场打折0—5 天，概率
为；
；（3）甲商场打折5 天，乙甲商场打折0—4 天，概率为；
；（4）甲商场打折4 天，乙甲商场打折0—3 天，概率为；
；
（5）甲商场打折3天，乙甲商场打折0—2天，概率为；
；
（6）甲商场打折2 天，乙甲商场打折0—1 天，概率为；
；（7）甲商场打折1 天，乙甲商场打折0
天，概率为；
。第三步，分类用加法，故甲商场打折天数比乙商场多的概率为
。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查概率问题。第二步，甲、乙两个商场必有6 天
是同时营业，此时甲、乙是否打折各自独立，两者地位相同，故此时“甲商场营业天数＞乙商场营业天数”的概率与“甲商场营业天
20
数＜乙商场营业天数”相同，要想这一周甲商场营业天数＞乙商场营业天数，必定是甲商场单独营业那天会打折，打折的概率是
，
故总的概率是
。因此，选择C 选项。
5.【答案】A。解析：第一步，本题考查分类分步型概率问题。第二步，根据题目的条件，先考虑丙，再考虑甲乙，最后任意安排
剩下3 个人，即总情况数为
。丁和戊的讲解次序相邻的情况在安排丙后要分类讨论，先考虑丙选择第三，
则甲乙可以在第二、四、五选择，如甲乙选择二、四，此时丁戊只能选择五、六，情况数为
；如甲乙选择二、五，此
时丁戊不存在依次相邻的情况；如甲乙选择四、五，此时丁戊只能选择一、二，情况数为
，即丙选择第三时，丁和戊
的讲解次序相邻的情况数为4＋4＝8。同理，当丙选择第四，情况类似，可得丁和戊的讲解次序相邻的情况数与丙选择第三时相同，
即为8。第三步，满足题目条件的次序中随机选择一个，则丁和戊的讲解次序相邻的概率为满足条件的情况数/总情况数
。
因此，选择A 选项。
6.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，解法一：由于“张不分配在A 组”，张只能在B 组、C 组或D 组：7.
张在C，和李在一组。王刘陈三人去另三组，有
=6 种；2.张在D，①如果2 人组是C，相当于ABC 各匹配1 人，则有
=6 种；②如
果2 人组是A 或B，相当于先挑2 人成组，再匹配给AB，则有
=6 种。3.张在B，其中，①A 组2 人，相当于挑2 人成组，则有
=3 种；②B 组2 人，或C 组2 人，都相当于3 个人匹配3 个不同的组，则有
种。共有6+6+6+3+12=33 种。张和王被在
一组的情况，由于“张不分配在A 组，李必须分配在C 组，D 组只分配1 人”，张和王两人只能分到B 组，李在C 组，剩下刘和陈两
人分到A 组和D 组，有
种分法。故张和王分配在同一组的概率为
。因此，选择B 选项。解法二：由于“五人分配给
四个组，要求每组至少分配1 人，且D 组只分配1 人”，会有一个组有2 个人。分为以下几种情况：①如果A 组2 个人，只能是从王、
21
刘、陈3 个人中选，有
种选法，剩下一人与张分到B、D 组，有
种分法，共有＝6 种。②如果B 组2 个人，先从王、刘、
陈3 人中选1 人到A 组，有
种选法，再从剩下两人和张（共3 人）中选出2 人分到B、剩下1 人到D 组，有
种分法，
共有3×3=9 种。③如果C 组2 个人，先从王、刘、陈3 人中选1 人给A 组，有
种，剩下2 人与张3 人分到B、C、D 组，每组各
一人，有
种，共有3×6＝18 种。共6+9+18=33 种。张和王被在一组的情况，由于“张不分配在A 组，李必须分配在C 组，D 组
只分配1 人”，张和王两人只能分到B 组，李在C 组，剩下刘和陈两人分到A 组和D 组，有
种分法。故张和王分配在同一组的
概率为
≈6.1%。因此，选择B 选项。
8.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题。第二步，比赛分为四轮，分别为16 进8，8 进4，4 进2，2 进1。甲
要想获胜，只要不遇见乙即可。在四次选择对手的随机过程中，每次遇见乙的几率都是1/15（参看拓展），因此遇见乙的概率为
，那么未遇见乙即甲获胜的概率为
。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查概率问题。第二步，比赛
分为四轮，分别为16 进8，8 进4，4 进2，2 进1，甲要想获胜，只要不遇见乙即可，那么需要在前三轮中把乙淘汰。乙淘汰的情况
有三种：①在第一轮淘汰的概率为
；②在第二轮淘汰的概率为
；③在第三轮淘汰的概率为
。三种情况的概率加和为
。因此，选择B 选项。
9.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，根据概率=满足条件的情况数÷总情况数，可知摸到红球的概率=红球
的个数÷球的总数，设红球有n 个，则可列式
，解得n=10。因此，选择B 选项。
22
10.【答案】B。解析：方法一：第一步，本题考查概率问题，与约数倍数问题杂糅。第二步，170 多人，即总人数在170—179 之
间，可以被平分为7 组，这范围内7 的倍数只有175，那么这批人才共175 人。党员比非党员多3 倍，那么非党员如果为x 党员人数
为4x（注意不是3x），5x=175，解得x=35，党员人数为35×4=140，进一步锻炼的人数为140×10%=14。第三步，由于是14 个人分
到12 个地方，人不一样需要考虑分配顺序，讨论如下：每个地方至少分一个，分法有两种：①一个单位3 人，其余单位1 人，情况数
为
；②两个单位2 人，其余单位1 人，情况数为
。甲单位人数多于1 也有两种情况：①甲单位3 人，
情况数为
种；②甲单位2 人，情况数为
。则满足题意的概率为
，直除首两位商15，在14%~17%之间。方法二：第一步，本题考查概率问题，
与约数倍数问题杂糅。第二步，170 多人，即总人数在170—179 之间，可以被平分为7 组，这范围内7 的倍数只有175，那么这批人
才共175 人。党员比非党员多3 倍，那么非党员如果为x 党员人数为4x（注意不是3x），5x=175，解得x=35，党员人数为35×4=140，
进一步锻炼的人数为140×10%=14。第三步，可以采用隔板法（注意此方法不够严谨）：总数为在14 个名额形成的13 个空里插入11
个板分成12 组，每组至少一个，分配方式有
=78（种）。甲的人数大于1，有两种情况，①甲有3 人，情况数只有1 种；②甲有
2 人，只需要在另外11 个单位中选一个多1 人，有
=11（种）。因此概率为
，直除首两位商15。因此，选择B 选
项。
11.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题。第二步，成活一棵的概率为80%=
，至少成活2 棵包含两种情况：
成活2 棵和成活3 棵，成活2 棵的概率为
，成活3 棵的概率为
，则至少成活2 棵的概率为
。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查概率问题，用逆向法解题。第二步，成活一棵的概率为80%=
，
23
逆向考虑，至少成活2 棵的逆向情况有两种：成活0 棵和成活1 棵。成活0 棵的概率为
；成活1 棵的概率为
，故至少成活2 棵的概率为
。因此，选择D 选项。
12.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题，属于分类分步型。第二步，概率=满足条件的情况数÷总的情况数，
总的情况数为从10 个人中选5 人参战，共
种。完成突击任务可以分为三种情况：①抽到3 名特种兵、2 名非特种兵，情况数
为
种；②抽到4 名特种兵、1 名非特种兵，情况数为
种；③抽到5 名特种兵，情况数为
种，完成任
务的情况数共120+60+6=186 种，概率为
。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查概率问题，用逆向法解题。第二
步，概率=满足条件的情况数÷总的情况数，总的情况数为从10 个人中选5 人参战，共
种。逆向考虑，不能完成突击任务的
情况包括两种：①抽到1 名特种兵、4 名非特种兵，情况数为
种；②抽到2 名特种兵、3 名非特种兵，情况数为
种；
共6+60=66 种，故成功完成突击任务的概率为
。因此，选择D 选项。
13.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，由题意可知接受A 的概率为40%。接受B 的情况分为两种：①接受A
且接受B 的概率为40%×60%=24%；②不接受A 但接受B 的概率是60%×30%=18%，则接受B 方案的概率为24%+18%=42%。第三步，接受
C 的情况分为两种：①如果A 不接受，那么B 不接受的概率就是70%，那么都不接受的概率是60%×70%=42%，这种情况下接受C 的概
率是90%，则不接受A 也不接受B 但接受C 的概率是42%×90%=37.8%；②AB 至少接受一个的概率是58%，这种情况下接受C 的概率是
10%，可知AB 至少接受一个且接受C 的概率是58%×10%=5.8%。那么接受C 方案的概率为43.6%。故可知三者概率为C＞B＞A。因此，
选择D 选项。
24
14.【答案】C。解析：第一步，本题考查基本概率，用分步概率法解题。第二步，100 名新生随机围坐在篝火四周，即会产生100
个座位，假定小张选择任一个位置坐下，则小李只能从剩余的99 个位置中选择坐下，与小张坐在一起的情况有两种，即坐小张的左右
两侧。第三步，故所求概率为
。因此，选择C 选项。
15.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率，用代入排除法解题。第二步，根据甲获胜的概率是乙获胜概
率的1.5 倍，令乙获胜的概率为2x，则甲为3x，又甲获胜的概率和乙获胜的概率总和为1，可列式2x＋3x＝1，解得x＝20%，则乙获
胜的概率为40%，甲获胜的概率为60%。第三步，采用代入排除法：代入A 选项，比赛在3 局内结束，则情况为甲前3 局获胜或乙前3
局获胜，概率为（60%）³+（40%）³＞2×（40%）³；代入B 选项，乙连胜3 局获胜，情况有三种：乙前3 局连胜、乙第一局输后面的
三局连胜、乙前两局输后面的三局连胜，概率为（40%）³＋60%×（40%）³＋60%×60%×（40%）³=1.96×（40%）³；代入C 选项，甲
获胜且两人均无连胜，则情况只有一种：甲胜乙胜甲胜乙胜甲胜，概率为60%×40%×60%×40%×60%=0.216×（40%）²=0.54×（40%）
³；代入D 选项，乙用4 局获胜，则情况为前3 局乙胜2 局，最后一局为乙胜，概率为
×60%×40%×40%×40%=1.8×（40%）³。可
知A 选项概率最大。因此，选择A 选项。
16.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。第二步，概率＝满足条件情况数÷总情况数，由于
两人每个人每天的发车时间都不同，则可能的乘车选择总数为
，总情况数＝24×24。要使两人车次相同，小张任意选择，小王
选择与小张一样的即可，故总数为
。第三步，概率＝
，在4%~5%之间。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本
题考查概率问题，属于分类分步型。第二步，要使两人车次相同，小张任意选择，小王选择与小张一样的即可。第一天小张任意选，
概率为1，小王在四个选择中只能选择与小张一致的，4 选1，概率为
；同理，第二天小张任意选，概率为1，每天的发车时间都不
同，小王3 选1，概率为
；同理，第三天小张概率为1，小王概率为
。总概率为：
。因此，选择C 选项。
25
17.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。第二步，三人全部来自第一科室的情况数为
＝20（种），
三人全部来自第二科室的情况数为
＝1（种）。第三步，概率＝满足情况数÷总数，两种情况总数一致，则所求倍数即为各自情况
数之比，是20 倍。因此，选择D 选项。
18.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。第二步，先让小张随机入座，有40 个座位可选；小
李坐在同一排的选择有7 种，随机入座的选择有39 种，因此他们坐在同一排的概率为P＝
＝
≈0.18（或略大于
＝0.175）。
因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。第二步，总情况数
，符合要求的情况数即五排中选一排
再从该排中选两个座位，为
×
，则他们坐在同一排的概率为P＝
＝
≈0.18。因此，选择C 选项。
19.【答案】A。解析：第一步，本题为概率问题，属于基本概率，采用枚举法。第二步，001—100 可分成三类来枚举讨论：①001
—009，数字之和有5 个奇数，4 个偶数；②010—099，数字之和奇偶各半，均为45 个；③100，数字之和是奇数。第三步，总数有100
个，数字之和为奇数的有51 个，占比51%，数字之和为偶数的占比49%，概率高出2%。因此，选择A 选项。
20.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率，用枚举法解题。第二步，对豪华型、舒适型、标准型三辆旅
游车随机排列的情况采用枚举法，如下表：
26
由概率的公式P＝满足题意情况数÷总情况数，可得乘坐豪华车的概率为3÷6＝
。因此，选择A 选项。
21.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。第二步，根据“有且仅有1 人返回原分公司”可以得到其选
择情况数为
＝5（种），另外4 个人进行了错位排列，情况数为
（种），故符合条件的情况数为9×5＝45（种）。第三步，
总情况数为
（种），得到概率为
。因此，选择D 选项。
22.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，属于分类分步型。第二步，根据部分试题作答并全部答对得70 分，讨论情况
可能为：①丙类题1，乙类题2，有1 种；②丙类题1，乙类题1，甲类题2，有
（种）；③乙类题2，甲类题3，有1 种；
共计1+6+1＝8 种。第三步，未选择丙类题的有1 种，故概率为
。因此，选择D 选项。
23.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。第二步，等比例分层抽样，每部分的抽样比例与整体抽样比
例一致。设抽取总人数为x，则有
，解得x＝15。因此，选择B 选项。
24.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。第二步，设原有职工x 人，可得
，化简为
，变形为（3x－56）（x－50）＝0，因此3x－56＝0 或x－50＝0，由于x 为整数，所以x＝50。第三步，概率为
＝
＝
≈6%，在4%—7%之间。因此，选择C 选项。
25.【答案】B。解析：第一步，本题考查基本概率问题，使用方程法解题。第二步，设甲、乙办公室分别有x、y 人，根据题意可
列方程组
=10%，
=20%，解出x=5，y=10，故两个办公室共有5+10=15 人。因此，选择B 选项。
27
26.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，由题意知A、B、C、D 发生的概率分别为0.4、0.3、0.2、0.1，事
件甲的反面为两次中都没有出现A，反面的概率为（1－0.4）×（1－0.4）＝0.36，故事件甲的概率为1－0.36＝0.64。事件乙的反面
为两次中都没有出现B，反面的概率为（1－0.3）×（1－0.3）＝0.49，故事件乙的概率为1－0.49＝0.51。事件丙概率为（1－0.1）
×（1－0.1）＝0.81。事件丁可以分为出现两次A，出现一次A，前者概率为0.4×0.4＝0.16，后者概率为2×0.4×（1－0.4－0.1）
＝0.4，故事件丁的概率为0.4×0.4＋0.4＝0.16＋0.4＝0.56。按照概率从高到低排列，位于第二位的是事件甲。因此，选择A 选项。
27.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。第二步，掷两颗质地均匀的骰子，满足向上的点数之和为8，
可分为5 种情况：（2，6）、（3，5）、（4，4）、（5，3）、（6，2）。总的情况数为6×6=36（种），故概率＝
＝
。因此，选择A 选项。
28.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题，用枚举法解题。第二步，由总件数为70 件，分装成10 件/箱、20 件/箱、30
件/箱的规格，枚举可得以下情况：
共计8 种情况，至少包含一项大包装的为前4 种，因此概率=
。因此，选择B 选项。
28
29.【答案】C。解析：第一步，本题考查其他概率问题。第二步，根据概率＝
，可得满足条件的情况数＝总情况
数×概率，故前25 次命中次数为25×64%＝16 次，中间5 次全部投中，则前20 次命中16－5＝11 次，前20 次和后20 次的命中率相
同，则后20 次同样命中11 次，最终命中的次数为11＋5＋11＝27 次。因此，选择C 选项。
30.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，属于分类分步型。第二步，要使铺设的电缆长度最短，电缆走向只能向下和
向左铺设。概率
，满足条件的情况数为电缆经过丙地的情况数，甲到丙最少需要四步，其中有一步是横着向左铺设的
就可以走最短路线到丙，共有
=4 种情况，从丙到乙最少需要四步，其中有一步是竖着向下铺设的就可以走最短路线到乙，共有
=4
种情况，所以电缆经过丙地到乙地共有4×4=16 种情况；而甲到乙的总情况数：甲到乙必过1、2、3 这三个点，
要分三种情况，过1 点有1×
=15 种情况，过2 点有（
-1）×
=20 种情况，过3 点有（
）×
=18 种情况，所以总
情况数有15+20+18=53 种情况，所以，所求概率为
。因此，选择D 选项。
29
31.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。第二步，将三个车间总产量赋值为100 个，则甲、乙、丙车
间产量分别为5 个、70 个、25 个。根据题意，次品总量为5×4%+70×3%+25×2%=2.8 个，其中乙车间生产的次品量为70×3%=2.1 个，
则取到次品为乙车间制造的概率为
。因此，选择C 选项。
32.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，征文被采用的情况分为以下2 种：①两位初审编辑均通过：0.4×0.4
＝0.16；②两位初审编辑中，一位通过一位不通过，复审通过：
×0.4×（1－0.4）×0.2＝0.096。第三步，根据分类相加，则被
采用的概率为以上两种情况的和，即0.16+0.096＝0.256。因此，选择B 选项。
33.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，属于分类分步型。第二步，
，发生事件数为电缆经过丙地的
情况数，甲到丙需要四步，其中有一步是横着的就可以走最短路线到丙，共有
=4 种情况，从丙到乙需要四步，其中有一步是竖着的
就可以走最短路线到丙，共有
=4 种情况，所以电缆经过丙地到乙地共有4×4=16 种情况；而甲到乙的总情况数：甲到乙必过1、2、
3 这三个点，要分三种情况，过1 点有1×
=15 种情况，过2 点有
种情况，过3 点有
种情况，
所以总情况数有15+20+18=53 种情况，所以，所求概率为
。
30
因此，选择D 选项。
34.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，根据题意，三个学生都通过科目一考试，那么就可以减免一个学生
的报名费，三个人通过科目一考试的概率分别为
，所以三个人都通过科目一考试的总概率为
，所以减免一个学
生报名费的概率为
。因此，选择D 选项。
35.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题，基本概率。第二步，总的情况数为
种，要求任意两辆车之间至少间隔
一个车位，用插空法，先排其他4 个车位，有1 种情况，3 辆车插入4 辆车形成的5 个空中，有
种。第三步，根据概率=满足
条件情况数÷总的情况数，则所求概率为
。因此，选择B 选项。
31
36.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，用捆绑法解题，小玲和小红挨着坐有
＝48（种）方式，而小
红与小玲和小花都挨着的有
=12（种），则小红和小玲挨着但是和小花不挨着有48－12＝36（种）方式。5 个人排一排一共有
＝120（种）方式，那么概率为
＝
。因此，选择C 选项。
37.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，由题意可知考核通过的有4 个社区，不通过的有2 个社区。根据概
率=满足要求的情况数÷总情况数，本题满足要求的情况有两类：①考核通过的有1 个社区，不通过的有2 个社区，情况数为
；
②考核通过的有2 个社区，不通过的有1 个社区，情况数为
；则满足要求的情况数为4+12=16（种）。总情况数为6 个中
随机选3 个，
=20（种）。所求概率为16÷20=
。因此，选择D 选项。
38.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题中的基本概率。第二步，2 人来自人事部的情况共有
=3 种，总情况数为
=10
种，2 人都来自人事部的概率为3/10=30%。因此，选择C 选项。
39.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题中的基本概率。第二步，工作总的安排方式共有
种。满足情况的
方式分两种，一种是一个工作组只负责甲乙，只需要选工作组，有
=2 种；另一种是甲乙和另外一个县都由一个工作组验收，需要
选择工作组和另一个县，有
=6 种。因此，甲乙由同一个工作组验收的概率=
=
。因此，选择B 选项。
40.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，7 个人分成3 个组，每组人数各不相同，3 组人数分别为1、2、4 人，
2 位博士可能同在2 人组或4 人组，概率为
。因此，选择B 选项。
32
41.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，将5 个人分到3 个不同的厂区，每个人均有3 种选择，故总情况数
为3×3×3×3×3＝243（种）。满足每个厂区至少有1 人的有（3-1-1）和（2-2-1）两种情况：①3 个厂人数分别为3、1、1 时，共
有
种；②3 个厂人数分别为2、2、1 时，共有
种，故共有60+90＝150 种。因此，概率
为
。因此，选择D 选项。
42.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，周一至周六连续两天有5 种情况（周一周二、周二周三、周三周四、
周四周五、周五周六），那么这两种活动一共有
＝5×5＝25（种）安排方式。若想两个活动不重叠，则有以下5 种情况：①若
其中一个安排在周一周二，则另一个有3 种情况（周三周四、周四周五、周五周六）；②若一个安排在周二周三，则另一个有2 种情
况（周四周五、周五周六）；③若其中一个安排在周三周四，则另一个有2 种情况（周一周二、周五周六）；④若其中一个安排在周
四周五，则另一个有2 种情况（周一周二、周二周三）；⑤若其中一个安排在周五周六，则另一个有3 种情况（周一周二、周二周三、
周三周四），那么共有3＋2＋2＋2＋3＝12（种）满足条件的情况数。则概率为
＝48%。因此，选择B 选项。
43.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，甲是两个男生，乙是两个女生，丙是一男一女，要想满足题目的要
求，那么选出来的只能是甲和丙中的3 位男生之一，共
种情况。若另一个也是男生，则只能为甲，满足条件的情况共2 种，所
以总概率为2/3。因此，选择C 选项。
44.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，设半径为2，则总面积为
×π×2²=π，正方形BDFE 面积为1²=1、
三角形FEC 面积为0.5，只接种1 剂次的人数占比为
=
≈52%。因此，选择C 选项。
33
45.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，根据题意甲生产零件的效率比乙高50%，1 小时内甲比乙多生产8 个
零件，可知甲生产24 个、乙生产16 个。生产的零件中抽取3 件总数为
，至少有一个是甲正面求解数较多故从逆向思维考虑，都是
乙的情况数为
，满足题意概率=
。因此，选择C 选项。
46.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题，属于分步分类概率。第二步，运用排除法解题，由于两人胜对方概率都是
，
而前三局过后小王获胜的概率是
，所以前三局小王应该胜多负少，排除C、D 选项；A 选项，如果小王前三局胜3 局，则获胜
的概率为1-后四局全败=
，排除A 选项；此时可直接选择B 选项。第三步，分析B 选项如下：B 选项，
三局过后胜2 局、负1 局，之后的比赛获胜的情况有三种：①后面打两局并连胜两局，概率为
；②后面打三局并赢下其中
两局，并且最后一局获胜，且前2 局输了1 局，此时概率为
；③后面打四局并赢下2 局，并且最后一局获胜且前
三局输了2 局，此时概率为
。此时小王获胜的概率为
，符合题意。因此，选择B 选项。
47.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题中的基本概率。第二步，赋值男性志愿者为40 人，女性志愿者为60 人，根据
题意可得男性志愿者中教师为40×20%=8 人，女性志愿者中教师为60×25%=15 人，因此教师人数为8+15=23 人。第三步，根据概率=
满足条件的情况数÷总情况数，得到该志愿者为男性的概率为8/23。因此，选择D 选项。
48.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，若不堵车，5：30 前到的概率为0.7×1＝0.7；若堵车，5：30 前到
的概率为0.3×0.6＝0.18。那么小李5：30 前到的概率为0.7＋0.18＝0.88。因此，选择C 选项。
49.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题，属于分类分步型。第二步，设小王答对、不答、答错的题目分别有x、y、z
道，由题意有x+y+z=10①，2x－z=3②，x+z＞5③。联立①②有3x+y=13，联立①③可知y 可取0、1、2、3、4，代入数据可知仅当y=4
34
或y=1 时x 有整数解，则此不定方程组的解有3、4、3；4、1、5 两种情况。第三步，由于两种情况发生的概率是相同的，即各
，那
么小王第一题答错的概率为
。因此，选择B 选项。
50.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，相邻两个登机口直接相距50 米，1—12 登机口，与之相距不超过200
米的登机口分别有：4、5、6、7、8、8、8、8、7、6、5、4 个，共76 种，总的情况数为
=12×11＝132 种，概率为
＝
。因
此，选择D 选项。
51.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，5 天当中有3 天是晴天的情况有
种情况，3 天晴天的概率为
，
2 天阴天的概率为
，因此最终概率为
，计算得最终概率为0.3087，接近于0.309。因此，选择D 选项。
52.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，正向求解情况数较多，考虑逆向概率，A 试验田至少2 年种植同一
种作物的逆向是A 试验田每年种植的作物都不相同，分步考虑，第一年A 试验田种植任意一种都可以，概率为1，第二年种植作物不
能跟第一年相同，概率为
，第三年种植作物不能跟前两年相同，概率为
，故A 试验田每年种植的作物都不相同的概率为
，A 试验田至少2 年种植同一农作物的概率为1－48%＝52%。因此，选择C 选项。
53.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，概率=满足情况数÷总的情况数。奇数有1、3、5、7、9 五种情况，
三个数都是奇数且有两个相同，因此总的情况数：第一步先从5 个数中选择出两个奇数
，第二步找出一个奇数出现两次，另一个单
独出现的奇数选择顺序即可全部确定，有
种，因此总的情况有
种。第三步，不超过两次即正确，可以分为两类，
35
第一类为第一次输入即正确，概率为
，第二类为第一次输入错误（概率为
），且第二次输入正确，要从剩下59 次输入
1 次即正确概率为
，概率为
。将两类概率相加
。因此，选择A 选项。
54.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，每门课程限选30 人，那么3 门课程最多可选90 人，则该专业学生
每人各选1 门且其中30 人选的A，30 人选的B，30 人选的C。那么小李能选中课程A 的概率为30÷90＝1/3。因此，选择C 选项。
55.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，属于几何概率。第二步，小王可以等班车，班车不能等小王，那么符合要求
的情况为小王到达的时间要早于班车，总情况为按照各自的时间到达。由于是连续时间，可以在直角坐标系中绘制面积，如下所示，
横轴为班车到达时间，纵轴为小王到达时间。
其中，正方形是按照各自的时间到达的总面积；阴影部分为总面积内符合要求的面积（y＜x，即小王到达时间早于班车）。白色
不符合要求的占比为
，那么阴影部分满足要求的面积是总面积的
。所求几何概率P=满足要求的面积÷总面积=
。因
此，选择D 选项。
36
56.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率类，用插空法解题。第二步，要求两个大人不相邻，
则先排四个小孩，四个小孩环形排列方法为
=6 种，四个小孩形成4 个空位，两个大人不相邻则将两个大人插空共有
=72 种，
总的情况为6 人环形排列，共有
=120 种。第三步，两个大人不相邻的概率=72/120=3/5。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本
题考查概率问题，属于分类分步类。第二步，要求两个大人不相邻，则让四个孩子先坐好，第一个大人先坐，概率为1，第一个大人
坐好和4 个孩子形成5 个空位，第二个大人可以坐这5 个位置的任意一个，只有坐在不相邻的3 个空位时候两个大人不相邻，因此两
个大人不相邻的概率为3/5。因此，选择B 选项。
57.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，先给每个部门分1 人，还剩3 人。要想有4 人组，则剩余的3 人分
到同一个部门，有12 种情况。要想有3 人组，则剩余的3 人中有2 人分到同一组，另外1 个人分到其他组，有12×11＝132（种）情
况。因为总情况数固定，故有部门获得名额为3 的概率是名额为4 的132÷12＝11 倍。因此，选择C 选项。
58.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题，属于其他概率问题。第二步，根据平均分组公式，9 人平均分成3
组，有
种方法；上届比赛的前3 名球队被分在同一组，则剩下的6 人平均分成2 组，有
种方法。第三步，上届
比赛的前3 名球队被分在同一组的概率是
。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查概率问题。
第二步，假设上届比赛的前3 名球队分别为甲乙丙三个队，分步考虑，先将甲分到任意一队，概率为1；剩余8 个位置中，乙队要选
择与甲队分到一组的位置，概率为
，还剩余7 个位置，丙队要选择与甲乙在同一组的位置，概率为
。分步用乘法，故上届比赛的
前3 名球队被分在同一组的概率是
。因此，选择B 选项。
59.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题。第二步，概率=满足的情况数÷总情况数。总情况数使用捆绑法，4
个部门看成4 个整体进行环形排列，每个部门内部排序，根据环形排列公式，n 个人环形排列的方式有
种，共有
种方式。
满足要求的情况为小李和小王所在部门挨着且相邻的是这两人，这两个部门的排列只有小李同事+小李+小王+小王同事，或者小王同事
37
+小王+小李+小李同事两种情况，再与其他两个部门一起环形排列，有2×
种方式。则所求概率为两者相除，约分为
。因
此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查概率问题。第二步，使用分步概率，先让小李和小王中的一个人随机选择座位，概率是
1；这个人选择完之后他的部门同事也跟着占去他左边或者右边的一个座位，那么还剩下6 个座位，只有1 个座位能跟第一个人挨着，
第二个人选择的概率是
，分步用乘法，小李小王相邻的概率为
。因此，选择D 选项。
60.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，获奖的概率＝1－不获奖的概率，不获奖的情况可分为两类：①恰有
一个数字相同，有
种情况；②四个数字均不相同，有
种情况，总的情况数为
。获奖的概率＝1-
。
因此，选择D 选项。
61.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，设另外两位选手分别为甲、乙，半决赛分组共有
＝3 种情况：①
小王、小张半决赛相遇，小王、小张不可能均获胜，概率为0；②小王与甲同组、小张与乙同组，两人均在半决赛获胜的概率为
×
60%×40%＝
；③小王与乙同组、小张与甲同组，两人均在半决赛获胜的概率为
×60%×40%＝
。小王和小张均在半决赛中获胜
的概率为0＋
＋
＝
。因此，选择D 选项。
62.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，张、王单独负责1 个分公司，情况数为
，李、赵各去一个分公司，
吴去李或赵所在的公司，情况数为
，总的情况数为
，概率为
。因此，选择A 选项。
63.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，从正九边形的9 个顶点任选3 个作为顶点绘制三角形，总的三角形
个数为
（个）。以A1 为中心，关于它对称的点都能和它组成等腰三角形有A1A2A9、A1A3A8、A1A4A7、A1A5A6 共4 个，其余每
38
个顶点组成的等腰三角形也是4 个，一共4×9=36 个。其中有等边三角形A1A4A7、A2A5A8、A3A6A9 共三个，每个都重复计算了3 次，
应减去多出的2 次，所以一共有等腰三角形36－3×2=30（个）。第三步，所求概率为30÷84≈35.7%，在C 选项范围内。因此，选择
C 选项。
64.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，根据题意甲、乙、丙、丁四个车间生产效率之比为4：3：2：1，赋
值甲、乙、丙、丁四个车间每小时的效率分别为400、300、200、100，则在某一个小时内生产的不合格产品总数为400×2%＋300×3%
＋200×4%＋100×5%＝30，而乙车间的不合格产品总数为300×3%＝9。那么该不合格产品为乙车间生产的概率为9÷30＝30%。因此，
选择A 选项。
65.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，三名英雄的能力值平均数在3 到5 之间，则三名英雄的总能力值应
该在9 到15 之间。利用反向思维，不满足条件情况有两种：（1）能力值之和小于等于9 有（6、2、1）、（5、3、1）、（5、2、1）
以及4 及以下的4 个数字任意选择3 个
＝4（种），共3+4=7（种）；（2）能力值之和大于等于15 有（2、6、7）、（3、6、7）、
（3、5、7）以及4 及4 以上的4 个数字任选3 个
＝4（种），共3+4=7（种）。不满足的情况数一共有7+7=14（种），而总情况数
有
＝35（种），则满足三名英雄的能力值平均数在3 到5 之间概率为1－
＝60%。因此，选择D 选项。
66.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，属于其他概率问题。A 选项：丙与任何对手比赛获胜的概率均高于丁（包括
丙丁直接对决），故一定没有任何一种方式，丁比丙夺冠的几率更大，错误；B 选项：乙对甲、丙、丁的胜率分别为：30%、20%、30%，
乙夺冠概率最高的方式是2 场比赛分别遇到甲与丁，概率为30%×30%=9%，未超过10%，错误；甲对乙、丙、丁的胜率分别为：70%、
30%、50%，甲在半决赛遇到乙时夺冠的可能性最大，C 选项错误、D 选项正确。因此，选择D 选项。
67.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，依次分析各选项概率。A 选项：有一排正好停2 辆车，先选择车，
有
种方式；再选择两排中的一排并放入车，有
种方式；最后其他四辆车停到另一排，有
种方式，可知满足条件的情况数
。总情况数为6 辆车在12 个位置里随机停放，有
种方式。那么概率为
。B 选项：甲和
乙停在同一排不相邻车位，用分步概率，先给第一辆车选择位置，靠边的概率和不靠边的概率分别是4/12 和8/12，再让第二辆车选
39
同排不相邻的车位，概率为：
。C 选项：甲停在某一排的中间两个车位之一：
。D 选项：甲、乙中至
少有1 辆停在靠边的车位，反向求解，甲乙都不靠边的选法是8 个中间位置里选2 个，总选法是12 个中任选2 个给甲乙，那么至少有
1 辆停在靠边的车位概率为：
。AD 都大于
可以首先排除，C 选项即
，大于B 选项。因此，选择B 选项。
68.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率，用十字交叉法解题。第二步，甲、乙两箱分别拿到次品的概
率为5%和10%，则甲、乙两箱中商品的数量分别是20 和10 的倍数。根据甲、乙混合后拿到次品的概率为6%，十字交叉得：
，甲、乙两箱中商品的数量之比为4∶1，又因甲、乙两箱中商品的数量分别是20、10 的倍数且总数不到100 件，
则甲为40 件，乙为10 件。第三步，随机从乙箱中抽取3 件这种商品，均不为次品的概率为
。因此，选择A 选项。
69.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率类。第二步，本题问至少猜对1 个入选项目的概率为多少，正
面求解较为困难，从反面求解，至少猜对1 个的概率=1－全猜错的概率。总的情况数为从10 个中任意挑选三个，情况数为
，全猜
错的情况为从错误的七个里面任意挑选三个，情况数为
，全猜错的概率为P=
=
，因此至少猜对一个的概率为1－
=
≈
70.8%。因此，选择D 选项。
70.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率。第二步，分步考虑如下：（1）10 个小球中有3 个黑球，取
出小球为黑色的概率为
；（2）由于不放回，取出1 个黑球后，还剩9 个小球，其中有1 个红球，此时取出小球为红色的概率为
；
40
（3）还剩8 个小球，其中2 个白球，此时取出小球为白色的概率为
。第三步，分步用乘法，故取出的小球依次是黑色、红色、白色
的概率为
。因此，选择A 选项。
71.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，选择乘地铁且18：45 之前到家的概率为0.6×0.8＝0.48；选择乘
公交且18：45 之前到家的概率为（1－0.6）×0.7＝0.28。那么他下班回家18：45 之前到家的概率是0.48＋0.28＝0.76。因此，选
择D 选项。
72.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题，用图示法解题。第二步，本题中各事件不独立，因此考虑画图标识。
如图所示，总概率是1，小李和小张各自概率为0.2，同时入选为0.1，由于小李和小张入选时小王不入选，小王是独立的0.2，
那么三人有人入选的概率为0.2+0.2－0.1+0.2=0.5。因此，选择C 选项。
73.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题，属于分类分步型。第二步，奇数有1、3、5、7、9，共5 个，随意输入两个
不同的奇数，总的情况为
种，在前三次猜中正确密码的概率是：
。因此，选择A 选项。
74.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率类问题。第二步，概率＝满足条件的情况数/总情况数，根据题
意，三名工作人员修剪6 棵树，每名工作人员至少修剪1 棵树（只考虑修剪棵数），根据隔板法公式，可得总情况数为
，小王
至少修剪3 棵树，通过枚举，满足条件的有以下3 种情况：
小王321
小曾312
41
小郭411
故所求概率为
。因此，选择A 选项。
75.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题，用图像法解题。第二步，两人相差不超过10 分钟到达可交易成功，取特殊值
确定图像。①职员9：30 到，快递员在9：30—9：40 之间到即可；②职员9：40 到，快递员在9：30—9：50 之间到即可；③职员9：
50 到，快递员在9：40—10：00 之间到即可；④职员10：00 到，快递员在9：50—10：00 之间到即可。可绘制出如下图像：
那么阴影部分占总数的1－
×
×
×2＝
。因此，选择C 选项。
76.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题。第二步，操作2 次后卡片正面向上，包括两种情况：（1）该卡片两
次都被翻面，卡片第1 次被翻面的概率为
，第2 次被翻面的概率为
，分步用乘法，两次都被翻面的概率
；（2）
该卡片两次都未被翻面，卡片第1 次未被翻面的概率为
，第2 次未被翻面的概率为
，分步用乘法，两次都未被翻面的概率为
；第三步，故所求概率为
。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查概率问题，用逆
向法解题。第二步，卡片操作2 次后，可分为三类情况：卡片被翻0 次，被翻1 次，被翻2 次。其中被翻0 次和被翻2 次后卡片正面
42
向上，采用逆向分析，卡片被翻一次的概率为
。第三步，故卡片被翻0 次或者被翻2 次的概率为1－25.5%＝74.5%。
因此，选择B 选项。
77.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，由“10 名职工”、“女职工比男职工多2 人”可知该科室女职工为
6 人、男职工为4 人。总情况数包含两类：①女职工1 人、男职工1 人，有
=24（种）；②女职工2 人，有
=15（种）；共
24+15=39（种）。第三步，概率=满足的情况数÷总情况数，满足的情况数只有1 种即小张和小刘同时被选上，则所求概率为1÷39≈
2.6%（或略大于1/40=2.5%）。因此，选择C 选项。
78.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题，用排列组合法解题。第二步，两人选到同一品牌单车可能是都选到
第一个品牌，也可能是都选到第二个品牌，还可能是都选到第三个品牌。都选到第一个品牌有：
＝1（种）情况，都选到第二个品
牌有：
＝3（种）情况，都选到第三个品牌有：
＝6，那么选到同一品牌单车的概率为＝
。因此，选择C 选项。解
法二：第一步，本题考查概率问题，用分类、分步概率解题。第二步，两人选到同一品牌单车可能是都选到第一个品牌，也可能是都
选到第二个品牌，还可能是都选到第三个品牌。都选到第一个品牌的概率为：
，都选到第二个品牌的概率为：
，
都选到第三个品牌的概率为：
，那么选到同一品牌单车的概率为
。因此，选择C 选项。
79.【答案】A。解析：第一步，本题考查基本概率问题。第二步，由题可知，花费4 元的组合为：（1）先从3 种粥类中选2 种，
然后再从2 种馒头中选1 种，共
×
6（种）；（2）先从3 种粥类中选1 种，然后再选1 个三鲜大肉包，共
×1
3（种）；
（3）选择2 种馒头，共
1（种）。第三步，总情况共6+3+1=10（种）。吃到包子的情况数有3 种，则概率为
30%。因此，选
择A 选项。
43
80.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题，用方程法解题。第二步，设原来盒中有x 个红球，那么原来盒中的总球数为
3x。取出3 个红球和7 个黄球后，盒中还剩（x－3）个红球，总球数变为（3x－10）个，根据此时摸到红球的概率为
，可列方程：
，解得x＝5，即原来盒中有5 个红球。因此，选择A 选项。
81.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题，属于基本概率类。第二步，根据P＝满足条件的情况数/总情况数，总情况数
为8 张奖券抽取2 张，结果为
；满足条件的情况数为一张有奖，一张无奖，结果为
。则选择一张有奖，一张无奖
的概率
。因此，选择B 选项。
82.【答案】C。解析：第一步，本题考查概率问题，属于分类分步型。第二步，从三种不同包装中随机拿4 盒，可知总的情况有
3×3×3×3＝81（种）。第三步，由于苹果总数多于20 个且为偶数，故必须有8 个一盒的包装，则满足条件的情况有4 类：①4 盒8
个装的情况数为1 种，即（8，8，8，8）；②8 个和5 个装各2 盒的情况数为6 种，即（8，8，5，5），（5，5，8，8），（8，5，5，
8），（5，8，8，5），（8，5，8，5），（5，8，5，8）；③同理可得，8 个和3 个装各2 盒的情况数也为6 种；④2 盒8 个、1 盒5
个和1 盒3 个装的情况数为12 种，分两种情况讨论，两个8 在一起，有
（种）；两个8 不在一起，即插入到5 和3 之间，有
（种），该情况共计6+6=12（种）。则满足条件的总情况数为1+6+6+12=25（种）。第四步，所求概率为
。因此，选择C
选项。
83.【答案】B。解析：第一步，本题考查概率问题中的分类分步型。第二步，根据题意可知小明全对小宁不全对的概率是80%×
30%=24%；小宁全对小明不全对的概率是70%×20%=14%。第三步，故只一个人全对的概率为24%+14%=38%。因此，选择B 选项。
84.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题中的分类分步型。第二步，根据概率的核心公式：P=满足条件的情况
数/总情况数，总的情况数为5 盆花当中任意选出两盆为：
。满足题意的情况数分为两种情况：①一盆兰花，一盆杜鹃，
44
；②两盆兰花，
。所以，满足题意的情况数为6＋1＝7。则概率为
。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题
考查概率问题，属于基本概率，用逆向思维法解题。第二步，要求至少有1 盆兰花，可采用逆向思维法解题，至少有1 盆兰花的概率
=1－都是杜鹃花的概率。第三步，5 盆花中随机拿出2 盆均是杜鹃花的概率为
，则至少有1 盆兰花的概率=1-
。因此，
选择B 选项。
85.【答案】E。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，由10 名客人坐成一圈就餐，可知题目考查环形排列，总的排列数为
；由情侣被安排相邻而坐，可将两对情侣分别看做两个整体，先将这两个整体与其他元素排列，即8 个元素环形排列得到
；因为
情侣内部也有顺序，所以满足题目要求的情况数为
。由概率的基本公式得到
。故两对情侣
相邻而坐的概率为5.6%。因此，选择E 选项。
86.【答案】D。解析：第一步，本题考查概率问题，用方程法解题。第二步，设原来盒中有x 个红球，那么原来盒中的总球数为
3x，则原来盒中黄球数为2x。取出3 个红球和7 个黄球后，盒中还剩（x-3）个红球和（2x-7）个黄球，共计（3x-10）个球，根据此
时摸到红球的概率为
，可列方程：
，解得x＝5，即原来盒中有5 个红球。因此，选择D 选项。87.【答案】C。解析：
第一步，本题考查概率问题，用方程法解题。第二步，假设黑球和白球的数量分别为x 和y，由取出一个黑球，则袋中黑球占总数的
，
得到
；由取出两个白球，则袋中白球占总数的
，得到
=
，联立方程解得x=9，y=20。第三步，则抽出的3
个球有且仅有一个黑球的概率为：p=
=
=
46.8%。因此，选择C 选项。
88.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查概率问题。第二步，概率=满足的情况数÷总情况数，总的情况数为甲乙随机坐
共40 个座位为
=780，满足情况为：情况一，甲乙都坐到10 个座位那排
，情况二，甲乙都坐到9 个座位那排
，情况三，甲乙
45
都坐到8 个座位那排
，情况四，甲乙都坐到7 个座位那排
，情况五，甲乙都坐到6 个座位那排
，满足情况数共有
=35（种）。第三步，概率=35÷780≈4.5%。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查概率问题，用分
类分步进行求解。第二步，总共座位数=10+9+8+7+6=40（个）。第一个人选座位，有两种情形：一种是选择靠边的座位，一种是选择
不靠边的座位。分别进行讨论：（1）选择靠边的座位，二人左右相邻的概率为：
；（2）选择不靠边的座位，
二人左右相邻的概率为：
。总的概率为
≈4.5%。因此，选择B 选项。
89.【答案】A。解析：第一步，本题考查概率问题。第二步，一共有4＋5＋6＝15（辆）单车，如果把B 型和C 型单车全部骑走，
说明剩下的2 辆都是A 型单车，概率为
＝
≈5.7%，在10%以下。因此，选择A 选项。
90.【答案】D。根据公式：概率=满足要求情况数/总情况数，分析如下：甲、乙两门课程均需要占用相邻的2 天，可用捆绑法，
先将每门课程所占用的2 天分别捆绑，再将这2 个捆绑体和其它3 天进行排序。因每“天”均相同，不用排序，而两门课程不同，需
要排序，则总情况数
种情况；根据题意，不用学习的3 天均不相邻，可用插空法，优先安排学习两门课程的时间，因两门
课程不同，对两门课程进行排序有
种情况，再将剩余3 天插入两门课程安排好之后形成的3 个空隙，因每“天”均相同不用
再排序，有
种情况，故满足要求的情况数=2×1=2 种情况。综上，所求概率
。
91.【答案】A。根据题意可知，甲发球时甲得分的概率为0.6，则甲发球时乙得分的概率为1-0.6=0.4；乙发球时乙得分的概率为
0.7，则乙发球时甲得分的概率为1-0.7=0.3。根据题意，乙将比分追成20：20 平后，甲最终以23：21 的比分获胜，则后续还要进行
4 次发球，乙将比分追平，第1 次乙发球，乙仅有一次得分在第1 次或第2 次，甲第3 次和第4 次一定得分，分情况讨论如下：
46
则乙将比分追成20：20 平后，甲最终以23：21 的比分获胜的概率为0.0756+0.0216=0.0972，在A 项0.05-0.1 的范围内。
92.【答案】C。设每个等腰直角三角形的直角边长度为1，可得每个等腰直角三角形的斜边长度为
，则每个等腰直角三角形
的面积
，正方形瓷砖的总面积为
。根据公式：概率
，则所求
，与C 项最接近。
93.【答案】D。设小李答对每道题的概率为p，小王答对每道题的概率为1.5p，则小李连续答对2 道题的概率为
，小
王连续答对2 道题的概率为
。根据题干“小王连续答对2 题的概率比小李高0.2”，则
，解得
p=0.4。小王答对每道题的概率为1.5×0.4=0.6，前2 题全对的概率为0.6×0.6=0.36；小李答对每道题的概率为0.4，前2 题全错的
概率为（1-0.4）×（1-0.4）=0.36，因此小王前2 题全对且小李前2 题全错的概率为0.36×0.36=0.1296，在D 项范围内。
47
94.【答案】B。设甲部门女性员工为x 人，则甲部门男性员工有（x+2）人；乙部门女性员工有（6-x）人；乙部门男性员工有（6-x）
-3=（3-x）人；甲、乙两个部门共有男性员工（x+2）+（3-x）=5 人。根据公式：概率
，分析如下：甲、乙两个部
门共有5+6=11 名员工，从中随机选出4 人，总情况数
种。要求选出的4 名员工恰好为2 名男员工和2 名女员工：从5
名男员工中随机选出2 名，有
种情况；从6 名女员工中随机选出2 名，有
种情况。则满足要求的情况数为
种。综上，所求概率
95.【答案】D。根据题意，连续3 年丰产的概率为0.3×0.3×0.3=0.027；连续3 年歉收的概率为0.2×0.2×0.2=0.008。则该农
作物连续3 年丰产的概率是连续3 年歉收概率的0.027÷0.008=3.375 倍。
96.【答案】D。根据公式：概率
，分析如下：根据题意，3 人面试每人在6 道面试题中随机抽取2 道题作答，每人
的选择有
种情况，则总的情况数有
种情况；满足条件的情况数为有且仅有1 道题没有被任何人抽到，则被抽取
的5 道题目情况数为
种情况，每人2 道题目且5 道题目均被抽取则题目被抽取次数为（2,1,1,1,1），即其中一道题目被2 名求职
者各抽取1 次，有
情况数，从剩下4 道题目中抽取2 道题目补齐2 名求职者剩余题目，并且有顺序，则满足条件的情况数为
种情况。综上，所求概率为：
。
97.【答案】D。本题可反向思考，即计算3 人均未签约的概率，均未签约的概率=(1-3/4)*(1-1/3)=1/6，则3 人中至少有1 人签约
该企业的概率=1-1/6=5/6。
48
98.【答案】C。在报名人员中随机抽取2 人，总的情况数有
种。要求抽取的2 人报名相同位置，则反面情况为抽取的2 人
报名不同位置，只能为其中一人只报名击球手，另一人只报名投球手，情况数为
种。根据公式：概率
，
则所求概率=1-反面情况概率
。
99.【答案】A。根据题意，靶纸如图所示：靶纸上10 个同心圆的直径构成首项为45.5mm、公差为-5mm 的等差数列。根据等差数列
通项公式：
，则6 环所处同心圆的直径为45.5+（6-1）×（-5）=20.5mm，半径为
mm；7 环所处同心圆
的直径为20.5-5=15.5mm，半径为
mm。根据公式：概率P
，总情况为随机向靶纸射击且未脱靶，其面积为
（
）；满足条件的情况为命中6 环到6.9 环，即处在6 环所在圆环中，其面积为
（
），
则命中6 环到6.9 环的概率P
，只有A 项符合。
49
100.【答案】B。根据题意，目标被射中则比赛结束，则乙结束比赛表示甲未射中，乙射中，概率为（1-0.3）×0.5=0.7×0.5······①；
丙结束比赛表示甲未射中、乙也未射中，丙射中，概率为：（1-0.3）×（1-0.5）×0.8=0.7×0.5×0.8······②；则乙结束比
赛的概率是丙结束比赛概率的
倍。
101.【答案】C。据题意，至少有3 册转化成功的情况可分类讨论如下：
①有3 册转化成功：概率
；
②4 册均转化成功：概率
；分类用加法，则所求的概率
。
102.【答案】C。设初始小李抓到玩偶x 次，根据“目前抓到玩偶的频率是1/16”，可知初始抓了16x 次。根据“接下来小李又
抓了两次，运气特别好都抓到了，这时小李抓到玩偶的频率提升到了1/10”，可列等式：
，解得x=3。则小李一共抓了
16x+2=16×3+2=50 次。
103.【答案】A。根据公式：概率=满足要求情况数/总情况数，分析如下：从7 名学生中随机抽出3 名做值日，不需要考虑顺序，
则总的情况数为
种情况；这3 名学生的学号恰好为三个相邻自然数的情况为：01-03，02-04，03-05，04-06，05-07，共5 种
情况。
综上，所求概率=5/35=1/7。
104.【答案】C。根据题意，已知小王想要抽奖3 次恰好中奖300 元，分类如下：（1）中3 次二等奖（100 元）：每次中二等奖
概率相同，均为20%，则连续中3 次的概率为20%×20%×20%=0.8%；（2）中1 次一等奖（200 元）以及1 次二等奖（100 元），1 次
未中奖：每次抽中一等奖和二等奖的概率分别为10%和20%，则每次未中奖的概率为1-10%-20%=70%。因需要考虑3 次抽奖的结果具体
是在哪次发生，故列式为：
。综上所述，总概率为0.8%+8.4%=9.2%。
50
105.【答案】A。甲答对问题数量比乙多的情况有两种：（1）甲答对1 道（理工类对人文类错或理工类错人文类对），乙答对0
道。甲答对1 道的概率为60%x（1-40%）+（1-60%）x40%=60%×60%+40%×40%=52%，乙答对0 道的概率为（1-50%）×（1-75%）=50%
×25%=12.5%。分步用乘法，甲答对1 道，乙答对0 道概率为52%×12.5%=6.5%；（2）甲答对2 道，乙答对0 道或1 道（理工类对人
文类错或理工类错人文类对）。甲答对2 道的概率为60%×40%=24%，乙答对0 道或1 道的概率为12.5%+（1-50%）×75%+50%×（1-75%）
=62.5%，也可以考虑反面求解，乙答对0 道或1 道概率=1-乙答对2 道概率，即1-50%×75%=62.5%。甲答对2 道，乙答对0 道或1 道
的概率为24%×62.5%=15%。分类用加法，甲答对问题数量比乙多的概率为6.5%+15%=21.5%，在A 项范围内。
106.【答案】B。根据公式：概率
，分析如下：根据题意，每周从8 人中随机抽取一人担任周管理员，同一人不连
续两周担任管理员，则前两周先从8 人中选2 人，有
种情况，第三周的管理员不能和第二周相同，有7 种情况，则总情况数有
种情况；满足条件的情况为开学前三周的管理员都来自同一宿舍，先从两间宿舍中选一间，有2 种情况；再从同一宿舍的
4 人中选2 人，即前两周有
种情况，第三周的管理员不能和第二周相同，有3 种情况，则共有
种情况。综上，所求概
率
，在B 项范围内。
107.【答案】C。设在队伍中小明距离该商店门口x 米，妈妈距离该商店门口y 米，根据题干可列式：
，即
或
，如下图所示：
51
则只有在阴影部分区域小明能听到他妈妈的呼喊，即所求概率为阴影部分面积所占比例。由上图可知正方形面积=100×100，阴影
部分面积
，故阴影部分积所占比例
，即小明听到他妈妈呼喊的概率为
。
108.【答案】D。按照购买商品的种类，根据题意可列表枚举如下：
52
综上可知，消费不超过1600 元的组合共有20 种，其中一次购买1000 元及以上的组合有14 种。则题干所求概率
。
53
109.【答案】D。取任一朵荷花位置记为A 点，池塘圆心为O。以AO 所在的直径将池塘划分为两个半圆，则如图所示，另外三朵
荷花，必有两朵处于同一个半圆之内，将这两朵荷花记为B、C。最后一朵荷花记为D，则D 与B、C 在同一侧的概率为
，即所求四朵
荷花均在同一个半圆内的概率为
。
110.【答案】D。根据公式：概率
，分析如下：由题意可知，奶茶的定制组合共有2×5×3×4=120 种，小妹随意
购买3 杯不同奶茶有
种情况；满足定制要求的1 杯满足了阿哥或阿姐的要求，有2 种可能；另外2 杯一定不满足阿哥或阿姐的定
制要求，有
种可能。则满足题目要求的有
种情况。综上，所求概率
。
111.【答案】A。总的情况数：甲的2 天连续、乙的2 天连续可以看成整体，故7 天可以看成5 个整体，5 个整体选出来两个分别
学习甲和乙，有顺序用A；满足情况数：由于三天不相邻，只有1、4、7 三天休息，故23 学甲，56 学乙或者23 学乙，56 学甲，2 种
情况。故满足的概率为2/ 20 = 1/ 10。
54
排列组合问题
1.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题中的方法技巧类。第二步，由每个水果店只能租用1 个铺位且不能相邻，说
明打通的铺位是餐厅的，捆绑在一起考虑。设这五个铺位分别为ABCDE，可分情况讨论：若相邻店铺为AB，则水果店只能为C 和E，
共有
种，同理相邻店铺为DE，则水果店只能为A 和C，情况数也为4 种。若相邻店铺为BC，则水果店只能为AD，共有
种，同理，相邻店铺为CD 时也为4 种。第三步，总情况数为4+4+4+4=16 种。因此，选择D 选项。
2.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题，属于分类分步型。第二步，考虑分步操作，首先安排学校顺序，因为同一
所高校不安排在同一个时间段内作报告，上午3 所学校共
或者
种；下午3 所学校不能和上午的3 所完全一样，否则晚
上会是同一所高校作报告，因此下午3 所从上午的3 所当中选两所并且剩余的高校中选一所，共
种；一旦上午和下
午的学校确定，晚上的2 所学校只需要考虑顺序即可，共
种；因此，学校顺序共用24×18×2=864（种）。第三步，其次再考虑同
类学校2 位学者的先后顺序，即
（种）。因此，选择C 选项。
3.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题，使用枚举法解题。第二步，根据条件“乙至少值了2 天班，且在国庆期间
任一天结束后，甲的累计值班天数都比乙的多”，可知1、2 日均由甲值班，甲一共值班5 天或4 天。第三步，值班安排列表如下：
55
一共有14 种安排方式。因此，选择B 选项。
4.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，根据题意“社区计划采购10 份年货礼包发放给10 户独居老人，
每户发放1 份，年货礼包有100 元/份和150 元/份的两种供选择，总预算不能超过1250 元”可知，购买礼包的类型可分为6 种。第一
种：100 元的礼包购买10 份，发放给10 户独居老人，共有1 种发放方式；第二种：100 元的礼包购买9 份，150 元的礼包购买1 份。
根据题意“采购了150 元/份的年货礼包，则需要优先在3 户孤寡老人中选择发放对象”，发放给10 户独居老人，150 元的礼包优先
发放给3 户孤寡老人中的一户，共有：
（种）；第三种：100 元的礼包购买8 份，150 元的礼包购买2 份。同理可得，共有
（种）；第四种：100 元的礼包购买7 份，150 元的礼包购买3 份。同理可得，共有
（种）；第五种：100 元的礼包购买6 份，
56
150 元的礼包购买4 份。同理可得，共有
（种）；第六种：100 元的礼包购买5 份，150 元的礼包购买5 份。同理可得，共有
（种）。每种购买礼包的方式都能独立完成10 个礼包发放给10 户独居老人这件事情，所以总的共有：1+3+3+1+7+21=36（种）。因此，
选择C 选项。
5.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，解法一：因只分为2 组，可使用枚举法。根据题目要求有（甲乙
丁，丙戊己）、（甲乙戊，丙丁己）、（甲乙己，丙丁戊）、（甲丙丁，乙戊己）、（甲丙戊，乙丁己）、（甲丙己，乙丁戊）、（甲
丁己、乙丙戊）、（甲戊己、乙丙丁）共8 种分组方式。因此，选择D 选项。解法二：本题可使用平均分组模型进行求解。将6 名专
家平均分成2 组，每组3 人，有
种分组方式，但是要从其中排除掉不符合题意的2 种情况，分别是（甲乙丙，丁戊己）和（甲
丁戊，乙丙己），有10-2=8 种分组方式。因此，选择D 选项。
6.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题，基础排列组合。第二步，D、E、F、W4 个大写字母在前四位的排序有
=24
种可能。后四位数字乘积是320 的倍数，如果是320 的一倍，则可分成2×4×5×8；如果是320 的两倍，无法分成四个不同的个位数
相乘；如果是320 的三倍，则可分成4×5×6×8。则密码的种类数为
×（
+
）=1152 种。因此，选择B 选项。
7.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，分步考虑，首先从6 种干货中随机选3 种各1 小袋，有
种，
其次从1 袋小米或者红豆中选择一种，有
种，故内容不完全相同的礼盒共有20×2＝40 种。因此，选择B 选项。
8.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查排列组合问题，用插空法解题。第二步，观看视频和阅读文章不能连续进行，先
把收藏分享、论坛交流和考试答题排列好，共有
＝6（种）方式，这三部分形成4 个空，需在4 个空中插入“观看视频”和“阅读
文章”，有
＝12（种）方式，那么共有6×12＝72（种）学习顺序。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查排列组合问题，
57
用反向法解题。第二步，五个部分随意排列有
＝120（种），而反向“观看视频”和“阅读文章”连续的情况，可以用捆绑法计算，
把“观看视频”和“阅读文章”看作一个整体，此时有4 个主体，先将其排列好，再看捆绑的内部，那么有
×
＝48（种）情况，
则“观看视频”和“阅读文章”不连续的有120－48＝72（种）方式。因此，选择B 选项。
9.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，要想完成检验的样本多，应该尽可能的检验用时少的样本。4 分
钟的样本3 份共用时12 分钟，6 分钟的样本2 份共用时12 分钟，此时还剩38－12－12＝14（分钟），还能够检验2 个7 分钟的样本。
第三步，共有
＝6（种）方式。因此，选择D 选项。
10.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题，属于分步排列组合问题。第二步，有且只有两个年级选择A 科技馆因此
从六个年级任选两个年级即可，有
＝15（种）方案，剩下的4 个年级，每个年级都有除了A 科技馆以外的剩余5 个科技馆可选，有
5×5×5×5=
＝625（种）方案。第三步，那么共有15×625＝9375（种）方案。因此，选择D 选项。
11.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，由题意知，戊丙丁的前后顺序已经固定，接着考虑己，己有2
种选择（要么第一个，要么最后一个），甲乙先捆绑后插空，有4 种选择，内部顺序有
=2（种）选择，故共有2×4×2＝16（种）。
因此，选择C 选项。
12.【答案】A。解析：第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合。第二步，政治理论课8 门选择5 门有
（种）。
专业技能可以分为3 类情况：①2 课时的5 门全选；②2 课时的5 门选择4 门，1 课时的5 门选择2 门；③2 课时的5 门选择3 门，1
课时的5 门选择4 门，共
（种）。第三步，分步用乘法，56×101=5656（种）。因此，选择A 选项。
13.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，设3 个科室分别为A、B、C 科室，那么挑两个科室、
每个科室挑1 人的情况如下：①从A、B 里挑，有7×9＝63（种）方式；②从B、C 里挑，有9×6＝54（种）方式；③从A、C 里挑，
有7×6＝42（种）方式。第三步，共有63＋54＋42＝159（种）方式。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查排列组合问题，
58
用反向法解题。第二步，不满足题意的情况为2 名职工来自同一科室，方式有
＋
＋
＝21＋36＋15＝72（种），总的挑选方式
有
＝231（种），那么满足题意的情况有231－72＝159（种）。因此，选择B 选项。
14.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合。第二步，分步进行，先安排1 名加班员工到8 名已
就座员工环形排列所构成的8 个空隙中，有8 种方式。第三步，确定了此名员工后（心形位置）剩余两名员工不得在第一位员工及附
近的共3 个位置入座，因此只剩5 个空隙（圆点a、b、c、d、e 位置）可选，有
＝10（种），去掉在同一名员工左右的4 种，共6
种空隙选择方式。或可枚举，只有ac、ad、ae、bd、be、ce 六种方式。每种两人都可交换顺序入座因此入座方式共6×
＝12（种）。
第四步，分步用乘法，安排方式共有8×12＝96（种）。
因此，选择B 选项。
15.【答案】A。解析：第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合，用枚举法解题。
第二步，值前两天班的安排方式可以为甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙共6 种。
第三步，枚举具体排列方式。从10 月1 号到6 号，以甲、乙为前两天值班人员的安排方式如下：
甲、乙、丙、甲、乙、丙
甲、乙、丙、甲、丙、乙
59
甲、乙、丙、乙、甲、丙
甲、乙、丙、乙、丙、甲
甲、乙、甲、丙、乙、丙
以甲、乙值前两天班的安排方式一共有5 种，而以甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙值前两天班的安排方式的情况数相同，所以总
共的排列方式有5×6＝30（种）。因此，选择A 选项。
16.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合。第二步，将5 个长度进行组合，得到80—90 秒的视
频组合只能有三类情况（15、53、22），（47、23、15），（47、22、15）。第三步，每种情况下随机排列，共有3×
＝18（种）。
因此，选择D 选项。
17.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类。第二步，根据不能由男生连续表演节目可采用插空法，
先从男生和女生中选取所需要的人数，然后安排女生表演节目，最后将男生的节目插入到女生的节目之间，需要考虑顺序。有以下两
种情况：①1 男3 女，安排方式有
（种）；②2 男2 女，安排方式有
（种）。第三步，
总安排方式为1200＋1200＝2400（种）。因此，选择B 选项。
18.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类。第二步，根据相连，利用捆绑法，将每个部门视为一
个整体，3 个部门的参赛顺序有
种，且3 个部门内部也需各自排序，依次为
、
、
。第三步，总共的排序有：
×（
×
×
）＝6×6×2×24＝1728（种）。因此，选择B 选项。
19.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查排列组合问题的基础排列组合，用枚举法解题。第二步，由每根钢筋长度分别
为4、7、8、9、10 和12 尺。根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，利用枚举法列举，先从大数12 开始列举，种类
数为：12、10、9/8/7/4 四种，12、9、8/7/4 三种，12、8、7 一种，一共8 种。然后从10 开始数，10、9、8/7/4 三种，10、8、7/4
两种，10、7、4 一种，一共6 种。继续从9 开始数，9、8、7/4 两种，9、7、4 一种，一共3 种。最后还有8、7、4 一种。第三步，
三角形总数=8+6+3+1=18。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查排列组合问题的基础排列组合，用枚举法解题。第二步，由
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每根钢筋长度分别为4、7、8、9、10 和12 尺。要组合成三角形，一共是
个，然后不满足的有4、7、12 和4、8、12 两个，总
个数=20-2=18 个。因此，选择C 选项。
20.【答案】A。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，由10 个并排的车位，3 辆不同的车要彼此不相邻停放，可以理
解为，一共10 个车位，除了停放3 辆车的三个车位不相邻，其他车位没有要求。根据插空法，先把没有停放车的7 个车位排好，7 个
车位，有8 个间隔，在这8 个间隔中挑3 个停放进3 辆车，又由于车不同，有顺序，所以列式为
=8×7×6=336。因此，选择A 选项。
21.【答案】A。解析：第一步，本题考查排列组合问题里的分类分步型。第二步，先涂A，4 个颜色选1 个，共4 种情况；再涂B、
C、D，则存在B 与D 同色不同色之分，分类讨论：若BD 同色，从剩下的3 种颜色中选1 个，共3 种情况，此时C 有3 种颜色待选，共
有4×3×3=36 种情况；若BD 不同色，则B 从剩下3 种颜色中选1 个，共3 种情况；D 从剩下2 种颜色选1 个，共2 种情况，此时C
可以与A 同色也可以不同色，有2 种颜色待选，共2 种情况，则此时共有4×3×2×2=48 种情况。总情况数共36+48=84 种情况。因此，
选择A 选项。
22.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题，使用插空法。第二步，按从小到大的顺序排列数字1 至6，共形成6+1=7
个空。首先，在除了数字6 后面的空之外的其他6 个空中插入数字7，有
（种），现在7 个数字共形成8 个空；然后，在8 个空
中选一个插入数字8，有
（种），现在8 个数字共形成9 个空；最后，在9 个空中选一个插入数字9，有
（种）。分步用乘
法，共6×8×9=432（种）。因此，选择C 选项。
23.【答案】D。解析：第一步，本题考查基本排列组合。第二步，每种盒饭由2 种荤菜和2 种素菜构成，属于乘法原理。6 种荤
菜选2 种，有
种，4 种素菜选2 种，有
种，则总的情况数是15×6=90（种）。因此，选择D 选项。
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24.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题中的方法技巧类。第二步，先选出题目要求的3 架歼击机、2 架预警直升
机、1 架反潜直升机，共有
种方法。再根据题目要求安排起飞顺序，3 架歼击机使用捆绑法，2 架预警直升机使用插
空法，共
种。因此，选择D 选项。
25.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题中的基础排列组合。第二步，根据题干“要求各地参会代表一周内每两人
互通一次电话”、“共通话120 次”，设总人数为x，则有
，即
，解得：x=16。因此，选择C 选项。
26.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础排列组合，用排列组合方法解题。第二步，先从4 种荤菜中选2 种荤菜，有
种；
再从3 种素菜中选2 种素菜，有
种。第三步，则最多有
种。因此，选择C 选项。
27.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查排列组合问题，用插空法解题。第二步，论坛交流和练习作业均不能在最先和
最后完成，先把阅读资料、观看视频和问卷考试的学习顺序排列好，共有
（种）方式，这三部分中间（不能在首尾两端）形成
2 个空，需在2 个空中插入“论坛交流”，有
（种）方式，接着，这四部分中间（不能在首尾两端）形成3 个空，需在3 个空
中插入“练习作业”，有
（种）方式，那么共有6×2×3＝36（种）学习顺序。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考
查排列组合问题，属于基础排列组合。第二步，论坛交流和练习作业均不能最先和最后完成，先把论坛交流和练习作业排列好，从中
间三个位置选两个，有
（种）方式，再将剩下的阅读资料、观看视频和问卷考试排列，有
（种）方式，故共有6×6＝36
（种）学习顺序。因此，选择C 选项。
28.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题中基础排列组合。第二步，根据“甲、乙、丙三家公司从7 块展区中分别
选择面积各不相同的一个区域进行布展”，可知甲、乙、丙三家公司选择的区域面积不相同，要先找到面积相同的区域。观察图形可
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知①②面积相同、③⑤⑥面积相同、④⑦面积相同，将面积相同的区域看作一个整体，因此共有三个整体。第三步，分别从三个整体
中选出一个区域，根据分步原理可得共有
种选法，再将选出的区域分配给甲、乙、丙三家公司，选择方案共有
种。因此，选择B 选项。
29.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题中的方法技巧类。第二步，分情况讨论，第一种情况，两家国内媒体、一
家国外媒体，有
=360 种；第二种情况，两家国外媒体、一家国内媒体，有
=120 种。第三步，总情况=第一
种情况+第二种情况=360+120=480 种。因此，选择C 选项。
30.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，如果任意填写，即从9 个方格中选4 个填入数字1，剩余填数
字0，有
种情况；如果3 个灰色方格中同时填入数字1，即再从6 个白色方格里面选1 个填入数字1，剩余空格填数字0，即
种，则灰色方格中不能同时填入数字1 的情况数为126-6=120 种。因此，选择C 选项。
31.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题，用枚举法解题。第二步，根据题意，满足条件的课程安排方式有：【甲、
乙戊、丙、丁】，【甲、乙、丙戊、丁】，【甲、丙戊、乙、丁】，【甲、丙、乙戊、丁】、【甲、乙丙、戊、丁】，【甲、戊、乙
丙、丁】，【戊、甲、乙丙、丁】、【戊、乙丙、甲、丁】，一共8 种不同安排方式。因此，选择D 选项。
32.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，五个人分成三组，有3-1-1 和2-2-1 两种情况。第一种情况，
3-1-1：由于甲的人数多于乙，所以甲3 个人，乙和丙各1 个人。丙先在张王之外的三人中选择一个，有
=3 种选法；甲在丙选择后
剩余的4 人中选择3 人，有
=4 种选法；剩余最后一个人去乙，有3×4×1=12（种）选法。第二种情况，2-2-1：由于甲的人数多于
乙，所以甲和丙2 个人，乙1 个人。丙先在张王之外的三人中选择两个，有
=3 种选法；甲在丙选择后剩余的3 人中选择2 人，有
=3
种选法；剩余最后一个人去乙，有3×3×1=9（种）选法。分类相加，总情况数为12+9=21 种。因此，选择B 选项。
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33.【答案】A。解析：第一步，本题考查排列组合。第二步，根据题意可知一共是两排车位，甲乙必须在一排，可以分为两种情
况；（1）剩下的两辆车分别在两排（即一排3 辆车，一排1 辆车）：先在两辆车中选一辆与甲乙一排，有
种，甲乙再选排，有
种，每排排列
种，分步骤进行故情况数有
（种）。（2）剩下的两辆车均在甲乙之外的一排（每排
均有2 辆车）：甲乙选排
种，每排排列
种，分步骤进行故情况数有
（种）。分类用加法，384+288=672，
故有672 种派位方式。因此，选择A 选项。
34.【答案】A。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，根据题意可知，滑雪大项中有6 个分项，滑冰大项中有3 个分
项，若每个大项不少于1 个，正向情况数较多，反向考虑，反向为全是滑雪大项（滑冰大项只有3 个，不可能），则反向情况数为
=1
种情况。总情况为共9 个分项中选择6 个，有
=84 种情况，故正向情况数为84－1=83 种。因此，选择A 选项。
35.【答案】A。解析：第一步，本题考排列组合问题，用基本公式解题。第二步，先分配第一所学校一名老师，在六名老师里挑
一个为
，第二所学校在剩下的五名老师里边挑两个，有
，最后剩下的三名老师去最后一个学校，共一种情况。第三步，所
以一共有6×10×1=60 种情况。因此，选择A 选项。
36.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，3 个单位一共订了12 份，每个单位不少于3 份、不多与5 份，
只可能为3、4、5 或者4、4、4，每个单位4 份只有1 种情况，3 个单位分别为3、4、5 份有
=6 种情况，共1+6=7 种组合。因此，
选择C 选项。
37.【答案】A。解析：第一步，本题考查排列组合问题中的基础排列组合。第二步，由题可知，精通渔业有2 人，只精通农业和
只精通牧业各1 人，同时精通农业和牧业有2 人。由于丙不需要渔业专家，所以2 名渔业专家分到甲乙两个县，共
=2 种；并且甲乙
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每个县三种专业都需要，所以甲乙接下来各需要一名农业牧业都精通的专家，共
=2 种；剩下的两名专家直接进入丙县工作，只有1
种方式。所以可能的排法共有2×2×1=4 种。因此，选择A 选项。
38.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题，采用枚举法解题。第二步，所有的课都上一次，花销200+300+400+500=1400
（元），还剩2200-1400=800（元）。这800 元可以上如下组合：一次500+一次300；两次400；一次400+两次200；两次300+一次
200；四次200。共有5 种组合。因此，选择C 选项。
39.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，选项数据不大，考虑枚举法解题。如下表：
共计5 种情况。因此，选择B 选项。
40.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，设六组分别为甲乙丙丁戊己，分情况讨论：①丙被抽中，去从
事防疫协助，那么英语翻译需要在丁戊己三组中选出一组，有3 种选法；嘉宾引导、物资发放需要在剩余的4 组中选出2 组且匹配，
有
=12 种选法，共3×12=36 种。②丙未被抽中，那么英语翻译需要在丁戊己三组中选出一组，有3 种选法；防疫协助、嘉宾引导、
物资发放需要在剩余的4 组中选出3 组且匹配，有
=24 种选法，共3×24=72 种。分类用加法，共有36+72=108 种。因此，选择C
选项。
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41.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，三个部门分到实习生数相差不超过2 的分配方式有两大类：（1）
（3，3，4）分配，有
＝12600（种）方式；（2）（4，4，2）分配，有
＝9450（种）方式。那么一共有12600
＋9450＝22050（种）方式。因此，选择C 选项。
42.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题，用枚举法解题。第二步，乙的等位号正好与3 人等位号的平均数相同，2
乙=甲+丙，可知甲和丙奇偶性一致，可枚举如下：
因此，选择C 选项。
43.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题中的基础排列组合。第二步，题干“每场活动只安排给1 个部门”即安排
活动直接没有交叉。根据“每个部门最多承担2 场活动”，那么，每个部门承担的活动数可以分为两大类：①1，1，1；②2，1，0。
第三步，①按照1，1，1 安排，排序，情况数为
=6 种；②按照2，1，0 来安排，不同部门的分配数目还需要排序，
=3×6=18
种。综上所述，总的情况数有6+18=24 种。因此，选择B 选项。
44.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，根据题意可知只能选择1 项、2 项、3 项，且总时间在1 小时~2
小时之间，可分情况讨论：（1）只选择一项，根据时间要求可知，1 小时羽毛球、1.5 小时步行符合题意，有2 种。（2）选择两项，
根据时间要求可知，1.5 小时步行只能和30 分钟自行车或30 分钟划船组合，2 种情况；除去步行之外的4 种运动方式两两组合均可满
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足题意，故有
=6 种情况。共2+6=8 种情况。（3）选择三项，根据时间要求可知，1 小时羽毛球只能和30 分钟自行车、30 分钟划船
同时选择；30 分钟自行车、30 分钟划船和40 分钟慢跑可以一起选择。共有2 种情况。第三步，总共有2+8+2=12 种情况。因此，选择
B 选项。
45.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题，用插空法解题。解法一：第二步，假设三个公司的员工分别为A、a、B、
b、C、c，第1 名任意选择，有6 种情况，假设为A；第2 名，不能与第1 名同公司，不能选a，有4 种情况，假设为B；第3 名，不
能与第2 名同公司，不能选b，分2 类讨论，（1）与第1 名同公司，即a，剩余b、C、c，排列顺序只能为Cbc 或cbC，有2 种情况；
（2）与第1 名不同公司，选C 或c，有2 种情况，假设选C，剩余abc，第4 名，只能选a 或b，有2 种情况，假设为a，第5 名，选
b 或c，有2 种情况，剩余1 人为第6 名，共有2×2×2=8 种情况。第三步，分步用乘法，分类用加法，共有6×4×（2+8）=240 种。
因此，选择D 选项。解法二：第二步，假设三个公司分别为A、B、C，先排AB，因此共有
=8 种。此时排完有三种情况，
第一种：AABB，此时只要把C 公司的两个人放入到两个A 和两个B 中间的那两个位置就可以了，共有
种；第二种：ABAB，此时
形成5 个空，将两个C 放入其中，共有
=20 种；第三种ABBA 或者BAAB，最中间的位置必须放一个，剩下的四个位置选一个，即
=8
种。总的情况共有8×（2+20+8）=240 种。因此，选择D 选项。
46.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合，属于基础公式类。第二步，4 名护士护理3 个病房，每个病房至少一名护士，
则一定有一个病房有2 名护士，先从4 名护士中选择2 名护士，有
种，然后再进行排列，有
种，共有6×6＝36（种）安
排方法。因此，选择B 选项。
47.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合，属于基础排列组合。第二步，考虑逆向思维解题，甲队与乙队不能分在同一
组情况数=总情况数－甲队与乙队分在同一组情况数。总情况数6 支报名参赛的队伍将平均分为上午组和下午组进行小组赛，
（种），甲队与乙队分在同一组，再从剩余6－2=4 队中选一队，区分上下午，有
×2=8（种）。则所求情况数为20－
8=12（种）。因此，选择D 选项。
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48.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础排列组合。第二步，总人数为9 人，且女员工比男员工多1 人，可得女员工有5 人，
男员工有4 人。要选出2 人且女员工不得少于1 人，分两种情况：1.女员工1 人，男员工1 人，有
种不同情况；2.女员
工2 人，有
种情况。第三步，综上，共有20+10=30 种不同情况。因此，选择B 选项。
49.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题和几何问题的杂糅。第二步，设该长方形长为a，宽为b，那么由题意有（a+b）
×2=260①，ab=3600②，由①得b=130-a，代入②式可得a=40，b=90。将该土地划分为10×10 的小正方形，则长可以划分9 个，宽可
以划分4 个，一共4×9=36（个）。第三步，分步选取土地，第一步任意选一个，有36 种选择方式；第二步先去掉第一个正方形土地
所在的行和列，共有9+4-1=12（个），还剩36-12=24（个），从中任选一个，有24 种选择方式；第三步再去掉第二个正方形土地所
在的行和列，共有（9-1）+（4-1）-1=10（个），还剩24-10=14（个），从中任选一个，有14 种选择方式。但注意选小正方形没有
顺序，比如abc 和cba 是一种选法，因此需要去重复，每3 个小正方形都有
=6 种重复方式，因此共有36×24×14÷6=6×24×14=144
×14＞800（种）。因此，选择D 选项。
50.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查排列组合问题问题。第二步，要使两类课程各至少选一门，则有三种情况：①A
类一门，B 类三门，
（种）；②A 类两门，B 类两门，
（种）；③A 类三门，B 类一门，
（种）。
共4+18+12=34（种）。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，七门课选择四门的总情况数为
（种），不满足两类课程各至少选一门的情况只有“选了四门A 类”的1 种情况，则选法有35-1=34（种）。因此，选择D 选项。
51.【答案】A。解析：第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合类。第二步，分两步进行：从A、B、C 三个社区分别
选取1、2、3 个地点，则有
=2×6×10=120 种；三个社区分别选择的基站分给甲、乙、丙三个施工队来施工，每个施工队都可
以选择不同的社区去施工，有
=6 种。则总的方法为120×6=720 种。因此，选择A 选项。
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52.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，先排列前三位阿拉伯数字，为0 到9 共10 个数字，数字可以重
复，共有10×10×10=1000（种）情况。第三步，再排列后两位英文字母，除O、I 后，剩余24 个英文字母，字母不能重复，则共有
24×23=552（种）。分步完成用乘法，所以汽车牌照前五位的情况总数共有1000×552=552000（种）（可用尾数法，选2000 结尾的
答案，只有C 选项）。因此，选择C 选项。
53.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，根据题意，要在1 月4 日至10 日中连续6 天考完，则有两大类
情况，一种是4-9 日，一种是5-10 日。每一大类进行枚举，由于每位员工不连续2 天参加考试，所以可以结合员工的选择，则有：f、
e、b、a、d、c；c、d、a、b、e、f 两种。总的种类数为2×2=4 种。因此，选择B 选项。
54.【答案】A。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，甲不能去A 可以分三类讨论：（1）甲去B，那么剩下的三人随
意排列，但是有一种情况不符合题意，即丙去C，丁去A，乙去D，则有
－1＝5（种）情况；（2）甲去C，剩下三人可随意排列，
有
＝6（种）情况；（3）甲去D，那么丙不能去C，丙可去A、B，有
＝2（种）方式，剩下的乙丁随意排列有
＝2（种），共2
×2＝4（种）。那么一共有5＋6＋4＝15（种）方式。因此，选择A 选项。
55.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，每个圆锥体有底面、斜面（即侧面展开面）两个面需要涂色，
每个面都可以在3 种颜色里任选一种，则每个圆锥体有
=9 种。“彼此不完全相同”，意指任选2 个零件，不是完全一样的涂
色方法（例如可以底面一个颜色但斜面不同），那么即在9 种涂色方式中选择5 种作为零件涂色方式即可，共有
=126 种。因此，
选择B 选项。
56.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础排列组合。第二步，题目要求任意两小块上种植的植物种类均不完全相同，则至少
需要有36 种不同的植物组合，设至少需要种植n 种植物，即从n 种不同的植物里面找出3 种不同的植物，有
种，那么要求
，
用代入排除法解方程，代入A 选项，当n=7 时，
，不满足，排除；代入B 选项，当n=8 时，
，符合题意。因此，选择
B 选项。
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57.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，从01—10 十个数字中选择1—4 个数字，有
＝10＋45＋120＋210＝385（种），那么至少有5 注相同，说明最不利时每种情况都有4 注相同，那么至少投了385×4＋1＝1541（注）
才能保证有5 注是相同的。因此，选择D 选项。
58.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，两人数字相差至少3，具体情况如下表：
共计9＋8＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋8＋9＝90（种）。因此，选择C 选项。
59.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题，用枚举法解题。第二步，根据排列形成的四位数能被75 整除，得出这个
四位数能被25 和3 整除，即这个四位数末两位能被25 整除且各位数字加和是3 的整数倍。对于此题，末两位能被25 整除，分为两类
情况，末两位是25 或者末两位是75。第一类，当末两位为25 时，根据各位数字加和是三的整数倍，得出前两位加和为5（1 和4）、
70
8（1 和7）、11（3 和8；4 和7）、14（6 和8）、17（8 和9），数字组合共6 种情况。考虑到前两位有顺序之分，每种情况顺序2
种，故第一类情况数＝6×2＝12 种。同理，当末两位为75 时，前两位数字加和为3（1 和2）、6（2 和4）、9（1 和8；3 和6）、12
（3 和9；4 和8）、15（6 和9），数字组合共7 种情况。考虑到前两位有顺序之分，每种情况顺序2 种，故第二类情况数＝7×2＝14
种。总情况数＝12＋14＝26 种。因此，选择D 选项。
60.【答案】D。解析：第一步，本题考查排列组合问题，用捆绑法解题。第二步，3 幅油画捆绑在一起，4 幅国画捆绑在一起，5
幅水彩画捆绑在一起，一共3 个整体，但是油画不能在两端，则油画必须在中间，那么国画和水彩画在两端有
＝2（种）方式，3
幅油画内部有
＝6（种）方式，4 幅国画内部有
＝24（种）方式，5 幅水彩画内部有
＝120（种）方式，那么一共有2×6×24
×120=34560＞30000（种）。因此，选择D 选项。
61.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，假设两个部门分别为甲和乙，先考虑甲部门，从5 种报纸中选
择3 种有
（种），后考虑乙部门，乙部门的3 种报纸先将甲未选择的2 种报纸选上，再从甲部门选择的3 种报纸中选1 种，有
（种）。故总情况数有10×3＝30（种）。因此，选择B 选项。
62.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，由题意可知，17 件相同的产品分给3 个人，每人至少四件，不
同的分配方式可依次枚举，分别为（4、4、9）、（4、5、8）、（4、6、7）、（5、5、7）、（5、6、6），完成所有工作的时长是由
工作量最多者所需时间决定的。故完成所有工作所需时长分别为完成9、8、7、6 件所需的时间，共4 种。因此，选择C 选项。
63.【答案】A。解析：第一步，本题考查排列组合问题，属于方法技巧类。第二步，根据隔板法的使用条件：将n 个相同的元素
分给m 个组，每组至少得一个，总的分配方法为
。此题符合隔板法模型，直接套用公式
。因此，选择A 选项。
71
64.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，A 地1 箱，有
＝6（种）方式，B 地2 箱，有
＝10（种）
方式，C 地3 箱有
＝1（种）方式，三个配送员分别去三个不同的仓储点，有
＝6（种）方式，那么一共有6×10×1×6＝360（种）
方式。因此，选择C 选项。
65.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查排列组合问题，用枚举法解题。第二步，甲、乙两地各去两人，张和王不能同
组，而刘和陈必须同组，则可先确定刘和陈。枚举如下：①若刘和陈在甲，则李和张可以在一组去乙，剩下王去丙；或李和王可以在
一组去乙，剩下张去丙，有两种。②同理，若刘和陈在乙，则也有且仅有两种情况：李和张可以在一组去甲，剩下王去丙；或李和王
可以在一组去甲，剩下张去丙。共4 种。因此，选择A 选项。解法二：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，根据题目要求刘陈
必须在一组，张王不能同组，所以可能的分组情况只有两种：①刘陈，张李，王；②刘陈，王李，张。因为甲乙两地只能有2 个人，
所以每种情况都有
种分法，总的情况数为
=4（种）。因此，选择A 选项。
66.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，根据“每人每天最多完成5 次”，则小张20 天最多完成20×
5=100（次）任务。题干中说共完成修理任务98 次，则必有一天或两天共少完成2 次，分情况讨论：（1）有一天少完成2 次，情况数
为：
=20（种）；（2）如果有两天共少完成2 次，即一天少完成一次，情况数为
=190（种）。总情况数有20+190=210（种）。
因此，选择B 选项。
67.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题，用枚举法解题。第二步，枚举如下：
72
可得，共有7 种付款方式，可以使店家不用找零。因此，选择C 选项。
68.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题，使用枚举法解题。第二步，预算最多为800 元，小明如果只买4 套衣服
和3 双鞋则花费4×99+3×67=597（元），此时还有800-597=203 元可花。枚举各种情况如下：
共有7 种情况。因此，选择B 选项。
73
69.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础排列组合。第二步，由题意，同时具备一线生产经验和具备研发经验的人为6+5+2-10=3，
则该企业只具备一线生产经验的人为6-3=3，只具备研发经验的人为5-3=2，则满足题意要求的情况=总情况-只具备一线生产经验的情
况-只具备研发经验的人=
=106。因此，选择C 选项。
70.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，如下图所示，6 个正方形组成一个长方形可以分为两种情况。
①6 个数的排列方式有
（种），但在一字排列中例如123456 和654321 这两种对称排列算一种拼法，则需要除以2 去重复，
则一字排列排法为720÷2=360（种）。②当有两排时，第一排的排列方式有
（种），第二排的排列方式有
（种），但同
①的道理也存在重复，因此排列方式有120×6÷2=360（种）。第三步，排列方式共有360+360=720（种）。因此，选择C 选项。
71.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础排列组合问题。第二步，根据题意，分情况讨论，按要求甲不能排在第一位，若丙
排在第一位，乙在最后一位，则除乙丙二人外其余4 人全排列，可能的情况数为
（种），若丙排在第二位，则可能的情况数为
（种），分类用加法，则总的情况数为24＋18=42（种）。因此，选择B 选项。
74
72.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查排列组合问题，属于其他类。第二步，需要走过3 段向南的道路和4 段向西的
道路，那么在共走过的7 段中选3 个向南的或选4 个向西的即可，有
（或
）=35（种）。因此，选择D 选项。解法二：第一步，
本题考查排列组合问题，属于其他类，用图示法解题。第二步，对每一段路的选择方法标数如下图所示：
第三步，最终节点处数字为35，即有35 种不同的走法。因此，选择D 选项。
73.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，每个人可以跟9 个人喝酒，去掉两个相邻的人，则每
个人都要喝7 杯，共10 个人要喝7×10=70（杯）酒。解法二：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，任意选出来两个人喝酒的
情况数为
（种），10 个人相邻简单枚举可知相邻两个人喝酒的情况数为10 种，故满足条件的情况数为45－10=35（种）。每
次喝酒每两个人需要喝2 杯酒，则共需要准备35×2=70（杯）酒。因此，选择A 选项。
74.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，满足题意的情况可分为三类：（1）选出的人中有副院
长，且副院长去了丁乡，则有
（种）；（2）选出的人中有副院长，且副院长未去丁乡，则有
（种）；
（3）选出的人中没有副院长，则有
（种）。第三步，故共有54＋36＋108＝198（种）。因此，选择A 选项。
解法二：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，先不考虑“副院长不去甲乡”，只考虑“去丁乡是女性”，则丁可以是4 名女性
75
中任何一人，故有4 种选择，去甲乙丙三个乡的有
（种），共4×54＝216（种）。第三步，由于答案还需用216 减
去副院长去甲乡的情况，故答案一定小于216，满足的只有A。因此，选择A 选项。
75.【答案】B。解析：第一步，本题考查排列组合问题。第二步，根据题意，需要在星期二到星期日六个晚上选择三个晚上安排
培训。要求不能连空两天，则枚举情况如下：①周二、周四、周六；②周三、周四、周六；③周三、周五、周六；④周三、周五、周
日。第三步，其中②、③两种情况有连续上培训，不能安排英语和会计，因此情况数为
+
+
+
=6+4+4+6=20（种）。因
此，选择B 选项。
76.【答案】A。根据题意，符合要求的情况列表如下：
综上，共有3 种不同的分配方式。
77.【答案】B。根据题干“答完每道题时当前的得分都不低于1 分”可知，第一题和第二题均答对，第三题分情况讨论：①第三
题答对，此时有3 分，第四题和第五题不论是答对还是答错，均能保证答完每道题时当前的得分都不低于1 分，故第四题和第五题答
76
题情况均为2 种，分步用乘法，有2×2=4 种情况；②第三题答错，此时还剩1 分，所以第四题必须答对，第四题答对后有2 分，则第
五题不论答对还是答错均满足题干条件，有2 种情况。分类用加法，即共有4+2=6 种情况。
78.【答案】C。老李花了40 元购买门票，依次游览了不同景点，分情况讨论：分类一，游览2 个门票为20 元的景点：从3 个门
票为20 元的景点中选出2 个，考虑顺序，有
种情况；分类二，游览2 个门票为10 元的景点和1 个门票为20 元的景点：先从
3 个门票为20 元的景点中选择1 个，有3 种情况；再将2 个10 元门票的景点全部选出，有1 种情况；最后将选出的3 个景点进行排
序，有
种情况。分步用乘法，共有3×6=18 种情况。
分类用加法，所求总情况数=6+18=24 种。
79.【答案】D。根据题目要求，分类讨论如下：（1）A 区4 人，则B 区、C 区各1 人：有
种情况；（2）A
区3 人，则B 区2 人、C 区1 人或B 区1 人、C 区2 人：有
种情况；（3）A 区2 人，则：
①B 区3 人、C 区1 人或B 区1 人、C 区3 人：有
种情况；②B 区、C 区各2 人：有
种情况。综上，共有30+120+120+90=360 种不同的安排方法。
80.【答案】B。选取3 种蔬果得分总和不低于13 分，则分数组合有（5、5、4）、（5、5、3）、（5、4、4）三类情况，分类讨
论情况数：①选取两个5 分、一个4 分，有
种情况；②选取两个5 分、一个3 分，有
种情况；③选取一个5
分、两个4 分，有
种情况。则得分总和不低于13 分的组合共有4+3+12=19 种。
81.【答案】B。根据题意，只需将4 个名额分给三个科室即可，可用枚举法列表如下：
77
共有10 种分配方式。
82.【答案】A。要求每个团队中正好有2 人能提供软件支持、2 人能提供硬件支持，对分队情况进行分类讨论：（1）2 个团队分
别有3 人：一队有1 人能同时提供软、硬件支持，1 人只能提供软件支持，1 人只能提供硬件支持，有
种情况；另一队选
人情况与之相同，同时提供软、硬件支持的只剩一人不用选，只能提供硬件支持的也只剩一人不用选，只需从剩余的只能提供软件支
持的2 人中选1 人，有
种情况。故此时共有12×2=24 种情况；（2）2 个团队分别有2 人、4 人：2 人队有2 人能同时提供软、
硬件支持，有
种情况；4 人队有2 人只能提供软件支持，2 人只能提供硬件支持，有
种情况；且分为甲、乙两个客户，
需要考虑哪个客户是2 人队，则此时共有
种情况。最后分类用加法，共有24+6=30 种情况。
78
83.【答案】A。根据题意，要求两首歌曲分别作为开头曲和结尾曲，有
种情况；要求舞蹈与杂技相邻演出，故可先将舞
蹈和杂技捆绑起来，由于演出有先后顺序，有
种情况；要求小品和魔术不能相邻演出，可用插空法，先将舞蹈和杂技作为整
体安排到两首歌曲中间，再将小品和魔术插入中间的2 个空中，有
种情况。分步用乘法，则共有2×2×2=8 种节目演出的排
列顺序。
84.【答案】C。根据“前四名运动员，抽签排在3、4、5、6 道”，可知前四名运动员的安排方式有
种；根据“第五、第六名
运动员，抽签排在7、8 道”，可知第五、第六名运动员的安排方式有
种；根据“后两名运动员，抽签排在1、2 道”，可知后两名
运动员的安排方式有
种。分步用乘法，则一共有
=24*2*2=96 种安排方式。
85.【答案】C。先从七个不同卡通头像贴中任选一个放在风车的中间圆点处，情况数为
种；剩下六个不同卡通头像贴在外
圈六个圆点位置进行环形排列，根据n 个元素环形排列的情况数为
，则情况数为
种。分步用乘法，故所求情况
数共7×120=840 种。
86.【答案】C。根据题意，先从5 名男性志愿者中选择2 名去田径比赛，有
种情况；再从剩余3 名男性志愿者中选择1
名，4 名女性志愿者中选择1 名去篮球比赛，有
种情况；最后从剩余3 名女性志愿者中选择2 名去跳水比赛，有
种情况，则有10×12×3=360 种不同的抽调方式。
79
87.【答案】B。任意2 个分公司分配名额数不同，甲、乙分配的名额都不是最少，且丙比丁多1 个，则丁为最少，丙为倒数第二；
甲不能是最多，则乙为最多，甲为第二。对最少数量分类讨论如下：①丁为1 时，丙为2，剩余12 个分配名额供甲、乙分配，则甲、
乙分配方案可为（3、9），（4、8），（5、7）三种，均满足题意；②丁为2 时，丙为3，剩余10 个分配名额供甲、乙分配，则甲、
乙分配方案可为（4、6）一种，满足题意。其余均不满足题意，故共有4 种不同的分配方式。
88.【答案】A。题目要求每个区至少选择1 家，则每个区的选择数量只能是（3，1，1）和（2，2，1）的组合。具体每个区选几
家，需要分情况讨论。如果按照（3，1，1）的组合选择，可选：①A 区3 家，B 区1 家，C 区1 家，有
种情况；②A 区1 家，B 区3 家，C 区1 家，有
种情况。相加共有60+10=70 种情况。如果按照（2，2，
1）的组合选择，可选：①A 区2 家，B 区2 家，C 区1 家，有
种情况；②A 区1 家，B 区2 家，C 区2
家，有
种情况；③A 区2 家，B 区1 家，C 区2 家，有
种情况。相加
共有60+15+30=105 种情况。综合以上，共有70+105=175 种情况，在A 项范围内。
89.【答案】A。根据题意可知一共十件设备分给三个车间，已知要求B 车间的甲设备多于乙设备，B 车间最少三台设备2 甲1 乙，
A 车间设备总数比其它任一车间都多，A 车间至少4 台设备，因此枚举情况：
共3 种情况。
80
90.【答案】A。当张、王都参加时，需从刘、李、陈中再选1 人，若选刘，刘去甲村后张、王可分配到乙、丙村（2 种方式）；
若选李，李去乙村后张、王可分配到甲、丙村（2 种方式）；若选陈，陈去丙村后张、王可分配到甲、乙村（2 种方式），此情况共6
种方式；当张、王都不参加时，只能选刘、李、陈3 人，且3 人去向固定（刘去甲、李去乙、陈去丙），仅1 种方式；将两种情况相
加，总共有6+1=7 种派遣方式。
数列问题
1.【答案】D。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，根据题意可知每天的产量为等差数列，假设首项为a，根据题干可知
公差为200，第一周的总产量为
，第三周的总产量为
，第三周是第一周的2 倍，解得a=2200。当
日产量达到10000，即2200+200（n-1）=10000，解得n=40。因此，选择D 选项。
2.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，设去年第一个月的桃汁销量为x 万瓶，橙汁销量为y 万瓶。桃汁、橙
汁的每月销量都成等差数列，则第一个季度桃汁的销量为（x+0.5）×3，橙汁的销量为（y+0.2）×3，由题意（y+0.2）×3－（x+0.5）
×3=4.5，有y－x=1.8。根据等差数列求和公式，全年桃汁总销量为[x+（x+0.5×11）]×12÷2=6（2x+5.5）；橙汁总销量为[y+（y+0.2
×11）]×12÷2=6（2y+2.2），两者之差为12（x－y）+33－13.2=－1.8（万盒）。桃汁比橙汁少不到5 万盒。因此，选择B 选项。
3.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，设复工之前每天产量是x 个，那么复工后前4 天每天产量是0.6x。
80 天中4 天为一周期，根据等差数列通项公式
，则最后一个周期即第20 个周期的每天产量是0.6x+（20－1）×1000。
那么80 天的总产量为
×20=48x+19000×40，由题意48x+19000×40=88x，可知x=19000，复工后第
一个周期的日产量为19000×0.6=11400。第三步，代入选项，优先从整数个周期代入。B 选项，56 天即14 个周期，最后周期日产量
为11400+（14－1）×1000=24400，那么前56 天总产量为（11400+24400）÷2×56=1002400，刚好超过100 万件，而第55 天不能超
过。因此，选择B 选项。
4.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，小李每天制作产品的个数是一个首项为1、公差为1 的等差数列，X
天后共制作
个，由题意此个数应该是48 的倍数，即（1+X）X 是96 的倍数。第三步，X 和（X+1）是两个相邻自然数，必然
一奇一偶。而96=32×3，则这两个相邻自然数的偶数最小应该为32，即X=32，此时X+1=33，总个数为528，是48 的倍数。因此，选
择B 选项。
81
5.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，由每天均以100 元上涨，可知10 月份每天的营业额成公差为100 的
等差数列。10 月份有31 天，正中间16 号的营业额为此数列的中位数。总营业额＝中位数×31 天＝（5000＋100）×31＝158100（元）。
因此，选择B 选项。
6.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，自然数加和总和约为2000 多，可猜测页码约有60 多页，1 到60 加
和结果为
，距离2003 还差173，可知该书页码共62 页，页码总和为1830+61+62=1953，2003-1953=50，
可知，多加的页码为50 页。因此，选择B 选项。
7.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，1 天24 小时，即3 个8 小时，则10 天共30 个8 小时。第一个8 小
时后，人体含药量为60×（1-60%）=60×0.4，第二个8 小时后，人体含药量为60×（1-60%）×（1-60%）+60×（1-60%）=0.6×
60
×0.4，第三个8 小时后，人体含药量为0.6×
0.6×
60×0.4，……，第30 个8 小时后，人体含药量为0.6×
0.6×
…+60×0.4=60×（
…+0.4），式子为等比数列求和，公式为
，则原式为60×
=40。即第11 天的第一个小时开始时人体过去服用的药物消耗残余量为40 毫克，如按照医嘱此时新服
用药物，则体内应当含药量为100 毫克。因此，选择B 选项。
8.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，这堆管材刚好还剩10 层，每层少了3 根，10 层共少了30 根，上方
管材少了3 层，3 层共少了99-30=69 根，由于每一层的数量都比上一层多1 根，则上方少的3 层分别为22、23、24 根，剩余10 层的
最上层原有25 根，由于少了3 根，现有22 根，最下层有31 根，剩下的管材共
=265 根。因此，选择B 选项。
9.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题，属于等差数列。第二步，题目的模型可理解为第一次上升无人机为等边三角形
的底边，第二次是在底边之上的边，最后一次是1，每次的边长是等差数列，最上边为1，最下边是n，排在一起形成一个等边三角形。
那么这个三角形的无人机总数为
，即n（n+1）=210，可代入数据验证，容易发现n=14。那么第一次为14，第二次为
13，……第十次代入通项公式为14-（10-1）×1=5。因此，选择B 选项。
82
10.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查数列问题。第二步，前5 个团体的新创节目总数是60，可以得知第三个团体节
目数为12，前7 个团体的新创节目总数是70，可以得知第四个团体的节目数为10，因此等差数列的公差为-2，第五个团体的节目数
为8。那么这9 个文艺表演团体去年新创节目的总数是9×8=72 个。因此，选择A 选项。解法二：第一步，本题考查数列问题，用数
字特性法解题。第二步，等差数列的和=中位数×项数，9 个团体的总和应该是9 的倍数，仅有A 符合。因此，选择A 选项。
11.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，根据题意每天这种电器的销量都比前一天多1 台，则公差为1 的等
差数列，商场6 月6 日开始销售至6 月30 日共25 天，中间日期为6 月18 日，已知6 月16 日卖了22 台，18 日应该卖24 台，根据等
差数列求和公式=中位项×项数=24×25=600 台。因此，选择B 选项。
12.【答案】A。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，9 家企业共发放4500 万元，数额呈等差数列，根据等差数列求和公
式，总和=中位数×项数，可知排名第5 的企业获得=4500÷9=500（万元）。题干给出排名第3 的企业获得420 万元，则等差数列的公
差为（500-420）÷（5-3）=40（万元），排名第8 的企业获得500+40×（8-5）=620（万元）。因此，选择A 选项。
13.【答案】D。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，书共204 页，则所有页码之和为
=20910，问题所求
为被污染的4 个页码中最小的数，考虑从最小的选项开始代入排除，D 选项，20910-（41+42+43+44）=20740，20740÷85=244，能够
被85 整除，符合题意。因此，选择D 选项。
14.【答案】A。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，设2020 年3 月1 日的营业额为y 元，那么3 月10 日的营业额为y
＋9X，可列方程：y＋9X＝4y，可得y＝3X，则3 月12 日的营业额为y＋11X＝14X＝420，解得X＝30，y＝90。那么3 月31 日的营业
额为y＋30X＝990，3 月的营业额为90＋120＋……＋990＝（90＋990）×31÷2＝16740（或用尾数法，尾数为40）。因此，选择A 选
项。
15.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查数列问题。第二步，“十二五”期间指2011—2015 年，“十三五”期间指2016
—2020 年，“十四五”期间指2021—2025 年，根据题意可知，营业额是公差为1.5 亿元的等差数列，设2011 年营业额为x 亿元，利
用等差数列通项公式可知，2020 年为x＋（10-1）×1.5＝x＋13.5，2021 年为x＋15，2025 年为x＋（15-1）×1.5＝x＋21。第三步，
根据“十四五”期间营业额是“十二五”期间和“十三五”期间营业额之和的80%，可得
，
解得x＝12。则该企业在“十二五”到“十四五”期间的总营业额为
亿元，在330~360 亿元范围内。
83
因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查数列问题。第二步，“十二五”期间指2011—2015 年，“十三五”期间指2016—2020
年，“十四五”期间指2021—2025 年，根据题意可知，每年的营业额是公差为1.5 亿元的等差数列，可推知每个五年规划的营业额也
成等差数列，公差为1.5×5×5＝37.5，设“十三五”期间营业额为x 亿元，则“十二五”期间营业额为x－37.5，“十四五”期间营
业额为x＋37.5，根据“十四五”期间营业额是“十二五”期间和“十三五”期间营业额之和的80%，可得x＋37.5＝（x－37.5＋x）
×80%，解得x＝112.5。故该企业在“十二五”到“十四五”期间的总营业额为x－37.5＋x＋x＋37.5＝3x＝3×112.5＝337.5（亿元），
在330~360 亿元范围内。因此，选择C 选项。
16.【答案】D。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，根据题意，小张和小李每天完成的零件数之和是首项为30，公差为
1 的等差数列，设除最后一天外，前面两人加工了n 天，则有不等式[30+（30+n-1）]×n÷2≤1200，解得n 最大为27，即两人一共干
了28 天，小张完成28×20=560 个，小李完成1200-560=640 个，640-560=80 个，则小张比小李少生产80 个。因此，选择D 选项。
17.【答案】C。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，第14 天为5 人，则第13 天为10 人，第12 天为20 人，第11 天为
40 人，第10 天为80 人，第9 天为160 人，根据等差数列通项公式an=a1+（n-1）d 代入数据，160=a1+8×3，解得第1 天为136 人，
根据等差数列前n 项和公式Sn=（a1+an）×n÷2，前9 天为（136+160）×9÷2＝1332 人，14 天共1332+5+10+20+40+80=1487 人，共
采樱桃1487×50＝74350 千克=74.35 吨。因此，选择C 选项。
18.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查数列问题。第二步，用代入排除法解题：代入A 选项，当天日期是29 日，撕下
的10 页是19—28，其和为（19＋28）×10÷2≠244，排除；代入B 选项，当天日期是30 日，撕下的10 页是20—29，其和为（20＋
29）×10÷2≠244，排除；代入C 选项，当天日期是1 日，撕下的10 页是21—30，其和为（21＋30）×10÷2≠244，或撕下的10 页
是22—31，其和为（22＋31）×10÷2≠244，排除；代入D 选项，当天日期是2 日，撕下的10 页是22—30、1，其和为（22＋30）×
9÷2＋1≠244，或撕下的10 页是23—31、1，其和为（23＋31）×9÷2＋1＝244。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查数
列问题，用数字特性法解题。第二步，若近10 个日期是公差为1 的等差数列，根据求和公式可知，前10 项和为
，
应为5 的倍数，244 不是5 的倍数。故前面10 个数不完全连续，排除A、B、C 选项。因此，选择D 选项。
19.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，第7、8、9 名三个平均分既是等差数列又是等比数列，一个数列既
是等差数列又是等比数列那么一定是一个非0 的常数数列，即公差为0、公比为1，即第7、8、9 名分数相同，设第7 名的平均分为x，
那么第6 名平均分为x＋1，第五名为x＋2，第10 名张龙的平均分为x－1，张龙英语成绩实际为121，若按112 算相当于少算了9 分，
那么平均分少算了3 分，则张龙的实际平均分应该为x－1＋3＝x＋2，可以排到并列第五名。因此，选择B 选项。
84
20.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查数列问题。第二步，每人抢到的红包金额为100 元可知三人所发红包总金额为
300 元，且金额第二多的红包即平均数100 元。那么想要最大的红包面额最多，需要最小的红包面额最小，最小为1 元，那么最大为
300-100-1=199（元）。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查数列问题，用代入排除法求解。第二步，题目问最大，优先代
入200 元。由等差数列性质可知金额第二多的红包即平均数100 元，假如最大红包是200 元，则公差为100 元，最小的红包是0 元，
无法发出红包；假如最大红包是199 元，则公差为99 元，最小的红包是1 元，符合题意。因此，选择C 选项。
21.【答案】B。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，第7、8、9 名三个平均分既是等差数列又是等比数列，一个数列既
是等差数列又是等比数列那么一定是一个非0 的常数数列，即公差为0、公比为1，即第7、8、9 名分数相同，设第7 名的平均分为x，
那么第6 名平均分为x＋1，第五名为x＋2，第10 名张龙的平均分为x－1，张龙英语成绩实际为121 分，若按112 算相当于少算了9
分，那么平均分少算了3 分，则张龙的实际平均分应该为x－1＋3＝x＋2，可以排到并列第五名。因此，选择B 选项。
22.【答案】C。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，第16 排有40 个座位且后一排均比前一排多2 个座位，根据通项公
式：
，可得第一排有40－（16－1）×2＝10（个）座位，根据求和公式：
，那么这个阶梯教室共
有座位（10＋40）×16÷2＝400（个）。因此，选择C 选项。
23.【答案】C。解析：第一步，本题考查数列问题。第二步，设1 月销售额为a，9 月销售额是1 月的2 倍，则9 月为2a，根据
每个月销售额都比上个月高x 万元，9 月为a+8x，有2a=a+8x，解得a=8x，11 月的销售额为900 万元，则a+10x=900，解得x=50、a=400。
第三步，12 月销售额为a+11x=950，该公司2017 年全年的销售额是
（万元）。因此，选择C 选项。
24.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查等差数列问题。第二步，根据等差数列求和公式S＝中位数×项数，可知该数
列的第二项为4095÷3＝1365，故该数列三个数中最大的是1365＋20＝1385。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查等差数
列问题，用方程法解题。第二步，三个自然数成等差数列且公差为20，设这三个自然数分别为x、x+20、x+40。根据其和为4095，可
列方程：x+x+20+x+40=4095，解得x=1345，故三个数中最大的是x＋40＝1385。因此，选择C 选项。
25.【答案】B。根据题意，花盆的摆放盆数构成公差为1 的等差数列。若数列项数为奇数，则中位数和项数都是正整数，根据公
式：
。将42 进行因数分解，42=2×3×7=14×3=6×7=2×21。当项数为3 时，中位数为14，可推出每排摆放的数
量分别为13 盆、14 盆、15 盆，满足题意；当项数为7 时，中位数为6，可推出每排摆放的数量分别为3 盆、4 盆、5 盆、6 盆、7 盆、
85
8 盆、9盆，满足题意；当项数为21 时，中位数为2，但数列前几项有负数项，不满足题意。若数列项数为偶数，则
，
中位数非整数，根据
，整理得：中间两项之和×项数=84，将84 进行因数分解，84=2×2
×3×7=21×4=7×12=3×28。当项数为4 时，中间两项之和为21，数列中间两项为10、11，可推出每排摆放数量分别为9 盆、10 盆、
11 盆、12 盆，满足题意；当项数为12 时，中间两项之和为7，数列中间两项为3、4，但数列前几项有负数项，不满足题意；当项数
为28 时，中间两项之和为3，数列中间两项为1、2，但数列前几项有负数项，不满足题意。综上，摆放的方案共有3 种。
26.【答案】A。根据题意“平均分为4 组至少需要招募1 人、平均分为5 组至少需要招募2 人”，可得总人数+1 是4 的倍数、
总人数+2 是5 的倍数，又因总人数为“40 余名”，故总人数为43 人。当当分为3 组时，若想使人数最多与最少的两组相差最小，则
应使人数最多的组取最小值、人数最少的组取最大值。设人数最多的组至少有x 人，则另外两组的人数分别为x-1、x-2，列方程得：
x+(x-1)+(x-2)=43，解得：
人，则人数最多的组至少为16 人，剩余43-16=27 人，当剩余两组人数为14、13 时，即可符合
题目要求，此时人数最多的与人数最少的组相差16-13=3 人。
27.【答案】B。由于骰子上标的数为连续自然数，根据“标有数
（i=1，2，······，n，n>1）的面恰有
个”可知，标
有相同数字的面的数量也为连续自然数，即构成公差为1 的等差数列。根据公式：
=中位数×项数，可知中位数×项数=20，20 的
约数有1、2、4、5、10、20。若项数为偶数，如项数=4、中位数=5，则无法得到4 个连续的自然数，排除项数为偶数的情况。项数为
奇数，且n>1，则项数=5、中位数=4 时可符合题干条件，即标记情况为：2 个标数字2 的面、3 个标数字3 的面、4 个标数字4 的面、
5 个标数字5 的面、6 个标数字6 的面。则这个骰子所有面上的数字之和=2×2+3×3+4×4+5×5+6×6=90。
28.【答案】D。因每个基层单位最少分配3 人且任意2 个基层单位分配到的人数都不相同，则15 个基层单位最少分配情况如下：
86
即首项为3，公差为1 的等差数列，根据等差数列求和公式：
，则最少分配10×15=150 人。根据题意可知，本
次共招聘了50×3=150 名应届毕业生，因此只有表格这一种分配方式。要想A 校毕业生分配的基层单位数最少，则尽量集中在分配人
数较多的单位。分配人数前三名的单位分配人数之和=15+16+17=48 人<50 人，则还需多分配到1 个单位，即最少被分配到3+1=4 个单
位。
行程问题
1.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题，用方程法解题。第二步，对于甲，两次都是到达中点，故路程相等；第二次因
乙提前两小时，且乙速度不变，得到第二次甲走了4 个小时；设甲的速度为v 公里/小时，路程相等，有（v+8）×4=v×6，解得v=16。
第三步，求得甲的路程为96 公里，乙的路程也为96 公里，所以AB 总路程为192 公里。因此，选择B 选项。
2.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题中的基本行程类，用赋值法解题。第二步，通过阅读题目发现题干中没有具体的
数值，使用赋值法解题。根据从A 地去B 地的前40%的路程为上坡路，其余为下坡路，赋值去程时上坡路为40，下坡路为60，则返程
时上坡路为60，下坡路为40。赋值满载时下坡的速度为2，则上坡的速度为1，根据空车时上、下坡的速度分别是满载时的1.5 倍和
1.2 倍，可得空车时上、下坡的速度分别为1.5 和2.4。第三步，根据公式
，可得出返程的用时是
；去程的时间
是
。则返程的用时是去程的
倍。因此，选择A 选项。
3.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查行程问题中的基本行程类。第二步，赋值整个路程为4 千米，根据题意，路程可
以分为三个阶段，每阶段的距离分别为2 千米、1 千米、1 千米。第二个阶段为匀加速，平均速度为
千米/小时，第三个阶
段为匀减速，平均速度为
千米/小时。第三步，根据平均速度
千米/小时。因此，选择A
选项。解法二：第一步，本题考查行程问题中的基本行程类，用等距离平均速度解题。第二步，赋值整个路程为4 千米，根据题意，
路程可以分为三个阶段，每阶段的距离分别为2 千米、1 千米、1 千米。第二个阶段为匀加速，平均速度为
千米/小时，第
87
三个阶段为匀减速，平均速度为
千米/小时。第三步，根据等距离平均速度公式：
，第二阶段和第三阶段的平均速度
为
千米/小时，此时第一阶段和二、三阶段的距离和相等，再次利用等距离平均速度公式，
千米/小
时。因此，选择A 选项。
4.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查行程问题，用赋值法解题。第二步，根据S=VT，且只知道时间有关的量，可采
用赋值的方法。赋值甲的速度为1，则乙的速度为2，由题干“甲、乙两人同时同地出发，且在10 点甲追上乙”，可知，10：00 时，
，且此时行驶的时间相同，则乙的速度与甲的平均速度相等，
。由甲全程为匀加速运动，故
而11 点时，甲的速度为4，AB 两地的距离为
。第三步，乙到达B 点所需时间为
，到达时间为11：45。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查行程问题，用比例行程
解题。第二步，甲乙两人由A 地到B 地，路程相同，速度与时间成反比。设出发时乙的速度为V，则甲的速度为
，从8 点到10 点，
甲和乙的路程相同，即该时段甲的平均速度和乙的速度相同，设10 点时甲速度为
，有
，解得
，由甲全程为
匀加速运动，11 点时
，全程甲的平均速度
。第三步，速度之比，甲∶乙=5∶4；时间之比，甲∶乙=4∶5=180min∶
225min。225min=3h45min，到达时间为11：45。因此，选择C 选项。
5.【答案】D。解析：第一步，本题考查基本行程类。第二步，已知李的速度是张的60%，可设张的速度为5v 千米/小时，李的速
度为3v 千米/小时，两人1 个小时的路程分别为5v 千米、3v 千米，进而可得A 点到丙地的距离为（8-3v）千米，B 点到丙地的距离为
（17-5v）千米，又已知AB=13 千米，根据常用勾股数（5，12，13）不难判断8-3v=5，17-5v=12，可得v=1 千米/小时，那么张和李
的速度分别为5 千米/小时和3 千米/小时，张从出发到丙地共用时17÷5=3.4 小时=3 小时24 分钟，李从出发到丙地共用时8÷3×60=160
分钟=2 小时40 分钟，张经过丙地的时间比李要晚44 分钟。因此，选择D 选项。
88
6.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题中的基本行程类题目。第二步，设路程全长为3S 公里，
路程为S 公里，全题
考虑路程比，甲
路程与乙9 公里路程比为S∶9；甲16 公里路程与乙
路程比为16∶S。时间相同，路程比等于速度比，而速度全程
不变，则路程比不变，由此可得：S∶9=16∶S，可解得S=12，全长3S=36 公里。因为甲消防队走了
路程，乙消防队走了9 公里，所
以，甲走完全程，乙走过的路程为3×9=27 公里，所以乙消防队距离目的地还有36-27=9 公里。因此，选择A 选项。
7.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，总路程前半段比后半段多用时3 分钟，根据后
的路程为匀速运动，
可知总路程的前
，比最后
多用时3 分钟。根据前
路程为匀加速运动可知平均速度为
=18 千米/小时，设前
路程用时为t
小时，则最后
路程用时为t－
小时，列方程18t=21（t－
），解得t=
，则前
路程为18×
=6.3 千米，全程为6.3×4=25.2
千米。因此，选择D 选项。
8.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，本题中“刚巧是离幸福村的一半那样远”表述不明，故有两种解法：
①骑行1 小时，走了东方村和幸福村之间路程的一半。又骑20 公里，剩余的距离是胜利村到幸福村的一半。如图所示，可知第一次问
是等分前半段路，第二次问是等分后半段路，则20 公里是全程的一半，那么全程为2×20=40（公里）。
89
②骑行1 小时，走了东方村和幸福村之间路程的一半。又骑20 公里，所站位置到胜利村是所站位置到幸福村的一半。如图所示。
由于s 小于幸福村到胜利村的一半（1.5s），可知全程小于20×2，排除选项中的40、45；代入30，有（20-2s）+s+20=30，得
到s=10，那么第一次问到幸福村距离是20-2s=0，不符合题意。路程在30—40 之间，只有B 项符合题意。结合两种解法，命题人应更
倾向于考查第一种。因此，选择C 选项。
9.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题，属于基本行程类。第二步，根据题意，小明从家到学校进行往返，上下坡距离
相等，可利用等距离平均速度求得
千米/小时，由于平路速度也为9 千米/小时，故全程平均速度为9 千米
/小时。由于往返总时间是1 小时，故往返总路程为9×1＝9 千米，则小明的家距离学校9÷2=4.5 千米。因此，选择B 选项。
10.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，设甲丙的距离为x 米，那么乙丙的距离为2x 米，第二次仍为迎面相
遇，故两车速度比不能超过2∶1，那么第一次相遇A 车走了（x＋500）米，B 车走了（2x－500）米，根据两端出发多次相遇问题公式，
第二次相遇走的路程是第一次的3 倍，故第二次相遇时A 车共走了3×（x＋500）＝3x＋1500（米），3x 是甲乙的全程，故A 车走了
从甲到乙的全程后又走了1500 米，即距离乙地1500 米。因此，选择B 选项。
11.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题，属于相遇追及类，用比例法解题。第二步，从第一次甲追上乙到第二次追上，
甲比乙多走500 米，那么乙走了1200－500＝700（米），则甲乙速度之比为12∶7，赋值甲的速度为12，乙的速度为7，那么原来甲
90
的速度为
＝10，则第一次追及甲乙走过的路程比为10∶7，甲走了600 米，那么乙走了600×
＝420（米），甲比乙多走了
600－420＝180（米），即甲乙初始时相距180 米，那么甲走180 米第一次到达乙的出发点。因此，选择D 选项。
12.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题，属于相遇追及类。第二步，从题目中可知乙车的速度是甲车的两倍，即甲乙
速度之比为1∶2，在路程一定时，速度与时间成反比，距离B 市10 千米时乙追上甲，甲比乙多走30 分钟，最后总路程相等，则甲走
了60 分钟，乙走了30 分钟。则乙再行驶40－30＝10（分钟）到达了B 市，则这一段路程甲需要20 分钟＝
小时，可知甲的速度
=
（千米/小时）。因此，选择A 选项。
13.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题，属于基本行程类。第二步，圆形湖直径为50 公里，甲码头到丙码头直线距离
为50 公里，所以甲丙即为直径。根据性质：在圆里直径与圆周上一点组成的三角形为直角三角形，可知甲乙丙构成一个直角三角形。
甲乙＝30 公里，甲丙＝50 公里，根据勾股定理可知乙丙＝40 公里。
第三步，游船从甲到乙再到丙实际用时120－36＝84（分钟），路程30＋40＝70（公里），而游船从甲直接到丙需要走50 公里，
用时为
（分钟），即1 小时。因此，选择B 选项。
91
14.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查行程问题，属于基本行程类，用方程法解题。第二步，设第一天平均速度为v
公里/小时，根据第三天比第一天少行驶200 公里，可知第三天的行驶距离为5v－200，通过第一天的平均速度与三天全程的平均速度
相同可列方程5v＋600＋5v－200＝18v，解得v＝50，则三天共行驶的距离为18×50＝900（公里）。因此，选择A 选项。解法二：第
一步，本题考查行程问题，属于基本行程类，用数字特性法解题。第二步，由于一共走了18 小时，因此总距离应该是18 的倍数，排
除B、C、D。因此，选择A 选项。
15.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题，属于基本行程类。第二步，甲车到达对方出发点，用时12－8＝4（小时），
则速度为
（千米/小时），速度降低到原来三分之一，即
（千米/小时）；乙车到达对方出发点，用
时17－8＝9（小时），则速度为
（千米/小时），速度降低到原来一半即
（千米/小时）。第三步，在18
点时，甲车走了30×（18－12）＝180（千米），乙车走了20×（18－17）＝20（千米），则两车相距360－180－20＝160（千米）。
因此，选择B 选项。
16.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题，属于相遇追及类。第二步，第1 秒1 号机器人顺时针走到点D，2 号逆时针走
到点D，故两个机器人每过1 秒相遇一次，相遇点依次为D—C—B—A—D—C—B—A……每4 次相遇为一个周期。第三步，2017÷4＝504…
1，则第2017 次相遇与第1 次相遇地点是同一地点，即D 点。因此，选择D 选项。
17.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题，属于基本行程类。第二步，C 为中点，分析行程图。
92
A
C 段，6：00－7：00，速度为
，C
B 段，7：00－8：00，速度为
：前后半段AC、CB 均以
行驶1 小时；B
C 段，8：
00－10：00，速度为
，C
A 段，10：00－11：30，速度为
：前半段BC 以
行驶2 小时，后半段以
行驶1.5 小时。第三步，速
度单位换算，1 米/秒＝3.6 公里/小时，由距离BC＝CA 可得：2
＝1.5（
＋3.6），解得
＝10.8。第四步，若速度没有发生改变，
则返回需要2×2＝4（小时），故全程为4×10.8＝43.2（公里）。因此，选择A 选项。
18.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题，属于基本行程类。第二步，设这辆车上坡的速度为x 千米/小时，则下坡的速
度为（x+15）千米/小时，根据题意，这辆车行驶时从A 到B 为下坡，行驶时间为3 小时，从B 到A 为上坡，行驶时间为4 小时，可列
式子：3（x+15）=4x，解得x=45。第三步，A、B 之间的距离可表示为4x，即A、B 之间的距离为4×45=180 千米。因此，选择B 选项。
19.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题中的基本行程问题。第二步，根据题意，黑、白两群琵鹭从距离深圳湾3120 公
里外的黑龙江湿地出发，白琵鹭抵达需飞行3120÷45≈69.3 小时，黑琵鹭抵达需飞行3120÷55≈56.7 小时，若白琵鹭想率先抵达，
需至少提前69.3-56.7=12.6 小时起飞，即提前13 小时起飞可率先抵达深圳湾湿地。因此，选择C 选项。（该题问题问的是提前几天
起飞，但根据题意，应该是提前多少小时起飞更合适）
20.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题中的相遇追及类问题。第二步，“任意两名士兵相遇后，都会调头行进”，相
当于双方交换身份后彼此穿过对方，对整体的时间并无影响，因此最后的时间实际上是魔王最后一名士兵到达阿坤基地的时间。魔王
第一名士兵达到阿坤基地的时间为
分钟。魔王一共派出8 名士兵，也是每隔1 分钟派出1 名士兵，最后一名士兵与第一名
相差7 分钟。因此，总时间为9.5+7=16.5 分钟。因此，选择A 选项。
21.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查间歇变速运动类。第二步，在“时间——配速”图线中，图线与时间轴围成的
面积代表路程，
时刻，小李图线与时间轴围成的面积明显大于大李，即在
时刻，小李路程大于大李，排除A、B、C 项。
因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查间歇变速运动类。第二步，在“时间——配速”图线中，图线与时间轴围成的面积代
表路程，观察发现，从
—最后的时间段内，两人路程相同。两人同时从小区门口出发，又同时到达小区门口，总路程相同，所以从
时间段，两人路程也相同，即在
时刻，两人跑动距离相同。因此，选择D 选项。
93
22.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题中的相遇追及类问题，用赋值法解题。第二步，设社区外围一圈的路程为S，
老杨、老朱、小郭的速度分别为
、
、
，依题意可列方程
，赋值S=40，则可得
，（1）－
（2）得
。因此，老朱与小郭每次相遇所需的时间为
分钟。因此，选择C 选项。
23.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题中基本行程类。第二步，赋值甲的登梯速度为2、乙的登梯速度为1，则甲的登
梯时间为36÷2=18、乙的登梯时间为12÷1=12。设这部扶梯静止时一楼到二楼的级数是S，扶梯速度为v，根据题意可列式：S=36＋
18v①；
S=12＋12v②，两式联立，解得：S=72。因此，选择D 选项。
24.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题，属于基本行程类，用方程法解题。第二步，设公共汽车的车身长度和行驶速
度分别为L 和v，根据题意，公共汽车从进入隧道到车身完全驶出隧道用时151 秒，整辆公共汽车完全在隧道里的时间为149 秒，列
方程得：1500+L=151v①，1500－L=149v②，联立①②解得L=10（米），v=10（米／秒）。因此，选择B 选项。
25.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题，用方程法解题。第二步，设当速度为20 千米/时的用时为t 小时，则速度为
24 千米/时的用时为（
）小时。总路程不变，则可得方程
，解得
小时，总路程为
（千米）。
因此，选择B 选项。
26.【答案】B。解析：第一步，本题考查基本行程类，用方程法求解。第二步，假设蛙跳和竞走的路程都是
，游泳的路程是
，
则总路程是
，选手上午7 点出发，9 点到达终点，共用时2 小时，可列方程：
。第三步，方程化简得
，
则总路程为6 千米。因此，选择B 选项。
27.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，设甲、乙两辆汽车相遇时间为t 小时，A、B 两地的高速公路全长为
2S 千米，因甲车速度快于乙车速度，则相遇时甲车行驶的路程为（S+18）千米，乙车行驶的路程为（S-18）千米。第三步，解法一：
根据题意可得
，S 抵消，解得t=4。由相遇问题公式
，这条连通A、B 两地的高速公路全
94
长为（74＋65）×4=556 千米。解法二：根据时间一定，路程与速度成正比，可得：
，解得S=278，则这条连通A、B 两地
的高速公路全长是2S=556 千米。因此，选择D 选项。
28.【答案】C。解析：第一步，本题考查基本行程问题。第二步，根据路程公式“s＝v×t”可知，路程与时间成比例，且总路程
为120 千米，速度为30 千米/小时，可知从M 地到N 地的开始坐标为（0，120），大货车从M 地匀速驶向N 地用时
小
时，即到达N 地时对应坐标为（4，0），只有C 图符合。因此，选择C 选项。
29.【答案】B。解析：第一步，本题考查基本行程类。第二步，根据“甲、乙、丙按顺序轮流每人半圈接力跑”，此过程为循环
周期，一个周期距离为600 米，1600÷600=2 个周期…400 米，2 个周期内，乙跑2 个半圈，余下400 米，甲、乙均跑半圈，则乙共跑
3 个半圈，即1.5 圈，乙一共跑1.5×1.5=2.25 分钟。因此，选择B 选项。
30.【答案】B。解析：第一步，本题考查基本行程。第二步，根据“到家时比往常提前了10 分钟”，即驾车去学校过程中，行程
比往常缩短5 分钟，以往小张母亲6：00 到学校，则此次小张母亲5：55 与小张相遇，小张5：30 放学，则小张步行了25 分钟。因此，
选择B 选项。
31.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题中的相遇追及问题。第二步，设第一辆车到达丙村用时为t 小时。根据题意，
第一辆车8 点15 分从甲村出发，第二辆车9 点45 分从甲村出发，可知第二辆车比第一辆车少走1.5 小时，则可列出方程：60×（t+2）
=75×（t+2-1.5），解得t=5.5。当第一辆车到达丙村时，第一辆车比第二辆车多走60×5.5-75×4=30 公里，即两车之间的距离是30
公里。因此，选择D 选项。
32.【答案】D。解析：第一步，本题考查基本行程类。第二步，根据均加（减）速运动中，
，设最大速度为v，则
，20 分钟=
小时=
小时，根据s=
可得，20=
，解得v=120。因此，选择D 选项。
33.【答案】B。解析：第一步，本题属于行程问题和几何问题杂糅类。第二步，假设乙的速度为v，则甲的速度为3v，假设经过
时间t，他们在C 点相遇，根据相遇的公式，可得：
，解得vt=80，乙右转弯90 度保持原速行驶，当甲到达B 地时，
假设乙到达D 地，则三角形BCD 为直角三角形，如下图所示：
95
其中CB=vt=80，而CD 的距离可以这样来求，相同的时间内，甲乙的路程比等于速度比，可得：
，解得
，
在直角三角形BCD 中，
，代入数据得：
，解得
。因此，选择B 选项。
34.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题，流水行船类。第二步，赋值水速为1，则船速为5，小张逆流速度为4，小刘
顺流速度为6，相遇时，小张路程为（16-1）×1.31=15×1.31 千米，根据比例关系，全程为
千米，则全
程每人收集38 份，两人全程一共采集了38×2=76 份水样。因此，选择C 选项。
35.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查行程问题当中相遇追及问题。第二步，设甲和乙的速度分别为
、
，甲乙出
发时相距为
。代入追及问题公式，第一次甲追上乙
；第二次甲追上乙
。两次追及过程中均匀速，
甲分别散步2 圈和4 圈半，
=4：9，则
=4：9，所以
=160。因此，选择A 选项。解法二：第一步，本题考查行程问题当中
相遇追及问题。第二步，本次行程中两人同时出发至追上，则两人散步的时间相同。第二次追及中甲走4 圈半，则乙走3 圈半。两人
路程之比为9：7，则速度之比也为9：7。第一次追及中甲乙的速度之比、路程之比均为9：7，则甲走2 圈720 米，则乙走560 米，
两人相差160。因此，选择A 选项。
36.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题中的基本行程类。第二步，老吴往返都乘车需要30 分钟，则乘车单程需要15
分。去时乘车，返程步行，需要45 分钟，则步行单程需要30 分钟。步行往返需要的时间是30 分钟的2 倍，即60 分钟。因此，选择
D 选项。
37.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，小李离开A 校4 小时后妈妈出发，时间是11 点，那么小李离开A 校
出发的时间是7 点。小李半个小时到达D 校，则AD 之间的距离是15×0.5=7.5 千米。设矩形的长AB=CD=a，那么小李在10：30 从D
校去往C 校，路程为a；妈妈11 点走ABC 到C 校，路程为a+7.5。根据相同时间到达，小李比妈妈多走了0.5 小时，则有a/15-（a+7.5）
96
/50=0.5，解得a=97.5/7≈13.9+，约为14，那么妈妈约需要
=21.5×1.2=25.8 分钟，在11：25~11：30 之间。因此，选
择B 选项。
38.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题中的基本行程类。第二步，分别设甲、乙两车从A 地到B 地路上的时间为x、y，
根据题意，甲车从8：00 到13：35 甲完成了第四次卸货，一共经历了8 次装卸货和7 次路途。列式为：8×20+7x=5 小时35 分=335 分
钟，解得x=25（分钟）。乙完成了第五次装货，乙车在第四次卸货之后多了1 次装货和1 次路途。列式为：9×20+8y=335+125，解得
y=35（分钟）。第三步，由于路程相同，速度与时间成反比，甲的速度∶乙的速度=y∶x=35∶25=7∶5=1.4，那么甲的速度是乙的1.4
倍。因此，选择B 选项。
39.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，A 运动员滑完全程需要2 分15 秒=135 秒，平均每圈10 秒，B 运动
员每圈比A 少1 秒，每圈用时9 秒。A 运动员滑完9 圈用时90 秒，B 运动员90 秒刚好滑完10 圈，则A 滑完第9 圈，刚开始滑第10 圈
时，B 运动员正好领先A 运动员一圈整。因此，选择B 选项。
40.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题，用比例法解题。第二步，提速20%，则提速前和提速后的速度比为5∶6，那
么提速前和提速后的时间比为6∶5，根据提前10 分钟到达可知时间比例中的一份为10，则以v 千米/小时的速度行驶到单位用的时间
为6×10=60 分钟=1 小时，当以原速度行驶2 千米再提速30%，提速前和提速后的速度比为10∶13，那么提速前和提速后的时间比为
13∶10，根据提前10 分钟到达可知时间比例中的3 份为10，一份为
，则行驶2 千米后以原来速度行驶需要的时间为13×
=
，
那么以原速度行驶2 千米的时间为60-
=
分=
小时，原速度v=2÷
=
千米/小时，小王家距离单位的路程为
×1=7.2
千米。因此，选择B 选项。
41.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，两车从同端出发，当甲货车到达A 地或B 地时，两车相距最大，如
图所示，则最远的时候应该是甲走完两个来回，回到原点的时候，此时甲的总路程为4×30=120 千米，用时120÷100=1.2h。乙的总
路程为80×1.2=96 千米，距离甲120-96=24 千米。
97
因此，选择C 选项。
42.【答案】C。解析：第一步，本题考查基本行程问题。第二步，下坡路、平路、上坡路长度分别为1.5 千米、5 千米、2.5 千米，
上坡用时＝2.5/2＝1.25 小时，则走完9 千米用时＝
＝2.5 小时＝2 小时30 分钟，全程用时＝2 小时30 分钟+5 分钟
+5 分钟＝2 小时40 分钟。因此，选择C 选项。
43.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题中流水行程类。第二步，甲乙两人同时逆流出发，由时间相同，路程和速度成
正比可知，
；由“甲顺流游泳的速度是逆流的1.8 倍”可知，
，化简可得
。赋
=7，
联立方程解之可得
，
。第三步，当甲到达上游B 点时，由时间相同，路程和速度成正比可知
，解得此时
=540m，距离B 点360m。甲按原路返回时，甲顺流，乙逆流做相遇运动，
，此时
=360×
=90m，所
以乙总共运动540+90=630m。因此，选择D 选项。
44.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题中的环形追及问题，用方程法解题。第二步，小花猫、大黄狗速度变化情况如
下表：
98
可知第三次追上的时候速度相等，第三步，设两人第一次追上用时为t1，则有210=（160-20）×t1，解得t1=
，所以这段时间
内共走的路程为（160+20）×
＝270 米；设第一次追上到第二次追上用时为t2，则有210=（
）×t2，解得t2=
，所以
这段时间内共走的路程为
＝350 米。设第二次追上到第三次追上用时为t3，则有210=（
）×t3，解得t3=
，
所以这段时间内共走的路程为
＝630 米。那么当小花猫和大黄狗速度相等时，他们共跑了270＋350＋630=1250 米。因此，
选择A 选项。
45.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题中的相遇追及类。第二步，第一次相遇时，两人的总路程为200 米，用时
秒，
此时两人在同一点，之后每次相遇，路程和均为一圈的长度即400 米，所以每次相遇用时
秒，假设第一次相遇之后又相遇了n 次，
总用时为
，解得n=22.6，取整可得n=22，所以共相遇n+1=23 次。因此，选择B 选项。
46.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题，用方程法解题。第二步，设以10 公里每小时的速度骑行耗时为t 小时，则他
以15 公里每小时的速度骑行耗时为（t－1.5）小时。总路程一定，根据路程＝速度×时间可得，10×t＝15×（t－1.5），解得t＝
4.5。即以10 公里每小时的速度骑行耗时为4.5 小时，则他出发的时间为12 时30 分－4 时30 分＝8（时），即上午8：00。因此，选
择D 选项。
99
47.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，甲每半小时走3 公里，休息15 分钟，以此为周期循环，如下图所示。
乙与甲相遇2 次，求乙从A 地到B 地所用的时间至少，则乙的速度应尽可能大。要使乙的速度最大，则此射线斜率应最大，且保证与
甲的图像有2 个交点，则甲乙两人，首次相遇于M 点、第二次相遇于N 点，最后相遇于终点。
第三步，乙比甲早出发15 分钟，可知乙走3 公里用时15+30=45 分钟，全程9 公里，乙从A 地到B 地所用时间至少为45×3=135
分钟。因此，选择C 选项。
48.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题，属于流水行船类。第二步，A 船往返共35 小时，且顺水时间比逆水时间短5
个小时，可得顺水时间为15 小时，逆水时间为20 小时。结合全程路程为360 千米，可得V 顺=360÷15=24 千米/小时=
+V 水，V 逆
=360÷20=18 千米/小时=
-V 水，解得V 水=3 千米/小时。B 船从甲地开往乙地的速度为12+3=15（千米/小时），则其顺水走全程的
时间为360÷15=24（小时）。因此，选择C 选项。
49.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题中的相遇追及类。第二步，A 选项，由题意可知，A 的速度为每秒2 阶，A 到达
扶梯终点的时间为25÷2=12.5 秒；B 选项，是一个追及问题，设B 追上A 的时间为t，可列方程：4=3t-2t。解得t=4，故B 追上A 共
用2＋4=6 秒；C 选项，是一个追及问题，设C 追上A 的时间为t，由题意可列方程：10=6t-2t，解得t=2.5，故追上A 的时间为2＋3
＋2.5＝7.5 秒；D 选项，设C 追上B 的时间t，9=6t-3t，t=3，故C 追上B 的时间为2＋3+3=8 秒。因此，选择B 选项。
50.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，设半程为s，快的人从出发到第一次相遇，行走s+50 米，慢的人行
走s－50 米，从出发到第二次相遇，快的人行走（s+50）×3＝3s＋150 米，慢的人行走（s-50）×3＝3s－150 米，快的比慢的多走
300 米。因此，选择D 选项。
100
51.【答案】C。解析：第一步，本题考行程问题。第二步，总共3 小时骑行60 千米，则平均速度为60÷3＝20 千米/小时。设上
坡速度为v，则下坡速度为2v，若上坡路程等于下坡路程，则由等距离平均公式有
，解得v＝15 千米/小时，2v＝30 千米
/小时，即上坡速度为15 千米/小时，下坡速度为30 千米/小时。第三步，若上坡路程较大，相当于速度慢的部分多了一些，为了保证
3 小时仍行驶60 千米，则上、下坡速度应变大；若下坡路程较大，则相当于速度快的部分多了一些，此时上、下坡速度应变小。因此，
选择C 选项。
52.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题，属于相遇追及类。第二步，两人从同端出发，第n 次相遇，公式为2ns=（
）
t。代入数据，2×7×3=（2＋4）t，解得t=7（小时）。相遇时，小王走的路程为7×2=14（公里），14÷3=4……2（公里），距离出
发点2 公里。因此，选择D 选项。
53.【答案】D。解析：第一步，本题考查基本行程类。第二步，设路程为s，小王的常规速度为v，平时所用时间为t，则有s=vt。
若提速20%，则速度变为1.2v，时间提早10 分钟，即（t-10）分钟，则有s=1.2v（t-10），两方程消元消去s 和v，可解得t=60 分
钟，s=60v。第三步，若提速25%，则速度变为1.25v，那么所用时间为
分钟，较平时的60 分钟提前了12 分钟。因
此，选择D 选项。
54.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，赋AB 间路程为3，则BC 间路程为4；设去时AB 间速度为v，则BC
间速度为2v。去时共用时2 小时30 分，即150 分钟，有
＋
＝150，解得v＝
，则BC 间速度为
。第三步，返程时高速公路
速度不变，即BC 间速度不变，仍为
；AC 间速度降低
，变为
×（
）＝
。所用时间为3÷
＋4÷
＝3×45＋4×15
＝195（分钟），即3 小时15 分钟。因此，选择D 选项。
55.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题，属于相遇追及类。第二步，根据题目中的追及顺序，可知最开始时甲乙丙的
出发点如图所知，设甲乙之间的距离为a 米，甲丙之间的距离为b 米。1 分30 秒=1.5 分钟，3 分30 秒=3.5 分钟，5 分30 秒=5.5 分钟。
101
根据“3 分钟后甲追上乙”，可得a=（
）×3①；根据“又过1 分30 秒后丙也追上乙”，可得a+b=（
）×（3+1.5）
②；根据“又过3 分30 秒后丙追上甲”，可得b=（
）×（3+1.5+3.5）③；根据“又过5 分30 秒后丙第二次追上乙”，环形
追及问题，每追上一次就多走一圈，丙从第一次追上乙到第二次追上乙，共用时3.5+5.5=9 分钟，可列式360=（
）×9，解得
v 丙-v 乙=40，代入②式可得a+b=40×4.5=180④。8×①+3×③可得：8a+3b=24（
）=960⑤，联立④⑤可解得a=84，b=96。
故甲在乙身后84 米。因此，选择B 选项。
56.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，赋值狭窄道路全长300，则小汽车需要倒车距离（转运车需要前进
距离）为270，转运车需要倒车距离（小汽车需要前进距离）为30。赋值小汽车的正常速度为30，则小汽车倒车速度为5，转运车正
常速度为10，转运车倒车速度为2。第三步，若小汽车倒车，在小汽车倒车的过程中，转运车可继续前进，当小汽车倒车结束时，转
运车已完成前进任务，需要时间为270÷5＋300÷30＝64；若转运车倒车，在转运车倒车的过程中，小汽车可继续前进，当转运车倒
车结束时，小汽车已完成前进任务，需要时间为30÷2＋300÷10＝45。故转运车倒车更省时，能使两车都尽快通过。因此，选择B 选
项。
57.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，甲比乙晚15 分钟出发，且甲每45 分钟走3km。若要至少相遇两次，
则在乙出发后的0~45 分钟甲应追上乙一次，甲第一次休息的15 分钟（即45~60 分钟），乙应追上甲一次，即乙45 分钟走过的路程应
小于等于3km，60 分钟走过的路程应大于等于3km，可知乙的速度3≤v≤4，甲到达B 需要30+15+30+15+30＝2 小时，若要时间相差最
多，则乙的速度尽可能小，当乙的速度为3km/h 时，乙到达B 地需要9÷3＝3 小时，乙提前15 分钟出发，需要2 小时45 分钟，相差
45 分钟。因此，选择B 选项。
102
58.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，由于往返过程中上下坡路程相等，则根据等距离平均速度公式可知，
上下坡平均速度为
=
，机器人上下坡往返共计（2000+1600）×2＝7200 米，用时7200÷
=1350 秒=22.5 分钟，可知其
在平路上行驶60-22.5=37.5 分钟，单程37.5÷2＝18.75 分钟=1125 秒，可行驶6×1125＝6750 米，机器人折返前最多能行进
2000+1600+6750=10350 米。因此，选择B 选项。
59.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，设乙的速度为x 米/分钟，那么甲的速度为x+10 米/分钟。由题意甲
走的时间为120 分钟，距离为（x+10）×120；乙走的时间为120-20=100 分钟，距离为100x。根据多走了2800 米可列方程（x+10）
×120-100x=2800，解得x=80，那么甲的速度为90 米/分钟=5400 米每小时，即5.4 千米／小时。因此，选择D 选项。
60.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查行程问题。第二步，除正在维修路段外，其余路段速度不变，用时也相同，故
1/3 正在维修的路段，返回时比去时多用30 分钟，即0.5 小时，设去程时该路段用时t 小时，那么返回时用时（t＋0.5）小时，可列
方程：120t＝60（t＋0.5），解得t＝0.5，那么该段路程为120×0.5＝60（千米），全程为60×3＝180（千米）。因此，选择C 选
项。解法二：第一步，本题考查行程问题，用比例法解题。第二步，120 千米/小时与60 千米/小时，速度之比为2∶1，速度与时间成
反比，所需时间之比为1∶2，返程比去程用时多30 分钟，可知1 份时间为30 分钟（去程30 分钟、返程60 分钟），全程的
去程用
时30 分钟＝0.5 小时，甲、乙两地距离为120×0.5×3＝180（千米）。因此，选择C 选项。
61.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题与几何问题的杂糅。第二步，出发20 分钟即1/3 小时，甲在此时间内行走距离
为
千米，乙在此时间内行走距离为
千米。如图所示，20 分钟后，甲由A 行走到
，
的距离为（x-4/3）千米，乙由B 慢跑到
，
的距离为
千米，根据直角三角形勾股定理有x²=（8/3）²+（x-
）²，解得x=
。
103
因此，选择D 选项。
62.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，甲第一次追上乙，用时
秒，第二次甲的速度减少0.5，则
甲追上乙用时
秒，以此类推，第三次用时
秒，第四次用时
秒，第五次用时
秒，第六次用时
秒，然后两人速度相等，此时共用时1470 秒。而30 分钟等于1800 秒，两人同速后时间为1800-1470=330 秒。则相同速
度跑过的路程为330×3=990m。因此，选择A 选项。
63.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题中的相遇追及类。第二步，设老李骑行的速度为v 公里/小时，则他骑行了
小
时后与小李相遇，小李驾驶的时间为（
）小时;由题意可列方程：
+10=2v。第三步，代入A 选项，
×
30+10=40=2×20，满足方程。因此，选择A 选项。
64.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，小王取文件往返共用15×2＝30（分钟），小王提速20%，提速后小
王与小李的速度之比为6∶5，那么走完全程用时之比为5∶6，时间差1 份是30 分钟，故小李走全程用时为180 分钟，即3 小时，那
么小李的速度为15÷3＝5（公里/小时）。因此，选择C 选项。
104
65.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，从早晨7 点到中午1 点，共6 小时，根据去程与返程所用时间相同
可知，往返各3 小时，返程速度为6km/h，单程为6×3＝18km，设海岸线长xkm，则集合点到海岸线长（18－x）km，列方程：
＝3，解得x＝6km。因此，选择B 选项。
66.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题，属于基础行程问题，用赋值法解题。第二步，由三人的速度之比为2∶1∶3，
甲进入场地时乙已跑完
圈，赋值甲、乙、丙速度分别是200、100、300，长方形场地一圈长（500＋250）×2＝1500（米），乙跑完
2 圈所用时间为
＝30，乙跑500 米所用时间为
＝5，故当乙跑完2 圈时甲跑的时间为30－5＝25，甲跑的距离为25×200＝5000
（米）。第三步，同理丙到场地时落后甲100 米，甲跑100 米所用时间为
＝0.5，故丙在乙跑完2 圈时所用时间为25－0.5＝24.5，
丙所跑的距离为24.5×300＝7350（米）。丙比甲多跑的距离为7350-5000＝2350（米）。因此，选择D 选项。
67.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题，属于基本行程类。第二步，由题意甲车以2 米/秒的速度匀速行驶，乙车从静
止开始以1 米/秒²的加速度开始匀加速行驶，则两车在相遇之前，两车的距离为
，是一个二次函数，图像是
开口向下抛物线的一半，排除A、C 选项。第三步，两车在相遇之后且都未到达终点前，两车的距离为
（根据
v=at 可知，出发2 秒时，甲、乙两车车速相同，两车相遇时，乙车速度及行驶距离均远大于甲车），故乙车将先到终点，此后两车间
距离的变化，为甲车匀速运动向终点行驶，是一条直线。因此，选择D 选项。
68.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题，属于基本行程类。第二步，根据第一天和第二天的行驶时间之比为3∶4，设
第一天与第二天的时间分别为3t 和4t；根据第二天和第三天的路程相等，设第二天第三天的路程都为s；根据第三天行驶5 小时，第
一天的路程为400 千米，前三天的平均速度为80 千米/小时，总路程=平均速度×总时间，可以得到方程（3t+4t+5）×80=400+s+s，
解得s=280t。可知第二天的平均速度为280t÷4t=70（千米/小时）。因此，选择A 选项。
69.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题，属于流水行船类。第二步，从甲到乙需要6 天，从乙到甲需要8 天，赋值甲
乙间路程为48，则v 船+v 水=8、v 船-v 水=6，解得v 水=1，一个漂流瓶从甲地到乙地需要48÷1=48（天）。因此，选择C 选项。
105
70.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题，用方程法解题。第二步，根据题意可知，甲从9 时到13 时，经过4 小时到达
中点，乙从10 时到13 时经过3 小时到达中点，故甲的速度为300÷4＝75，乙的速度为300÷3＝100。第三步，从9 时到11 时经过2
小时，此时两车相距600－（75＋100）×2＝250 千米。因此，选择D 选项。
71.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题，属于流水行船类，用方程法解题。第二步，设甲船在静水中时速为V 甲、乙
船在静水中时速为V 乙、水速为V 水，根据甲从A 顺流而下5 小时后到达B 列方程：5×（V 甲+V 水）=300，解得V 甲+V 水=60；根据
甲船停留1 小时后又过了6 小时追上乙船列方程：6×（V 甲-V 水）=12×[（V 甲-V 水）-（V 乙-V 水）]，化简得2V 乙=V 甲+V 水=60，
则乙船在静水中的时速为30 公里。因此，选择C 选项。
72.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，设一圈的长度为3，则较快者速度为3÷1.5=2，设较慢者速度为v，
由两种不同的相遇情况列方程：3=（2-v）×3，3=（2+v）×1，均可解得v=1，则速度较慢者每圈用时是3÷1=3 分钟。因此，选择A
选项。
73.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题，用方程法解题。第二步，根据已跑过的路程长度恰好是未跑路程的
，可知
已跑过的路程占5 份，未跑路程占7 份，故设全程为12x，则已跑路程为5x，未跑路程为为7x，再根据题干“跑了比全程的
多2000
米的路程”，可知已跑的路程为
，联立
，解得7x＝6000，未跑路程为7x＝6000（米）。因此，选
择C 选项。
74.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，当两人合计走完两地间路程时甲走了500×4＝2000（米），乙走了
2400×（4/3）＝3200（米），全程为2000＋3200＝5200（米）。第三步，甲乙速度之比为2000∶3200＝5∶8，那么乙速度快先走完
全程，此时甲走了5200×（5/8）＝3250（米），距离全程还剩5200－3250＝1950（米）。因此，选择D 选项。
75.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题，属于相遇追及类。第二步，环形同点同向出发每追上一次，甲比乙多跑一圈。
第一次由于是不同起点，甲比乙多跑原来的差距200 米；之后两次追上都多跑400 米，甲一共比乙多跑200+400×2=1000（米）。乙
跑了2000 米，甲跑了3000 米，时间相同，则速度比与路程比也相同，可知甲的速度是乙的3000÷2000=1.5 倍。因此，选择B 选项。
106
76.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题，用方程法解题。第二步，根据狗与两人同时出发可知狗与两人的运动时间相
同。两人从相距1200 米，相向运动至100 米，共行走1200－100＝1100（米），设两人运动时间为t 分钟，根据相遇公式
，
1100＝（40＋60）×t，解得t＝11。则狗总共跑的距离为11×80＝880（米）。因此，选择D 选项。
77.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查行程问题。第二步，设50 秒增加的速度为v 公里/小时，50 秒＝
小时，
根据匀加速公式S=
，可列方程：（60＋60＋v）÷2×
＝1，解得v＝24，50 秒可以加速24 公里/小时，那么想提高到
120 公里/小时，需加速60 公里/小时，需要60÷
＝125（秒）。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查行程问题。第二步，
1 公里花费
分钟，平均速度是1÷
=1.2 公里/分，根据匀加速运动可知这就是第25 秒末的速度。从1 公里/分加速到1.2 公里/分
花费25 秒，那么加速到2 公里/分需要花5 个25 秒，即125 秒。因此，选择B 选项。解法三：第一步，本题考查行程问题。第二步，
初速度是60，设50 秒后末速度为v，距离是1 公里可画图如下：
107
根据梯形面积公式s=
，有1=
，解得v=84 公里/小时。所以50 秒的时间速度上升了84-60=24 公里/小时，
现在要求提高到120 公里/小时，需要加速（120-60）÷24=2.5 个50 秒，所以需要50×2.5=125（秒）。因此，选择B 选项。
78.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，根据题意，有S=2（v 甲＋v 水）＝3（v 甲－v 水）＝5（v 乙－v 水），
则v 甲＝5v 水，v 乙＝3.4v 水，令v 水＝1，则v 甲＝5，v 乙＝3.4，S＝12。则乙从上游到下游所需要的时间为12÷4.4≈2.7（小时），
所以甲比乙提前到达的时间为：2.7－2＝0.7（小时），在半个小时到一个小时之间。因此，选择B 选项。
79.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，设两人的速度分别是x 米/分和y 米/分，异向而行为相遇，根据题
意有1800=（x+y）×10；同向而行为追及，有1800=（x－y）×25。解得x=126，y=54。因此，选择A 选项。
80.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，设甲乙两地相距S 千米，那么A 与B 相遇时，A 走了S+64，而B 走
了S－64。在时间一定的情况下路程与速度成正比，有（S+64）∶（S－64）=40∶24，解得S=256。因此，选择B 选项。
81.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础行程问题，用公式法解题。第二步，小林的速度为x 公里/小时，则老林的速度为（x
＋6）公里/小时，10 分钟＝
小时，老林追上小林时距离工厂500 米，可知两人均走了1.5－0.5＝1（公里），但小林比老林多用
小
时，根据行程问题基础公式：t＝
，可列方程：
－
＝
。因此，选择A 选项。
82.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查基本行程问题，可用基本公式法解题。第二步，由题意可知甲、乙、丙三人跑
完一圈的时间分别为：t 甲=10 分钟，t 乙=
分钟，t 丙=
分钟，若三人再次相聚于O 点，则必须为三人跑完整圈的时间，则所求
时间为t 甲、t 乙、t 丙的整数倍，选项中只有50 满足。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查基本行程问题，可用比例法
解题。第二步，相同时间下，速度与路程成正比，根据三人速度比为5∶8∶12，可得甲、乙、丙距离比为5∶8∶12，则三人相聚于O
点时，甲跑了5 圈。根据题意圆形跑道长度为
千米，甲的速度为5 千米/小时，则可求出甲跑完5 圈的时间为t 甲=50 分钟。因此，
选择B 选项。
108
83.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题，属于相遇追及类。第二步，行程问题基本公式S＝V×T，所以学校到滑雪场
的距离＝20×2＝40（公里），在游玩4 小时后返回，则此时距离开学校已经过了6 个小时，而大客车在5.5 小时后去接社团，则在社
团返回学校之前，大客车已经走了半个小时（30 分钟），即走了40×0.5＝20（公里），剩下的20 公里为大客车和社团的相遇过程。
第三步，根据相遇公式
，则20＝（40+20）×T，解得相遇时间T＝
小时＝20 分钟，所以大客车出发后与社团相遇
的时间为30+20＝50（分钟）。因此，选择C 选项。
84.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题的环形相遇问题，用相遇公式和基本行程公式解题。第二步，设甲、乙两人的
速度为
，
，由题意可得方程组：S＝（
＋
）×35①；S＝
×60②；化简可得
。第三步，因此乙所用时间为
秒。因此，选择B 选项。
85.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，计算甲从A 到B 的时间为120÷3＋60÷5＝52（秒），乙从A 到B
的时间为120÷2＋60÷3＝80（秒）。这就说明当甲到达B 地时乙还在上坡路段行驶，当时间为60 秒时，乙到达坡顶，这时甲已开始
往回走，甲回程上坡走完3×（60－52）＝24（米）时，乙刚好开始下坡，这时甲乙相距60－24＝36（米），接着甲乙会首次相遇。
第三步，根据相遇公式，36＝（3＋3）×t，解t＝6（秒），那么可以计算出乙从坡顶行走的距离为3×6＝18（米），这时乙行走的
总路程就是两人首次相遇时距离A 点的路程，为120＋18＝138（米）。因此，选择B 选项。
86.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题，用比例法解题。第二步，设原速度为v，由车速提高20%，可知
，
时间相差1 份，提前了15 分钟，则t=90，
=75；假设全程提速25%，可知
，则
=72，而实际用时75 分钟，故按原速度
行驶30 千米比提速25%后多用75－72=3（分钟），根据比例，按原速度需用时15 分钟，故原速度为30÷15=2。第三步，按原速度行
驶全程需用时90 分钟，故总路程为2×90=180（千米）。因此，选择C 选项。
87.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题中的相遇追及类问题。第二步，根据题意可知，甲出发一小时后变成了追及问
题，追及距离为甲前1 小时走过的距离，根据公式S
v
t
20
1
20（公里）。此后，变成了乙追甲的追及问题，甲的速度变成了
109
10 公里/小时，再套用追及问题公式S 追及
（
）
t 追
（50-10）
t 追，解得t 追=0.5 小时。则甲乙两人的位置距离八一
村
（公里）。因此，选择C 选项。
88.【答案】B。解析：第一步，本题考查平均速度问题，用行程问题基本公式解题。第二步，由小明的步行速度为1 米/秒即3.6
千米/时，又知从A 地到B 地步行需要3 小时，可以得到AB 两地之间的距离S=3.6×3=10.8（千米）。由骑自行车需要1 小时，电动
车的速度是自行车的两倍，可得到骑自行车的速度为10.8 千米/时，骑电动车的速度为21.6 千米/时。第三步，要求出小明从A 地出
发，步行1.5 小时后骑自行车到B 地，然后返回途中先骑电动车走完一半路程，再步行返回A 地的平均速度，用总的路程除以总的时
间，=
5.76（千米/时）。因此，选择B 选项。
89.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，赋值总路程为60，甲的速度为
=5，乙的速度为
=4。逆风甲的
速度下降40%，即5×（1－40%）=3；乙的速度下降10%，即4×（1－10%）=3.6。第三步，设无风行驶时间为x，逆风行驶时间为y。
可列方程组：5x+3y=60；4x+3.6y=60。解得x=6，y=10，故逆风行驶10 小时。因此，选择A 选项。
90.【答案】B。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，两班同学同时出发，同时到达，又两班学生的步行速度相同，说明
两班学生步行的距离和坐车的距离分别相同。设两个班学生步行的距离为x，坐车距离为y，则由题意有
，解得
，
那么x 占全程的
，即第二班的学生步行了全程的七分之一。因此，选择B 选项。
91.【答案】C。解析：第一步，本题考查行程问题。第二步，赋值小张的速度为6，小李的速度为4，小王的速度为2，根据相遇
追及公式，S 相=
，有S 张李=（6+4）
，S 张王=（6+2）
，S 张王=S 张李，得
，S 丙丁=6（
），代入得S
丙丁=
，S 甲乙=10
；所以S 丙丁/S 甲乙
。因此，选择C 选项。
92.【答案】A。解析：第一步，本题考查行程问题的相遇问题，用相遇公式和比例法解题。第二步，由第一次相遇时王大妈和李
大妈所用时间均为5 分钟，后期李大妈走王大妈一开始的路程所用时间为4 分钟，根据行程公式可知路程一致，王、李两位大妈时间
比为5∶4，则两人速度之比为4∶5。第三步，两人从第一次相遇到第二次相遇所走路程为一个环形周长，那么李大妈单走一圈所用时
间为（5+4）×（4+26）÷5=54（分钟）。因此，选择A 选项。
110
93.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题，属于基本行程类。第二步，E 为AD 中点，则EA＝10÷2＝5（米），甲经过
EABF 从E 点到F 点所走路程为AE＋AB＋BF＝5＋10＋3＝18（米）；标记HF 的转弯点为M、N，那么甲经EGHF 从E 点到F 点所走路程
为EG＋GH＋HM＋MN＋NF＝（EG＋HM＋NF）＋GH＋MN＝10＋2＋（5＋2－3）＝16（米）。第三步，两种路线速度相同，路程比为18∶16
＝9∶8，那么所用时间之比为9∶8，第一种路线用时9 秒，那么第二种路线用时8 秒。因此，选择D 选项。
94.【答案】D。解析：第一步，本题考查行程问题，属于相遇追及类。第二步，设小王速度为x，小张速度为y，根据小王和小张
分别于上午8：00 和8：30 出发，且在11：00 时小张追上小王，即小王在3 小时时间走的路程与小张2.5 小时所走路程相同，可得
3x＝2.5y①，又根据10：00 时小王到达两地中点丙地，而此时小张距离丙地尚有5 千米，可得2x＝1.5y＋5②，联立两式解得x＝25，
y＝30，那么甲地到丙地的距离为25×2＝50（千米）。第三步，甲乙两地的距离是甲丙的2 倍，则甲乙两地的距离为50×2＝100（千
米）。因此，选择D 选项。
95.【答案】C。设张某出发时的速度为v，8：00 从A 地出发，8：30 到达C 点，则AC 间的路程共用时30 分钟。根据公式：路程
=速度×时间，则AC 距离为30v。8：30 到达C 点后，加速30%继续行驶，并于9：00 第二次到达C 点。则可知张某在BC 间往返共用
时30 分钟，即单程用时15 分钟，速度变为1.3v，则BC 距离为
。故AC 距离是BC 距离的
倍。
96.【答案】A。根据题意可知，
，解得n=60，则甲船距离A 港60 海里，乙船距离A 港
海里。已知乙
船的速度是甲船的
倍，则
，根据乙船比甲船早3 小时到A 港，可列式：
，即
，
解得
。
97.【答案】B。根据题意，赋值最初乙每分钟的速度为1，则甲每分钟的速度为2。环形跑道同点出发反向而行，第一次相遇路程
和为一圈，设环形跑道一圈路程为S，则
。从第一次相遇到第二次相遇，两人的路程和又是一圈，
111
而乙正好跑了半圈，则甲跑的路程也为半圈，即甲跑的路程为
。甲的速度始终未变，则两人第一次到第二次相遇间隔了
分钟，即2 分15 秒。
98.【答案】C。根据题意，赋值小赵出发时每小时的速度为2，则小张出发时每小时的速度为1。两人同时从甲、乙两地出发，1
小时后相遇，根据相遇公式：
，可得
。小赵从乙地到甲地全程用时为
小时，则小张
从甲地到乙地全程用时为1.5+1=2.5 小时。小张从相遇后到达乙地用时为2.5-1=1.5 小时，小张从相遇后到达乙地距离等于小赵1 小
时行进距离=2×1=2，则小张从相遇后到达乙地的平均速度为
。根据公式：均匀加速运动的平均速度=(V 初+V 末）/2，可列式
，解得小张达到乙地时的速度为
，则小张到达时的速度是小赵到达时速度的5/3÷2=5/6 倍。
99.【答案】C。根据题干“父亲跑到终点时，儿子距离终点还有40 米”可得，父亲跑完100 米时，儿子跑了60 米。根据“时间
相同，路程与速度成正比”可得：
；由于两人保持匀速，故在后续的40 米相遇过程中，
，则儿子距
离终点的距离即为此过程中父亲所走的距离，
米。
100.【答案】C。设甲全程的平均速度为
，甲乙同向同时沿直线出发，10 秒后甲追上乙，根据直线追及公式：S=速度差×时间，
可得
，解得
米/秒，即甲全程的平均速度为25 米/秒。已知甲是从速度为0 起步做匀加速运动，根据
公式：匀加速运动的平均速度
，可得
，解得
，即甲在追上乙时的速度为50 米/秒。
112
101.【答案】C。根据题干可知，乙最快速度>甲最快速度，若要取得最好成绩，则让乙尽量用超过甲的速度多跑，即甲乙交接时
乙的速度=甲的最高速度=8m/s。根据加速度公式：
，则乙从速度0 到8m/s 用了
。根据匀加速直线运动的位移公
式为：
，则乙从速度0 到8m/s 一共跑了
米，这4s 内，甲跑了8×4=32 米。则甲追乙的距离=32-16=16 米，
即乙需要在距离甲16 米时起跑。
102.【答案】D。设上坡路段儿子的速度为x，则父亲的速度为1.2x；设下坡路段儿子的速度为y，则父亲的速度为0.8y；赋值上、
下坡路段的距离分别为1、2。根据“父子同时到达终点”，可列式：
，化简可得：y=3x，则父亲上、下坡路段的
速度之比为
。
103.【答案】C。根据火车过桥公式：
，可得通过桥梁时车速为
米/秒，
米。通过
隧道时车速为
米/秒，则
米，运输车队通过隧道需
秒。
104.【答案】A。根据题意可知，前一半路程的速度
千米/小时，后一半路程的速度
千米/小时。根据等距离
平均速度公式：
，可得该徒步爱好者爬山的平均速度=(2*6*3)/(6+3)=4 千米/小时，全程爬山的用时为
小时。根据行程公式：s=vt，则该徒步爱好者爬山全程是4×2.25=9 千米。
113
105.【答案】D。设起始位置与第一个标记点之间、任意两个标记点之间的距离均为x，此人以v 的速度匀速攀岩，根据题意可得：
2x<30v<3x······①，4x<70v<5x······②。
化简①式，可得
，化简②式，可得
，联立①②两式，可得
。匀速攀爬了120 秒，则有
，即在第八个和第九个标记点之间。
106.【答案】B。根据题意可知，该货车第一次到达C 地的时间为8：30，则从A 地到C 地需行驶8：30-8：00=30 分钟；第二次
到达C 地的时间为9：15，则从C 地到B 地再返回至C 地需行驶9：15-8：30=45 分钟，继续行驶返回至A 地还需从C 地驶到A 地，故
回到A 地的时间为9：15+30 分钟=9：45。回到A 地后，速度变为n+0.5n=1.5n，根据路程不变，速度与时间成反比，速度前后之比为
2：3，则时间前后之比为3：2。则该货车9：45 从A 地再次出发，第三次到达C 地需用时
分钟；继续行驶，到达B 地后再返
回C 地需用时
分钟，故其第四次到达C 地的时间是9：45+20 分钟+30 分钟=10：35。
107.【答案】C。由题可知，小张开车走完全程所需时间为2.5h，根据公式：速度=路程/时间，可得V 张=150/2.5=60 千米/小时。
小张开135 千米所用时间=135/60=2.25 小时，小李比小张晚出发1 小时，则到135 千米时小李用时=2.25-1=1.25 小时，故V 李
=135/1.25=108 千米/小时。
108.【答案】D。根据比例行程，若S 相同，则V 与T 成反比，可知甲地到乙地：
；乙地到丙地：
。
根据题意，去程从甲地到乙地的时间为去程全程的一半，则设去程从甲地到乙地的时间为15x，全程时间为30x，返程从丙地到乙地的
114
时间为9x，从乙地到甲地的时间为25x，全程时间为34x，故
，在D 项范围内。
109.【答案】C。已知9 千米/小时=900 米/3600 秒=2.5 米/秒，根据s=vt，小张40 秒后距离A 点2.5×40=100 米，则AB 长度为
100+35=135 米。根据题干“AB 长度是AD 的1.5 倍”，可得AD=BC=135/1.5=90 米。小张慢跑1 分钟的距离为2.5×60=150 米，根据跑
前距离B 点还有35 米，BC 长度为90 米，150-35-90=25 米，可得1 分钟后小张到达CD 边上E 点且与C 点距离为25 米，如下图所示，
与A、D 两点构成直角三角形，其中AD=90 米，DE=135-25=110 米，根据勾股定理可得AE2=AD2+DE2，则AE2=902+1102=8100+12100=20200，
因此
米，则此时小张距离A 点的直线距离在140~145 米之间。
110.【答案】A。设小李开车匀加速行驶10 分钟后的速度为v 千米/小时，则匀速行驶20 分钟时的速度为v 千米/小时。根据公式：
匀加速运动的平均速度
，可得小李开车前10 分钟匀加速行驶的平均速度为
千米/小时。根据“两次匀加速行驶总距离与匀
速行驶距离相等”，可得
，解得v=54，即匀速行驶的速度是54 千米/小时。
111.【答案】B。赋值法。乙的速度为甲的一半，赋值乙的速度为1，那么甲的速度为2，两人相向而行，共用了三分钟相遇，那
么一圈的总路程为（1 + 2）× 3 = 9。那么第二圈，乙加速了，正好走了半圈，那么他们两个一共走了一圈，说明甲也走了半圈，第
二圈甲和乙走的路程一样，说明他们两个的速度也一样，所以第二圈乙加速后的速度也变成了2。那么，第一次相遇后，第二次相遇
所用的时间为：9/(2+2) = 2.25 分= 2 分15 秒。
115
经济利润问题
1.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设这种商品的进价为x 元/件，售价为y 元/件。可列方程组：（0.8y
－x）×2＝y－x＝（y－120－x）×3，联立解得y＝450。因此，选择B 选项。
2.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查经济利润问题，属于最值优化类。第二步，根据题干可知：甲实验室检验单份样
本的费用低于乙实验室，所以要让总检验费用最低，应该尽量让甲多做、乙少做。第三步，要求15 小时内检验完毕时，甲做15 小时，
可完成15×200=3000 份，乙完成余下7000 份；总检验费用为：3000×100+7000×200=170 万元。第四步，要求18 小时内检验完毕时，
甲做18 小时，可完成18×200=3600 份，乙完成余下6400 份；总检验费用为：3600×100+6400×200=164 万元。第五步，要求15 小
时内检验完毕，最低总检验费用比要求18 小时内检验完毕时高：170-164=6 万元。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查经
济利润问题，属于最值优化类。第二步，根据题干可知：甲实验室检验单份样本的费用低于乙实验室，所以要让总检验费用最低，应
该尽量让甲多做、乙少做。如果甲、乙各做15 小时，总的检验样本数为（200+500）×15=10500 份>10000 份。第三步，要求15 小时
内检验完毕时，甲做15 小时；要求18 小时内检验完毕时，甲做18 小时。甲少检验3 小时，少检验3×200=600 份，总检验费用多600
×（200-100）=60000 元=6 万元。因此，选择D 选项。
3.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查经济利润问题，用方程法解题。第二步，由公司成立第三年的利润比第二年高
300 万元，是第一年利润的3 倍，设公司第一年的利润为x，第二年的利润为3x-300，第三年的利润为3x，甲占的投资比例为y；根
据甲第二年分配的金额是第三年的一半，可得方程3xy×40%=2×（3x-300）y×40%，解得x=200。则公司第一年利润是200 万元，第
二年利润300 万元，第三年利润600 万元；再根据甲第二年比第一年多20 万元，可得方程0.4×300×y－0.4×200×y＝20，解得y
＝50%。第三步，由于公司只有甲乙两人，甲占投资的50%，乙也占投资的50%。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查经济
利润问题，用方程法解题。第二步，由公司成立第三年的利润比第二年高300 万元，是第一年利润的3 倍，设公司第一年的利润为x，
第二年的利润为3x-300，第三年的利润为3x。因为所有的比例关系分别保持不变，根据甲第二年分配的金额是第三年的一半，则公司
第二年的利润也是第三年的一半，可得方程3x=2×（3x-300），解得x=200，即公司第一年利润是200 万元，第二年利润300 万元。
第三步，第二年公司可分配的利润比第一年多（300-200）×40%=40 万元，甲第二年比第一年多分配20 万元，则乙第二年比第一年多
分配40-20=20 万元。由于公司只有甲乙两人，则甲、乙投资额占比均为50%。因此，选择B 选项。
4.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，根据题干中的百分数进行赋值，赋值改造前的日产量、能耗成本
分别为10 和2，则改造后的日产量和能耗成本则为9 和1。假设其他成本为x，单件利润为y，则出厂价为3y，改造前，y=3y-2-x，
116
改造后利润提高了10%，即9（3y-1-x）=1.1×10×y=1.1×10×（3y-2-x），解方程可得x=7，y=4.5。改造前能耗成本与其他成本的
比值为2/7≈1/3.5，在B 选项的范围内。因此，选择B 选项。
5.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于基础公式类。第二步，设该商品成本为2x 元，定价为3x 元，降价
30 元/件的基础上打八折的售价为（3x-30）×0.8=2.4x－24，那么单利为0.4x－24。根据销售5 件的利润比1 件多130 元，有5（0.4x
－24）－x=130，解得x=250。则该商品成本为500 元，定价为750 元，1.5 万元可以买15000÷750=20（件），多买4 件则售价实际
为15000÷（20+4）=625（元）。四个选项的售价分别为560 元、625 元、600 元、637.5 元，仅有B 符合。因此，选择B 选项。
6.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题，用方程法解题。第二步，由题意可得，优惠券减免金额=
=292 万元，
设满50 元减10 元的优惠券有x 万张，满100 减30 的有y 万张，则x+y=15.6①，10x+30y=292②，联立解得x=8.8，y=6.8。要使得实
际支付金额最少，则需消费金额正好达到可用优惠券金额即可，那么消费者实际支付金额为8.8×（50-10）+6.8×（100-30）=828 万
元。因此，选择C 选项。
7.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于分段计费类。第二步，利润分得方式分为三段：①0—10 万元的部分
甲分得8 万元，乙分得2 万元；②10—20 万元的部分甲分得6 万元，乙分得4 万元；③设超过20 万元的部分为x 万元，则甲分得0.4x
万元，乙分得0.6x 万元。第三步，甲获得的总利润是8+6+0.4x，乙获得的总利润是2+4+0.6x，由题意1.2×（8+6+0.4x）=2+4+0.6x，
解得x=90。第四步，总利润是20+90=110（万元），减半是55 万元，则甲分得8+6+（55-20）×0.4=28（万元），乙分得2+4+（55-20）
×0.6=27（万元）。甲比乙多1 万元。因此，选择C 选项。
8.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题，用代入排除法解题。第二步，代入A 选项，总共进了160 千克，则总成本
为160×12＝1920，总销售额为
＝3360，不满足两倍的关系，排除；（160 千克可销售16 天，套用等差数列通项公
式，则第一天的售价为6+（16-1）×2=36，下同）代入B 选项，总共进了170 千克，则总成本为170×12＝2040，总销售额为
＝3740，不满足两倍的关系，排除；代入C 选项，总共进了180 千克，则总成本为180×12＝2160，总销售额为
＝4140，不满足两倍的关系，排除；代入D 选项，总共进了190 千克，则总成本为190×12＝2280，总销售额为
117
＝4560，满足两倍的关系，正确。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，根据“总
销售额是总进货成本的2 倍”，可得每千克糖果的平均售价为12×2＝24（元），由于从第二天起每天都比前一天降价2 元/千克，推
知实际销售时每天的糖果价格是公差为－2 的等差数列，在等差数列中，平均售价＝（第一天售价＋最后一天售价）÷2，代入数据得，
第一天售价为24×2－6＝42（元），进而可求出销售天数为
（天），每天销售10 千克，故销售总量为19×10＝190
（千克）。因此，选择D 选项。
9.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于利润率折扣类，用方程法解题。第二步，假设全价机票价格为x 元，
题目中存在的等量关系为6 折时总乘机成本=1.4 倍的4 折时总乘机成本，即0.6x＋90＋60＝1.4×（0.4x＋90＋60），可以得到x＝
1500。因此，选择C 选项。
10.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于基础公式类。第二步，由于8 月和9 月的销量相同，8 月的利润率
为30%，9 月的亏损率为30%，因此两者的利润一正一负相互抵消。第三步，设单件进价为x 元，通过获利15000 元可列方程200×0.6x
＝15000，解得x＝125。因此，选择D 选项。
11.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于利润率折扣类。第二步，设A 商品的定价为x，B 商品的定价为y。
则前年A 商品的利润为0.3x，成本为0.7x；前年B 商品的利润为0.4y，成本为0.6y。那么，去年的售价为（x＋y）×90%＝0.9x＋0.9y，
则去年的利润为（0.9x＋0.9y）－（0.7x＋0.6y）＝0.2x＋0.3y。第三步，前年商品A 销量为10 万个，商品B 销量为4 万个，则前年
总利润为（3x＋1.6y）万；去年商品A、B 绑定销售，销量B 为8 万套，则去年的总利润是（1.6x＋2.4y）万；去年总利润比前年增加
了20%，可知（1.6x＋2.4y）＝（1＋20%）（3x＋1.6y），化简得2x＝0.48y，则x＝0.24y。所以A 商品的定价为B 商品定价的24%。
因此，选择D 选项。
12.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查经济利润问题，属于最值优化类，用方程法解题。第二步，设枣园明年的利润
为y 元，则y＝18×（2500－0.2n）＋3×（400＋n），化简得y＝46200－0.6n。第三步，因为y＝46200－0.6n，可知随着n 值的增
加，y 值不断减小，所以n 应该尽可能取小值，故让n＝0。当n＝0 时，y＝46200，则枣园明年的利润最多为46200 元。因此，选择B
选项。解法二：第一步，本题考查经济利润问题，属于最值优化类，用方程法解题。第二步，当紫薯产量大于400 公斤时，紫薯每增
加n 公斤多盈利3n，而此时枣少盈利18×0.2n＝3.6n，可见紫薯产量不应大于400 公斤，即400 公斤。因此枣园明年的利润为2500
×18＋3×400＝46200（元）。因此，选择B 选项。
118
13.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查经济利润问题，属于利润率折扣类。第二步，总利润为500×80×45%＝18000
（元）。根据经济利润问题的量化关系列表分析如下：
第三步，要达到预期目标，最多降价120－100＝20（元）。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查经济利润问题，属于
利润率折扣类，用十字交叉法解题。第二步，由商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500 件，要达到盈利45%的预期目标，则总
的平均售价为80×（1＋45%）＝116（元）；并以每件120 元的价格销售了400 件，设降价后的售价为x 元，根据十字交叉有：
，即
，解得x＝100。第三步，要达到预期目标，最多降价120－100＝20（元）。因此，
选择D 选项。
14.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于利润率折扣类。第二步，售价和销量之间的变化关系如下表：
第三步，全天销售额为900＋1040＝1940（元）。因此，选择B 选项。
119
15.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题中的基础公式类。第二步，设商品的成本为x 元/件，根据“利润相同”列
方程：4（100-x）=6（80-x），解得x=40。因此，选择B 选项。
16.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题中的基础公式类。第二步，根据题意，设拼配豆中，甲咖啡豆的质量为a，
乙咖啡豆的质量为b，则原拼配豆的成本为60a+50b，产量变化后，拼配豆的成本为60a（1+15%）+50b（1-15%）=69a+42.5b，根据拼
配豆成本上涨5%，可列式子：69a+42.5b=（1+5%）（60a+50b）=63a+52.5b，整理得6a=10b，即a∶b=5∶3。因此，选择B 选项。
17.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题中的基础公式类。第二步，改进种植技术后，亩产为600+100=700 千克。
设原来每千克售价为x 元，列方程：700（x+1）-600x=1100，解得x=4，则原来每亩产值是600×4=2400 元。因此，选择C 选项。
18.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题中基础公式类。第二步，赋值商品最初成本为100 元，根据利润率
，
可得利润＝成本×利润率＝100×20%＝20 元，根据售价＝成本＋利润，可得售价＝100＋20＝120 元。第三步，进货价降低20%之后为
100×（1－20%）＝80 元，根据利润＝售价－成本，此时利润为120－80＝40 元，根据利润率
，所以此时利润率＝
。
因此，选择D 选项。
19.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题，利用方程法解题。第二步，设定价为x，进价为y，根据公式：利润＝售
价－进价，代入数据可得：0.9x－y＝70①，0.95x－y＝100②，联立①②，求解方程组，可得x＝600，y＝470，即进价为470 元，在
450－500 元区间内。因此，选择B 选项。
20.【答案】B。解析：第一步，本题考查分段计费问题。第二步，根据分段情况，0－15 分钟费用为0 元，15－60 分钟费用为5
元，60 分钟以上费用为每30 分钟4 元。17－5=12 元，即超过60 分钟部分的费用为12 元，12÷4=3 份，即3 个30 分钟，为1.5 小时，
由于“不足30 分钟，按30 分钟计”，因此12 元部分对应时长为1<时长≤1.5 小时，2<总时长≤2.5 小时。因此，选择B 选项。
21.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题中的基础公式类。第二步，设改造前单位产品非人工成本为x，则人工成
本为3x，改造后单位产品非人工成本为（1-10%）x=0.9x，则人工成本为（1-50%）3x=1.5x，赋值改造前单日产量为1，则改造后单日
产量为2，根据“改造后每天的人工成本比非人工成本高3.6 万元”，2×（1.5x-0.9x）=3.6，解得x=3，改造后每天新生产线降低的
成本为2×（0.1×3+0.5×3×3）=9.6，设n 天后新生产线降低的成本可与花费的改造成本相抵，列方程：9.6n=3456，解得n=360。
因此，选择C 选项。
120
22.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础公式类。第二步，等额本金还款方式，即每月还款本金相同，每月还款额=每月还款
本金+剩余贷款一月产生利息，20 年=20×12 月=240 月，每月还款本金为
=0.25 万元，剩余贷款60-0.25=59.75 万元，一月产生利
息为59.75×
0.20415 万元，则第二个月需还款0.25+0.20415=0.45415 万元=4541.5 元。因此，选择B 选项。
23.【答案】A。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于基础公式类。第二步，设该商品的定价为x，打八折为0.8x，根据
“降价30 元比打八折销售贵10 元”可建立方程x-30－0.8x=10，解得x=200。因此，选择A 选项。
24.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题，基础公式类。第二步，赋值每件进价为10 元，则上月售价为14 元，利
润为4 元，本月进价为10×（1-20%）=8 元，设本月销量为x，列方程：（14-8）x=1.8×4m，解得x=1.2m。因此，选择C 选项。
25.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础经济利润问题。第二步，小刘购买三件商品，可以参加促销活动。根据要求结账时
第一件商品价格≥第二件≥第三件。所以A 按原价付款，两件B 分别打4 折和1 折。第三步，根据题目中等量关系列式A+40%B+10%B=
（A+2B）×56.25%，整理得A-0.5625A=1.125B-0.5B，0.4375A=0.625B，
≈1.428。则10 件A 最多可以买14 件B。因此，选择C 选
项。
26.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，要使本次购买服装的成本最低，可考虑以下几种情况：①在甲
购买上衣、丁购买裤子，费用为：77×15+40+62×15+40=2165 元；②全部在甲购买，费用为：（77+65）×15+40=2170 元；③全部在
乙购买，费用为：（79+64）×15+40=2185 元；④全部在丙购买，费用为：（78+63）×15+40=2155 元；⑤全部在丁购买，费用为：（80+62）
×15+40=2170 元；成本最低，为④全部在丙购买。因此，选择B 选项。
27.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设售价上涨了x 个1 元，则销量减少了10x 个。那么根据总利
润=单利×销量，可知总利润=（44-40+x）（300-10x）=10（4+x）（30-x）。此式在4+x=30-x 时有最大值，此时x=13，则售价为44+13=57
（元）。因此，选择D 选项。
28.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设定价为x，成本为y，列表如下：
121
第三步，根据题意总利润为总成本的2/3，则300x＋150x＋60x－600y=600y×2/3，解得y=0.51x。因此，选择C 选项。
29.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设售价上涨了x 个1 元，则销量减少了10x 个。那么根据总利
润=单利×销量，可知总利润=（44-40+x）（300-10x）=10（4+x）（30-x）。此式在4+x=30-x 时有最大值，此时x=13，则售价为44+13=57
（元）。因此，选择D 选项。
30.【答案】A。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，采摘6 斤的费用为20×6=120（元），则采摘2 斤的费用为60
元，可知门票价格为60-20×2=20（元）。采摘8 斤的价格为20×8=160（元），采摘4 斤的门票为10 元，价格为20×4+10=90（元），
前者比后者多160-90=70（元）。因此，选择A 选项。
31.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，将苹果和冬枣的产量之比为4∶3 与苹果和甜橘的产量之比为5∶
2 两个比例通过苹果统一为苹果、冬枣、甜橘的产量之比为20∶15∶8，设苹果产量为20x 公斤，冬枣产量为15x 公斤，甜橘产量为
8x 公斤。可列方程：6×15x－7×8x＝3400，解得x＝100。那么苹果产量为2000 公斤，冬枣产量为1500 公斤，甜橘产量为800 公斤，
总收入为5×2000＋6×1500＋7×800＝24600（元）。因此，选择D 选项。
32.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设篮球进价为a，则定价为1.25a，假设一共有10 个篮球，促
销价为定价的x 折，根据共获利15%可列方程：1.25a×2+1.25a×8x-a×10＝a×10×15%，解得x=90%。因此，选择C 选项。
33.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，要使销售额最大，则贵的应尽可能多卖：（3）精加工一周最多
销售10×7=70 公斤，销售额为30×70＝2100 元；（2）粗加工一周最多销售100×7＝700 公斤，销售额为15×700＝10500 元；（3）
直接出售1000-70-700=230 公斤，销售额为10×230＝2300 元。销售额最大为2100+10500+2300＝14900 元。因此，选择B 选项。
34.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于分段计费类。第二步，设基础时长为t 小时，根据题意可知，收费
按照三个不同的阶段标准进行收费：①0~t 小时，5 元/小时；②t~3t 小时，8 元/小时；③3t 小时以上，11 元/小时。第三步，根据超
122
出基础时长11 小时，共交费116 元，分情况讨论：（1）没有超出3 倍，可列式5t+11×8=116，解得t=5.6，不满足基础时长为整数，
排除。（2）超出3 倍，可列式5t+8×2t+11×（11-2t）=116，解得t=5。因此，选择B 选项。
35.【答案】A。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设共10 件货物，成本为100 元，利润为75 元，6 折时售价为
175×0.6＝105 元，利润为5 元，则这批货物最终利润率为
＝68%。因此，选择A 选项。
36.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于基础公式类。第二步，设这批苹果有n 公斤，根据利润=售价－成本，
25000=12×80%n＋10×（1－80%）n－9n-0.1n，解得n=10000。10000 公斤=10 吨（1 吨=1000 千克=1000 公斤）。因此，选择B 选项。
37.【答案】A。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设每桶花生油进价为100x，则每桶玉米油进价为80x，列表如
下：
花生油比玉米油每桶售价高10 元，有124x－104x＝10，解得x＝0.5。第三步，玉米油与花生油进价相差20x，为20×0.5＝10
（元）。因此，选择A 选项。
38.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查最值优化问题。第二步，根据题意可得A 地与B 地运输到C 地相差100 元，要
使得费用少，尽可能B 到C；同理运输到D 地尽可能A 地到D 地，不够的B 地来补齐。最优的费用为A 地运输到D 地7 个，运输到C
地3 个，B 地的全部运输到C 地，共需要7×600+3×400+6×300=7200（元）。第三步，若B 地运往C 地少一台，A 地多往C 地运一台，
则B 地多花400，A 地少花600-400=200，总运费多200 元。7200 到7800 可以取7200、7400、7600、7800 四个值，一共有四种方案。
因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查最值优化问题。第二步，采用极值枚举法，从运输到D 地的设备着手分析。①7 个A
地设备到D，其余到C，共需要7×600+3×400+6×300=7200＜7800，满足。②6 个A 地设备和1 个B 地设备到D，其余到C，共需要6
×600+1×700+4×400+5×300=7400＜7800，满足。③5 个A 地设备和2 个B 地设备到D，其余到C，共需要5×600+2×700+5×400+4
123
×300=7600＜7800，满足。④4 个A 地设备和3 个B 地设备到D，其余到C，共需要4×600+3×700+6×400+3×300=7800=7800，满足。
共计四种。因此，选择B 选项。
39.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设种植农产品1 亩，如下表：
设采用新技术前总成本为a，则采用新技术后总成本为1.35a，根据每亩利润比之前增加了100%可列方程：2（xy－a）＝1.5xy－
1.35a，解得a＝
xy，采用新种植技术后，每亩利润为1.5xy-1.35a＝
xy，每亩利润占每亩销售收入的比例为
xy÷1.5xy＝
≈30.7%。因此，选择B 选项。
40.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于最值优化类题目，用枚举法解题。第二步，A、B 两地距离为S，则
可得到包装与装卸费用、运输费用、损耗费用，列表如下：
第三步，由上表乙和丙公司相比可先排除乙公司，当11S+2700=13S+1600 时可得S=550，由于S﹤550，可得选择丙公司总费用最
小。因此，选择C 选项。
124
41.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于分段计费类。第二步，小于等于800 元不交税，800 至4000 元的部
分交税320 元，现在交税620 元，必定稿费大于4000 元。设超出4000 的有x 元，则320+15%x=620，解得x=2000。稿费为2000+4000=6000
元。因此，选择D 选项。
42.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题，属于利润率折扣类。第二步，赋值成本为10，总量为10，设原价为a。
根据利润率=
，可得最终的总利润=10×10×34%=34。第一天销量为6，获得的利润为（a－10）×6=6a－60；第二天销量为2，获
得的利润为（0.8a－10）×2=1.6a－20；第三天按照成本价出售，获得的利润为0。可列式：（6a－60）+（1.6a－20）=34，解得a=15。
第三步，该水果按原价销售的利润率为
。因此，选择C 选项。
43.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，赋值原价是10，第一天的销量为1，则售价每天下降10×10%
＝1，成本为10×60%＝6。
这6 天的总利润为4+6+8+8+0－4=22，总成本为6×（1＋2＋4＋8＋16＋4）=210，那么总利润是总成本的
≈10.5%，介于10%
—20%之间。因此，选择B 选项。
44.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，开通会员需花费99 元，开通会员后，服装类打九折，可以省
1480×0.1＝148（元）；非服装类打九五折，可以省（3200＋3600＋1500）×0.05＝415（元）；运费可以省235 元。那么一共省148
＋415＋235－99＝699（元），介于500—750 元之间。因此，选择B 选项。
125
45.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设原价为x，根据题意有12×（0.9x-50-10）=10×（x-50-10），
解得x=150。如果打八折售价变为150×0.8=120，则1 万元最多可以买的件数为10000÷120≈83.3，最多可以买83 件。因此，选择B
选项。
46.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，赋值甲公司工资总额为1600，那么乙公司工资总额为1600×（1
＋25%）＝2000，那么乙公司中现金总额为1500，股票价值总额为500，由于股票下跌48%，那么股票价值总额为500×（1－48%）＝
260（元），则实际工资总额为1500＋260＝1760（元），1760＞1600，故实际比甲公司多（1760－1600）÷1600＝10%。因此，选择C
选项。
47.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设水果的进货成本为x 元/千克，根据题意，则第一天的售价为
1.4x 元/千克，第三天的售价为1.4x×（1－10%）×（1－10%）=1.134x（元/千克），根据第三天比第一天降低13.3 元/千克，可得
1.4x－1.134x=13.3，解得x=50。因此，选择D 选项。
48.【答案】B。解析：第一步，本题考查最值问题，用枚举法解题。第二步，各种规格的圆珠笔售价分别为：单盒装10 元/盒、5
盒装8 元/盒、10 盒装7 元/盒，20 盒装6 元/盒，可知同样的钱买盒装容量越大的购买的数量越多。根据甲企业预计最多正好购买92
盒，构造数量最多的情况，即：购买4 份20 盒装的圆珠笔、1 份10 盒装圆珠笔、2 份单盒装圆珠笔，则甲的费用＝4×120＋1×70＋2
×10＝570 元。同理，根据乙企业最多正好购买103 盒，构造数量最多的情况，即：购买5 份20 盒装的圆珠笔、3 份单盒装圆珠笔，
则乙的费用＝5×120＋3×10＝630 元。第三步，两人合买的总费用为570＋630＝1200 元，全部购买20 盒装的圆珠笔可以购买10 份，
即200 盒，比分开购买多了200－92－103＝5 盒。因此，选择B 选项。
49.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，3 支圆珠笔单支购买需要1.7×3=5.1（元），按整包
装购买每3 支可便宜0.1 元；10 支圆珠笔单支购买需要1.7×10=17（元），按整包装购买每10 支可便宜2 元。第三步，最低购买总
价为1.7x-2.3，相比单支购买共优惠2.3 元，即购买10 支装一包优惠2 元、购买3 支装3 包，优惠0.3 元，x 最大值为19。因此，
选择A 选项。解法二：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，3 支圆珠笔单支购买需要1.7×3=5.1（元），按整包装购买每3 支
可便宜0.1 元；10 支圆珠笔单支购买需要1.7×10=17（元），按整包装购买每10 支可便宜2 元。第三步，若x＞20，即至少购买10
支装两包，优惠2×2=4（元），不符合题意，结合选项，只有A 选项符合。因此，选择A 选项。
50.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，假设甲品种每份成本为x，则利润为0.3x，每份售价为x＋0.3x
＝1.3x＝58.5 元，解得x＝45（元）。由45＝3A＋B＋C，A＝6 元，可得B＋C＝27（元），故每份乙品种的成本为A＋2B＋2C＝6＋2
×27＝60（元）。第三步，设甲、乙品种的销售份数分别为m、n，根据利润率十字交叉得到的是总成本之比，可得：
126
可得
，解得
。因此，选择D 选项。
51.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，总利润＝单利润×销量，已知总利润为200 元，采用代入排除
法，代入A 选项，当售价为22 元时，单利为22－15＝7（元），此时销量为30＋3×2＝36（千克），此时总利润为7×36≠200 元，
排除；代入B 选项，当售价为20 元时，单利为20－15＝5（元），此时销量为30＋5×2＝40（千克），故总利润为5×40＝200（元），
满足题意。因此，选择B 选项。
52.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，从丙地到甲地的价格40 元低于丁地到甲的50 元，而从丁地到
乙的价格30 元低于丙地到乙的价格50 元，故让丁地的8 台优先运到乙地，花费30×8＝240（元），乙地差的5 台由丙地运送需花费
50×5＝250（元），则丙地其余的15 台送到甲地，需花费40×15＝600（元），一共需花费240＋250＋600＝1090（元）。因此，选
择B 选项。
53.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，A 款文件夹每个的利润为2.3－1.6=0.7（元），B 款
文件夹每个的利润为3－2=1（元），利润最大应该优先生产B 款文件夹，尽可能少生产A 款文件夹。设每周生产A 款文件夹x 个，B
款文件夹y 个，那么x+y=9000①，1.6x+2y≤15000②，由①式有y=9000－x，代入②式可得x≥7500。那么A 款文件夹最少生产7500
个。因此，选择C 选项。
解法二：第一步，本题考查经济利润问题，用代入排除法解题。第二步，A 款文件夹每个的利润为2.3－1.6=0.7（元），B 款文
件夹每个的利润为3－2=1（元），利润最大应该尽可能少生产A 款文件夹。从小开始代入，代入A 选项，则每周B 款文件夹生产9000
个，成本为9000×2=18000 元＞15000 元，不符合题意；代入B 选项，则每周B 款文件夹生产3000 个，成本为6000×1.6+3000×2=15600
元＞15000 元，不符合题意；代入C 选项，则每周B 款文件夹生产1500 个，成本为7500×1.6+1500×2=15000 元，此时利润最大，符
合题意。因此，选择C 选项。
127
54.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，每个月使用的天然气超过标准立方数后每立方的价格为4×80%
＝3.2（元）。设每月使用天然气标准立方数为x 立方，可列方程：4x＋3.2×（100－x）＝380，解得x＝75，即每月使用天然气标准
立方数为75 立方。因此，选择D 选项。
55.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，由题意可知甲、乙、丙3 种商品的总库存量为300＋300＋400=1000
（件），一半为1000÷2＝500（件），要求总销售额最高，则单价高的商品尽可能多地按原价销售，因此构造前500 件包括：单价为
500 元的乙商品300 件，单价为400 元的丙商品200 件。剩余500 件商品打5 折销售，此时销售额最高，最高为300×500＋200×400
＋（200×400＋300×300）×0.5＝31.5（万元）。因此，选择C 选项。
56.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，按照零售价格销售每束花的利润为99－39＝60（元），按照团
购活动，每束花的利润为59－39＝20（元），若零售量减半，则后来零售量为400 束。第三步，设月团购销量为x 束，可列方程：60
×800＝60×400＋20x，解得x＝1200。故月团购销量是1200 束。因此，选择C 选项。
57.【答案】B。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设该企业去年的营业支出为x 万元，那么去年的营业收入为（x
＋1000）万元。可得今年该企业的营业支出为1.1x 万元，今年营业收入为1.15（x＋1000）万元。可列方程：1.15（x＋1000）－1.1x
＝1000＋600，解得x＝9000，那么今年的预计营业支出是9000×1.1＝9900（万元）。因此，选择B 选项。
58.【答案】D。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，赋值薏米、红豆和小黄米的量分别为2、3 和5，设小黄米成本
为x 元。则小黄米的总价为5x，薏米为23.6×2，红豆为9.8×3，可列方程：23.6×2＋9.8×3＋5x＝13.3×（2＋3＋5），解得x=11.28。
因此，选择D 选项。
59.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查经济利润问题，属于基础公式类。第二步，设该商品的单件进价为x 元，那么
由题意可列方程：600×（12-x）＋400×（13.5-x）＝5000，解得x＝7.6。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查经济利润
问题，属于基础公式类。第二步，一共1000 件商品，如果都按照每件12 元的售价出售，那么总利润将会减少（13.5-12）×400=600
（元）。那么此时该商品的利润为（5000-600）÷1000＝4.4（元），进价为12－4.4＝7.6（元）。因此，选择B 选项。
60.【答案】C。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，设降低的金额为n 元，即降了n 个1 元，则每件利润变为100
－80－n=20－n。根据题意每天的销售利润为（20－n）×（120+20n）=20（20－n）（6+n），当20－n=6+n 的时候销售利润最大，即
n=7。因此，选择C 选项。
128
61.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，根据总利润＝总收入－总成本，4 天全卖完的收入为
10×100×4＝4000（元），其中2 天剩余20 斤的收入为10×80×2＝1600（元），其中1 天剩余10 斤的收入为10×90×1＝900（元），
所以7 天的总收入为4000＋1600＋900＝6500（元）。7 天的总成本为7×100×5＝3500（元），故总利润为6500－3500＝3000（元）。
因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，根据总利润＝单利润×销量，4 天全卖出的利润为（10－5）
×100×4＝2000（元），其中2 天剩余20 斤的利润为（10－5）×80×2＝800（元），其中1 天剩余10 斤的利润为（10－5）×90×1
＝450（元），而没卖出的一共损失5×20×2＋5×10×1＝250（元），那么总利润为2000＋800＋450－250＝3000（元）。因此，选
择B 选项。
62.【答案】A。解析：第一步，本题考查经济利润问题。第二步，由题意可知，2 公里以内8 元，超过2 公里不足5 公里的部分
每公里2 元，则前5 公里需花费8＋2×3＝14（元）；已知该乘客共花费了20 元，则超过5 公里的路程花费20－14＝6（元），已知
超过5 公里不足8 公里的部分，每公里3 元，则可行驶
＝2（公里），那么该出租车最多行驶了5＋2＝7（公里）。因此，选择A 选
项。
63.【答案】B。设该商品的成本为x，且赋值该商品的定价为10，则打折前该商品每件的利润为10-x；打折后该商品每件的售价
为10×0.8=8，利润为8-x。根据等差数列通项公式
可知，打折销售第15 天卖出该商品
件；根据等差数列求和公式
可知，该商品打折销售15 天共计销售
件。根据题意可列方程：（8-x）×1800=（10-x）×20×40，解得x=6.4。故这种商品的成本是定价
的
。
64.【答案】A。根据题意可知，销量分为三段：前60 千克、之后60 千克和剩余的200-（60+60）=80 千克，相对应的收入也分为
三段：打2 折、打5 折和原价，排除B、C 两项。出售60 千克该种试剂打2 折的收入一定低于打5 折的收入，排除D 项。
129
65.【答案】C。每张CD 转手价格为150 元，则盈利25%的CD 原价为
元；亏损25%的CD 原价为
元。可
得小明购买两张CD 原价为120+200=320 元，转手价格为150×2=300 元，亏损了20 元钱。
66.【答案】C。设生产A 食品
份，生产B 食品
份，根据题干可得方程组：
，解得
，
。则生产A、B 两种食品最大利润为：
元。
67.【答案】D。根据题意，由于“每消费600 元立减50 元”，故要想平均每件的购买成本最低，则应让购买总价刚好为600 的倍
数。因为购买商品单价为500 元，因此购买总价也应为500 的倍数。故购买总价既是600 的倍数又是500 的倍数，则其应为600 和500
最小公倍数（3000）的倍数。因为购买件数不超过10 件，所以购买总价不超过500×10=5000 元，则当购买总价为3000 元时，即购买
3000÷500=6 件商品时，此时平均每件成本最低。
68.【答案】D。根据题意，要确定哪个家电的补贴金额最多，需要分别计算该产品的最终销售价格，再计算出对应的补贴金额：
甲冰箱（二级能效）：最终售价=2000×0.7=1400 元；补贴金额：1400×15%=210 元；乙油烟机（一级能效）：最终售价=1500×0.9=1350
元；补贴金额：1350×20%=270 元；丙电视（二级能效）：最终售价=3000×0.6=1800 元；补贴金额：1800×15%=270 元；丁空调（一
级能效）：最终售价=1800×0.8=1440 元；补贴金额：1440×20%=288 元。比较补贴金额，丁空调的补贴金额最多。
69.【答案】C。根据题意可知3 月和4 月未营业，租金和装修共花费1+1+11=13 万元。5 月开始营业，纯利润为3 万元，且此后
每月纯利润都比上月增长10%，所以6 月纯利润=3×(1+10%)=3.3 万元、7 月纯利润=3.3×(1+10%)=3.63 万元、8 月纯利润=3.63×
(1+10%)=3.993 万元。3+3.3+3.63+3.993=13.923 万元>13 万元，则从8 月开始盈利。
70.【答案】D。设降价x 元后，总利润不变。由题意可知，总利润为(10-5)×5=25 元，根据“总利润不变”可列式：
，化简可得
，结合选项代入，x=4 时满足题意。故降价4 元后，总利润不变。
130
71.【答案】C。据题意可知：每支康乃馨的进价
元，康乃馨的定价=2.4×（1+50%）=3.6 元。设打折促销的康乃馨为x
元，根据“最终获得的总利润是初期期望获得总利润的85%”，可列方程：
，解
得x=2.88，则所求折扣
，即打了8 折。
72.【答案】D。根据公式：利润=成本×利润率，可得甲、乙两种商品在A、B 两个跨境电商平台销售的单件利润如下表：
根据乙商品在A 平台上售出800 件，可得乙商品在A 平台上总利润为800×42=33600 元，在B 平台上总利润为33600÷2=16800 元，乙
商品在A、B 两个平台共售出
件。则甲商品在A 平台上总利润为123600−33600=90000 元，在B 平台上总利润为123600
−16800=106800 元，甲商品在A、B 两个平台共售出
件。故甲、乙两种商品售出数量之比为
，在D 项
范围内。
73.【答案】B。根据题意可知，每月固定投资为
元，所以每月总成本为5000+25000+5000+8000+8000+1000=52000
元。设每天（一个月以30 天计算）要至少卖出x 杯咖啡才能够达成期望，根据公式：盈利=售价-成本，则可列式：
，解得x=160。
74.【答案】B。方法一：设今年1 月商品的成本为x 元/吨。根据题意，可列表如下：
131
由表可知：3 月的利润最高，11 月的利润最低。方法二：根据选项，最高利润只需比较3 月与4 月，根据题意，3 月与4 月的定价相
同，而4 月的成本更高，故4 月的利润更低，排除C、D 两项；同理，最低利润只需比较10 月与11 月，10 月与11 月的定价相同，而
11 月的成本更高，故11 月的利润更低，排除A 项。
75.【答案】A。赋值甲、乙两种商品的单价均为10 元，则第二天乙打八折的价格为10×0.8=8 元。设乙第一天的销量为x 件，则
甲第一天的销量为1.5x 件，甲第二天的销量为（1400-1.5x）件，乙第二天的销量为1400-1.5x+500=（1900-1.5x）件。根据“甲、
乙两种商品两天的总销售额相等”，可列式：1400×10=10x+8×（1900-1.5x），解得x=600。因此乙第一天销售600 件。
76.【答案】A。若是全部购买Y 理财产品，即按年收益率5%（单利）计算，根据单利公式：利息=本金×年收益率×时间，则3
年预期收益为40×5%×3=6 万元。若是全部购买L 理财产品，即按年收益率4%（复利）计算，根据复利公式：本息和
，
则3 年预期本息和
万元，此时3 年预期收益=44.8-40=4.8 万元，故Y 的预期收益比L 的预期收益
多6-4.8=1.2 万元，与A 项最接近。
77.【答案】B。设大杯单价为x 元，中杯单价为y 元。根据题意可列方程组为：3x+y=74······①；2x+2y=68······②。
解得x=20，y=14。设张三买了甲套餐a 份，乙套餐b 份。已知张三计划购买甲、乙套餐的钱刚好用完，可知张三总钱数为（74a+68b）
元；点单时甲套餐打了8 折，则甲套餐单价为74×0.8=59.2 元，结合“但却把两种套餐的份数搞反了，结账后张三余下的钱刚好再购
买7 杯中杯”，可列方程：（74a+68b）-（59.2b+68a）=7×14，整理得3a+4.4b=49。由于a、b 为套餐数必须是正整数，结合选项范
围，故b 可能的取值有5、10、15。当b=5 时，解得a=9；当b=10 或15 时，a 均非正整数。则张三原计划购买5+9=14 份套餐。
78.【答案】B。定价赋值为1，成本设为x。八折之后的销量：第1 天销量为40+10=50，
132
第15 天销量是a15=50+(15-1)10=190；利用等差数量，前n 项求和公式，Sn=(a1+an)/2*n 共
销售（50+190）×15÷2=1800 件。由利润相等建立等式:（1×0.8-x）1800=(1-x)20×40; 解得X=0.64。成本是定价的0.64÷1=64%。
比例思维题
1.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题，使用方程法求解。第二步，14：00—15：00 共1 个小时，张和李两人每访
问1 户需要5 分钟，那么这1 个小时之内两人都访问了12 户。设14：00 时李访问了x 户，则张访问了（63-x）户，根据15：00 时张
访问的户数是李的2 倍，有方程63-x+12=2（x+12），解得x=17 户，那么15：00 时李共访问了29 户，距离50 户还差21 户，需要再
用时5×21=105 分钟=1 小时45 分钟，到时时间为16：45。因此，选择B 选项。
2.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用问题，利用方程法解题。第二步，假设2020 年甲、乙、丙三家企业的收入分别
是a 万元、b 万元、c 万元。根题意可得：
，
。第三步，解得：a=1800、
b=1200、c=3000。所以a-b=600。因此，选择D 选项。
3.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，为便于后续计算，设A、B 两种设备的定价为10x
万元。促销期间，A、B 两种设备分别打六折、七折促销。则A、B 两种设备的售价分别为：6x、7x（万元）。根据“购买1 台B 设备
的费用比购买A、C 设备各1 台的总费用高2 万元”，可列出方程：7x=6x+0.8+2，解得x=2.8（万元）。则促销期间一台A 设备售价
为：6x=16.8（万元）。第三步，所以促销期间1000 万元预算可以购买A 设备：
（台），最多可以买59 台A 设备。因此，
选择C 选项。
4.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，使用方程法求解。第二步，设原甲中队成员12x 人，原乙中队成员12y 人，
根据题目要求新组建一中队成员为4x＋3y 人，新组建二中队成员为3x＋4y 人，余下5x＋5y 人组成新的三中队。则有5x＋5y＝30 人，
即x＋y＝6①；再根据新组建的一中队人数比二中队人数多10%可得，4x＋3y＝（1＋10%）（3x＋4y），化简得，x=2y②，联立①②解
得x=4，y=2。因此新组建的三中队有5x=20 人来自原甲中队。因此，选择D 选项。
5.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，70 多名毕业生中，在毕业后去西部省区支援国家建设有96%，即
24/25，说明毕业生总数是25 的倍数，即75 人，毕业后去西部省区支援国家建设的有72 人，去偏远中小学支教的毕业生占该专业毕
133
业生总数的20%，即75×20%=15 人，任职大学生村官的毕业生=15+2=17，西部地区参军入伍的毕业生=15-1=14，所以去国有企业西部
边远岗位工作的毕业生=72-15-17-14=26。因此，选择C 选项。
6.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，设丙村的人数为x，那么甲村的人数为2x，大米的总量为2x×24=48x。
设乙村人数为y，则由题意12y+4（2x+y+x）=48x，化简为4y=9x，故乙村人数y=9x÷4=2.25x。大米平均分配给乙丙二村，每人可分
48x÷（2.25x+x）=192/13≈14.8（斤）。因此，选择B 选项。
7.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，由于今年亩产比去年增加了20%，即
，则设去年稻谷亩产量为5x
斤，则今年亩产量为6x 斤，根据销售收入比上年高660 元列方程，1.65×6x-1.5×5x=660，解得x=275，今年的稻谷亩产是6x=1650
斤。因此，选择C 选项。
8.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，买进口设备花费480 万元，买国产设备花费495 万元。设能买进口
设备x 台，那么买国产设备（x＋3）台。根据国产设备单价为进口设备单价的75%可列方程：480÷x×75%＝495÷（x＋3），解得x
＝8，那么能买国产设备11 台，单价为495÷11＝45（万元）。因此，选择C 选项。
9.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，设甲村学龄儿童x 人，列方程100x+550=120x-630，解得x=59，现
有资金100×59+550=6450 元，额外筹集后共有6450+2510=8960 元，按每人80 元的标准，可分给8960÷80=112 人，乙村学龄儿童有
112-59=53 人。因此，选择B 选项。
10.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，设第3 次销售额为8x，第2 次比第3 次低12.5%，则第2 次为7x，
第2 次比第1 次高40%，则第一次为
，前3 次总销售额为5x＋7x＋8x＝20x，根据后3 次销售额是前3 次的3 倍，则后3 次为
20x×3＝60x，6 次总销售额为20x＋60x＝80x，第5 次相当于总额的25%为80x×25%＝20x，第5 次比第4 次高10%，第4 次为
，
第6 次为20x+16。第三步，根据后三次总和为60x，列方程
+20x+20x+16=60x，解得x＝8.8 万元，第6 次比第3 次高20x+16－8x
＝12x+16=12×8.8+16＝121.6 万元。因此，选择C 选项。
134
11.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，设乙图书室原有藏书N 本，那么甲图书室本数为N+3x，取出150
本后比乙多N+3x－150－（N+150）=3x-300，由题意3x－300=2x，解得x=300。那么甲图书室原有藏书（5000－300×3）÷2+300×3=2950
（本）。因此，选择C 选项。
12.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设甲单位职工人数100x，乙单位职工人数100y，
甲派出60%即60x 人去帮助困难群众，后来又从剩余的职工中派出40%即40x×40%＝16x 去参加业务培训；乙派出75%即75y 去帮助困
难群众，后来又从剩余的职工中派出75%即25y×75%＝
y 去参加业务培训。第三步，根据甲派出的职工比乙少3 人，可得75y－60x
＝3①；根据24 人参加业务培训，可得16x＋
y＝24②，联立①②，解得x＝
，y＝
。可知甲单位职工75 人，乙单位职工64 人，
甲单位比乙单位多75－64＝11 人。因此，选择D 选项。
13.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设第一天采买次数为2x，则第二天采买次数为3x，
第三天采买次数为（2x＋3x）－15＝5x－15，根据前三天共采买65 次，可得2x＋3x＋5x－15＝65，解得x＝8。第三步，第一天采买
2×8＝16 次，第二天采买3×8＝24 次，第三天采买5×8－15＝25 次，第四天采买2×16－5＝27 次。采买次数最多的是第四天27 次，
最少的是第一天16 次，两者相差27－16＝11 次。因此，选择C 选项。
14.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，两条生产线效率一样，根据两者生产件数差值不变可列方程组：y
－x＝x－54＝1.5x－y，解得x＝72，y＝90，即9—12 点乙一共生产了90 件，那么效率为
，距离500 件还差500－72－90＝
338（件），需要338÷60＞5.5（小时），即17 点30 之后。因此，选择D 选项。
15.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设复工商户x 家，采购消毒液10y 瓶，根据每个
商户分6 瓶，还剩余12 瓶，可得10y=6x+12①，根据多采购30%，每个商户分8 瓶后还剩余10 瓶，可得13y=8x＋10②，联立①②解
得x=28，y＝18。复工商户28 家，采购消毒液10×18=180 瓶，如果多采购80%，即采购180×（1+80%）=324 瓶，复工商户增加10 家，
变为28＋10＝38 家，由于每个商家分到的数量相同，324÷38＝8…20，故每个商家最多可以分到8 瓶。因此，选择A 选项。
16.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设总预算为10x，则基建支出为4x，图书购买支
出比基建低25%，则图书购买支出为4x×（1－25%）=3x，图书购买比信息化高25%，则信息化支出为3x÷（1+25%）＝2.4x，其他支
135
出为4.5，所以总支出为4x+3x+2.4x+4.5=9.4x+4.5=10x-0.3，解得x=8。那么总预算为80 万元，图书支出为24 万元。第三步，按24
万元算，全部用于购买图书，可以购买24 万÷25=9600 本，捐赠的是9600÷（1+20%）=8000 本，合计17600 本。因此，选择D 选项。
17.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题，用数字特性解题。第二步，车站的专业人员与去往车站的总人数之比为64%，
即
，化简为
，根据倍数特性可知车站的总人员是25 的倍数；同理超市的专业人员与去往超市的总人数之比为65%，即
，
化简为
，根据倍数特性可知超市的总人员是20 的倍数。学校的非专业人员比专业人员少30%，那么专业人员如果是100%，则总人
员为100%+70%=170%，专业人员占比为
≈58.8%，总人员是17 的倍数。第三步，由于总数96 人而机场的人员最多，那么车站、超
市、学校的总人员数只能是25、20、17，那么三个地方的专业人员数分别是16、13、10。机场的专业人数为62－（16+13+10）=23，
总人数为96－（25+20+17）=34，专业人员占比为
≈67.6%，无论人数还是比例都排名第1。因此，选择A 选项。
18.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设第二批医疗队中传染科医生人数为5a，重症科
医生人数为2a，护士人数为3a，可列方程：5a+2a-3a=40，解得a=10，那么第二批医疗队共有100 人。第三步，根据第一批比例为4∶
2∶4 和第三批比例为4∶3∶3，设第一批传染科医生、重症医生、护士人数分别为4x、2x、4x，第三批传染科医生、重症医生、护士
人数分别为4y、3y、3y。根据护士总人数是113，可列方程：4x+30+3y=113，根据三批传染科医生人数成等差数列，可列方程：50-4x=4y-50。
联立解得x=8，y=17。则三批医疗队一共有80+100+170=350（人）。因此，选择B 选项。
19.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设乙单位总人数为x，群众为y。已知“甲单位职
工人数是乙单位的2 倍”，所以甲单位的总人数为2x。已知“甲单位的职工中群众人数比乙单位多18 人”，所以甲单位的群众为y+18。
已知“两个单位中有一半是党员”，所以群众也是一半，据此建立等量关系，2（y+y+18）=x+2x①。“已知甲单位职工中党员占比比
乙单位高15 个百分点”那么甲单位的群众占比比乙单位低15 个百分点，据此建立等量关系，
②。第三步，联立①
②解得，x=60，y=36，所以甲单位的总人数2x=120，群众为y+18=36+18=54，所以党员为120-54=66。所以党员比群众多66-54=12。
因此，选择D 选项。
136
20.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设有x 家医院，根据向每家医院赠送12 箱口罩和
8 箱防护服，还缺8 箱口罩和11 箱防护服，可得总的口罩箱数为12x－8，防护服箱数为8x－11，根据向每家医院赠送10 口罩和7 箱
防护服，剩余的口罩比防护服多20 箱，可得（12x－8－10x）-（8x－11－7x）＝20，解得x＝17。则有17 家医院，口罩12×17－8
＝196 箱，防护服8×17－11＝125 箱。第三步，由于每家医院捐赠相同的物资，且捐赠后没有剩余，125÷17＝7……6，故防护服还
需采购17－6＝11 箱，因为口罩和防护服按照2∶1 的比例捐赠，故口罩需要采购（125＋11）×2－196＝76 箱，故口罩和防护服总计
至少还需采购11＋76＝87 箱。因此，选择D 选项。
21.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，用赋值法解题。第二步，赋值9：00—11：00 每分钟车流量为100，则12：
00—14：00 每分钟车流量为100×（1－20%）＝80，三个时段每分钟车流量的平均值为100×（1+10%）＝110。第三步，那么17：00
—19：00 每分钟车流量为110×3－100－80＝150。第四步，则17：00—19：00 每分钟车流量比9：00—11：00 多
＝50%。
因此，选择D 选项。
22.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查基础应用题，用数字特性法求解。第二步，根据“如果甲付钱，那么甲剩下的
钱是乙、丙两人钱数之和的
”，甲剩下的钱+乙丙两人钱数之和应该是2+13=15 的倍数，即三人总钱数-100 是15 的倍数，选项-100
后不能被15 整除的即可排除，排除B、C；根据“如果乙付钱，那么乙剩下的钱是甲、丙两人钱数之和的
”，三人总钱数-100 后剩
下的总钱数应该是9+16=25 的倍数，则选项-100 后不能被25 整除的即可排除，剩下的选项中A、D 都满足此条件，暂且保留；根据“丙
付钱可享受9 折优惠，丙剩下的钱是甲、乙两人钱数之和的
”，三人总钱数-90 后剩下的总钱数应该是1+3=4 的倍数，A 和D 选项中
只有A 满足条件。因此，选择A 选项。解法二：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设三人共带了x 元，由甲剩
下的钱是乙丙的
，那么甲剩下的钱是剩余总数（x-100）的
；同理乙剩下的钱是剩余总数（x-100）的
，丙打9 折只需要90
元，那么丙剩下的钱是剩余总数（x-90）的
。由此可列出方程：
，解得
x=850。因此，选择A 选项。
137
23.【答案】A。解析：解法一：第一步，合在一起，如果超过50 人则至少需要花51×70=3570（元），而现在花了5040，说明合
在一起的人数超过50 人，有5040÷70=72（人）。第二步，观察选项，甲、乙两所小学相差人数在20 左右，结合总人数为72，可知
一所小学为40 多人，另一所为20 多人。设分别为x 人、y 人，由题意有x+y=72①，90x+82y=6120②，解得x=27，y=45。第三步，两
所小学人数之差为45-27=18。因此，选择A 选项。解法二：第一步，本题考查基础应用题，用十字交叉法解题。第二步，合在一起，
如果超过50 人则至少需要花51×70=3570（元），而现在花了5040，说明合在一起的人数超过50 人，有5040÷70=72（人）。第三
步，观察选项，两所小学相差人数在20 左右，结合总人数为72 可知一所小学为40 多人，另一所为20 多人。不合在一起平均钱数为
6120÷72=85（元）。对混合平均数进行十字交叉有：
则甲、乙两小学的人数之比为3∶5，总人数为72 人，故甲、乙两小学的人数差为18。因此，选择A 选项。
24.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，设最开始水池中的水量为总容量的X，分类考虑，这连续六天分
为两类情况。一类为：出现3 天排除剩余的水量的1/3 和3 天排除剩余的水量的1/2，此时总水量×
＝总水量
，解出X＝
。一类为：出现2 天排除剩余的水量的1/3 和4 天排除剩余的水量的1/2，此时总水量×
＝总水量
，解出X＝
。最大为
。因此，选择A 选项。
25.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设财经大学毕业生有100x 人，那么政法大学的毕
业生有160x 人，那么政法大学和财经大学共有260x 人，则理工大学有80%×260x＝208x（人），三者之比为100：160：208，化简为
25：40：52，那么共有25n＋40n＋52n＝117n（人）。因为共有300 多人，故n＝3，共有117×3＝351（人），351÷7＝50……1，至
少再招聘6 人才能使招聘的应届生平均分成7 个小组。因此，选择A 选项。
138
26.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查基础应用题。第二步，通过分析条件②可知，每连续3 天超过30 摄氏度，则第
3 天浇水，周期为3 天；通过分析条件③可知，若连续120 小时不满足连续3 天超过30 摄氏度，即第5 天必浇水，则周期为5 天，问
题问的是超过30 摄氏度的天数最少，则令条件③中的连续5 天的温度都低于30 摄氏度。本题转化为求解连续3 天的周期数量。第三
步，设连续3 天超过30 摄氏度的周期数为x，连续5 天温度低于30 摄氏度的周期数为y，则x＋y＝8，3x＋5y≤31。3x＋5y＝3（x＋
y）＋2y＝3×8＋2y＝24＋2y≤31，解得y≤3.5。x＋y 的值固定，要让x 尽可能的小，则y 尽可能的大，最大为3，此时x＝5，即连
续温度超过30 摄氏度的天数最少为3×5＝15（天）。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查基础应用题，用代入排除法解
题。第二步，7 月有31 天，如果都是120 小时即5 天一浇水只有6 次，多出来的2 次只能是3 天一浇水导致。第三步，问最小从最小
开始代入，如果是12 天枚举3 天的日期分别为3 号、6 号、9 号、12 号，接下来19 天无法构成四次浇水，排除；如果是15 天，枚举
3 天的日期分别为3 号、6 号、9 号、12 号、15 号，接下来16 天可以选择20 号、25 号、30 号浇水，满足8 次。因此，选择D 选项。
27.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设原有卡车数量为x，每辆卡车货物数量为y；10
辆卡车退出后，卡车数量为（x-10）辆，每辆卡车货物数量为（y+2）；同理，返程时卡车数量为（x-10-15），每辆卡车货物数量为
（y+6）。根据题意可列式：xy=（x-10）×（y+2）①；xy=（x-10-15）×（y+6）②。第三步，化简①②可得：x-5y=10③；6x-25y=150
④，联立解得x=100，y=18。则每地货物量为1800 箱，AB 两地共有3600 箱。因此，选择C 选项。
28.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，A 和B 两家企业共申请专利300 多件，A 企业申请的专利中27%是
发明专利，根据倍数特性可知A 企业申请的专利总数是100 的倍数，又已知B 企业申请的专利数量少于A 企业，则A 企业申请的专利
总数可能为200 或者300。已知B 企业申请的发明专利数量多于A 企业，当A 企业的专利总数为300 时，B 企业的专利数不到100，则
A 企业的发明专利数为300×27%＝81，B 企业的发明专利数多于81，那么B 企业的专利数应该大于
，不满足题意。
因此A 企业申请的专利数只能为200，B 企业申请的专利数为100 多。第三步，若A 企业申请的专利数为200，则发明专利数为200×
27%＝54，非发明专利数为200－54＝146；B 企业申请的专利中发明专利与非发明专利之比为8∶13，B 企业申请的发明专利数是8 的
倍数，且要多于A 企业的发明专利数54，那么B 企业的发明专利数至少为56，此时B 企业的非发明专利数为
，那么两家
企业最少申请非发明专利146＋91＝237（项）。因此，选择A 选项。
29.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，甲车每次运输35 箱货物，先单独运输2 次，又与乙共同运输10
次，所以整个运输过程中甲共运输10＋2＝12（次），共运输货物35×12＝420（箱）。完成任务时乙比甲多运输10 箱货物，那么乙
139
一共运输货物420＋10＝430（箱），则乙每次可运输
（箱）货物。第三步，所有货物共有420＋430＝850（箱），若乙单独
运输，则850÷43＝19……33（箱），即乙单独运输19 次后还剩余33 箱，那么乙最后一次运输33 箱即可。因此，选择C 选项。
30.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设乙生产线月产量为x 件，根据甲生产线月产量
比乙多240 件，可得甲生产线的月产量为（x＋240）件；同理，设丙生产线月产量为y 件，则丁生产线的月产量为（y＋160）件。根
据甲乙生产线效率之和等于丙丁生产线效率之和，可列方程：x＋（x＋240）＝y＋（y＋160），化简得：y－x＝40，即乙生产线的月
产量比丙生产线少40 件。因此，选择A 选项。
31.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题，用枚举法解题。第二步，根据题目描述，列出下表：
同年7 月2 日该技校学员的总数，包括5 月批次学员剩余的150 名，6 月批次学员剩余的270 名，7 月批次学员剩余的300 名，那
么共有学生150＋270＋300＝720（名）。因此，选择C 选项。
32.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设A 种饮料生产了x 瓶，则B 种饮料生
产了（100－x）瓶，根据370 克添加剂恰好用完，可列方程：4x＋3×（100－x）＝370，解得x＝70，即生产70 瓶A 种饮料，那么B
种饮料生产了100－70＝30（瓶）。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查基础应用题，用假设法解题。第二步，假设都生
产A 饮料，则需要添加剂100×4＝400（克），但实际只有370 克添加剂，超出400－370＝30（克），每生产1 瓶B 饮料可比生产1
瓶A 饮料少用4－3＝1（克）添加剂，那么生产B 饮料
＝30（瓶），则生产A 饮料100－30＝70（瓶）。因此，选择D 选项。
33.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，今年考核人数为良及以下的占比降低了15 个百分点，则考核结果
为优的提高了15 个百分点，两年的总人数均为100，即今年考核结果为优的增加了100×15%＝15（人）。第三步，考核结果为优的人
140
数是去年的1.2 倍，赋值份数：5 份→6 份，每一份是15 人，则去年人数是5×15＝75，今年人数是6×15＝90。第四步，两年均为优
的人数至少为90＋75－100＝65（人）。因此，选择B 选项。
34.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，采用数字特性法。第二步，根据倍数特性，小王经手的现金业务＝84%×小
王业务总量＝
×小王业务总量，小李经手的非现金业务＝25%×小李业务总量＝
×小李业务总量，可知小王的业务总量是25 的倍
数，小李的业务总量是4 的倍数。第三步，根据奇偶特性，小李业务总量（偶数）＋小王业务总量＝122（偶数），可知小王业务总量
为偶数，结合25 的倍数，则小王业务总量为50 或100。若为100，则小李业务总量＝122－100＝22，不是4 的倍数，排除。则可知小
王的业务总量为50，小李的业务总量＝122－50＝72，小李的现金业务＝72×（1－25%）＝54（件）。因此，选择D 选项。
35.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，甲乙两部门分别占总优秀员工的
和
，则三个
部门总优秀员工一定是3 和5 的倍数，设员工总数为15x，甲部门有5x 人，乙部门有6x 人，则丙部门有15x－5x－6x＝4x（人），根
据甲比丙多12 人，可列方程：5x－4x＝12，解得x＝12。第三步，总人数为15x＝15×12＝180（人）。因此，选择D 选项。
36.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题，用赋值法解题。第二步，赋值升级前能耗费用为10 份，则人工费用为30
份。列表如下：
400 个工作日收回成本，意指600 万的升级费用在400 天内节约完成，能耗和人工共计节约1＋9＝10 份，则10 份×400＝600 万，
因此10 份是1.5 万。升级后每天的人工成本21 份，比能耗费用9 份高12 份，则12 份是1.8 万。因此，选择A 选项。
37.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题，用比例份数法解题。第二步，分析1∶3∶4 与1∶4∶5 两个比例，三种笔
消耗与存量之比分别是1∶1、4∶3、5∶4，最快的是4∶3，即最先用完的应该是蓝色笔。第三步，由于蓝色先用完，因此赋值蓝色是
12n，那么红、蓝、黑三色笔存量分别为4n、12n、16n，蓝色用完的时候分别用了3n、12n、15n，红色剩下n、黑色剩下n。共剩下
141
100 盒，故n＝50（盒）。第四步，又购进900 盒，总数1000 盒，按消耗1∶4∶5 的比例用完黑色笔盒数为1000×
（盒），
新购进500－50＝450（盒）。因此，选择A 选项。
38.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，设两种沐浴露的箱数分别为x、y，根据“相同”得到20×14×x
＝12×25×y。第三步，化简为14x＝15y，得到x 的最小值为15。因此，选择D 选项。
39.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，设指挥部总人数为12x，开始时在前线的有8x 人，得到8x＋6＝
12x×75%，解得x＝6，则总人数为72 人。第三步，至少10%在应急指挥中心，可以得到留在中心的人数为72×10%＝7.2，即至少8
人，因此还能派72－8－54＝10（人）。因此，选择C 选项。
40.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，前三个月总花费成本为1×3＋10＝13（万元），根据每月增加2000
元得到，从第4 个月开始，收益分别为3 万元、3.2 万元、3.4 万元……第三步，结合选项，优先考虑第7 个月时，发现总额为3＋3.2
＋3.4＋3.6＝13.2（万元），已经能够收回投资。因此，选择A 选项。
41.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设招聘前非技术人员为x 人，招聘后为y 人。则
x＋10x＝110；根据人数之比未变，得10y－y＝153。第三步，解得x＝10，y＝17。所以新招非技术人员为17－10＝7（人）。因此，
选择A 选项。
42.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设音乐系人数共有4x 人（男生x，女生
3x），美术系5y 人（男生2y，女生3y）。根据男生人数占总人数的30%，可得
＝30%，解得x＝2.5y。第三步，音乐系总人数∶
美术系总人数＝4x∶5y＝（4×2.5y）∶5y＝2∶1。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查基础应用题，用十字交叉法解题。
第二步，本题实质是混合比重，十字交叉如下：
142
即音乐系总人数与美术系总人数之比为2∶1。因此，选择D 选项。
43.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设12 人桌、10 人桌分别为x、y 张，根据共28
张可得x＋y＝28①，根据最多可容纳332 人可得12x＋10y＝332②。联立解得y＝2，即有2 张10 人桌。因此，选择A 选项。
44.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设加工每张桌子、凳子、椅子分别需要
x、y、z 小时，根据2 张桌子和4 张凳子共需要10 个小时，可得2x＋4y＝10①，根据4 张桌子和8 张椅子需要22 个小时，可得4x＋
8z＝22②，①×2＋②得8x＋8y＋8z＝42。因此各10 张需
（小时）。因此，选择C 选项。解法二：第一
步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设加工每张桌子、凳子、椅子分别需要x、y、z 小时，根据2 张桌子和4 张凳子
共需要10 个小时，可得2x＋4y＝10①，根据4 张桌子和8 张椅子需要22 个小时，可得4x＋8z＝22②。第三步，用赋0 法，令x＝0，
联立两式解得y＝2.5，z＝2.75。各10 张共需要10（x＋y＋z）＝10×（0＋2.5＋2.75）＝52.5（小时）。因此，选择C 选项。
45.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，周一工作时间（17：00—9：30）＝7.5 小时，耗电量＝370×7.5；
周二待机时间（24：00—9：00）＝15 小时，耗电量＝37×15。第三步，周一的耗电量是周二的
倍。因此，选择D 选项。
46.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，根据两个“是”得到两个等式：羽＝2 乒，足＝3
篮，利用“相等”得到4 乒＝羽＋足＋篮。第三步，消元可得2 羽＝羽＋足＋篮，即羽＝足＋篮。因此，选择A 选项。
47.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，全价为2000，九折为1800，五折为1000，设其分别为x，y，z
张，可得方程组：x＋y＋z＝20，2000x＋1800y＋1000z＋170×20＝27000。第三步，求x 与y 的关系，应消去z，可得5x＋4y＝18。
根据奇偶性可知x 必然为偶数，当x＝2 时，解得y＝2，即两者一样多。因此，选择A 选项。
48.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，赋值A 公司前三季度的业绩为3，则平均每个季度的业绩为1。利
用第二个“是”，可得到B 公司每个季度的业绩为1.2，其全年任务为1.2×4＝4.8。第三步，根据第一个“是”可得A 公司全年任务
为4.8×1.2＝5.76，其第四季度的业绩为5.76－3＝2.76，达到2.76 倍。因此，选择C 选项。
49.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，设李有x 本书，则张、王的书分别为2x、5x 本，列方程：x+2x+5x=120，
解得x=15，则王有5×15=75 本。因此，选择C 选项。
143
50.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，由“从乙调动25%的职工到甲处室”，可设乙为
4x，第一次调动了x 人到甲科室。第二次甲调动了2 名职工到乙科室。则有：
第三步，根据两者人数相等，代入数据，14+x-2=3x+2，解得x=5，则乙处室原来有4×5=20 名职工。因此，选择C 选项。
51.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，4.8×6 米的长方形用30×30 厘米的瓷砖铺时，长宽分别需要20
块×16 块，内部之间的缝隙有长15 条，宽19 条，总长度x=6×15＋4.8×19；用60×60 厘米的瓷砖铺时，长宽分别需要10 块×8 块，
内部之间的缝隙有长7 条，宽9 条，总长度y=6×7＋4.8×9，则x－y=（6×15＋4.8×19）－（6×7＋4.8×9）=6×8＋4.8×10=96
（米）。因此，选择A 选项。
52.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，使用方程法解题。第二步，设有x 块羽毛球场地是双打比赛，则可列4x+2
×（10-x）=28，解出x=4，故参加双打比赛的运动员有4×4=16 人。因此，选择D 选项。
53.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，设大瓶容量为x，小瓶容量为y。根据题干描述，①5x＝12y，即
，
②20y-8x＝320，代入①，得到y＝400，则x＝960。因此，选择A 选项。
54.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，根据题意，设前年的营业额为5x 万元，去年营业
额比前年高20%，则去年的营业额为5x（1+20%）=6x 万元，今年的营业额比去年高360 万元，所以今年的营业额为（6x+360）万元。
第三步，根据今年营业额比前年高600 万元，可列式6x+360-5x=600，解得x=240 万元，这三年的营业额一共为5x+6x+6x+360=17x+360=17
×240+360=4440 万元。因此，选择B 选项。
55.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查经济利润类问题中的基础公式类，可用方程法求解。第二步，A 产品价格不变
但需求较21 年下降30%，故总收入也下降30%；B 产品在2022 年的销售收入比2021 年增长70%，可设21 年A 产品的销售额为x，21
年B 产品的销售额为y，则22 年A 产品的销售额为0.7x，B 产品的销售额为1.7y，且22 年总销售收入增加10%，可列方程：-0.3x+0.7y=
（x+y）×0.1，解得
。则2021 年B 产品的销售额占总销售额的比例是
。因此，选择A 选项。解法二：第一步，
144
本题考查经济利润类问题中的基础公式类，可用十字交叉法求解。第二步，A 产品价格不变但需求下降30%，故A 产品销售额增长率为
-30%，B 产品销售额增长率为70%，且总销售额的增长率为10%，
则2021 年A 和B 的销售额之比是6∶4，故B 产
品销售和占总销售额的比例是40%。因此，选择A 选项。
56.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程方法求解。第二步，老李10 次捕捞的带标记的鱼的平均数量为
，设此时存活鱼苗数量为x，则有
，解得x≈1430，最接近1400 尾。因此，选择B 选项。
57.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法和倍数特性求解。第二步，设去年推荐录取的研究生人数为x 人，
考试录取的研究生人数为y 人。根据题意列式为
，整理得
，根据倍数特性y 必然为150 的
倍数，且只能为150，代入得x=60，最后求得今年推荐录取的研究生人数为
。因此，选择C 选项。
58.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题，用枚举法解题。第二步，根据题中所给条件，总的预算为120 万元，可列
定方程组为2 甲+3 乙=120+10①，3 甲+2 乙=120-10②，联立①②解得甲=14 万元，乙=34 万元，因为甲的台数+乙的台数=5，所以可以
枚举，从乙5 台甲0 台开始依次枚举，计算所需费用，乙5 台甲0 台所需费用为0×14+5×34=170 万元，乙4 台甲1 台需1×14+4×
34=150 万元，乙3 台甲2 台需2×14+3×34=130 万元，乙2 台甲3 台需3×14+2×34=110 万元，乙1 台甲4 台需4×14+1×34=90 万
元，乙0 台甲5 台需5×14+0×34=70 万元，总费用不能超过120 万元，所以只有后三种可行。因此，选择C 选项。
59.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设乙仓库粮食为x 吨，则甲仓库粮食为2x＋10 吨。
第三步，根据题干甲、乙两个仓库共存有340 吨粮食，列出等量关系：（2x+10）+x=340，求出x＝110，则甲为230 吨。因此，选择C
选项。
145
60.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法求解。第二步，假设去年党员人数和非党员人数分别是x 人和3x
人，今年总人数提高20%，则今年总人数是4x×1.2=4.8x 人，假设今年党员人数和非党员人数分别是y 和2y 人，根据题意可列方程：
y+2y=4.8x；y-x=6。第三步，两个方程联立，解得y=16，x=10。则今年该单位报名参加志愿活动的党员共有16 人。因此，选择A 选
项。
61.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设外科支援呼吸科的医生、护士人数分别为x 人、
y 人；根据少去4 名护士，护士与医生人数一样多，可列式x=y-4①。根据少去2 名医生，护士是医生3 倍，可得3（x-2）＝y②；联
立①②，解得x＝5，y＝9，故医生护士总人数x+y=14（人）。因此，选择D 选项。
62.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设大、小银杯的容量分别为x、y，1 斛的容量设
为z。由“5 个大银杯加1 个小银杯，可以盛酒3 斛，5 个小银杯加1 个大银杯，可以盛酒2 斛”可以列方程得：5x+1y=3z①，5y+1x=2z
②，第三步，联立①②，解方程组可得：
，可以得出1 斛酒至多可以倒满小银杯的数量为3 个。因此，选择B 选项。
63.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，由今年的轿车总产量是42.4 万辆，A、B、C 三种
型号氢燃料电池解决了该公司今年生产轿车所需电池数量的10%（按一辆车配一块电池计算），可知A、B、C 型号电池产量之和为42.4
万×10%=42400。设B 型号氢燃料电池的产量为x 块，则A 型号氢燃料电池的产量为2x 块，C 型号氢燃料电池的产量为3x+400 块。第
三步，根据题意可列2x＋x＋（3x＋400）＝42400，可得x=7000 块。因此，选择B 选项。
64.【答案】C。解析：第一步，本题考查简单基础应用题。第二步，设护士调整后药液滴速为x 滴/分钟，由总量不变可列方程，
300×15=75×5＋10x＋235×15，解得x=60，由题可知过了15 分钟后药液还剩235 毫升，所以还剩235×15 滴，调整后药液滴速为60
滴/分钟，还需要（235×15）÷60=58.75 分钟，因此，结束时间为9∶00＋15 分钟＋58.75 分钟，取为10∶14 分。因此，选择C 选项。
65.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，假设总股份价值100，则甲所占股份价值10，第一次投资完甲占
总股份的8%，故总股份变为
，也就是第一次投资的金额为125-10=25，故而第二次投资的金额为250。假设第二次投资前甲
价值为10x，总股份价值为125x，第二次投资后，总股份价值变为125x+250，根据题意可得：
，解得
，则第
一次投资前公司的估算价值是第二次投资前的
。因此，选择A 选项。
146
66.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，用枚举法解题。第二步，“用30 个2 克的砝码和8 个5 克的砝码”称量“从
2 克到100 克间的整数克质量”，通过枚举可以得到3 克、97 克、99 克是不能称出来的。因此，选择D 选项。
67.【答案】C。解析：第一步，本题考查排列组合问题，用枚举法解题。第二步，这十二个人在重新编号的时候，为了保证新号
码与原始号码相差不超过1，那也就是相邻两个数一块重新编号，也就是一对一对的重新编号。这十二个数可以分成11 对，如果只换
其中一对，则有
种方式；如果换其中两对，则这两对数不能包含共同的数字，故可以分成10 对，换两对即有
种方式；如果换
其中三对，则这三对数不能包含共同的数字，故可以分成9 对，换三对即有
种方式；以此类推，如果换四对，则有
种方式；如
果换五对，则有
种方式；如果换六对，则有
种方式。总共有
种方式。因此，选择C 选项。
68.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，设答对题目数量为x，答错题目数量为
（100-x），根据“小张测试成绩为285 分”可建立方程3x-2（100-x）=285，解得x=97。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题
考查基础应用题。第二步，根据题意答对一题得3 分，不答或者答错一题扣2 分可得，答对一题和答错或者不答相差5 分，总共100
道题，假设都答对可得100×3=300，实际成绩为285 分，因此一共损失了300－285=15，所以答错或者不答的题目数量为15÷5=3，
答对的题目数量为100-3=97。因此，选择D 选项。
69.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础应用题，用代入排除法。第二步，问“最多”，从D 项代入，有80 份文件，分为8
组，则通知为80×60%=48 份，18+（8-2）×5=48，满足题意。因此，选择D 选项。
70.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查基础应用题，用方程法解题。第二步，假设甲乙丙枸杞的重量分别为a，b，c，
则有a+b+c=144①，第一次从甲筐中取出与乙筐一样重的枸杞放入乙筐，三个筐内枸杞的重量变为a－b，2b，c，第二次再从现有乙筐
中取出与丙筐一样重的枸杞放入丙筐，三个筐内枸杞的重量变为a－b，2b－c，2c，第三次从现有丙筐中取出与现有甲筐一样重的枸
杞放入甲筐，三个筐内枸杞的重量变为2（a－b），2b－c，2c－（a－b），根据条件此时三筐枸杞一样重，可知2（a－b）=2b－c=2c
－（a－b）②，联立方程可得，a=66。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查基础应用题，用倒推法解题。第二步，最后都
一样，说明最后都是144÷3=48。丙给甲加倍后甲变成48，可知第三次转移之前甲是24、丙是72；乙给丙加倍后丙变成72，可知第
二次转移之前丙是36，乙是48+36=84；甲给乙加倍后乙变成84，可知第一次转移之前乙是42，甲是24+42=66。因此，选择D 选项。
147
71.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，题干问大约行驶多少万公里，所以不需要精确计算。假设一个轮
胎总的可磨损量为12，前轮3 万公里换一次，则一万公里磨损4，后轮4 万公里换一次，则一万公里磨损3。可使用代入排除法，逐
个验证：A 选项，在1.5 万公里时更换轮胎，那么前轮的轮胎A 使用的磨损量为1.5×4=6，后轮的轮胎B 使用的磨损量为1.5×3=4.5，
更换之后，轮胎A 还可以使用的距离为6÷3=2，即两万公里，轮胎B 可使用的距离为7.5÷4=1.875 万公里；B 选项，在1.7 万公里时
更换轮胎，那么轮胎A 的磨损量为1.7×4=6.8，轮胎B 的磨损量为1.7×3=5.1，A 可使用的距离为5.2÷3=1.733 万公里，B 可使用的
距离为6.9÷4=1.725 万公里，基本可以做到同时更换。C 选项，在2 万公里时更换轮胎，轮胎A 的磨损量为8，轮胎B 的磨损量为6，
A 可使用的距离为4÷3=1.33，B 可使用的距离为6÷4=1.5；D 选项，在2.2 万公里时更换轮胎，轮胎A 的磨损为8.8，轮胎B 的磨损
为6.6，A 可使用的距离为3.2÷3=1.07，B 可使用的距离为5.4÷4=1.35。综上所述，最合适的是B 选项。因此，选择B 选项。
72.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础应用题。第二步，接收患者200 人时，护士与床位的比值为0.6：1，此时护士120
人。后来又增加了700 名患者，共900 名，护士与床位的比值为0.2：1，此时需要护士的总数为180 人，需要增加180－120=60 名。
因此，选择B 选项。
73.【答案】C。调动后，甲、丙、丁三个部门的员工数分别为
名、63 名、210-63-63=84 名。则调动前，甲、丙、丁三个部门
的员工数分别为63 名、63-20=43 名、63-10=53 名，原乙部门有210-63-43-53=51 名员工。
74.【答案】A。设每辆大车的载货量为x，每辆小车的载货量为y，则第一趟的运输量为10x，第二趟的运输量为10x+15y。根据
题意可列式：10X+15Y=(1+50%)*10X 整理可得：x=3y，即每辆大车的载货量是小车的3 倍。
75.【答案】D。设3 月节电量为6x 万度，则1 月节电量为
万度，2 月节电量为
万度，根据“2 月节电量比1 月
少4 万度”可得：4x=5x-4，解得x=4。故今年一季度企业节电量=5x+4x+6x=15x=15×4=60 万度。
76.【答案】A。根据题干“老年组、中年组的人数之比为5：2，中年组、青年组的人数之比为3：4”，则老年组、中年组、青年
组的人数之比为15：6：8，设老年组、中年组、青年组的人数分别为15a、6a、8a，根据题干“老年组、中年组、青年组平均每人采
摘速度之比为1：2：3”，设老年组、中年组、青年组平均每人采摘速度分别为b、2b、3b，由题意得，青年组一共采摘8a×3b=80，
148
解得
。老年组与中年组共采摘的柑橘重量为
斤，故三组人员一共采摘的柑橘重量为
90+80=170 斤。
77.【答案】D。设原个人服务单次用时需要2x，企业服务单次用时需要5y，则现在个人服务单次用时需要
，
企业服务单次用时需要
。根据每个窗口总服务时间不变，则原服务总时长等于现在的服务总时长，可列方程：
。整理可得：
。则现在每次企业服务的用时是个人服务用时的倍数为：
。
78.【答案】C。根据题意可知，该配送中心负责分配的货箱总数减3 后是6 的整数倍，又是11 的整数倍，减2 后是13 的整数倍，
观察选项可知，均为11 的整数倍，依次代入选项验证即可：代入A 项：
；
整数，不符合题意，排除；代入B
项：
；
整数，不符合题意，排除；代入C 项：
；
，符合题意，当选。无需验证剩余选项。
79.【答案】B。由题意可知，包装200 克的价格比包装100 克的价格多8-5=3 元，根据题干“之后每增加100 克的加价都较前一
次增加100 克的加价降低1 元”可知，包装300 克较前一次加价3-1=2 元，包装400 克较前一次加价2-1=1 元，包装500 克较前一次
加价1-1=0 元，达到了“加量不加价”，则此时的包装量为500 克。
80.【答案】D。设3 月的节电量为6x，则1 月的节电量为5x，2 月的节电量为4x。根据“2 月节电量比1 月少4 万度”可得，
5x−4x = 4，解得x = 4。一季度为6x + 4x + 5x = 15x = 15×4 = 60。
149
多位数问题
1.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查多位数问题。第二步，设初始时显示屏上的两位数十位和个位分别为X、Y，即
初始时计价器显示为XY，1 小时的时候显示为YX，2 小时的时候显示为X0Y。第三步，根据题意该车匀速行驶，则每小时内对应的行
驶路程相等，即每小时内产生费用相同，可得（10Y+X）－（10X+Y）＝（100X+Y）－（10Y+X），化简可得Y=6X，可得X=1，Y=6。即
上车时计价器显示为16，2 小时的时候显示为106，旅客应付106-16=90 元。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查多位数
问题。第二步，设初始时计价器显示为XY，则2 小时的时候显示为X0Y，总车费为计价器2 小时产生的差值，做差可得尾数为0，观
察选项只有C 选项符合。因此，选择C 选项。
2.【答案】A。解析：第一步，本题考查多位数问题，用代入排除法解题。第二步，A 选项，四个连续数值为9、8、7、6，乘积为
9×8×7×6，可通过尾数直接计算得出个位数为4，待定；B 选项，四个连续数值为12、11、10、9，乘积为12×11×10×9，通过尾
数计算得出个位数为0，排除；C 选项，四个连续数值为8、7、6、5，乘积为8×7×6×5，通过尾数计算得出个位数为0，排除；D 选
项，四个连续数值为13、12、11、10，乘积为13×12×11×10，通过尾数计算得出个位数为0，排除。因此，选择A 选项。
3.【答案】D。解析：第一步，本题考查多位数问题，用代入排除法解题。第二步，由于五位数字连乘之积等于1764，对1764 进
行分解，可以得到1764＝2×2×3×3×7×7；A 选项中13677，1×3×6×7×7＝882，排除；观察剩下选项都有7×7，所以是对2×2
×3×3＝36 进行因式分解，36＝2×2×9＝2×3×6＝3×3×4＝1×6×6＝1×4×9，然后进行组合使其满足甲的五位连加和比乙的大4，
B 选项的数字和是27，C 选项数字和是25，D 选项数字和是24，综上可以得出甲由1、4、9、7、7 组成，数字和为28。因此，选择D
选项。
4.【答案】A。解析：第一步，本题考查多位数问题。第二步，设实际年龄为10n＋m，十位数字与个位数字交换位置，年龄变为
10m＋n，交换前后差9（n－m）是9 的倍数，代入选项只有A 选项45 满足。因此，选择A 选项。
5.【答案】C。解析：第一步，本题考查多位数问题，用代入排除法解题。第二步，复核结果与第一次结果差值为1796-1742=54，
选项中只有82 与其个位数字和十位数字颠倒过后的数字28 的差值为54。因此，选择C 选项。
6.【答案】B。解析：第一步，本题考查多位数问题。第二步，根据题意百位数字是十位数字的3 倍，个位数字比十位数字小1，
这个三位数可能是932 或者621 或者310。将932 个位与百位数字对调，得到新三位数为239，做差可得932－239＝693，满足题意。
原三位数个位、十位、百位的数字之和为9＋3＋2＝14。因此，选择B 选项。
150
7.【答案】B。解析：第一步，本题考查多位数问题。第二步，10 以内质数只有2，3，5，7 四个数，由颠倒百位与个位之后差为
495，利用尾数可知百位为2，个位为7。由于三位数本身也为质数，若十位为3，237 是3 的倍数并非质数，故十位只能选5。因此，
选择B 选项。
8.【答案】C。解析：第一步，本题考查多位数问题与行程问题。第二步，匀速行驶即速度一定，相同时间内走过的路程一致，那
么小孟看到的第二个里程碑数Y 与第一个里程碑数X 之差同第三个里程碑数Z 与第二个里程碑数Y 之差相等。第三步，两位数Y 与X
之差只能是一位数或两位数；三位数Z 与两位数Y 之差只能是两位数或三位数，可判断这两个相等的差为两位数，那么Z 的百位数字
只能为1。设X 的个位数字为n，则有10n＋1－（10＋n）=100＋n－（10n＋1），解得n＝6。则X、Y、Z 分别为16、61、106，每半
小时走过的路程为45 公里。再过1 小时即一共行驶2 小时，共驾驶了45×4=180（公里）。因此，选择C 选项。
9.【答案】F。解析：第一步，本题考查多位数问题，用代入排除法解题。第二步，10 以内的质数只有2、3、5、7 四个。该数的
十位数字是质数，所以优先排除A、B、E、G 选项；根据百位数字与个位数字对调，所得新数比该数大495，可知个位与百位数字之差
为5，并且还是质数，只有数字2 和7 能满足条件，因此十位数字不可能是2 和7，排除C、H 选项；只剩D、F 选项代入验证，D 选项
代入得到237，F 选项代入得到257。第三步，因为这个三位数为质数，而237 能被3 整除，排除D 选项。因此，选择F 选项。
10.【答案】C。解析：第一步，本题考查多位数问题。第二步，1—9 这九个数字各用一次，先将1—9 加和为45，组成三个能被
9 整除的三位数，可知每个三位数各位数字加和均为9 的倍数，则三个三位数各位数字加和分别为9、18、18。第三步，要使这三个数
的和最大，则每个三位数百位上的数字应尽量大，先考虑和为9 的三位数，百位最大为6，这个三位数是621，剩余两个三位数最大分
别为954 和873，则954＋873＋621＝2448（可用尾数法，尾数为8）。因此，选择C 选项。
比赛问题
1.【答案】B。解析：第一步，本题考查比赛问题。第二步，设小李先手开局时胜x 局，根据小李共胜10 局，则小李执后手时胜
（10-x）局。共比赛18 局，则小李共9 局为执后手，则小李执后手时共输9-（10-x）=（x-1）局，即小张先手开局共赢（x-1）局，
可得先手者共胜x+（x-1）=（2x-1）局，根据奇偶性可知，先手者共胜局数为奇数，则甲、乙两人记录结果均错误。因此，选择B 选
项。
2.【答案】C。解析：第一步，本题考查比赛问题。第二步，具体比赛如下：
151
因此，选择C 选项。
3.【答案】A。解析：第一步，本题考查比赛问题。第二步，5 只足球队进行单循环比赛，共比赛
=10 场，10 场比赛，有输赢
一场共3 分，平一场共2 分，总分为25 分即5 胜5 平；每人打4 场比赛，冠军得12 分，只能是赢4 场；亚军最多赢一场，两场平，
一场输给冠军；故亚军得分3+1+1=5 分。因此，选择A 选项。
4.【答案】B。解析：第一步，本题考查比赛问题。第二步，小李轮空了4 局，说明这4 局是小张和小王对打的，小张一共打了6
局比赛，和小王打了4 局，说明和小李打了6－4＝2（局）；同理小王打了9 局，和小张打了4 局，说明和小李打了9－4＝5（局），
那么小李一共打了2＋5＝7（局）。因此，选择B 选项。
5.【答案】B。根据题干“往后每一局都由上一局轮空的人对上一局的胜者”，可推出上一局轮空的人下一局必定参赛，不存在一
个人连续轮空两局。已知小张打了3 局可推出小张轮空6-3=3 局，且第一局小张对小王，故小张轮空的3 局一定是第2、4、6 局，即
这3 局都是小王对小李。而小张参与的分别是第1、3、5 局。根据题干“第3 局的参赛人组合与第一局不同”且第1 局为小张对小王
可推出第3 局情况确定为小张对小李。所以，只有第5 局的参赛人员不确定。则可能出现的比赛情况如下：
情况一：
152
情况二：
以上两种情况中，第6 局比赛，小王对小李的胜负各有两种可能性（分别是小王胜或小李胜），根据题意不同的胜负关系对应不
同组合，故最终各局比赛可能的不同组合一共有2×2=4 种。
6.【答案】C。答完每题得分≥1，所以第一题，第二题必须为对。
153
方阵问题
1.【答案】C。解析：第一步，本题考查方阵问题，用代入排除法解题。第二步，代入A 选项：编号为3 的倍数的学生有242÷3
＝80…2，即80 人，由方队人数必须为平方数，80 不是平方数，不符合题意，排除；代入B 选项：编号为3 的倍数的学生有243÷3
＝81，即81 人，为平方数，再依次代入m=4，5……9，所得人数均不为平方数，不符合题意，排除；代入C 选项：编号为3 的倍数的
学生有245÷3＝81…2，即81 人，为平方数，再依次代入m=4，5……9，其中245÷5＝49，即49 人，为平方数，满足题意；代入D
选项：编号为3 的倍数的学生有246÷3＝82，即82 人，82 不是平方数，不符合题意，排除。因此，选择C 选项。
2.【答案】A。解析：第一步，本题考查方阵问题。第二步，增加5 盆能摆成实心正三角形，摆成一个边有n 个花盆的实心正三角
形需要
个花盆，则花盆总数为
；减少4 盆能摆成实心正方形，说明（花盆总数－4）是一个平方数。采用特殊值
依次代入验证，发现只有当n＝9 即花盆数为40 时，同时满足这两个条件。那么共有40 个花盆。第三步，根据几何最值理论，当四边
形面积一定时，越接近正方形，周长越短。故当矩形的两条边分别是5 和8 时，最外层花盆数最少，此时最外层有（8＋5）×2－4＝
22（盆）花。因此，选择A 选项。
3.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查方阵问题。第二步，设原方阵为n 阶方阵，即每行每列都有n 人，则运动员总数
为n²+99，每行每列多加了4 人后少37 人，运动员总数为（n+4）²-37，利用人数相等列方程n²+99=（n+4）²-37，解得n=15，学校
共有运动员n²+99=324（人）。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查方阵问题，用代入排除法解题。第二步，n 阶方阵共有
n²人，则运动员总数为一个平方数+99，即答案－99 应为一个平方数，四个选项只有C 选项324－99=225，是15 的平方。因此，选择
C 选项。
4.【答案】A。解析：第一步，本题考查方阵问题，用代入排除法解题。第二步，代入A 选项，即总人数为100 人，根据公式总数
=最外层每边人数²，可得最外层每边人数为10 人，又根据最外层人数=4×最外层每边人数－4，可得最外层人数=4×10－4=36（人），
即鲜花方阵的人数为36 人，可得彩旗方阵的人数=100－36=64（人），两者差64－36=28（人），且36、64 均为平方数，可构成方阵，
满足题意。因此，选择A 选项。
5.【答案】B。解析：第一步，本题考查方阵问题，用代入排除法解题。第二步，n 阶方阵的人数为n 的平方。1 到9 阶共9 个方
阵的人数分别为1、4、9、16、25、36、49、64、81，全部人数加和为285 人，是3 的倍数。第三步，一共九个方阵，甲只有一个方
阵，乙有六个方阵，故丙有9-1-6=2 个方阵，而剩下的人中乙是丙的2 倍，可知乙与丙人数之和为3 的倍数，则根据因子特性可知甲
154
的人数也是3 的倍数，只能是9、36 或81。代入甲为9 人，则丙人数为（285－9）÷3＝92，无法构造两个方阵加和为92。代入甲为
36 人，则丙人数为（285－36）÷3＝83，无法构造两个方阵加和为83。代入甲为81 人，则丙人数为（285－81）÷3＝68，2 阶方阵
和8 阶方阵的人数和为4＋64＝68，符合题意。因此，选择B 选项。
容斥问题
1.【答案】A。解析：第一步，本题考查二集合容斥，利用公式法解题。第二步，设参加防病培训的人员为A 人，参加育种培训的
人员为B 人，两个培训同时参加的为AB。因为参加防病培训的人员A=AB+只A，根据题干条件，在参加防病培训的养殖人员中，参加
育种培训的人数比未参加的多21%，即
，根据数字特性和总人数为287 可知，AB=121 人，只A=100 人；又因为
参加育种培训的人员B=AB+只B，根据题干条件，参加育种培训的养殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多76 人，即AB-只B=76
人，所以只B=121-76=45（人）。第三步，根据两集合公式：只A+AB+只B=总数-AB 都不满足的，代入数据，100+121+45=287-AB 都不
满足的，可以根据尾数法求解，可知AB 都不满足的=21。因此，选择A 选项。
2.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用方程法解题。第二步，设会日文的有x 人，则
会法文的有2x 人，会英文的有（2x－4）人，由于小李既会英文也会日文，被统计两次，故10 人统计了11 人次。第三步，根据人次
总数，得方程11＝x＋2x＋2x－4，解得x＝3，则会英文的人为2x－4＝2（人），因小李既会英文又会日文，所以只会英文的只有2
－1＝1（人），因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用代入排除法解题。第二步，由“会
法文的比会英文的多4 人，是会日文人数的两倍”可知法文人数为偶数，进而英文人数也为偶数，除去小李（同时会英文与日文）一
人，剩下的为只会英文的人数，易知其为奇数，排除A、B；代入C，如果只会英文的人数为3，会英文为4、法文为8，则总人数大于
10，不符，排除C；选D。因此，选择D 选项。
3.【答案】D。解析：第一步，本题考查三集合容斥问题。第二步，根据题意，设参加会计、法律和技术培训的人数分别为6x、
5x 和4x，设同时参加会计和技术培训的人数为y，则同时参加会计和法律培训的人数为0.7y，同时参加法律和技术培训的人数是0.8y。
如下图：
155
代入经典三集合容斥问题的公式得6x+5x+4x-0.7y-0.8y-y=80，整理得到（1）式6x-y=32，由数字特性可知y 为偶数。现在求只
参加技术培训的人数，即4x-y-0.8y=4x-1.8y。第三步，将（1）式代入，4x-1.8y=
。由数字特性可得y
是10 的倍数，本题y 取10。则
=10 人。因此，选择D 选项。
4.【答案】B。解析：第一步，本题考查容斥问题中的三集合容斥类，用画图法辅助解答。第二步，如下图所示，只安装甲软件的
有
人，只安装乙软件的有
人，只安装丙软件的有
人。第三步，设同时安装三种软件的有x 人，
同时安装了乙、丙软件而未安装甲软件的有y 人，则同时安装了甲、丙软件而未安装乙软件的有y+3 人。列方程组可得
，解得
。
156
因此，选择B 选项。
5.【答案】B。解析：第一步，本题考查二集合容斥，用方程和代入法求解。第二步，假设只订阅报纸的人数是x，则订阅杂志的
人数是（1＋88%）x＝1.88x，那么订阅了杂志和报纸的总人数是x+1.88x=2.88x，设报纸和杂志均未订阅的员工是y 人，可列方程
2.88x+y=200。第三步，代入法验证，200 减去y 值后能被2.88 整除，只有56 符合。因此，选择B 选项。
6.【答案】D。解析：第一步，本题考查容斥问题中的二集合容斥问题。第二步，根据题意，该班级共有70 多名学生，有12%的
学生两个科目均不及格，即有
的学生两科都不及格，根据数字特性可知总人数为25 的倍数，即总人数为75 名。第三步，该
班级共75 名学生，有
人两科不及格，有
人英语及格，数学及格的比英语多10 人，共50+10=60 人。设两科均及
格的人数为x，根据两集合容斥问题的公式有75-9=50+60-x，解得x=44。因此，选择D 选项。
7.【答案】A。解析：第一步，本题考查容斥原理中的三集合容斥原理。第二步，如图所示。
157
由图和题意得，42 人未去乙，即D+A+3y＝42，所以D+A＝42-3y；去丙地的人中，去3 个基地的人为y，则去2 个基地的人为2y，
即A+B=2y；去甲的有48 人，即D+A+C+y＝48，所以C=48-A-D-y=6+2y，所以只去两个的=A+B+C=2y+2y+6，即x=4y+6。因此，选择A 选
项。
8.【答案】A。解析：第一步，本题考查容斥问题。第二步，能够进入工作组的员工即为两个条件都满足的人，设能够进入工作组
的员工有x 人，根据两集合容斥公式：总数－都不=A+B－AB，代入数据可得80-10=40+46-x，解得x=16 人。因此，选择A 选项。
9.【答案】C。解析：第一步，本题考查容斥问题。第二步，都不及格的占14%，两个圆共占86%，化学及格的占全班的60%，只
物理及格的占26%。全班人数不超过70 人，物理及格比化学及格的人数多10 人，则全班人数只能为50 人，当物理比化学多20%时，
50×20%=10 满足题意，则物理及格的占总人数的60%+20%=80%，两门课都及格的为80%-26%=54%，物理及格的人中化学也及格的有50
×54%=27 人。
158
因此，选择C 选项。
10.【答案】C。解析：第一步，本题考查容斥问题。第二步，设自然村的总数为13、14 的公倍数182x，不适合种植两种作物的
自然村有y 个，则适合种植A 作物的自然村有182x×
=56x，同时适合种植两种作物自然村的有182x×
=13x。第三步，根据两集
合标准型核心公式总数-都不满足的=A+B-都满足的，可得182x-y=56x+25-13x，化解得y=139x-25，要求y 尽可能小，则x 也尽可能小，
由于自然村个数为整数，所以x 最小为1，则y 最小为139-25=114。因此，选择C 选项。
11.【答案】B。解析：第一步，本题考查容斥原理。第二步，赋值社区共100 人，因此捐献物品的有30 人，捐款的有70 人，参
与捐赠的有80 人，根据二集合容斥原理公式，30+70-两个都满足的人数=80，可求得既捐物品又捐款的有20 人，占总人数的20%。因
此，选择B 选项。
12.【答案】C。解析：第一步，本题考查容斥问题。第二步，如下图：
159
设两种食物都吃的狒狒有2x 只，则只吃香肠的有3x 只，根据吃香蕉是吃香肠的3 倍，可得吃香蕉的有（2x＋3x）×3＝15x 只，
进食的狒狒共15x＋3x＝18x 只，占总数的90%，共计18x÷90%＝20x 只狒狒，未进食的有2x 只，是只吃香蕉的
。因此，选择C 选
项。
13.【答案】D。解析：第一步，本题考查容斥问题。第二步，设翻译团队总人数为15x，那么擅长三门语言的人数为x。题干中满
足两个条件的分别给出，故为三集合标准型容斥原理，根据三集合标准型公式可列方程：17＋21＋23－7－6－6＋x＝15x，解得x＝3，
那么仅擅长英语的有17－7－6＋3＝7（人）。因此，选择D 选项。
14.【答案】C。解析：第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类，用公式法解题。第二步，共两个兴趣小组，其中80%的
学生参加地理兴趣小组、50%的学生参加生物兴趣小组，根据两集合容斥原理公式：满足条件1 的个数＋满足条件2 的个数－两者都满
足的个数＝总个数－两者都不满足的个数，设同时参加两个兴趣小组的学生占比为x，则有80%＋50%－x＝100%－0，解得x＝30%，那
么同时参加两个兴趣小组的共有300×30%＝90（人）。因此，选择C 选项。
15.【答案】B。解析：第一步，本题考查容斥原理。第二步，题目中满足两个条件的集合人数是分别给出的，应用三集合标准型
容斥原理公式解题。设订阅B、C 期刊的有x 人，可列方程：125＋126＋135－57－73－x＋31＝240－17，解得x＝64（也可利用尾数
法求得尾数为4）。因此，选择B 选项。
16.【答案】B。解析：第一步，本题考查容斥原理，属于三集合容斥。第二步，设班级总数为x 人，其中三门都90 分以上的为y
人，根据三集合容斥标准公式有x－5=23+21+20－8－6－10+y，化简为x=45+y。其中y 最多只能有6 人，那么x 此时最大为45+6=51
（人）。因此，选择B 选项。
17.【答案】C。解析：第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。第二步，设参加三科竞赛的有x 人，根
据三集合非标准型容斥原理公式可列方程：40－0＝22＋27＋25－24－2x，解得x＝5。因此，选择C 选项。
18.【答案】B。解析：第一步，本题考查容斥原理，用方程法解题。第二步，阅读艺术类书籍的人数是阅读科学类书籍人数的
，
阅读科学类书籍人数是阅读人文类书籍人数的
，可知阅读艺术类书籍的人数∶阅读科学类书籍的人数：阅读人文类书籍的人数＝8∶
12∶15，那么阅读艺术类书籍的人数＋阅读科学类书籍的人数＋阅读人文类书籍的人数是8＋12＋15＝35 的倍数，题目问至少多少人，
160
故取35 人。第三步，阅读1 种书籍员工人数比阅读2 种书籍的人数多一半，设阅读2 种书籍的人数为2x，那么阅读1 种书籍的人数
为3x，可列方程：3x＋2×2x＝35，解得x＝5，那么该单位至少有2×5＋3×5＝25（人）。因此，选择B 选项。
19.【答案】B。解析：第一步，本题考查容斥问题，用公式法解题。第二步，1 至100 中，是2 的倍数的有100÷2=50 张，是3
的倍数有100÷3=33……1，即33 张，是6（2 和3 的最小公倍数）的倍数的有100÷6=16……4，即16 张。第三步，2 的倍数可以领
50×2=100（枝）；3 的倍数可以领33×3=99（枝）；其余编号可以领100－（50＋33－16）=33（枝），则应准备玫瑰花100＋99＋33
＝232（枝）。因此，选择B 选项。
20.【答案】A。根据题意，该单位没有甲、乙、丙三项认证中任何一项的职工人数为65×（1-80%）=13 人。如图所示，设仅有甲、
乙两项认证的人数为x 人，仅有乙、丙两项认证的人数为y 人，仅有乙认证的人数为z 人。则没有甲认证的职工人数为（z+y+3+13）
人，有乙认证的职工人数为（z+y+x+6）人，根据题意可得：z+y+3+13=z+y+x+6，解得x=10，即仅有甲、乙两项认证的人数为10 人。
21.【答案】C。设该研发小组有x 人，则参与了A 项目的有
人，参与了B 项目的有
人；设两
个项目都不参与的有y 人，则两个项目都参与的有（y+2）人。根据两集合容斥原理公式：
，可列式：
0.6x+0.45x-（y+2）=x-y，解得x=40，即该研发小组有40 人。
161
22.【答案】D。根据题意，设参观两种展览的员工有x 人，参观三种展览的员工有y 人。根据三集合容斥原理非标准型公式：A+B+C-
满足两项-2×满足三项=总数-都不，可列式：21+22+19-x-2y=45-5，整理得：x+2y=22······①；根据“至少参观两种的有12
人”，可得：x+y=12······②，①式减②式可得：y=10，故这三种展览都参观的有10 人。
23.【答案】C。容斥原理。根据题干表述，参加A 和参加B，以及两个都不参加，则满足两集合容斥原理，假设共有x 人，并
且给出了两个项目都参与人比两个项目都不参与的人多2 人，可设两个项目都不参加的为y 人，两个项目都参加的为y + 2，带入
两集合容斥公式A + B + 两者都不满足= 总数+ 两者都满足，60%x + 45%x + y = 100%x + （y + 2），可解得x = 40。
年龄问题
1.【答案】A。解析：第一步，本题考查年龄问题，用方程法求解。第二步，设今年孩子的年龄为x，则爸爸妈妈年龄和为8x，而
10 年后，爸爸与妈妈年龄之和为孩子的5 倍，根据每个人的年龄过10 年加10 岁，可得：8x+20=5（x+10），解得x=10，所以爸爸与
妈妈年龄之和为80 岁。当两人年龄相同时，乘积最大，但题目要求一家三口年龄各不相同，则爸爸妈妈年龄越接近乘积越大，所以妈
妈年龄可能是39 或41。因此，选择A 选项。
2.【答案】C。解析：第一步，本题考查年龄问题。第二步，设2020 年李某的工龄为x 岁，则李某当年4x 岁，张某的年龄为6x
岁。2024 年，即四年后，李某年龄为4x+4 岁，张某的年龄为6x+4 岁，2024 年张某的年龄正好是自己工龄的2 倍，则张某2024 年的
工龄为3x+2 岁，2020 年工龄为3x-2 岁。根据张某参加工作时李某10 岁可知4x-（3x-2）=10，解得x=8 岁，所以李某参加工作的年
龄为4x-x=24 岁。
因此，选择C 选项。
162
3.【答案】D。解析：第一步，本题考查年龄问题。第二步，设2020 年小王年龄为x 岁，则老张年龄为4x 岁，2021 年小王年龄
为x+1 岁，老李年龄为3（x+1）岁。根据题意列方程4x-[3（x+1）-1]=12，解得x=14 岁，即2020 年小王14 岁，老张56 岁，老李
44 岁，三人年龄和为14+56+44=114 岁。（140-114）÷3≈8.7，即过9 年三人年龄和超过140 岁。因此，选择D 选项。
4.【答案】B。解析：第一步，本题考查年龄问题。第二步，设甲处室原来平均年龄为x 岁，乙处室原来平均年龄为y 岁。由于两
个处室总年龄数交换前后相同，因此有12x＋20y＝8（x＋3）＋24（y＋1），解得x－y＝12，即两个处室交换之前平均年龄相差12 岁。
因此，选择B 选项。
5.【答案】D。解析：第一步，本题考查时间类问题中的年龄问题，采用方程法。第二步，设2000 年妈妈年龄是x，姐姐和弟弟
年龄和为y，列表分析如下：
可解得x＝36，y＝9。第三步，设所求年份与2000 年差n 年，则x＋n＝y＋2n。代入x、y 的数值，可解得n＝27，可知年份为2027
年。因此，选择D 选项。
6.【答案】B。解析：第一步，本题考查年龄问题。第二步，由于“连续10 年的年龄”为等差数列，年份数字之和与其相等，则
推出年份数字之和也为等差数列。由于从年代初开始到年代末结束为等差数列，所以其形式为ABC0，ABC1，ABC2……ABC9。第三步，
根据“70 年代”出生，优先从1980 年开始讨论，年份之和为1＋9＋8＋0＝18，计算出生年份为1980－18＝1962，不符合“70 年代”；
若从1990 年开始，则年份和为1＋9＋9＋0＝19，出生年份为1990－19＝1971，符合“70 年代”。第四步，将4 个选项依次代入，当
2006 年时，年龄为2006－1971＝35（岁），不是9 的倍数，排除；当2007 年时，年龄为2007－1971＝36（岁），为9 的倍数，符合
题意。因此，选择B 选项。
7.【答案】D。解析：第一步，本题考查年龄问题。第二步，根据年龄之差是儿子年龄的五分之一，可知儿子年龄是5 的倍数，5
年后仍为5 的倍数；由5 年后是平方数，既是5 的倍数又是平方数，在100 以内只有25，可知儿子2014 年为20 岁，父母年龄之差为
4。第三步，设父母中较年长者为x 岁，年轻者为y 岁，年龄之差为4 可得x－y＝4①，父母年龄和是差的23 倍可得x＋y＝23×4②，
163
联立解得x＝48，y＝44。根据5 年后母亲年龄为平方数，可知44 是母亲年龄（44＋5＝49＝7²），因此父亲年龄为48 岁。因此，选
择D 选项。
8.【答案】A。解析：第一步，本题考查年龄问题。第二步，2015 年他的年龄各数字之和正好是他在2012 年的年龄的各数字之和
的三分之一，可知2012 年老人的年龄是3 的倍数，再过三年（2015 年），老人的年龄仍然是3 的倍数。根据老人出生于20 世纪，则
2015 年不会超过115 岁；因为115 不是3 的倍数，所以优先假设2015 年的年龄为114 岁，数字和为1＋1＋4＝6；则2012 年的年龄为
111 岁，数字和为1＋1＋1＝3，不满足三分之一的关系。假设2015 年为111 岁，数字和为3，则2012 年为108 岁，数字和为9，符合
三分之一的关系。第三步，故老人的出生年份为2015－111＝1904 年，其各数字之和为14。因此，选择A 选项。
9.【答案】D。解析：第一步，本题考查年龄问题，用代入排除法解题。第二步，代入A 选项，三名学员的年龄之和为12＋6＋13
＝31，不满足各位数字之和为13，排除A 选项；代入B 选项，三名学员的年龄之和为20＋10＋17＝47，不满足各位数字之和为13，
排除B 选项；代入C 选项，三名学员的年龄之和为24＋12＋19＝55，不满足各位数字之和为13，同时不满足为素数也就是质数，排除
C 选项。第三步，代入D 选项，三名学员的年龄之和为30＋15＋22＝67，满足各位数字之和为13，同时满足为小于70 的素数。因此，
选择D 选项。
10.【答案】C。解析：第一步，本题考查年龄问题。第二步，根据题意，某年的两年后除年龄排名居中的1 人外，其余4 人年龄
和为125 岁，那么某年时，第一+第二+第四+第五=125-2×4=117 岁，而此时又有年龄最大的2 人年龄之和是最小的2 人年龄之和的1.25
倍，故有
，两个方程联立，可解得第四+第五=52，第一+第二=65，排名第三的员工要想尽可能大，则第一
和第二的要尽可能小，又知道第一+第二=65，故可以得到第一的33 岁，第二的32 岁，那么第三的最大为31 岁，此为某年第三的岁数，
那么2 年后再过2 年，也就是4 年后的年龄为35 岁。因此，选择C 选项。
11.【答案】C。解析：第一步，本题考查年龄问题。第二步，设2020 年李某的工龄为x 岁，则李某当年4x 岁，张某的年龄为6x
岁。2024 年，即四年后，李某年龄为4x＋4 岁，张某的年龄为6x＋4 岁，2024 年张某的年龄正好是自己工龄的2 倍，则张某2024 年
的工龄为3x＋2 岁，2020 年工龄为3x－2 岁，具体如下表。根据张某参加工作时李某10 岁可知4x－（3x－2）＝1０，解得x＝8 岁，
所以李某参加工作的年龄为4x－x＝24（岁）。
164
因此，选择Ｃ选项。
12.【答案】D。解析：第一步，本题考查年龄问题。第二步，设3 年后，张的年龄为x 岁，则王的年龄为3x-2，再过5 年，张为
x+5，王为3x+3，根据王比张的2 倍多5 岁列方程：3x+3=2（x+5）+5，解得x=12，此时王的年龄为39 岁，在此基础上过10 年，王的
年龄是39+10=49 岁。因此，选择D 选项。
13.【答案】B。解析：第一步，本题考查年龄问题，用方程法解题。第二步，2018 年，父亲年龄是女儿的6 倍，是母亲的1.2 倍，
设女儿年龄为x 岁，则父亲为6x 岁，母亲为5x 岁。女儿与母亲年龄差为5x－x＝24，则x＝6，故2018 年女儿6 岁，父亲36 岁，母
亲30 岁。第三步，设（2018 年的）t 年后父母年龄之和是女儿的四倍，则有（36＋t）＋（30＋t）＝4×（6＋t），解得t＝21。因
此，在2018 年＋21＝2039 年，父母年龄之和是女儿的4 倍。因此，选择B 选项。
14.【答案】B。根据题意可列方程组：
，解得：王=27，张=29，李=31，赵=25。因此4 人中年龄最大的李（31
岁）比最小的赵（25 岁）大31-25=6 岁。
15.【答案】D。根据“2024 年甲、乙、丙三人的年龄之和与2034 年甲的年龄相同”可得：甲+乙+丙=甲+（2034-2024），化简为：
丙=10-乙······①，根据“乙的年龄小于甲但大于丙”，则乙>5。年龄问题优先考虑代入排除法，问最小，按照从小到大依次
代入。代入D 项，当甲=9 时，根据“甲、乙的年龄之差大于乙、丙的年龄之差”可得：9-乙>乙-丙······②，将①代入②，解
得：
，又因乙>5，则乙=6，丙=10-6=4，满足题干所有条件，无需验证其他选项。
165
16.【答案】A。设小田今年x 岁，根据题干信息可得5 年后小田父亲年龄为2（x+5）岁、今年年龄为2（x+5）-5=2x+5 岁；10 年
前小田祖父的年龄为6（x-10）岁、今年年龄为6（x-10）+10=6x-50 岁。根据小田祖父比小田父亲大25 岁可列方程：（6x-50）-（2x+5）
=25，解得x=20。则小田今年20 岁。
17.【答案】B。设小王弟弟现在的工龄为x 年，则小王和他弟弟的年龄情况如下表：
则现在小王工龄为(22+2x)-(20+x)=(2+x)年，根据“现在兄弟俩的年龄之和，正好是他们工龄之和的8 倍”可得22+2x+20+x=8×(2+x+x)，
解得x=2，则小王比弟弟大20+x-18=2+x=4 岁。
18.【答案】C。设5 年后乙的年龄为x 岁，则甲的年龄为3x 岁。根据“今年甲和乙的年龄和为26 岁”可列式：（3x-5）+（x-5）
=26，解得x=9，即5 年后乙的年龄为9 岁，甲的年龄为3×9=27 岁，则甲、乙两人的年龄差为27-9=18 岁。根据“若干年后，甲的年
龄是乙的2 倍”，即若干年后甲的年龄=2×乙的年龄，则此时年龄差=甲的年龄-乙的年龄=乙的年龄。根据年龄差不变，乙的年龄=
年龄差=18，即此时乙的年龄为18 岁。
19.【答案】B。设乙处室原来的平均年龄为x 岁，老张的年龄为y 岁，则甲处室原来的平均年龄为（x+1.5）岁，小张的年龄为（y-20）
岁。根据题意，甲处室新进小张后有6+1=7 人，乙处室新进老张后有4+1=5 人，可列方程：
，整理可
得y=x+7.5，即老张比乙处室原来的平均年龄大7.5 岁。
20.【答案】D。2024 年甲、乙、丙三人的年龄之和与2034 年甲的年龄相同，根据过一年涨一岁，则2024 年甲+乙+丙=甲+ 10，
可得乙+丙= 10，那么代入数据，问最小从最小开始带入，则甲9 岁，乙可为6 岁，丙为4 岁，满足条件9−6＞6−4。
166
和差倍比问题
1.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，3 个窗口，2 天可办理600 笔业务，每个窗口每天可办理600÷2
÷3=100 笔业务。每个窗口时间缩短到以前的
，每天可办理100÷
=150 笔业务，增设2 个窗口，共5 个窗口，每天可办理150×5=750
笔业务。优化后的办事大厅办理6000 笔业务最少需要6000÷750=8 天。因此，选择A 选项。
2.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，退出人数4+（-1）ⁿ ，（n=1，2，3，...，30），当n 为奇数
时，会有3 个人退出，当n 为偶数时，会有5 个人退出，n=30，奇偶各一半，共（3+5）×15=120 人。第三步，会议开始后加入会议
人数是退出人数的1.5 倍，则加入120×1.5=180 人，设会议开始时可能有X 人在线，则180+X-120=100，X=40。因此，选择A 选项。
3.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础计算问题，用数字特性法解题。第二步，5 盒动画卡片共有7＋9＋11＋14＋17＝58
（张），喜羊羊、灰太狼图案的卡片之和比葫芦娃图案多1 倍，即是葫芦娃图案的2 倍。那么喜羊羊＋灰太狼＋葫芦娃＝3×葫芦娃，
即喜羊羊＋灰太狼＋葫芦娃的卡片数是3 的倍数，喜羊羊＋灰太狼＋葫芦娃的卡片数＝总数－米老鼠的卡片数，那么总数－米老鼠的
卡片数是3 的倍数。第三步，代入选项验证，A 选项，58－7＝51，是3 的倍数；B 选项，58－9＝49，不是3 的倍数，排除；C 选项，
58－14＝44，不是3 的倍数，排除；D 选项，58－17＝41，不是3 的倍数，排除。只有A 选项满足题意。因此，选择A 选项。
4.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础计算问题，用数字特性法解题。第二步，肉兔中有87.5%的毛色为黑色，则黑毛肉兔
＝
肉兔总数，即肉兔总数是8 的倍数，同理白毛宠物兔＝
宠物兔总数，即宠物兔总数是100 的倍数。第三步，代入选项验
证，问白毛肉兔至少有多少只，采取最值代入，优先代入A 选项，若白毛肉兔有25 只，则肉兔有25
（
）=200（只），是8 的
倍数；宠物兔有2200－200＝2000（只），是100 的倍数，满足题意。因此，选择A 选项。
5.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，已知6、9、10 三个数，则6 个连续整数可能是（5，6，
7，8，9，10）或者（6，7，8，9，10，11）两种情况。前者6 和9 在相对面上，与图形不符；或前者加和为45，选项没有此答案直
接排除。因此6 个整数的和为6＋7＋8＋9＋10＋11＝51。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查基础计算问题，用数字特性
法解题。第二步，3 组相对面，每组相对面的和相等，设其为n，则总和为3n，即为3 的倍数；或者6 个连续的整数之和为3 的倍数。
只有C 符合。因此，选择C 选项。
167
6.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，甲办事处有30 名员工，乙办事处比甲办事处多20%，则乙有30
×（1+20%）=36 名。第三步，根据总人数100 名员工，可得丙办事处的员工人数为100-30-36=34 人。则丙办事处的员工比甲办事处
多4 人。因此，选择A 选项。
7.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，1 吨＝1000 千克，则在改进生产技术之前，企业可生产甲产品
1000/20=50（件）。在改进生产技术后，可生产甲产品50＋30＝80（件），此时生产1 件甲产品需要的A 原料比之前节约了20-1000/80=7.5
（千克）。因此，选择C 选项。
8.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础计算问题，用方程法解题。第二步，设该歌曲在甲平台的播放量为x 万次，则乙平台
的播放量为x－500 万次。依题意可列出方程
，解得x=2000。因此，选择B 选项。
9.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，枚举法解题。西瓜总数为一个平方数且为偶数，西瓜总数大于
10 个，枚举得当西瓜为16 时，甲需要给乙2 个西瓜，此时甲乙相等各8 个西瓜；当西瓜为36 个时，甲需要给乙2 个西瓜，此时甲乙
相等各18 个西瓜。由枚举归纳可知，最后从甲车拿出2 个西瓜。因此，选择B 选项。
10.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础计算，利用赋值法做。第二步，赋值小冰块体积为2，则撞掉一半后体积剩余为1。
大冰块体积原先为20，则撞掉了1 的4 倍后，大冰块体积变为16，现在大冰块是小冰块的16÷1＝16 倍。因此，选择A 选项。
11.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，上午卸货重量是20×20%=4 吨，剩余重量是16 吨，下午卸货重
量是16×30%=4.8 吨，则下午卸货后，车上剩余重量是20-4-4.8=11.2 吨。因此，选择C 选项。
12.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，1 台无人机施肥总时间为：1.2＋1.3＋2＋2.5＝7 小时，2 台无
人机施肥总时间为7÷2＝3.5 小时。因此，选择B 选项。
13.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础计算问题，用代入排除法解题。第二步，设每月比前月增长R，则四月份生产口罩
的数量
，化简得
。代入A 选项，
，等式成立。因此，选择A 选项。
14.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，根据题意，男性人数=总人数×比重，即总人数×60%＞男性人
数＞总人数×50%，采用代入排除法。代入A 项，5×60%＞男性人数＞5×50%，即3＞男性人数＞2.5，男性人数必须为整数，不满足，
排除；代入B 项，6×60%＞男性人数＞6×50%，即3.6＞男性人数＞3，男性人数必须为整数，不满足，排除；代入C 项，7×60%＞男
性人数＞7×50%，即4.2＞男性人数＞3.5，男性人数取4，满足。因此，选择C 选项。
168
15.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，总体规模不变，引进高级技术工人的人数为240×10%=24（人），
则有24 位50 岁以上的职工可以退休，退休的比例为
=40%。因此，选择C 选项。
16.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础计算。第二步，1-9 所有数字之和为45，两个虚线框内分别为11 和27，共38，所
以剩下的三个框里面三个数字之和为7，要想灰色格子最大，只能剩下两个空白格子最小，分别为1 和2，所以灰色格子为4。因此，
选择D 选项。
17.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础计算问题，用赋值法解题。第二步，解法一：赋值电动公交车的每辆碳排放量为88，
则柴油公交车的每辆碳排放量为100。假设该城市柴油公交车x 辆，更换了y 辆电动公交车，可列式子
，
解得
66.7%，B 选项符合。解法二：根据“总公交车=电动公交车+柴油公交车”及“减排量=减排效益×车量数”，利用十字
交叉法，减排效益做差之比等于车量数的反比，如下图：
则
，则
≈67%。因此，选择B 选项。
18.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础计算题。第二步，可通过枚举法进行情况的列举，一月一对初生，二月一对成年，
这一对成年每个月都会繁殖一对初生，所以三月会有一对成年和一对初生，四月两对成年和一对初生，五月三对成年，两对初生，六
月5 对成年，3 对初生，七月8 对成年，5 对初生，共13 对。因此，选择B 选项。
169
19.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础计算。第二步，高速公路上路程200 公里，平均油耗为0.05 升/公里，整体油耗为
200×0.05=10（升）；国道上路程200÷4=50（公里），平均油耗为0.05+0.03=0.08（升/公里），整体油耗为50×0.08=4（升）。
共油耗10+4=14（升）。因此，选择B 选项。
20.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，21 世纪即2000—2100 年，其中仅有一个平方数2025=45²，故
他2025 年时45 岁，出生于2025-45=1980 年。因此，选择D 选项。
21.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，假设刚开始时袋子里红球、白球和蓝球的数量分别为3x，8x 和
4x，后来加入了14 个红球和y 个蓝球，三种颜色球的数量变成了3x+14，8x，4x+y，此时比例为5：4：3，即8x：（4x+y）=4：3，
解得y=2x，（3x+14）：8x=5：4，解得x=2，此时袋子里红白蓝三种颜色的球分别有20、16、12 个。最后取出10 个红球、6 个白球
和2 个蓝球后，都只剩下了10 个。即1：1：1。因此，选择C 选项。
22.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，1 月销量为800，根据题干描述从2 月开始，每月的销售量均比
上月高10%，可知2 月为800×1.1=880，以此类推，3 月为968（不足一个月的按照一个月计算），4 月为1065，5 月1172，6 月1290，
此时累计销量为6175，刚好超过六个月的总进货量6000，正确。因此，选择C 选项。
23.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，题目求第2021 个数的整数部分，可以通过枚举前面数字寻找规
律，第1-8 个数分别为16，8，12，10，11，
，
，
……，可以发现从第6 个数开始整数部分均为10，小数部分为前两个
数的小数部分的平均数，所以后面的数整数部分均不变为10，变的只是小数部分，故第2021 个数的整数部分是10。因此，选择B 选
项。
24.【答案】D。解析：第一步，本题考查本题考查基础计算问题。第二步，令数组（13，26）=（a，b），则（13，26）距离最大
数组表示为（c，d）。根据两个有序数组距离的定义为：|a-c|+|b-d|可知，若两个数组距离最大，则|a-c|=|13-c|最大且|b-d|=|26-d|
最大，也就是13 与c 的差值最大，同时26 与d 的差值最大。满足条件只有D 选项。因此，选择D 选项。
25.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，8 个包装盒共17+19+26+27+35+40+42+50＝256 包小蛋糕，设小
孙取了x 包，则小王、小周各取了2x 包，256－小李＝5x，5x 一定是5 的倍数，即256-小李为5 的倍数，根据题干信息，小李只可能
是取了26 包，则解得x＝46，小王取了2x＝92 包，观察选项仅D 符合。因此，选择D 选项。
170
26.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，观察4⊕2=4＋44=48，是两个数相加，6⊕3=6+66+666=738，是
三个数相加。第三步，由此规律可得，8⊕5=8+88+888+8888+88888=98760（可用尾数法，选0 结尾的答案，只有D 选项。）因此，选
择D 选项。
27.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，包含7 或为7 的倍数的数字分别为：7、14、17、21、27、28、
35、37、42、47、49、56、57、63、67，共计15 个数字。第三步，第一轮报数1—20，有3 人表演节目，还剩17 人；第二轮报数21
—37，有5 人表演节目，还剩12 人；第三轮报数38—49，有3 人表演节目，还剩9 人；第四轮报数50—58，有2 人表演节目，还剩
7 人；第五轮报数59—65，有1 人表演节目，还剩6 人；第六轮报数66—71，有1 人表演节目，还剩5 人，报数停止，报数次数最多
的同学报过6 次。因此，选择C 选项。
28.【答案】A。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，三个书架共60 本书，当三个书架书一样多时，各为20 本，从
第一个书架取出10 本放入第二个书架，再从第二个书架取出5 本放入第三个书架，第二个书架增加了10-5=5 本书，此时有20 本书，
那么第二个书架最初存放了20-5=15 本书。因此，选择A 选项。
29.【答案】D。解析：第一步，本题考查基础计算问题，用赋值法解题。第二步，赋值三月的营业额为9，则五月的营业额为9
×（1+
）×（1+
）＝16，故三月的营业额比五月少
。因此，选择D 选项。
30.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查等差数列，用代入排除法解题。第二步，1—9 数字之和为5×9=45，依次代入
选项：A 选项，当号码和为10 且为最小组的号码和，则最大的组是其两倍为20，另一组为45-10-20=15，10＜15＜20，符合题意；B
选项，当号码和为11 且为最小组的号码和，最大的组是其两倍为22，另一组为45-11-22=12，11＜12＜22，符合题意。（由于代入B
选项时，其中一组号码和为12，故C 选项12 也可满足）因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查等差数列。第二步，1—9 数
字之和为5×9=45，根据最大组号码之和是最小组的两倍，设最小组号码之和为x，则最大组和为2x，中间组和为45-3x，可知，中间
组和一定为3 的倍数；最大组号码之和最大为7+8+9=24，则最小组号码之和最大为24÷2=12，D 选项大于12 且不是3 的倍数，不可
能成立。因此，选择D 选项。
31.【答案】B。解析：第一步，本题考查基础计算问题。第二步，比较丙和丁，发现丁的100 米跑、立定跳远、跳高的成绩都不
如丙，所以最优的肯定不是丁。比较甲、乙、丙的得分，分数都以20＋20＋10 为标准，甲得分为－5＋0.6＋1
0；乙得分为4＋1.2
－0.5＝4.7；丙得分为1＋0.9＋0.5＝2.4。那么乙得分是最高的，应该让乙作为参赛队员。因此，选择B 选项。
171
32.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础计算。第二步，由题意可知六个面的总和为1—6 六个数字的和，即21。则x＋y＝A
＋B＋C＋A＋D＋E＝21＋A－F＝26，解得A－F＝5。在1—6 六个数字中，只有6－1＝5，那么A 与F 的面积分别是6、1，两者之和为7。
因此，选择C 选项。
33.【答案】D。设甲第一季度销售额为a 万元，则乙第一季度销售额为（200-a）万元，甲第二季度销售额为1.2a 万元，乙第二
季度销售额为1.25×（200-a）万元。根据题意可列式：1.2a-1.25×（200-a）=44，解得a=120，则甲第一季度销售额为120 万元，
乙第一季度销售额为200-120=80 万元。故甲第一季度销售额比乙高120-80=40 万元，根据题干甲第二季度销售额比乙高44 万元，因
此上半年甲的销售额比乙高40+44=84 万元。
34.【答案】C。根据题意，设乙本学期已阅读2x 篇，则甲本学期已阅读（x+28）篇，丙本学期已阅读(x+28+2x)/2+18=(1.5x+32)
篇。根据题意可列式：x+28+2x+1.5x+32=159，解得x=22，则乙本学期已阅读44 篇，丙本学期已阅读65 篇。设乙本学期还要阅读y
篇即可比丙多50%以上，根据题意可列式：(42+y-65)/65>50%，解得y>53.5，y 最少为54。
35.【答案】A。设服务大厅共有n 个窗口，根据题意可列方程为：41+(n-1)×28=29×n，解得n=13。
36.【答案】C。设上月蜜柚的销量为x，柠檬的销量为y。根据“这个月蜜柚的销量比上月增加了40%，而柠檬的销量降低了20%”，
可知这个月蜜柚的销量为（1+40%）x=1.4x，柠檬的销量为（1-20%）y=0.8y。根据“当月这两种水果的总销量比上个月增加4%”，则
有：
，解得
，所求
。
37.【答案】A。根据题意，甲单位研究人员数占甲单位人数的75%=3/4，可知甲单位人数为4 的倍数；乙单位研究人员数占乙单
位人数的88%=22/25，可知乙单位人数为25 的倍数。再根据甲、乙两单位共有99 人，可知：若乙单位人数=25 人，甲单位人数=99-25=74
人，不是4 的倍数，排除；若乙单位人数=50 人，甲单位人数=99-50=49 人，不是4 的倍数，排除；若乙单位人数=75 人，甲单位人数
=99-75=24 人，满足题干条件，成立。再根据甲单位非研究人员数占甲单位人数的1-3/4=1/4，乙单位非研究人员数占乙单位人数的
1-22/25=3/25，可得甲单位非研究人员有24*1/4=6 人，乙单位非研究人员有75*3/25=9 人，所以甲单位的非研究人员比乙单位的非研
究人员少3 人。
172
38.【答案】A。根据题意可知，玉米面积/大豆面积=7/2=21/6，大豆面积/稻谷面积=6/1。则玉米、大豆、稻谷三者的面积之比为
21：6：1，故玉米的面积=61600*21/(21+6+1)=46200 平方米。方法二：根据题意可知，玉米面积/大豆面积=7/2，则玉米的面积应为7
的倍数，只有A 项满足条件。
39.【答案】C。设甲调动1.5 吨货车x 辆，2 吨货车y 辆，则乙调动1.5 吨货车y 辆，2 吨货车x 辆，根据题意可列式：
，解得x=6，y=4，则乙运的货物重量=1.5×4+2×6=18 吨。
40.【答案】C。代入A 项：甲岗位31 人，乙岗位69 人，则月付工资3000×31+4000×69=369000 元；代入B 项：甲岗位32 人，
乙岗位68 人，则月付工资为3000×32+4000×68=368000 元；
代入C 项：甲岗位33 人，乙岗位67 人，则月付工资为3000×33+4000×67=367000 元；因为66<2×34，不满于乙岗位工人数不
少于甲岗位的2 倍，排除D 项。综上，月份工资最少的为C 项。
41.【答案】A。由题意可知，基础地质实验结束时，海洋科学实验完成了40-8=32 次，地球物理实验完成了40-16=24 次，则在相
同时间内海洋科学、地球物理两个实验室完成的实验次数之比为32：24=4：3。当海洋科学实验结束时，地球物理实验已完成40÷4*3=30
次，尚需进行40-30=10 次。
42.【答案】B。设已完成升级的规模以上企业有x 家，则未完成升级的规模以上企业有（1+0.6）x=1.6x 家。根据题意可得：
x+1.6x=2080，解得x=800。
43.【答案】B。根据题意，第一天清理后浒苔剩余打捞区域面积=150×（1-20%）=120 平方公里，当晚由于浒苔漂移，剩余打捞
区域面积增加至120×（1+15%）=138 平方公里，第二天清理完，剩余打捞区域面积
平方公里。
44.【答案】C。设蜀国进攻兵力为x 名士兵，则魏国为3x 名士兵，吴国为2x 名士兵。根据题意，可列表如下：
173
若要使得蜀、吴两国的进攻总兵力高于魏国的防守兵力，则x+2x>50000-3x，整理可得6x>50000，解得
，排除A、
B 两项；且蜀、吴两国防守总兵力也高于魏国的进攻兵力，则
，整理可得
，解得
，排除D 项。
45.【答案】B。设甲、乙和丙三种不同配置的电脑单价分别为a 万元、b 万元和c 万元，根据题意可列方程：a+b+c=2.3······①，
2a+b-c=2.2······②。方法一：赋值b=0，即a+c=2.3······①，2a-c=2.2······②，解得a=1.5，c=0.8，可得
所求a+3b+7c=1.5+3×0+7×0.8=7.1 万元。方法二：联立①×5-②×2 可得：a+3b+7c=2.3×5-2.2×2=7.1，即采购1 台甲、3 台乙和
7 台丙的总费用为7.1 万元。
46.【答案】B。根据题意可知，（总人数-1）既是5 的倍数，又是11 的倍数，结合选项可排除A、C 两项。两位演员除自己之外
看到红色背贴的比例不同，说明这两位演员一人为红色背贴、一人为非红色背贴；又因为两次比例的大小关系为
，可知第二
位演员是红色背贴，则等量关系为
，
，代入B、D 两项进行验证。代入B 项，若总人数为
56 人，则红色背贴演员数为11 人，且
，等式成立，符合题意，当选；代入D 项，若总人数为111 人，则红色背贴演员数为
22 人，但
，不符合题意，排除。
174
47.【答案】D。根据“幼体培育车间的水体与育苗车间的水体之比为1：4，藻类池的水体是幼体培育车间水体的50%”可得三车
间的水体之比为1：2：8，则总水体为1+2+8=11 的倍数，则由“每
水体需配备1 名管理人员”可得总管理人员数也为11 的倍
数，结合选项只有D 选项符合。
48.【答案】B。设2024 年甲店面利润为x 万元，则其销售额为10x 万元，乙店面利润为（x+10）万元，丙店面利润为x+10+10=
（x+20）万元，其销售额为
万元。根据“甲、乙、丙三个店面2024 年利润总计为120 万元”，可得x+（x+10）+（x+20）
=3x+30=120，解得x=30。又根据“甲、乙、丙三个店面2024 年销售额总计为1000 万元”，可得乙店面销售额=1000-10x-15x=1000-25
×30=250 万元，乙店面利润为30+10=40 万元，则乙店面的销售额是利润的250÷40=6.25 倍。
49.【答案】A。设甲品种的有效样本为x 份，则乙品种的有效样本为（36-x）份，根据乙品种采集样本30 份可列乙品种的无效样
本为30-（36-x）=（x-6）份，故甲品种的有效样本比乙品种的无效样本多x-（x-6）=6 份。
不定方程
1.【答案】B。解析：第一步，本题考查不定方程问题，用不定方程解题。第二步，设每箱水有2x 瓶，那么一箱半水有3x 瓶，分
给女员工，刚好每人1 瓶，则女员工有3x 人。设男员工有y 人，（y＋3x）×6＝（16－1.5）×2x，解得y＝
。第三步，根据数
字特性，y 是11 的倍数，即男生的人数是11 的倍数，四个选项只有B 选项满足。因此，选择B 选项。
2.【答案】A。解析：第一步，本题考查不定方程问题。第二步，由题意可设处理受伤x 次，换人y 次，其他情况z 次，根据已知
条件可得方程x+y+z=10①；30x+20y+10z=270②。由①×30-②可得：y+2z=3。第三步，解得y=1，z=1，故下半场两队共换了1 人。因
此，选择A 选项。
3.【答案】B。解析：第一步，本题考查不定方程问题。第二步，由一辆大型客车可容纳5 个小组，一辆中型客车可容纳3 个小组，
大型客车比中型客车多容纳16 个小组，可设租赁了大客车x 辆，中型客车y 辆，可列不定方程为5x－3y＝16。代入A 选项x＝3，15
175
－3y＝16，y 小于0，错误；B 选项，代入x＝5，解得y＝3，正确。第三步，至少租赁了大型客车5 辆和中型客车3 辆。因此，选择B
选项。
4.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查不定方程问题。第二步，根据刘+李=16，刘大于李，可知刘＞8；根据王+刘=20，
王大于刘，可知刘＜10。由于都是正整数，那么刘在8 和10 之间则只能是9。那么王=20-9=11，张=34-11=23，李=16-9=7，因此张-
王=23-11=12。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查不定方程，采用代入排除法。第二步，代入A 选项，如果张比王多8 分，
则有张+王=34，张-王=8，可解得两人分数分别为21、13；那么刘的分数为20-13=7，李的分数为16-7=9，与“李的分数最少”矛盾，
排除。代入B 选项，如果张比王多10 分，则有张+王=34，张-王=10，可解得两人分数分别为22、12；那么刘的分数为20-12=8，李的
分数为16-8=8，与“李的分数最少”矛盾，排除。代入C 选项，如果张比王多12 分，则有张+王=34，张-王=12，可解得两人分数分
别为23、11；那么刘的分数为20-11=9，李的分数为16-9=7，完全符合题意。因此，选择C 选项。
5.【答案】C。解析：第一步，本题考查不定方程问题。第二步，要使材料利用率高，先代入D 选项：250×0.998=249.5cm，由于
不锈钢管长度都为正整数，则D 选项不满足题目条件；代入C 选项：250×0.996=249cm，设60cm 和43cm 的不锈钢管各x 根和y 根，
则有方程60x+43y=249，解得x=2，y=3，满足题目条件。因此，选择C 选项。
6.【答案】C。解析：第一步，本题考查不定方程。第二步，设张完成了x 个项目，则刘完成了x+5 个项目；设陈完成了y 个项目，
则李完成了y+6 个项目。设最少的王完成了n 个项目，则有x+y+x+5+y+6+n=24，化简为x+y=（13-n）/2。第三步，当n 取最小值1 时，
x+y=6。小李不是最多的，则y+6＜x+5，有x＞y+1；y 又要大于n，则y 只能取2，此时x 只能取4。五个人从小到大分别是1、2、4、
8、9，符合题意。张和李的和为4+8=12。因此，选择C 选项。
7.【答案】A。解析：第一步，本题考查不定方程问题，用数字特性法解题。第二步，根据20 多辆车将2220 人，满载2 趟正好送
完，设大车有x 辆，小车有y 辆，由题意有2x×50＋2y×36＝2220，将此不定方程化简得：25x＋18y＝555，根据因子特性，18y 能被
5 整除，可知y 是5 的整数倍。当y＝5 时，x 不是正整数，排除；y＝10 时，x＝15，符合车辆总数20 多辆的条件，所以大车比小车
多15－10=5 辆。因此，选择A 选项。
8.【答案】D。解析：第一步，本题考查不定方程问题。第二步，设答对、答错、不答的题目数分别为x、y、z 道，根据“答对、
答错、不答的题目数量依次成等差数列”可得：2y=x+z；根据“最后总分为95 分”可得：10x-5y-3z=95，由因子特性可知z 一定为5
的倍数，当z=5 时，x、y 不是整数，排除；当z=10，有10x-5y=125，即2x-y=25，与2y=x+z 联立，则x=20、y=15，x+y+z=45 道题，
与D 选项一致。因此，选择D 选项。
176
9.【答案】A。解析：第一步，本题考查不定方程问题，用代入排除法解题。第二步，设需要大、小文件袋各x、y 个，列方程24x+15y=153，
化简得8x+5y=51，依次代入选项验证：A 选项，当x=2 时，y=7，符合题意。代入B、C、D 选项均无法使y 取到整数解，排除B、C、D。
因此，选择A 选项。
10.【答案】B。解析：第一步，本题考查不定方程。第二步，设甲、乙、丙三个品种分别购买了x、y、z 盒，那么由题意有28x+32y+33z=400。
由于盒数都是正整数且28x、32y、400 都是4 的倍数，那么33z 必然是4 的倍数，即z 是4 的倍数，只有B 符合题意。因此，选择B
选项。
11.【答案】D。解析：第一步，本题考查不定方程问题。第二步，设苹果买了x 个，梨买了y 个，由题意有x+y=38，x≥3y。代
入选项，A 选项花费30×3+8×2=106 元，B 选项苹果少于梨的三倍，排除；C 选项花费33×3+5×2=109 元，D 选项花费29×3+9×2=105
元。花费最少的是D 选项。因此，选择D 选项。
12.【答案】C。解析：第一步，本题考查不定方程问题，用代入排除法解不定方程。第二步，设获得一等奖的有x 位选手、获得
二等奖的有y 位选手、获得三等奖的有z 位选手。根据共10 位选手总分为61 分，可列不定方程组：x
y
z
10①，9x
5y
2z
61
②，②－①×5 可得：4x－3z＝11。第三步，问该队最多有几位选手获得一等奖，最值代入，优先代入D 选项，x＝6，z 无整数解，排
除；代入C 选项，x＝5，z＝3，y＝2，满足题意。因此，选择C 选项。
13.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查基础应用题，用代入排除法和方程法解题。第二步，设购买康乃馨x 朵，购买
玫瑰y 朵，购买百合z 朵，则x＜y＜z。问玫瑰最高价格，采用最值代入解题。康乃馨3 元/朵，要使玫瑰单价最高，则要使百合价格
最低。第三步，代入D 选项，玫瑰花7 元/朵，那么百合最低8 元/朵，可列不定方程组：x＋y＋z＝20①；3x＋7y＋8z＝120②，①×8
－②得5x＋y＝40，根据因子特性，y 是5 的倍数。若y＝5，则x＝7，不符合题意，排除；若y＝10，则x＝6，z＝4，不符合题意，
排除；若y＝15，则x＝5，z＝0，不符合题意，排除，故D 选项不符合题意，排除。第四步，代入C 选项，玫瑰花6 元/朵，那么百合
最低7 元/朵，可列不定方程组：x＋y＋z＝20①；3x＋6y＋7z＝120②，①×7－②得4x＋y＝20，根据因子特性，y 是4 的倍数。若y
＝4，则x＝4，不符合题意，排除；若y＝8，则x＝3，z＝9，符合题意，故C 选项满足。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题
考查基础应用题，用构造法和代入验证法解题。第二步，玫瑰、康乃馨和百合共20 朵，总价为120 元，可知平均一朵价格为6 元，康
乃馨价格3 元/朵，低于6 元/朵，要玫瑰价格最高，则要使百合价格最低，但百合是单价最高的，故最低也要高于平均数6 元/朵，则
百合最低为7 元/朵，那么玫瑰最高为6 元。第三步，代入验证，设购买康乃馨x 朵，够买玫瑰y 朵，购买百合z 朵，则x＜y＜z。可
列不定方程组：x＋y＋z＝20①；3x＋6y＋7z＝120②，①×7－②得4x＋y＝20，根据因子特性，y 是4 的倍数。若y＝4，则x＝4，不
符合题意，排除；若y＝8，则x＝3，z＝9，符合题意，故玫瑰花最高6 元/朵。因此，选择C 选项。
177
14.【答案】B。解析：第一步，本题考查不定方程问题。第二步，设1 部台式电脑的价格为x，1 部投影机的价格为y，则1 台笔
记本电脑的价格为
。这笔预算刚好可以买16 部台式电脑，或者台式电脑、笔记本电脑、投影机各4 部，可列方程16x＝4x＋4
×
＋4y，解得5x＝3y，赋值x＝3，y＝5，那么1 台笔记本电脑的价格为4。第三步，这笔预算共3×16＝48，设将这笔预算全
部花完时可购买笔记本电脑a 台，投影机b 台，可列不定方程4a＋5b＝48，要使投影机尽可能多，则b 值应尽可能大。根据因子特性，
4a 中有因子4，48 中也有因子4，那么5b 中也应该有因子4，即b 是4 的倍数，则b 值最大为8，此时a＝2，满足题意，即最多可以
买8 台投影机。因此，选择B 选项。
15.【答案】D。设参与研学的教师有x 人，则参与研学的大学生有（110-x）人；设乘坐索道的有y 人，则未乘坐索道的有（110-y）
人。根据题意，大学生半票后为
元/人，则门票费共
元；索道费共70y 元。根据“若支付的门票和索道费共
11750 元”，可列方程45×（110-x）+70y=11750，整理得14y-9x=1360。优先考虑代入选项进行验证，代入x=6，解得y=101，符合
题意；代入x=10，解得
，为非整数，不符合题意，排除；代入x=20，解得y=110，符合题意。综上，参与研学的教师有6 人
或20 人。
16.【答案】D。方法一：设乘坐1 名游客的车有a 辆，乘坐2 名游客的车有b 辆，乘坐3 名游客的车有c 辆，乘坐4 名游客的车
有d 辆。根据题意可列式：a+b+c+d=6······①，a+2b+3c+4d=15······②，联立方程组，由②-①，得b+2c+3d=9。求b
的最大值，将选项从大到小依次代入，代入D 项，若b=4，则2c+3d=5，可取值c=d=1，代入①解得a=0，满足题干条件。方法二：根
据题意，每辆车至多乘坐4 名游客，求乘坐2 名游客的车辆至多有几辆。若6 辆车均先乘坐2 名游客，则各自空余2 个座位。剩余15-2
×6=3 名游客无车乘坐，即剩余的3 名游客最少需要安排到2 辆车上，此时乘坐2 名游客的车辆最多，为6-2=4 辆。
178
17.【答案】B。根据题意，
，即2 分球命中次数是5 的倍数；
，即3 分球命中次数是4 的倍数。
设2 分球命中次数为5x 个，3 分球命中次数为4y 个，罚球命中次数为z 个，可列式：
，由于x、y、z 均为正
整数，故x、y 均只能取1，此时z=3，罚球命中率
，在B 项范围内。
溶液问题
1.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查溶液问题，属于溶液混合类，用赋值法解题。第二步，赋值甲盐水浓度为20%，
乙盐水浓度为40%，那么x%＝
；丙溶液浓度为：
。第三步，设y 克甲盐水与1 克丙盐水混
合后浓度为x%，即25%，有
，解得y＝2。因此，选择A 选项。解法二：第一步，本题考查溶液问题。第二步，由
题意1 克丙盐水相当于
克甲盐水和
克乙盐水混合而成，而1 克浓度为x%的盐水相当于
克甲盐水和
克乙盐水混合而成。那么要
想得到x%的盐水3 克需要1 克丙盐水再混合
=2（克）甲盐水。因此，选择A 选项。
2.【答案】B。解析：第一步，本题考查溶液问题，属于溶液混合类，用方程法解题。第二步，设加入了x 千克的糖，得
，
解得x＝0.8。第三步，则共有白糖12×20%＋0.8＝3.2（千克），总钱数为3.2×15＝48（元）。因此，选择B 选项。
3.【答案】B。解析：第一步，本题考查溶液问题中的基础溶液。第二步，设浓度50%的糖水有x 克，第一次加水量为y 克，则糖
水中的糖为50%x 克，根据“加入一定量的水后浓度变为40%”可得
，解得x=4y。根据“再加入与上一次等量的水后，糖
水变为60 克”可得x+2y=60，解得x=40，y=10。第三步，糖水中的糖为50%x=50%×40=20。因此，选择B 选项。
179
4.【答案】D。解析：第一步，本题考查溶液问题。第二步，设甲溶液的量为2、则乙溶液的量为3，甲乙混合后浓度为
=28%，设丙溶液的量为n，根据三种溶液混合后浓度为52%列方程
=52%，解得n=15。则丙溶液重
量为甲的15÷2＝7.5 倍。因此，选择D 选项。
5.【答案】D。解析：第一步，本题考查溶液问题，用方程法解题。第二步，设稀释前每桶溶质为x，根据浓度=溶质÷溶液，可
得40%=
，求得x=2，当稀释到5%的时候，可得溶液为2÷5%=40，可知每桶5 公斤，浓度为40%，稀释到5%时，可稀释40 公斤。第
三步，现在农户有4 亩地，每亩喷洒60 公斤，一共需要240 公斤，则需要240÷40=6 桶。因此，选择D 选项。
6.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查溶液问题。第二步，最终的糖水浓度为
，与之前一
致，因此一样甜。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查溶液问题。第二步，新加入的溶液浓度为
=20%，与之前一致，
那么整体浓度仍为20%，因此一样甜。因此，选择C 选项。
7.【答案】B。解析：第一步，本题考查溶液问题。第二步，设甲盐水浓度为m，乙盐水的浓度为n。浓度＝溶质/溶液，根据题意
“将X 千克乙盐水与X 千克甲盐水混合，并蒸发掉X 千克水之后，得到的溶液浓度是乙盐水的Z 倍”，可得
，化
简得n＋m＝Zn，解得
，故乙盐水的浓度是甲盐水的
倍。因此，选择B 选项。
8.【答案】A。解析：第一步，本题考查溶液问题。第二步，设乙盐水的浓度为x，那么甲盐水的浓度为3x。混合后加热，水分蒸
干后总重量减轻至四分之一，说明盐占溶液的四分之一，即浓度为25%。可列方程：1000×20%＋200×3x＋400×x＝（1000＋200＋400）
×25%，解得x＝20%，那么甲盐水的浓度为60%。因此，选择A 选项。
9.【答案】D。解析：第一步，本题考查溶液问题，用方程法解题。第二步，已知浓度=溶质/溶液，根据最后浓度相同可列式：
，解得x=600。因此，选择D 选项。
180
10.【答案】C。解析：第一步，本题考查溶液问题。第二步，原食盐水中含盐250×4%＝10（克），加入10 克盐后，含盐20 克，
溶液变为260 克，蒸发掉160 克水后，盐仍剩余20 克，溶液剩余260－160＝100（克），那么浓度为20÷100＝20%。因此，选择C 选
项。
11.【答案】A。解析：第一步，本题考查溶液问题。第二步，设需要浓度为90%的溶液x 克。根据混合前后溶质不变可以得到50
×60%＋90%x＝100×66%，解得x＝40。再根据混合前后总的溶液质量相等可以得到需要水的质量为100－50－40＝10（克）。因此，
选择A 选项。
12.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查溶液问题，用方程法解题。第二步，设调酒杯的容量为x 毫升，则最初加入伏
特加的量为（x-120）毫升，伏特加浓度为
。摇匀后倒出80 毫升后，混合液还剩（x-80），此时伏特加的量为
。
加满番茄汁后，伏特加的量不变，由此可列：
。第三步，直接计算比较困难，采用代入排除法（从最简单的
开始代入）。代入C 项，方程左边为
，右边为200×24%=48，左边等于右边，方程成立。因此，选择C 选
项。解法二：第一步，本题考查溶液问题，用倍数特性解题。第二步，根据“伏特加的比例为24%”，可列伏特加/总容量=
，
利用倍数特性可得，总容量为25 的倍数，只有C 选项满足。因此，选择C 选项。
13.【答案】A。解析：第一步，本题考查溶液混合问题第二步，根据浓度的核心公式：浓度=溶质/溶液，设需要加水x 毫升，根
据公式可列方程：
，解得x=40。因此，选择A 选项。
14.【答案】D。解析：第一步，本题考查溶液问题，用方程法解题。第二步，设需要浓度为60%的溶液x 克，可列方程：300×95%
＋60%x＝75%×（300＋x），解得x＝400。因此，选择D 选项。
15.【答案】H。解析：第一步，本题考查溶液问题，用方程法解题。第二步，设调酒杯的容量为x 毫升，则最初加入伏特加的量
为（x-120）毫升，伏特加浓度为
。摇匀后倒出80 毫升后，混合液还剩（x-80），此时伏特加的量为
。加
181
满番茄汁后，伏特加的量不变，由此可列：
。第三步，直接计算比较困难，采用代入排除法（从最简单的开
始代入）。代入H 项，方程左边为0.4×120=48，右边为200×24%=48，左边等于右边，方程成立。因此，选择H 选项。
16.【答案】C。方法一：设需要浓度为40%的盐水x 克，需要盐（120-x）克。根据混合前后溶质质量不变，结合题意可列式：
，解得x=100，即需要浓度为40%的盐水100 克。方法二：根据线段法“距离（浓度之差）
与量（溶液质量）成反比”，结合题意可列式：
，则需要浓度为40%的盐水
克。
17.【答案】A。设甲、乙两瓶酒精溶液最初的质量均为m 克，浓度均为n。根据题意可知：在甲瓶中加入20 克水后，继续在甲瓶
中加入30 克纯酒精，溶液又恢复到最初浓度。结合公式：浓度=溶质/溶液，可列式：(m*n+30)/(m+20+30)=n，解得n=60%；根据“在
甲瓶中加入20 克水、乙瓶中加入50 克浓度为30%的酒精溶液后，浓度仍然相等”，可列式：(m*60%)/(m+20)=(m*60%+50*30%)/(m+50)。
方法一：根据公式：
，可将方程化简为：0.6m/(m+20)=(50*30%)/30=1/2，解得m=100。方法二：方程正面求解比较复
杂，可将选项代入验证，代入A 项：
，等式成立，符合题意，当选。
18.【答案】A。设甲、乙、丙的浓度分别为x、y、z（均为小数形式），根据题干混合条件，1 千克甲与2 千克乙混合后总质量3
千克、纯酒精1.35 千克，可得x+2y=1.35；2 千克乙与3 千克丙混合后总质量5 千克、纯酒精2.8 千克，可得2y+3z=2.8；4 千克甲
与1 千克丙混合后总质量5 千克、纯酒精2 千克，可得4x+z=2。先由第三个方程变形得z=2−4x，将其代入第二个方程，整理得2y−12x=
−3.2，再用第一个方程减去此式，化简得13x=4.55，解得x=0.35，即甲的浓度为35%。
182
函数问题
1.【答案】D。解析：第一步，本题考查函数问题。第二步，随着OA 长度的增加，CD 的长度先增加后减少，排除A 选项。ED 为圆
的半径R，假设半径为5，如下图所示：
当AO=1 时，OE=4，OD=3，CD=6;当AO=2 时，OE=3，OD=4，CD=8；当AO=3 时，OE=2，OD=
，CD=2
;描点为（1，6）（2，8）
（3，2
）。观察选项，只有D 选项满足。因此，选择D 选项。
2.【答案】A。解析：第一步，本题考查工程问题，属于效率类。第二步，赋值乙生产线的效率即一小时的产量为1，则甲生产线
的产量为5。函数图像采用描点法进行解题，列表分析如下：
第三步，第1 小时，总量差值为4，后续3 个小时差值从4 降到1，则第1 小时的斜率＞后续3 个小时，排除B、C 选项。第1 小
时和第5 小时的差值分别为4 和5，差距较小，观察A、D 选项，A 选项更满足题干条件。因此，选择A 选项。
183
3.【答案】B。解析：第一步，本题考查函数问题。第二步，先分析最小值A2。精加工的饲料为
，当
，即X
2Y
的时候，从新粮里精加工的最少一直是A2=0。当X>2Y 的时候，最少A2=
-Y=
，由于Y 是固定值，A2 是一条直线。因此，
这个函数的图像是一条不经过原点的直线。排除C、D 选项。第三步，分析最大值A1。精加工的饲料为
，当
X，即X
≦
时，从新粮里精加工的最多A1=X。当X>
时，从新粮里精加工的最多A1=
，因此这个函数的图像是两条斜率不同的直线。
第四步，A1 和A2 转折点不同，排除A 选项。因此，选择B 选项。
4.【答案】D。解析：第一步，本题考查函数问题。第二步，根据同时出发，且速度“是2 倍”可以得到，在甲到达顶点之前的任
意时刻，两人行走距离之间满足如图关系，斜边长是底边的2 倍，可推出高度为底边的
倍，即距离和时间成线性比例关
系，排除选项B、C。
第三步，讨论分界点，在“正三角形”中，当甲达到最高点时，乙到达底边中点位置，两者距离最大；当甲到达底边端点，两人
相遇，距离最短为0。然后继续重复上述过程，故变化趋势只有两种状态，排除选项A。
184
因此，选择D 选项。
5.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查函数问题，用数形结合法解题。第二步，如图所示，在150 分钟时，B 种收费比
A 种多的部分为CE，容易看出△DCE 与△DHG 全等，因此CE＝GH。而GH 是△ODF 相对边OF 的中位线，则GH 平行且等于边OF 的一半，
即GH＝10，则CE＝10。因此，选择A 选项。
解法二：第一步，本题考查函数问题。第二步，设A 种方式的函数关系为
，B 种为
；当t＝100 时，
，
则a×100＋20＝b×100，化简得b－a＝0.2；当t＝150 时，
。因此，选择A
选项。
6. 【答案】C。解析：第一步，本题考查函数问题。第二步，如下表所示，枚举部分人数值，讨论其上限和下限分配情况。
185
第三步，根据表格可知，当总人数为X＝1，2，3 时，Y 的上限值分别为1，2，3，其函数关系为Y＝X，排除A；Y 的下限值分别
为1，1，1，其函数关系为Y＝1，排除B 和D，选择C。因此，选择C 选项。
7.【答案】A。解析：第一步，本题考查函数问题。第二步，观察y 的变化趋势，为先下降后增长，排除B、C 选项。第三步，观
察x、y 对应的第二组数据，当x 为0 时，y 为1，选项D 当x 为0 时，y 为负数，排除D 选项。选项A 变化趋势为先下降后增长，且
当x 为0 时，y 为正数，符合题意。因此，选择A 选项。
8.【答案】A。解析：第一步，本题考查函数问题。第二步，观察水杯的形状可知，水杯的下面比较窄，上面比较宽，所以在注入
等量的水时，水深变化会越来越小，所以注入水杯中的水量与水杯中水的高度不成线性关系，排除C、D 选项。观察A 与B 选项，采用
极限思维考虑，越接近杯口的时候，杯子的底面越大，当注入一定量水的时候，杯子内水的深度变化非常小，A 选项符合。B 选项的图
形含义为当注入杯中的水量变化很小时，水深变化非常大，明显不满足题意。因此，选择A 选项。
9.【答案】C。解析：第一步，本题考查函数问题。第二步，从A 到B 的过程中，工作人员与光源之间的距离不变，因此光照强度
也相同。从B 到C 的过程中，由于光照强度和人到光源距离的平方成反比，假设光照强度为a，距离为b，函数关系为ab²=n，假设工
作人员在从B 点开始行走的距离为l，则b²=r²+l²，此时a 与b²不是线性关系，排除D，在C 到D 的阶段，工作人员到光源的距离不
是恒定的，所以光照强度也不是平行直线，排除A、B 选项。因此，选择C 选项。
186
10.【答案】B。解析：第一步，本题考查定积分的应用。第二步，曲边梯形面积的计算，采用定积分来解题。A 选项，
，A 选项错误；B 选项，
，B 选项正确；C 选项，
，C 选项错误；D 选项，
，D 选项错误。因此，选择B
选项。
11.【答案】C。解析：第一步，本题考查函数问题。第二步，如图所示，赋值正方形ABCD 的边长为20，设甲、乙的速度均为1。
分段讨论：
（1）当0＜T≤10 时，乙在A 地保持静止，甲所走的距离1×T＝T 即为甲乙之间的距离，对应图形为匀速变化的直线。（2）当
10＜T≤20 时，在这段时间甲从E 到B，乙从A 到E，由于速度相同，故甲乙之间的距离恒为10，对应图形为平行于T 轴的直线。（3）
当20＜T＜30 时，在这段时间甲从B 到F，乙从E 到B，可用描点法进行枚举：T=21 时，甲从B 到H，BH=1，乙从E 到G，EG=1，则BG=10-1=9，
则甲乙之间距离GH=
；同理，当T=22 时，甲、乙继续前进的距离均为1，则甲乙之间距离为
；
当T=23 时，甲、乙继续前进的距离均为1，则甲乙之间距离为
；当T=24 时，甲、乙继续前进的距离
均为1，则甲乙之间距离为
。观察可得：
→
→
→
，随着时间T 越来越大，甲乙之间
距离越来越小，且递减趋势逐渐变小，排除ABD 项。因此，选择C 选项。
187
12.【答案】D。解析：第一步，本题考查函数问题。第二步，根据任务总量不变可列式：任务总量=xy=（x+1）（y－2），化简可
得y=2x+2，当x=0 时，y=2，只有D 选项符合。因此，选择D 选项。
13.【答案】D。解析：第一步，本题考查函数问题，用代入排除法解题。第二步，根据题目给出的公式M
，分析可知，
x 值越大，M 值越小，也就是耗油量越小。由于题目明确规定经济时速是指汽车最省油的行驶速度，故x 取最大值时M 取最小值，观察
选项，x 最大值为D 选项105。因此，选择D 选项。
14.【答案】C。由题意可知，相邻两棵树、最东边的树与围墙的间隔取最大值4m 时，文化广场的边长最大，此时文化广场的面积
最大。设与围墙相垂直的两条边均植树x 棵，则与围墙相垂直的边长均为4xm。由于围墙一侧无需植树且最终共植树63 棵，则与围墙
相平行的边植树63-2x+2=（65-2x）棵，则与围墙平行的边长为
。设文化广场的面积为
，则
，令y=0，解得
，
，当
时，y 取最大值。则文化广场
的最大面积为
15.【答案】A。根据题意可知，该农场共有种植面积100 亩，即a+b=100，则b=100-a。设总成本为Y，则
。
，令
，解得a=2，此时Y 取最小值，即总成本最少。
约数倍数问题
1.【答案】B。解析：第一步，本题考查约数倍数问题，用代入排除法解题。第二步，因未知数较多，设中间变量，一样的数字为
4n。则甲乙丙丁分别为：4n－4，4n＋4，n，32n，比较可得三位数号码为32n。而n≤4，可得32n≤128。第三步，三位数不超过128
且是32 的倍数，排除A、C、D。因此，选择B 选项。
188
2.【答案】C。解析：第一步，本题考查约数倍数问题。第二步，A、B 两个部门共369＋412＝781（人），根据要求人数相同，则
每批次人数应该是781 的约数，781＝11×71，要求批次尽可能少，可知每次培训71 人，分11 次完成。有且仅有一批对象同时包含A、
B，且412÷71＝5……57，可知有57 人来自B 部门。因此，选择C 选项。
3.【答案】A。解析：第一步，本题考查约数倍数题。第二步，由甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重为45%和32%，
根据数字特性，甲中级工程师=甲×45%=甲×
，乙中级工程师=乙×32%=乙×
，则甲、乙的总人数必须是20 和25 的倍数。又因
为单位3 个部门共有员工50 人，所以甲=20 人，乙=25 人，因此丙=50-20-25=5 人。第三步，又有甲中级工程师+乙中级工程师+丙中
级工程师=总共的中级工程师，即：
+丙中级工程师=50×40%，则丙中级工程师=3，所以丙中级占的比重=60%。因此，
选择A 选项。
4.【答案】A。解析：第一步，本题考查约数倍数问题。第二步，注意“每个学生左右相邻的两个同学性别均不相同”的含义不是
一个学生本身性别跟左右不同，而是这个学生的左右两边的两人性别不同。那么任何一个学生左右两边都必须一男一女。从某一个人
开始枚举，有四种情况：①男女女男男女女男……②女男男女女男男女……③男男女女男男女女……④女女男男女女男男……每种周
期都是4 人一组，可知总人数应为4 的倍数，选项中符合这个要求的数字仅有52。因此，选择A 选项。
5.【答案】A。解析：第一步，本题考查循环周期问题，用代入排除法解题。第二步，提问方式为"至少多少年"，故从最小的选项
A 开始代入，210 年后，周期为60 年的小行星运行210÷60＝3.5 周，周期为84 年的小行星运行210÷84＝2.5 周，周期为140 年的小
行星运行210÷140＝1.5 周，由于三颗小行星都运动到直径对应的另一端，因此处在恒星的同侧，满足题意。因此，选择A 选项。
6.【答案】C。解析：第一步，本题考查约数倍数问题。第二步，由于一共24 台，故总价应该能够被8 和3 整除。能被8 整除的
条件是数字的最后三位能够被8 整除，则最后一位只能是2。又能够被3 整除，故数字加和之后为3 的倍数。代入A 项，3+5+7+9+2=26，
不是3 的倍数，排除；代入B 项，5+5+7+9+2=28，不是3 的倍数，排除；代入C 项，7+5+7+9+2=30，是3 的倍数。因此，选择C 选项。
7.【答案】C。解析：第一步，本题考查约数倍数问题，用方程法解题。第二步，设两周后最少还有x 户未走访，则第二周走访的
户数是1.2x，则存在等量关系1.2x+x＝总×（1-46%），化简可以得到110x=27 总，求x，由于x 和总数都是整数，利用倍数关系，
所以x 是27 的倍数，结合选项，只有C 选项是27 的倍数。因此，选择C 选项。
189
8.【答案】A。解析：第一步，本题考查约数倍数问题。第二步，整本书的页码之和是
，设
缺失页右手页码是奇数x，那么两面页码之和是x+x+1=2x+1，由题意
×11²-（2x+1）=n（2x+1），即
×11²是2x+1 的倍数。第三
步，若不考虑是否是第一页或最后一页，则2x+1 最大值为241+242=483，将
×11²分解，约数除了1 和本身之外在483 以下的还有3、
9、11、27、33、81、99、121、243、297、363 共十一个约数，其中3 拆分成1+2 是第一页排除；9 拆分成4+5，两个页码不在一页上，
排除，类似的还需排除33、81、121、297 四个，最后有11、27、99、243、363，共五种可能。因此，选择A 选项。
9.【答案】C。解析：第一步，本题考查约数倍数问题。第二步，将1764 进行因数分解：1764=7×7×3×3×2×2。由于每一环都
小于10，那么两个7 不能与其他因数结合，必然甲乙都各有两个7 环。剩下的乘积为36，可以分解为9×4×1，也可以分解为4×3
×3，和分别是14 和10，正好相差4。因此甲的总环数是7+7+9+4+1=28，乙的是7+7+3+3+4=24。因此，选择C 选项。
10.【答案】D。解析：第一步，本题考查约数倍数问题。第二步，该单位的人员总数能平均分成N 组，要求其中N＞1 且每组人数
＞1，设每组人数为M，则总人数=N×M。由题意M 有且仅有6 种不同可能，即总人数应该有且仅有除了1 和本身之外的6 个约数。第
三步，100 以内除了1 和本身外有6 个约数的至少是2×2×2×3=24（约数为2、3、4、6、8、12），代入选项，从最大的D 开始，相
差64 则最大是88，约数除了1 和88 外有2、4、8、11、22、44 共6 个，满足题意。因此，选择D 选项。
11.【答案】A。解析：第一步，本题考查约数倍数问题。第二步，由“三个房间号之和为一个各位数字均不相同，且各位数字之
和为6 的四位数”，6=0+1+2+3，所以这个四位数各位数字只能从0、1、2、3 中取。由房间号百位数字数是1—7，因为是同楼层，则
加和后首两位数字只能是12 或21（3 的倍数，且千位数为3 则超过7 层，0 不能做四位数首位），所以房号之和只有四种可能：1230、
1203、2130、2103。第三步，代入四个数字验证，假如是1230，则中间房号为1230÷3=410，三个房间号为409、410、411，符合题
意；假如是1203，则中间房号为1203÷3=401，没有400 房间，排除。同理2103 不可以，2130 符合题意。共有两种情况。因此，选
择A 选项。
12.【答案】B。解析：第一步，本题考查约数倍数问题。第二步，由自己的编号能同时被5、9、101 整除可得，最小公倍数为4545，
员工编号为18xxxx，一定能被4545 整除。前两位是18 且是4545 的倍数的六位数，经尝试4545×40=181800，符合，则编号为800；
若4545×41=186345，符合，则编号为345，4545×42=190890，不符合，由此可得最小为345。因此，选择B 选项。
13.【答案】C。解析：第一步，本题考查约数倍数问题。第二步，由5700 立方厘米的蜡制作二十多个同样大小实心蜡，可得，制
作个数一定是5700 的约数，而且要求20 多，通过计算只有一组符合5700=25×228，所以每个实心蜡的体积为228。第三步，228=1
190
×1×228=1×2×114=1×3×76=1×4×57=1×6×38=1×12×19=2×2×57=2×3×38=2×6×19=3×4×19，共10 组。因此，选择C 选
项。
14.【答案】A。解析：第一步，本题考查约数倍数问题，用因式分解法解题。第二步，由三个自然数分别是一位数、两位数和三
位数，其乘积为3930，将3930 进行因式分解：3930＝3×10×131，三个自然数的和为3+10+131=144，是选项中最小的一个。因此，
选择A 选项。
15.【答案】A。方程法。设大车的载货量为a，小车的载货量为b。第一趟总载货量为10a，第二趟载货量为10a + 15b，根据
“运输量比第一趟高50%”可列方程(10a + 15b )/10a=1.5, 可得b/a = 3/1。
16.【答案】D。小明参加爬山活动，12 点从山脚A 点出发去往山顶B 点，C 点在AB 之间且上下山均为匀速行走。12 点半小
明到达C 点，这表明从A 到C 所用时间TAC​
为30 分钟；12 点50 分小明又回到C 点，意味着从C 到B 再回到C 所用时间TC−B
−C 是20 分钟，那么从C 到B 所用时间TCB就是20÷2=10 分钟；13 点小明返回A 点，说明从C 到A 所用时间TCA为10 分钟。由于速度
V 不变，根据路程公式s=vt，可得SBC/sAC​
=(V×TCB)/(V×TAC)=TCB/TAC=10/30=3，即AC 之间的距离是BC 之间距离的3 倍。
17.【答案】D。设三个单位总人数为T（400＜T＜500），则丙单位总人数为T - 100a - 100b，丙单位党员人数为（T - 100a -
100b) - 118（因丙单位非党员118 人）。根据“三个单位党员总数是总人数的一半”，可列出等式：甲党员（37a）+乙党员（49b）
+丙党员（T - 100a - 100b - 118）= T/2。整理后得T = 126a + 102b + 236，结合T 的范围（400＜T＜500）试算：若a=1、b=1，
T=126×1 + 102×1 + 236=464（符合四百多）；若a≥2 或b≥2，T 会超过500，不符合要求。因此，总人数T=464，甲单位100 人、
乙单位100 人，丙单位人数为464 - 100 - 100=264 人。已知丙单位非党员118 人，故丙单位党员人数为264 - 118=146 人（可验证：
三个单位党员总数为464÷2=232 人，甲党员37 人+乙党员49 人+丙党员146 人= 232 人，完全匹配）。综上，丙单位有146 名党员。
统筹推断
1.【答案】A。解析：第一步，本题考查统筹推断问题。第二步，一天24 小时，每名司机每天驾驶时间不超过8 小时，故配备3
名司机即可，3 名司机可互相接替轮流驾驶，这样可以连续驾驶不用休息。8 点—18 点共10 小时，可行驶80×10＝800（公里）；18
点—第二天早上8 点共14 小时，可行驶60×14＝840（公里），第二天8 点时还差1900－800－840＝260（公里），需要260÷80＝
3.25（小时）即3 小时15 分钟，那么共需要24 小时＋3 小时15 分钟＝27 小时15 分钟。因此，选择A 选项。
191
2.【答案】C。解析：第一步，本题考查统筹推断。第二步，根据题目描述，总人数=12×20+17×30+6=756 人。安排车辆数最少
的原则派车，如果全用大巴车，需要
辆，即需要25 辆大巴车还余下6 人，那么至少需要26 辆车。第三步，26 辆车可能情况如下：
①26 辆大巴车，可以运26×30=780 人；②25 辆大巴车、1 辆中巴车，可以运25×30+20=770 人；③24 辆大巴车、2 辆中巴车，可以
运24×30+40=760 人。第③种情况大巴车最少，只需24 辆。因此，选择C 选项。
3.【答案】D。解析：第一步，本题考查统筹推断问题。第二步，根据题意，每个科室从左向右依次进行，且等待化验结果时可进
行其他科室项目，且多个科室的交费环节和取药环节可合并完成，则完成所有诊疗活动的最少时间对应的情况应该为：先完成科室1
的全部环节，在等待化验结果的同时，分别进行科室2 和科室3 的问诊、开检查、开药环节，之后科室2 和科室3 的检查（药费）单
交费、药房取药环节同时进行。第三步，综上，最少时间为5+3+10+20+3+5=46 分钟。因此，选择D 选项。
4.【答案】D。解析：第一步，本题考查统筹推断问题。第二步，根据题意，如果在有彩色珠子的每个杯中均取出一颗珠子，则原
来各杯中珠子数量均少1。并且此时各杯中珠子数量仍与原先一致，故杯中珠子成等差数列排布且公差为1，每项减1 后，数量都与前
一项对应。第三步，解法一：将选项代入，A 选项共有7 个玻璃杯，假如原来每个玻璃杯放有的彩色珠子分别为0，1，6，5，4，3，2。
现有的彩色珠子为6，0，5，4，3，2，1。彩色珠子总数为21，不满足题意舍去；B 选项共有8 个玻璃杯，假如原来每个玻璃杯放有
的的彩色珠子分别为0，1，7，6，5，4，3，2。现有的彩色珠子为7，0，6，5，4，3，2，1。彩色珠子总数为28，不满足题意舍去；
C 选项共有9 个玻璃杯，假如原来每个玻璃杯放有的彩色珠子分别为0，1，8，7，6，5，4，3，2。现有的彩色珠子为8，0，7，6，5，
4，3，2，1。彩色珠子总数为36，不满足题意舍去；D 选项共有10 个杯子，假如原来每个玻璃杯放有的彩色珠子为0，1，9，8，7，
6，5，4，3，2。现有的彩色珠子为9，0，8，7，6，5，4，3，2，1。彩色珠子总数为45，满足题意。解法二：由于有空杯，则
，
末项
，根据等差数列前n 项和公式
，彩色珠子总数为45，可得
，解得n＝10。因此，
选择D 选项。
5.【答案】D。解析：第一步，本题考查统筹推断问题。第二步，电梯上一层需要10 秒、走楼梯下一层需要15 秒，可知电梯上三
层与走楼梯下两层所需时间相同，小王先坐电梯上12 层到达13 楼、小李走楼梯下8 层到达16 楼时间相同，小王再坐电梯上两层到达
15 楼需要20 秒，小李走楼梯下一层达到15 楼需要15 秒，则在15 楼碰面最节约时间。因此，选择D 选项。
192
6.【答案】C。解析：第一步，本题考查统筹推断。第二步，师傅的效率是徒弟的1.5 倍，则同一种剪纸师傅所需时间是徒弟的
，
要使最后一个拿到剪纸的游客等待的时间尽可能少，应尽可能使师徒同时完成：师傅完成2、15、25 三种，需要（2＋15＋25）×
＝
28 分钟；徒弟完成6、10、12 三种，需要6＋10＋12＝28 分钟。因此，选择C 选项。
7.【答案】C。解析：第一步，本题考查统筹推断问题。第二步，如果每道工序都选择最少时间的人员，那么ABC 的人员选择应该
是甲、乙、丁，D 只能选丙，共用3+3+11+9=26 分钟；但观察发现丙干A 只需要5 分钟，甲干D 需要5 分钟，比3+9=12 分钟节省2 分
钟，可知最节省的方式是令甲干D，乙干B，丙干A，丁干C，共需要5+3+5+11=24 分钟。因此，选择C 选项。
8.【答案】D。解析：第一步，本题考查统筹推断。第二步，B 地运往甲乙两个工厂的运费差15 元，A 地运往甲乙两个工厂的运费
差20 元，可知A 地运往乙工厂最划算。让A 地的500 吨都运到乙工厂，花费130×500＝65000（元），乙工厂差的100 吨由B 地运送
需花费145×100＝14500（元）。甲工厂所需600 吨全部由B 地运送，需花费600×160＝96000（元）。一共需花费65000＋14500＋
96000＝175500（元）。因此，选择D 选项。
9.【答案】C。解析：第一步，本题考查统筹推断。第二步，15 张广告布双面印刷共有30 个面，每2 个同时印刷，每次印刷1 分
钟，需要15 分钟。印刷期间已印好的面晾干，那么最后一次印刷的两个面还需要2 分钟晾干，一共至少需要15+2=17 分钟。因此，选
择C 选项。
10.【答案】A。解析：第一步，本题考查统筹推断问题，用枚举归纳法求解。第二步，老刘通知1 名同事需要1 分钟，那么1 分
钟的时候包括老刘在内有2 人接到通知；2 分钟的时候有2×2=4 人接到通知；3 分钟的时候有4×2=8 人接到通知；4 分钟的时候有8
×2=16 人接到通知……可知第n 分钟末通知到的同事人数为
人。当n=6 时，通知到64－1=63＞60 人，所有同事都接到了通知。
因此，选择A 选项。
11.【答案】C。解析：第一步，本题考查统筹推断问题，用构造法解题。第二步，打字员小张每页有2 个错字，而打字员小李每
页有1 个错字，故打字员小李的错误率较低，要想录入文档的错误率最低，应该尽量让小李多录入。第三步，9 小时＝540 分钟，一共
需要录入12＋7＋11＋8＋14＋20＝72（页），打字员小李独自完成72 页用时15×72
540，所以小李和小张同时录入才行，小李540
分钟最多可录入
（页），因为每篇文章必须由同一个人录入，故小李最多可录入7＋8＋20＝35（页），则共有错别字1×35
193
＝35（个）；小张录入72－35＝37（页），共有错字2×37＝74（个），那么录入整个文档共有错字35＋74＝109（个），平均每页
有错字
（个），在1.5—1.6 之间。因此，选择C 选项。
12.【答案】C。要使所需时间最少，则让两个车间分别生产相对效率更高的模块。甲车间相对于乙车间生产A 模块的效率为6/1=6，
生产B 模块的相对效率为3/2=1.5，比较发现，甲车间生产A 模块的相对效率更高，故先由甲车间生产A 模块，乙车间生产B 模块。
甲车间生产A 模块需要
天，此时乙车间已生产B 模块2×20=40 个，还剩40×2-40=40 个B 模块由两车间共同生产，需要
天，故至少需要20+8=28 天。
13.【答案】C。根据题干“至少······保证一定有”，可判定本题为最不利构造问题。要保证一定有3 名学生专业相同，
则每个专业先最少派出2 个人，则A、B、C 三个专业共派出3×2=6 人。此时再多1 人，则必然有一个专业达到3 人，因此所求最少人
数为6+1=7 人。
14.【答案】B。若要铺设电缆总长度最短，则铺设的线路应尽量少且每条线路的长度应尽量短。六栋办公楼，最少需要5 条线路
即可联通。最短路径优先，选择AB、AC、CF、BE、AD，此时六栋楼均被连通且铺设电缆的总长度最短，故所求为（4+5+6+7+7）×10=290
米。
15.【答案】B。赋值丙地到甲地、丙地到乙地、丁地到甲地、丁地到乙地的每吨运价分别为7 元/吨、4 元/吨、6 元/吨、5 元/吨，
设丙运往甲地的物资为x 吨，则丙运往乙地的物资为（100-x）吨，丁运往甲地的物资为（80-x）吨，丁运往乙地的物资为（x-20）吨，
由题意可知：
，
，
，
，解得：
。总运输成本为
，当x=80 时，总运输成本最高为2×80+780=940 元；当x=20 时，
总运输成本最低为2×20+780=820 元，因此所求为
，在B 项范围内。
194
星期日期问题
1.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查星期日期问题，用枚举法解题。第二步，数据较小，可以采用枚举法。
因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查星期日期问题，用代入排除法解题。第二步，若下一次给植物浇水为7 月15 日，
则还需要经过10 天，除去4 天周末，为6 天，不能被4 整除（4 个人轮流打扫，则天数必然为4 的整数倍），排除A；同理排除B、D。
因此，选择C 选项。
2.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查星期日期问题，用枚举法解题。第二步，通过轮流主持每周一的会议，可知当副
主编第12 次主持时，应为第十二个周期的第三周，即第36 周，中间间隔35 周，经过35×7＝245（天）。枚举从1 月6 日第1 次会
议后245＝（31－6）＋28＋31＋30＋31＋30＋31＋31＋8，即第245 天为9 月8 号，故副主编第12 次发稿会在9 月8 日。因此，选择
C 选项。解法二：第一步，本题考查星期日期问题，用枚举法解题。第二步，通过轮流主持每周一的会议，1 月6 日的发稿会由社长主
持可知，副主编第1 次主持发稿会是1 月20 日。两次之间间隔3 周，第1 次到第12 次间隔33 周即33×7＝231（天）。第三步，选
项都是9 月的，那么非闰年的1 月20 日到9 月20 日会经历30×8＋5－2＝243（天），比所需天数多了243－231＝12（天），即12
天之前，是9 月8 日。因此，选择C 选项。
3.【答案】C。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，一周有7 天，31÷7＝4 周余3 天，每周有5 个工作日（周二至
周六），因此这4 周即有5×4＝20 天，而小王一共工作了22 天，则这个月的前3 天（或后3 天）中有2 天工作日，即这个月的1、2、
3 可能是周一、周二、周三，或者周五、周六、周日。因此4 号为周四或者周一。因此，选择C 选项。
4.【答案】C。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，若地球绕太阳公转的周期是365 天8 小时，普通的平年一年是
365 天的话，每三年会多出8×3=24 小时，即一天，需要设置一个闰年。因此，选择C 选项。
5.【答案】C。解析：第一步，本题考查星期日期问题，用枚举法求解。第二步，列表枚举：
195
由表可知，若队员1 在第1 天负责安检，则下一次将在第8 天（即7 天后）再次负责安检；若队员1 在第8 天负责安检，则下一
次将在第13 天（即5 天后）再次负责安检。故如果队员1 今天负责了安检，则最晚在7 天后他将再次负责安检。因此，选择C 选项。
6.【答案】B。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，4 月y 日是3 月x 日的（31－x）＋y 天后，这两天都是星期五，
则31－x＋y 是7 的倍数。代入A 选项，若y＝24，那么x＝32－24＝8，31－8＋24＝47 不是7 的倍数，排除；代入B 选项，若y＝25，
那么x＝32－25＝7，31－7＋25＝49 是7 的倍数，满足题意。因此，选择B 选项。
7.【答案】C。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，选项与学习日相差60 天左右，而60 是3、4、5 的公倍数，故优
先尝试60 天。8 月13 日学习语文，那么60 天前是6 月14 日（8 月13 天＋7 月31 天＋6 月16 天）。8 月14 日学习数学，那么60 天
前是6 月15 日（8 月14 天＋7 月31 天＋6 月15 天）。8 月15 日学习外语，那么60 天前是6 月16 日（8 月15 天＋7 月31 天＋6 月
14 天）。故第一次学习是6 月14 日。因此，选择C 选项。
196
8.【答案】B。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，每经过一个平年，星期往后推一天，每经过一个闰年，星期往后
推两天，从21 年到31 年，共8 个平年，2 个闰年，因此需要在星期四的基础上往后推1×8＋2×2＝12 天，12÷7=1…5，星期四再过
五天是星期二。因此，选择B 选项。
9.【答案】A。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，甲每4 天去一次，乙每5 天去一次，丙每6 天去一次，可知他们
三人相遇的时间应该是三个数字的最小公倍数，即60。所以只要看5 月5 日开始，60 天之后的日期即为答案。5 月还有26 天，6 月有
30 天，还缺4 天，所以同时见面的时间为7 月4 日。因此，选择A 选项。
10.【答案】D。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，2021 年12 月10 日跟2021 年7 月1 日相比，过了30＋31＋30
＋31＋30＋10＝162（天）后。162÷7＝23……1，那么2021 年12 月10 日为星期四＋1＝星期五。因此，选择D 选项。
11.【答案】C。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，甲每隔4 天相当于每5 天，乙每隔5 天相当于每6 天，丙每隔
6 天相当于每7 天，则下次相遇是210（5、6 和7 的最小公倍数）天后，210÷7＝30，则下次相遇为星期四。因此，选择C 选项。
12.【答案】B。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，7 月1 日是周三，则7 月22 日（相差整3 个星期）也是周三，
则从21 号到28 号8 天中只有一个周末；每周周末两天不读书，21 号到28 号读了8－2=6（天）。第三步，设小张每晚读20 页需要读
x 天，则有20x=30（x-6），解得x=18。每周5 天读书，18÷5=3（个星期）……3（天），7 月28 日往前推3 个星期是7 月7 日周二，
周二周一只有2 天读书，那么还有1 天需要在上一个周五开始，即7 月3 日。因此，选择B 选项。
13.【答案】C。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，本月1 号到28 号经过了4 整周，题干中表明28 号为星期四，
则说明每一周最后一天都为周四，因此每周第一天为周五，4 整周的日期为1—7 日、8—14 日、15—21 日、22—28 日，则1 号为星期
五。因此，选择C 选项。
14.【答案】D。解析：第一步，本题考查星期日期问题。第二步，尾号“1”“9”和“5”“0”出现的次数一样多，如果都是5
次，那么该月至少有4×7＋4＝32（天），但7 月只有31 天，故尾号“1”“9”和“5”“0”出现的次数都是4 次，说明7 月除了4
整周外，多的三天为周二、周三、周四，则7 月的前三天、后三天都为周二、周三、周四。第三步，该年7 月1 日是周二。因此，选
择D 选项。
15.【答案】C。解析：第一步，本题考查星期日期问题，需要结合最小公倍数知识点解题。第二步，每隔2 天，每隔4 天，相当
于每3 天，每5 天，计算3，5，7 的最小公倍数为105，即105 天后再次相遇，4 月还有20 天，5 月有31 天，6 月有30 天，截止到6
月底共计20＋31＋30＝81（天），还差105－81＝24（天），即7 月24 日。因此，选择C 选项。
197
16.【答案】D。解析：第一步，本题考查星期日期问题，用枚举法解题。第二步，正向考虑较难，考虑代入排除。假如5 月份两
人去健身房的情况如下，同去的正好为11 天：
可以发现，此种情况中4、8 号可以不用都去健身房；排除BC 选项。假如5 月份两人去健身房的情况如下，同去的正好为11 天：
可以发现，此种情况中2 号可以不用都去健身房，排除A 选项。因此，选择D 选项。
17.【答案】A。由题意可知，小张每周夜跑4 次，则任意连续的28 天共夜跑28/7*4=16 次。2 月前28 天（2 月1 日-2 月28 日）
夜跑16 次，不足17 次，故该年2 月应为29 天，最后1 天（2 月29 日）再夜跑1 次。3 月有31 天，后28 天（3 月4 号-3 月31 日）
共夜跑16 次，前3 天（3 月1 日-3 月3 日）夜跑19-16=3 次，即2 月29 日-3 月3 日连续4 天夜跑4 次，则这4 天只能是周一至周四。
4 月有30 天，前28 天夜跑16 次，后2 天分别为周五、周六，不夜跑，因此小张4 月夜跑16 次。
18.【答案】D。根据题意，该门店每周的营业额为1×5+2×2=9 万元，16/7=2 周······2 天，即该月1-16 日的总营业额包
含2 个整周加2 天的营业额，这2 天的营业额为22-9×2=4 万元，则多出的这2 天只能是星期六和星期日，即该月1-16 日包含3 个星
期六和3 个星期日，连续的14 天（3 日至16 日）包含星期一至星期日各2 个，则该月1 日只能是星期六，该月8 日也是星期六。
198
19.【答案】A。小张每隔4 天去医院做一次理疗，即每5 天做一次理疗。如果7 月2 日去做理疗，则7 月做理疗的日期分别为2
日、7 日、12 日、17 日、22 日、27 日；如果7 月3 日去做理疗，则7 月做理疗的日期分别为3 日、8 日、13 日、18 日、23 日、28 日，
代入选项：A 项：7 月31 日是星期四，则7 月日历如下表所示：
即7 月2 日为星期三，7 日为星期一，12 日为星期六，17 日为星期四，22 日为星期二，27 日为星期日，满足“如果他7 月2 日去，
则7 月的理疗有1 次在星期六、1 次在星期日，其余都在工作日”的条件；7 月3 日为星期四，8 日为星期二，13 日为星期日，18 日
为星期五，23 日为星期三，28 日为星期一，满足“如果他7 月3 日去，则7 月的理疗只有1 次在星期日，其余都在工作日”的条件。
满足所有条件，当选。其他选项无需验证。
20.【答案】A。方法一：根据题意，小王某个星期日参加活动后的情况列表如下，其中“√”代表去参加宣传活动，“×”代表
不去参加宣传活动。
199
观察发现，小王下一次在周末参加宣传活动的时间是第四周的星期六，此时小刘也可以参加宣传活动，则从第一周的星期日到第四周
的星期六，最少间隔7+7+5=19 天。方法二：根据“小王隔9 天参加一次”可知，小王每10 天参加一次宣传活动，则下一次两人共同
参加宣传活动的时间为10n 天后（n 为正整数），间隔（10n-1）天，结合选项，只有A 项符合。
21.【答案】C。根据题意可知：老张每周值班4 天即4 次。5 月共31 天，其中5 月1-28 日共28 天为4 整周，老张需值班4×4=16
次，则剩余3 天（5 月29-31 日）中老张需要值班1 次，由题意可知，这3 天为星期三、星期四、星期五或星期五、星期六、星期日。
分情况讨论：①若5 月31 日为星期五，则5 月1 日为星期三，所以4 月1 日为星期一，老张需要值班，与题干要求不符，排除；②若
5 月31 日为星期日，则5 月1 日为星期五，所以4 月1 日为星期三，老张休息，符合题干要求。由于6 月1 日至12 月31 日共：
30+31+31+30+31+30+31=214 天，则
（个周期）······4（天），相当于5 月31 日星期日再过4 天即为12 月31 日的
星期四，这天恰好需要老张值班，因此当年老张最后一次值班是在星期四。
22.【答案】D。2024 年全年共计366 天，共有366÷7=52 周······2 天。根据2024 年1 月1 日是周一，可知2024 年为52
周加星期一、星期二各1 天，则全年共有52 个星期三。每个月的天数为29~31 天，则每个月必包含完整的4 周，即至少有4 个星期三，
至多有5 个星期三。若12 个月均只有4 个星期三，则共有4×12=48 个星期三。因此全年共有
个月有5 个星期三，即2024
年组织5 次活动的月份有4 个。
23.【答案】B。根据题意可知，M、N 两部电视剧在每周四和周五都有播出。从3 月20 日至4 月21 日，共有31-19+21=33 天，
周⋯⋯5 天，则这最后5 天为周四至周一，即题目所求期间内应共有4×2+2=10 天为周四或周五。3 月20 日至4 月4 日，共有31-19+4=16
天，
周⋯⋯2 天，即4 月4 日为周五，则4 月5 日为周六、4 月6 日为周日。由于清明期间停播，则4 月4 日（周五）两部剧
都未播出。题目所求期间共有10-1=9 天两部剧都有播出。
200
24.【答案】D。一周7 天，16 ÷ 7 = 2 周余2 天，一周营业额为9 万，22 ÷ 9 = 2 万余4 万；所以多余的两天营业额为4 万
元，这2 天只能是周六周日。该月8 日=1 日=15 日=周六。
25.【答案】D。28 天四周是每月必有的，余下的时间:上个月必余一二;本月必余五六。将日期排列组合，上个月尾一二三，本月
尾四五六，下月第一天日。
植树问题
1.【答案】C。解析：第一步，本题考查植树问题。第二步，不妨给甲镇和乙镇加上1 公里虚拟距离，变成61 公里，这样安装限
速标志和测速仪器的各自间隔距离就会相同，分别是4 公里、9 公里。由于是虚拟加上的距离，则一端不“植树”，另一端“植树”，
限速标志共安装61÷4 取整得15 个，测速仪器共安装61÷9 取整为6 个，同时限速标志和测速仪刚好在同一个地点安装的有61÷36
取整为1 个。那么安装总费用=500×（15-1）+800×（6-1）+1000=7000+4000+1000=12000 元。因此，选择C 选项。
2.【答案】C。解析：第一步，本题考查植树问题，用赋值法解题。第二步，赋值全程为100 米，根据间隔相等，可知每个间隔为
100÷100＝1（米）。半圈为50 米，利用植树公式可得，最多经过标记点的数量为50÷1＋1＝51（个）。因此，选择C 选项。
3.【答案】B。解析：第一步，本题考查植树问题。第二步，为了“最多”，每侧的第一棵树优先种植银杏树。一侧每4 棵树有3
棵银杏树，35÷4＝8 组……3 棵，最多有3×8＋3＝27（棵）银杏树；另一侧每5 棵树有1 棵银杏树，35÷5＝7 组，有1×7＝7（棵）
银杏树。第三步，两侧相加，最多栽种银杏树为27＋7＝34（棵）。因此，选择B 选项。
4.【答案】A。解析：第一步，本题考查植树问题。第二步，10÷3＝3……1，长边最多安装2 根栅栏（不算顶点）；8÷3＝2……
2，短边最多安装1 根栅栏（不算顶点）。那么一共2×2＋1×2＋4＝10（根）。因此，选择A 选项。
5.【答案】B。解析：第一步，本题考查植树问题。第二步，3 甲＋4（甲＋乙）＝10 乙＋2 甲，化简得甲∶乙＝6∶5，甲组每天
比乙组多种5 棵数，那么甲组每天种30 棵数，乙组每天种25 棵数，那么一共需要种25×10＋30×2＝310（棵）树，两侧各需要种155
棵，一侧有155－1＝154（个）间隔，那么这条公路长8×154＝1232（米）。因此，选择B 选项。
6.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查植树问题。第二步，根据题意，5 面没有移动的灯笼把花槽分成5 段，每段长为
400÷5＝80（米）。设增加一些灯笼后间距为x 米，原间距是16 米。没有移动的灯笼间距为两次加入灯笼间距的最小公倍数，则16
与x 的最小公倍数为80。第三步，观察选项，只有B、D 选项两个数字与16 的最小公倍数为80。题目要求间隔最大，则增加灯笼后的
间距为10 米。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查植树问题。第二步，用代入排除法解题。要使间隔最大，从大到小依次
201
代入选项。A 选项不能被400 整除，排除；B 选项，16 和10 的最小公倍数为80，共有400÷80＝5（只）灯笼没有移动，符合题意。
因此，选择B 选项。
7.【答案】B。解析：第一步，本题考查植树问题。第二步，要想安装的摄像头少则间距尽可能大，因为要求间距相等，则间距应
为750 和1350 的最大公约数，即150，故选择150 米作为间距。道路总长750＋1350＝2100（米），根据直线单侧植树公式，棵数=
总长÷间距+1，可知需要安装摄像头2100÷150＋1＝15（个）。因此，选择B 选项。
8.【答案】C。解析：第一步，本题考查植树问题。第二步，卸完第9 个站的瓶装水，说明已经走了9 段，卸了9 次水，共用时
14：27－14：00＝27（分钟），其中卸水用了9 分钟，那么走了9 段用时18 分钟，则每段用时2 分钟。第三步，全程往返共19×2=38
段，用时38×2=76（分钟），卸水18 次，用18 分钟，共需76+18=94（分钟），14：00 从起点出发，则回到起点的时间为14：00＋
94 分钟＝15：34。因此，选择C 选项。
9.【答案】A。根据两条直角边（包含顶点）分别栽种4 棵和5 棵树木，间隔距离为4 米，根据两端植树可知段数=棵数-1，因此
两条直角边长分别为：(4-1)×4=12 米，(5-1)×4=16 米，根据勾股定理可得斜边长
米。根据两端都不植树公式：棵
数=长度/间隔-1，则斜边（不包含顶点）可栽种树木20/4-1=4 棵。综上，绿地周边一共栽种了4+5+4-1=12 棵。
10.【答案】D。360÷30=12，12 段路13 盏灯，加装12 盏，最中间为第13 盏。
余数问题
1.【答案】B。解析：第一步，本题考查余数问题。第二步，余数问题优先考虑用代入排除法解题。代入A 选项，325÷18＝18……
1，325÷（18－1）除不开，不满足题意，排除；代入B 选项，361÷18＝20……1，361÷（20－1）＝19，满足题意。因此，选择B 选
项。
2.【答案】D。解析：第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。第二步，由题干每支团队由3 名社工组成，则剩余2 名社
工，即答案减去2 后整除3；题干每支团队由4 名社工组成，余2 名社工，即答案减去2 后同时整除4。第三步，将ABC 选项代入题干，
均不符合要求，将D 选项38 代入题干即38－2＝36，可以同时整除3 和4，符合题干要求。因此，选择D 选项。
202
3.【答案】B。解析：第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。第二步，根据如果从第一人开始依次按1，2，3，...，9
的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是7，则（所求答案－7）为9 的倍数；根据如果按1，2，3，...，11 的顺序循环报数，最后
一名小朋友报的是9，则（所求答案－9）为11 的倍数。第三步，A 项，98－7＝91 不能被9 整除，不符合题意。B 项，97－7＝90，90
÷9＝10，能整除，97－9＝88，88÷11＝8，能整除，符合题意。因此，选择B 选项。
4.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。第二步，代入A 选项，采购了60 份月饼礼盒，
第一周售出60÷2＋10＝40（份），剩余20 份，第二周售出20÷2＋5＝15（份），剩余5 份，不符合题意排除；代入B 选项，采购了
80 份月饼礼盒，第一周售出80÷2＋10＝50（份），剩余30 份，第二周售出30÷2＋5＝20（份），剩余10 份，不符合题意排除；代
入C 选项，采购了100 份月饼礼盒，第一周售出100÷2＋10＝60（份），剩余40 份，第二周售出40÷2＋5＝25（份），剩余15 份，
不符合题意排除；代入D 选项，采购了120 份月饼礼盒，第一周售出120÷2＋10＝70（份），剩余50 份，第二周售出50÷2＋5＝30
（份），剩余20 份，符合题意。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查余数问题，用倒推法解题。第二步，第二周售出剩下
的一半多5 份，说明最后剩的20 份是剩下的一半少5 份，那么第二周时有月饼礼盒（20＋5）×2＝50（份），第二周的月饼礼盒是第
一周售出后剩下的一半少10 份，故最初月饼礼盒一共有（50＋10）×2＝120（份）。因此，选择D 选项。
5.【答案】C。解析：第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。第二步，根据每车坐28 人，则有1 人坐不上车，可知选
项数据－1 可被28 整除，无法排除选项，考虑代入另一个条件，若开走一辆空车，则所有员工恰好可平均分。代入A 选项，（281－1）
÷28=10（辆），开走一辆还有10－1=9（辆），281 不能被9 整除，即无法平均分，排除；代入B 选项，（589－1）÷28=21（辆），
开走一辆还有21－1=20（辆），589 不能被20 整除，即无法平均分，排除；代入C 选项，（841－1）÷28=30（辆），开走一辆还有
30－1=29（辆），841÷29=29（人），29＜35，完全符合题意。因此，选择C 选项。
6.【答案】A。解析：第一步，本题考查余数问题，用余数定理解题。第二步，考查余数问题，根据余数定理，差同减差（如果每
次取5 个出来最后剩下4 个，5-4=1；如果每次取4 个最后剩3 个，4-3=1；，如果每次取3 个最后剩2 个，3-2=1），最小公倍数做周
期，故总数为60n-1，当n=2 时，满足总数为119。第三步，每次取12 个，119÷12=9...11。因此，选择A 选项。
7.【答案】C。设每束8 枝有a 束，每束9 枝有b 束，根据玫瑰花总枝数相同可列式：8a+3=9b+5，整理可得：8a=9b+2。根据奇偶
特性可知，8a 和2 均为偶数，则9b 为偶数，即b 为偶数。根据要求数量最多的一束玫瑰花最少，那么玫瑰花总枝数要最少，即b 取
值要尽量小，分情况讨论：若b=2，则a=2.5，不是整数，不符合题意；若b=4，则a=4.75，不是整数，不符合题意；若b=6，则a=7，
符合题意，则此时玫瑰花总枝数最少为8×7+3=59 枝。要使数量最多的一束玫瑰花枝数最少，则另外两束玫瑰花枝数要尽可能多，设
数量最多的一束玫瑰花最少有x 枝，又因3 束玫瑰花枝数各不相同，可得玫瑰花枝数如下：
203
根据玫瑰花总共有59 枝，可列式：x+x-1+x-2=59，解得
，问最少，向上取整21 枝。
循环周期问题
1.【答案】D。解析：第一步，本题考查循环周期问题。第二步，每隔2 天即每3 天，每隔3 天即每4 天，3 和4 的最小公倍数是
12，两部门每12 天会有一个“同时发布日”。第三步，为了最多，让两个部门1 号同时发布。接下来的同时发布日只能是13 号和25
号，所以一个月内最多有三个同时发布日。因此，选择D 选项。
2.【答案】B。解析：第一步，本题考查循环周期问题。第二步，想要从第一排按照要求回到第一排，需要经过6 的倍数周数；想
要从最左边按照要求回到最左边，需要经过8 的倍数周数。所以想要从第一排最左边首次回到第一排最左边，要经过6 和8 的最小公
倍数24 周才可以。因此，选择B 选项。
3.【答案】A。解析：第一步，本题考查循环周期问题，用方程法解题。第二步，由2 名队员轮流值班可知，以2 循环，8÷2＝4，
即再过4 天又到队员3 值班。因此，选择A 选项。
4.【答案】C。解析：第一步，本题考查循环周期问题。第二步，问最小的年龄，选项从最小的开始代入。代入D 选项，1 周岁=365
天，体力处于365÷22=16 个周期……13 天，13 天不属于22 天的前半个周期的“高潮期”，排除。代入C 选项，2 周岁=365×2=730
天，体力、情绪、智力分别处于730÷22=33 个周期……4 天、730÷28=26 个周期……2 天、730÷33=22 个周期……4 天，均处于每个
周期的前半个周期的“高潮期”，正确。因此，选择C 选项。
5.【答案】B。解析：第一步，本题考查循环周期问题，用枚举法解题。第二步，获得纪念品A 的编号分别为：1、8、15、22、29、
36、43、50……，问题所求为人数最多，从最大的选项开始依次代入：D 选项，获得纪念品B 的编号分别为：54、45、36，36 号同时
获得纪念品A 和B，排除；C 选项，获得纪念品B 的编号分别为：52、43，43 号同时获得纪念品A 和B，排除；B 选项，获得纪念品B
的编号分别为：48、39、30、21、12、3，没有人同时获得纪念品A 和B，符合题意。因此，选择B 选项。
204
6.【答案】B。解析：第一步，本题考查循环周期问题。第二步，由题意可知，5 天为一个周期，可收到2＋3＋3＋1＋1＝10 篇学
习心得，12 周为7×12＝84 天，共84÷5＝16 周期……4 天，即经过了16 个周期，每个周期收到10 篇，余下四天按照收到学习心得
的顺序来算，分别是2 篇、3 篇、3 篇、1 篇，所以支部共收到10×16＋2＋3＋3＋1＝169 篇学习心得。因此，选择B 选项。
7.【答案】B。解析：第一步，本题考查循环周期问题和几何问题。第二步，由正方体六个面上相对面的两个数字之和为20，得
三组相对面的数值分别为（9、11）（13、7）（5、15）。先将木块从左向右翻转2018 次，如此翻转，无论翻转多少次，正面数字不
发生变化，但2018÷4＝504……2，即向上面为11；再由前向后翻转2019 次，4 个面一个循环周期，2019÷4＝504……3，余数为3，
由前向后翻，此时正面数字正好是原来向上的面11。因此，选择B 选项。
8.【答案】B。解析：第一步，本题考查循环周期问题。第二步，一个循环周期共有2+3+5+3=13（株）树木，2019÷13=155……4，
可得155 个周期后还剩余4 株树，剩余的4 株树木为2 株蜀桧，2 株刺柏，那么第2019 株树木为刺柏。因此，选择B 选项。
钟表问题
1.【答案】A。解析：第一步，本题考查钟表问题。第二步，上午8：30 之后开会，为了最多，要保证会议尽量早开始，晚结束。
各个整点时刻的具体角度见下图，垂直的情况最多出现4 次。
因此，选择A 选项。
2.【答案】B。解析：第一步，本题考查钟表问题。第二步，根据题意可知晚上7 点29 分53 秒时，差7 秒7 点半，此时时针在7
点至8 点中间，分针在29 分至30 分之间，7 点至8 点之间有4 个分针的刻度，7 点29 分53 秒的时候时针超过第2 个刻度、不到第3
个刻度，以分针为参照，即在29 至38 之间，因此手表时针与分针的夹角内共有8 颗（30-37 共8 颗）水晶。因此，选择B 选项。
3.【答案】A。解析：第一步，本题考查钟表问题。第二步，60 天后走慢了5 分钟，即300 秒，因此，每天走慢300÷60=5 秒。
因此，选择A 选项。
205
4.【答案】A。解析：第一步，本题考查钟表问题。第二步，四个钟分别在钟楼的东西南北四个方向，所以相邻的两个钟所在的面
是垂直的，要想时针垂直，只需要当前面的时针垂直于相邻钟表所在的面即可，即当前面的时针为水平方向即可，即早上9 点，下午
3 点两个时刻，当前面挂钟的时针与相邻面垂直，即两个面上挂钟的时针相互垂直。因此，选择A 选项。
5.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查钟表问题。第二步，五点整的时候时针与分针的夹角为5×30°=150°，分针每
分钟转6°，时针每分钟转0.5°，那么5：00 到出门的时候分针比时针多转过的角度为150°-110°=40°，5：00 到进门的时候分针
比时针多转过的角度为150°+110°=260°。可知整个外出的时间里分针比时针多转了260°-40°=220°。第三步，根据钟表问题夹
角公式，220°=（6°-0.5°）×t，解得t=40。因此，选择C 选项。解法二：第一步，本题考查钟表问题。第二步，由于选项差距较
大，可以直接观察手表或者画出表盘，5 点之后两次成110°的时间分别是5 点5 分多和5 点45 分多，相差40 分钟最符合实际。因此，
选择C 选项。
6.【答案】A。解析：第一步，本题考查钟表问题。第二步，李强从家里出发到回家，钟表从8：04 走到17：30，走了9 小时26
分钟；李强在公司，钟表从8：00 走到17：00，走了9 小时。可知李强上下班共花26 分钟，那么单程为13 分钟。因此，选择A 选项。
7.【答案】C。解析：第一步，本题考查钟表问题。第二步，12 点从单位出发12 点半到家，说明路上时间为30 分钟，往返时间
为1 个小时。在单位工作4 个小时，一共5 个小时。5：25＋5h＝10：25。因此，选择C 选项。
8.【答案】C。解析：第一步，本题考查钟表问题。第二步，小威离开寝室的挂钟时间是12 点，回到寝室的挂钟时间是7 点45 分，
中间过了7 个小时45 分钟；他在离上课15 分钟时到达教室，说明到达教室时间为13：45，离开教室的时间是21：00，中间过了7 个
小时15 分钟；则在小威离开寝室的这7 小时45 分钟内，有30 分钟用于往返寝室与教室，故单程花费15 分钟。因此，小威离开寝室
的准确时间应比13：45 分提前15 分钟，即下午1 点30 分。因此，选择C 选项。
9.【答案】A。解析：第一步，本题考查钟表问题。第二步，出门时8 点多且分针和时针的夹角为160°，应该是是8 点10 多分，
回来时11 点多且分针和时针的夹角为30°，要想出现90°角的次数多，应尽量晚回来，那么是11 点50 多分。第三步，分针与时针
成90°角的情况具体如下：8 点多一次、9 点整一次、九点多一次、十点多两次，十一点多两次，共计7 次。因此，选择A 选项。
10.【答案】D。解析：第一步，本题考查钟表问题。第二步，镜子里看到时钟显示为3 点零5 分，则真实时间应该是8 点55 分（可
以从纸背后看图即为真实时间）。至少9 小时才能打卡，则9 小时后应该是17：55。因此，选择D 选项。
206
11.【答案】D。解析：第一步，本题考查钟表问题。第二步，已知一只手表每天快18 分钟，要使两只手表再次同时显示标准时间，
则要快12 小时或者12 小时的整数倍，即至少经过
（天）；同理，另一只手表每天慢15 分钟，则至少要经过
（天）显示标准时间。第三步，因为40 和48 的最小公倍数为240，所以两只手表再次同时显示标准时间最少需要240 天。因此，选
择D 选项。
12.【答案】C。因为法国（夏令时期间）比北京的时间晚6 个小时，所以北京时间晚上7 时35 分相当于法国时间下午1 时35 分，
即13 时35 分。根据题意他到达酒店的时间为12 时30 分+42 分=13 时12 分，故他早到了35-12=23 分钟。
牛吃草问题
1.【答案】C。解析：第一步，本题考查牛吃草问题。第二步，根据1 头牛每天的食草量与2 只羊相当，可得结论10 头牛每天的
食草量与20 只羊一样多，则10 头牛和10 只羊一天的食草量相当于20+10=30 只羊的草量。根据题目条件若放牧30 只羊，则30 天会
把草吃完，所以，如果同时放牧10 头牛和10 只羊，则30 天后牛羊就会把牧场的草吃完。因此，选择C 选项。
2.【答案】C。解析：第一步，本题考查牛吃草问题，用公式法解题。第二步，每分钟可以疏导10 辆车，所以前期积压的300 辆
车可以在30 分钟里疏导完毕。30 分钟后每分钟汇入该路段约3 辆，交警疏导每分钟通行10 辆，代入Y=（N-x）×T。200=（10-3）×
T，解得T=28.6，加上之前的30 分钟，C 选项与之最接近。因此，选择C 选项。
3.【答案】A。解析：第一步，本题考查牛吃草问题。第二步，设车间每天生产效率为a，原有库存为b，赋货车每辆运1，由题
意可列式
，解得a=8，b=80，则最终运完存货可得（x－8）×4+（x－8×1.5）×7≥80，解得x≥17.8，最小取整
x=18。因此，选择A 选项。
4.【答案】D。解析：第一步，本题考查牛吃草问题。第二步，根据牛吃草公式y＝（N－x）T，y 代表原有草量，即原有排队的市
民数；N 代表牛的头数，即所开接种台数量；x 为草生长的速度，即每小时新增市民数；T 代表时间。代入数据，y＝（8－x）×6，y
＝（12－x）×3，解得x＝4，y＝24，每小时新增市民人数增加25%，则x 变为4×（1＋25%）＝5，设至少需开N 个接种台能保证2
小时不再有人排队，代入公式得：24＝（N－5）×2，解得N＝17。因此，选择D 选项。
207
5.【答案】A。解析：第一步，本题考查牛吃草问题。第二步，设每分钟增加的乘客人数为x，原来排队乘客人数为y，根据牛吃
草问题公式y=（N-x）×T，可以得到方程y=（3-x）×90①；y=（5-x）×45②，联立①②解得x=1，y=180。第三步，设当开放6 个
窗口时需要t 分钟，代入公式可以得到方程180=（6-1）t，解得t=36。因此，选择A 选项。
6.【答案】C。解析：第一步，本题考查牛吃草问题。第二步，开5 个发证窗口需要1 个小时，同时开6 个发证窗口需要40 分钟，
设原来已有排队人数为y，每分钟新增人数为x，由牛吃草公式有：y=（5－x）×60①，y=（6－x）×40②，联立①②解得x=3，y=120。
那么想要在20 分钟内将排队等候的人的证书全部发完，则需开120÷20+3=9（个）发证窗口。因此，选择C 选项。
7.【答案】D。解析：第一步，本题考查牛吃草问题，用公式法解题。第二步，设河道原来的淤泥堆积量为y，每天上游河水带来
新的淤泥量为x，根据牛吃草问题公式：y＝（n－x）×t，可列方程组：y=（1-x）
，y=（2-x）
，解得x=0.5，y=150。第
三步，设要想25 天内完成清淤工作至少需要n 台挖沙机，可列方程：150＝（n－0.5）×25，解得n＝6.5，即至少需要7 台挖沙机。
因此，选择D 选项。
8.【答案】D。设地球原有资源量为Y，每年新增资源量为x，一亿人每年资源消耗量为1。由牛吃草公式：Y=（N-x）×T，可得：
Y=（100-x）×100······①，Y=（80-x）×300······②，解得x=70，Y=3000。根据题干“可供人类永久消耗”分析可
得：每年资源消耗量=每年新增资源量，即每年消耗量为70 时，可供人数最多，最多为70÷1=70 亿人。
平均数问题
1.【答案】D。解析：第一步，本题考查平均数问题。第二步，该户平均每月的排放量为10×0.9＋380×0.8＋35×0.2＝320（千
克），那么该户一年的排放量为320×12＝3840（千克）。因此，选择D 选项。
2.【答案】C。解析：第一步，本题考查平均数问题，用赋值法解题。第二步，赋值总选手为4 人，那么获得参赛资格的选手为4
×
=1（人）。设选拔的规定时间为t 秒，由题意有1×（t-6）+3×（t+10）=4×140，解得t=134。因此，选择C 选项。
3.【答案】C。解析：第一步，本题考查平均数问题。第二步，第四场为72 分，且是第三场的0.9 倍，则第三场得分为72÷0.9
＝80（分）。前两场场均得分为第三场的
，即80×
＝60（分）。第三步，四场比赛的平均得分为
（分）。
因此，选择C 选项。
208
4.【答案】C。解析：第一步，本题考查平均数问题。第二步，赋值每个科室的人数均为1，可得以下关系式：办公室＋国库科＝
180（分）---------①预算科＋采购科＝168（分）-------②办公室＋采购科＝172（分）-------③采购科－预算科＝10（分）---------
④国库科－综合科＝5（分）------------⑤由②和④可以得到采购科是89 分，预算科是79 分，代入③可得办公室是83 分，代入①
可得国库科是97 分，代入⑤得综合科是92。则五个科室总分为89＋79＋83＋97＋92＝440（分），那么五个科室的平均分为440÷5
＝88（分）。因此，选择C 选项。
5.【答案】D。解析：第一步，本题考查平均数问题。第二步，设三人的年龄分别为x、y、z，根据题意可列
①；
②；
③，将①②③分别乘2 可知：x 最大，z 最小。第三步，③－①可得x－z＝28，故最大年龄与最小
年龄之差为28。因此，选择D 选项。
6.【答案】C。九位裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，通过四舍五入法精确到一位小数，平均得分9.4 分，可知此时的平
均分如果精确到两位小数应为9.35~9.44 分，即剩余的七位裁判总分为65.45~66.08 分，根据“裁判都打整数分”，则剩下七位裁判
打的总分为整数，只能为66 分。因此，若要精确到两位小数，则该选手的平均分为
分。
7.【答案】C。根据题意：中间三个分数之和×3=66，可知中间三个分数之和为22。要使7 名裁判打分的平均数最多，则需让其
他4 名裁判打的分数尽量多。第一、第二高的两个分数最高可取10 分，第六、第七高的分数最多可与第五高的分数相同，故应让第五
高的分数尽量高。设第五高的分数为x，因为中间三个分数（第三、第四、第五）总和为定值22，若想第五高的分数x 尽量高，则第
三、第四高的分数应尽量低，列表构造如下：
则有3x=22，解得
，因为裁判所打分数均为0.5 的整数倍，故第五高的分数最高取7 分。第六、第七高的分数最多也均
可取7 分。此时具体分数如下：
209
或者
此时7 名裁判给这名运动员第一跳打分的平均数最多为
分。
不等式
1.【答案】D。解析：第一步，本题考查不等式问题。第二步，根据题意可列三个方程，
（①），
（②），
（③），通过方程②变形可得：戊-丁=10，那么戊＞丁，排除A、C 选项。方程③-①有
，又丁=戊-10，代入前面式子可得戊-丙=3.5，即戊＞丙，排除B 选项。因此，选择D 选项。
2.【答案】A。解析：第一步，本题考查不等式问题。第二步，大号果篮总重量为700+1300+1000=3000（克），即3 千克；小号
果篮总重量为500+300+700=1500（克），即1.5 千克；设大号果篮有x 个，小号果篮有y 个，那么总重量为3x+1.5y，葡萄总重量为
1.3x+0.3y。根据“其中1/3 是葡萄”，有（3x+1.5y）÷3=1.3x+0.3y，解得3x=2y。第三步，由3x=2y 可知大小果篮个数之比为2∶3，
设大果篮为2n 个，小果篮为3n 个，总重量为3×2n+1.5×3n=10.5n＞300，解得n＞
，那么最小为29，大果篮58 个，小果篮
87 个。此时所有水果量都最少，总重量为10.5×29=304.5（千克），火龙果为58×0.7+87×0.5=84.1（千克）。因此，选择A 选项。
3.【答案】C。通过设未知数并列不等式求解最少做对的题目数量。首先设最少需要做对x 道题，那么做错的题目数量就是(25−x)
道。根据得分规则，做对题目的总分为5x 分，做错题扣的总分为2(25−x)分，总得分不低于80 分，由此可列出不等式5x−2(25−x)⩾
80。接下来求解这个不等式，先展开括号得到5x−50+2x⩾80，合并同类项后是7x−50⩾80，移项可得7x⩾130，计算得出x⩾130/7≈
18.57。因为题目数量必须是整数，所以需要向上取整，即最少需要做对19 道题。
整除思维
1.【答案】C。由题意知，最初教室人数减去10 后，一定可以被3 整除，代入选项后，只有C 符合要求。
210
故本题选C。
2.【答案】B。根据“每位志愿者服务10 位老人，则有5 位老人无人提供服务”可知，（老人数-5）为10 的倍数，排除A、C。
验证D，加入老人数=65，则原来志愿者人数=（65-5）÷10=6 人，增加2 为志愿者后，志愿者人数为8 人。根据“每位志愿者最多服
务8 位老人就能为所有老人提供服务”，可知，老人数=8×8=64 位，与选项不匹配，故排除D，选择B。
3.【答案】B。设职工总数为x人，可得现有中级及以上人数为62.5%x＋2；由现有中级及以上占总人数的得，62.5%x＋2＝x，解得x
＝176。原来中级以下的职工有176×（1－62.5%）＝66（人）。因此，选择B选项。
解法二：原中级以下占总数的1－62.5%＝37.5%，则
总职工数
原来中级以下= 8
3 ，原中级以下职工人数为3的倍数，排除A、C。又有2名职工
评上中级职称后，此时中级以下占总数的1－11
7 ＝11
4 ，则
总职工数
原来中级以下2
-
=11
4 ，原中级以下人数减去2是4的倍数，排除D。因此，选择
B选项。
4.【答案】B。第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。第二步，根据如果从第一人开始依次按1，2，3，...，9的顺序循
环报数，最后一名小朋友报的是7，则所求答案－7为9的倍数；根据如果按1，2，3，...，11的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是9
，则所求答案－9为11的倍数。第三步，A项，98－7＝91不能被9整除，不符合题意。B项，97－7＝90，90÷9＝10，能够被整除，97－9
＝88，88÷11＝8，能够被整除，符合题意。因此，选择B选项。
5.【答案】D。解析：由题意可得，10 个盒子中共有小球1+2+3+··+10=
2
10
1
×10=55 个。假设第一次取出小球的个数为x，最后
剩下的那个盒子中的小球个数为y，则第二次与第三次取出的小球个数分别为3x、9x，前三次取出的小球总个数为x+3x+9x=13x，则
13x=55-y，（55-y）是13 的倍数，代人选项，只有D 项满足。
6.【答案】A。解析：由题意可得，3000×1%+3000×X%+500×Y%=120，化简可得6X+Y=18，因6X、18 均为6 的倍数，故Y 是6 的
倍数，只有A 项是6 的倍数。
7.【答案】B。解析：（总人数-1）看其他红牌所占总数占比为1/5、2/11，则总人数是5 的倍数、11 的倍数。又因为看到的比重
不同，则这两人中一个是红牌一个是其他颜色牌子，结合选项排除A、C。代入选项：（56-1）×1/5=11，（56-1）×2/11=10，刚好差
1 人（除去的人一人红牌一人不是红牌，所以红牌只差1 人），满足题意。
211
故本题选B。
特值法
1.【答案】B。解析：蒸发时水分减少，溶质不变，可赋值容器原有溶质72g。可得容器装满时溶液量为蒸发一段时间后溶液量为，
即水蒸发了300-200=100g,将容器加满需再加入100g 溶液，浓度变为28%
故本题选B。
2.【答案】C。解析：已知甲单独完成需要50 小时，乙单独完成需要30 小时，赋值总量为150，申的效率为3，乙的效率为5。
根据题意列方程：设甲车间单独完成t 小时后，乙完成剩余零件的时间为（42-t）小时。则有150-3×t=5×（42-t），得到t=30。
乙完成剩余零件的时间为42-30=12。算出结果：乙车间完成的零件量占这批零件总量的（5×12）/150=2/5
故本题选C。
3.【答案】A。解析：赋值总选票数为60 张，则需得到60×3/5=36 张选票才能够当选。统计到60×2/3=40 张选票时，此候选人已
得到36×5/6=30 张选票。
算出答案：若当选还需得到36-30=6 张选票。6+剩下选票数为60-40=20 张，若能当选还要得到剩下选票中的6/20=3/10
故本题选A。
4.【答案】D。解析：设甲、乙、丙三个专业的学生人数分别为8x、7x、5x。甲专业男女生人数分别为5.6x、2.4x；乙专业男女生
人数分别为6x、x;
②假设丙专业男女生人数列方程组：
丙专业男女生人数分别为a、b，得出a+b=5x，（5.6x+6x+a）/（2.4x+x+b）=3/1。解得A=3.4x、b=1.6x，所以3.4x/1.6x=17：8
5. 【答案】D。解析：设去年甲、丙、丁三公司的销售额分别为2，3，5，乙为x。故今年甲、乙、丙、丁三个分公司的销售额分
别为2×（1+50%）=3，x，3×（1+25%）=3.75，5×（1+25%）=6.25。由今年销售额是去年销售额的1.2 倍，可列方程：（3+x+3.75+6.25）
=1.2（2+x+3+5），解得x=5。今年销售总量为3+5+3.75+6.25=18；乙分公司今年的销售额占比为5/18。
212
213
几何问题
1.【答案】D。解析：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，由于AE=EF=FB，可得三角形AEC 的面积为
×公
园总面积，在三角形AEC 中，AD=DC，故三角形AED 的面积＝三角形EDC 的面积＝
公园总面积=
×公园总面积。在三角形AFC
中，E 为AF 的中点，D 为AC 的中点，则DE 为中位线，DE∥FC，三角形ODE 与三角形OFC 相似，
，故三角形ODE 的面积
=
×三角形EDC 的面积=
公园总面积=
×公园总面积，故公园总面积是人工湖面积的18 倍。因此，选择D 选项。
2.【答案】A。解析：第一步，本题考查几何类问题，属于立体几何类。第二步，根据题干“A 的底面半径和高相同，B 的底面半
径是高的2 倍，两个零件的高相同”，若A 零件的高为1，则A 零件半径为1，则B 零件的高为1，B 零件半径为2。根据圆柱体体积
公式为
，则A 零件的体积为
；根据圆锥体体积公式为
，B 零件的体积为
。第三步，根据质量=体积×密度，质量相同，体积与密度成反比。A、B 两零件的体积之比为
，那么密度之比为
，则甲合金的密度是乙合金的
倍。因此，选择A 选项。
3.【答案】C。解析：第一步，本题考查几何问题。第二步，如下图所示，赋值正方形的边长为3，则正方形的面积为9。根据梯
形土地的面积正好是三角形土地的2 倍，即直角三角形土地ABE 的面积为3，AE=2，DE=1，根据勾股定理，直角三角形ABE 的边BE 的
长为
，故三角形ABE 的周长为
，梯形DEBC 的周长为
，即三角形和梯形土地的周
长之比是
。
214
因此，选择C 选项。
4.【答案】A。解析：第一步，本题考查几何问题中的立体几何类问题和几何特殊性质类问题，利用比例解题。第二步，由物理学
中的浮力公式
，由于实心圆锥体零件的质量不变，因此无论怎样放入液体中所受浮力前后不变，设尖部朝下浮力为
，排开水的体积为
，尖部朝上浮力为
，排开水的体积为
。根据几何尺寸扩大理论，圆锥整体高为x，尖部朝下时没入液
体中的部分高度是x-0.1x=0.9x，根据几何相似特性，两个相似图形，其体积之比等于其边长比的立方，可得
=
，则有尖部朝下
。第三步，当尖部朝上放入时，根据
以及前后浮力相同即可得
，所以
，此时浮出液面的零件部分体积为
。第四步，根据几何尺寸扩大理论，则当尖部朝上放入液体中时，液体下方零件体积的高度为
。因
此，选择A 选项。
5.【答案】A。解析：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，根据题意整个长方形观光园面积=50×40=2000（平
方米）。其中水平直线型的小路面积=50×2=100（平方米），两条斜线型小路经过拼接可组合成一条底为1，高为38 的平行四边形小
路，面积=1×38=38（平方米）。第三步，修完小路后观光园剩下部分的面积=2000-100-38=1862（平方米）。因此，选择A 选项。
6.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题。第二步，它们的路线如图所示：
215
A 点为起点，乌龟的路径为AB，兔子先往东跑到C 点，再从C 点跑到B 点。兔子的速度是乌龟的5 倍，同时出发同时到达，所以
兔子跑的路程是乌龟的5 倍，因为AB=500，所以AC+BC=2500，代入A 选项，如果AC=600，则BC=1900，两边之和小于第三边，无法构
成三角形，错误；代入B 选项，如果AC=1200，BC=1300，刚好构成直角三角形，正确；代入C 选项，如果AC=2400，BC=100，直角边
大于斜边，错误；代入D 选项，如果AC=3000，超过了2500，错误。因此，选择B 选项。
7.【答案】A。解析：第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。第二步，如图所示，底面圆的内接正方形的面积为1，则边
长为1，对角线长为
，可知底面圆的半径为
。切割下去的四个部分总表面积相当于（一个圆柱的表面积－上下表面两个正方形）
＋立方体的侧面积，代入数据为
=
。
因此，选择A 选项。
216
8.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，设正三角形边长为a，由于中间三个三角
形都是正三角形，可知∠ABF=60°，又∠BAF=90°，那么BF=2AB=2a，可知梯形的上底边是2a+a+2a=5a，下底边是2a；可知梯形的面
积为
=350a。又正三角形高是边长的
，即
a=100，a=
，则面积为350×
=
（平方米）。总产量为
×1.2=
（千克），即
吨。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，由于中间
三个三角形都是正三角形，可知∠ABF=60°，又∠BAF=90°，那么BF=2AB；边上两个直角三角形拼凑在一起是一个大正三角形且边长
是小正三角形的2 倍，那么面积是小正三角形面积的4 倍。则整个图形是7 个小正三角形的面积。第三步，正三角形高是边长的
倍，
可知边长为
，则面积为
（平方米）。总产量为
×7×1.2=
（千克），即
吨。因此，选择B
选项。
9.【答案】D。解析：第一步，本题考查几何问题。第二步，设三个正方形边长分别为a-n、a、a+n（a、n 都是正整数），那么由
题意有：（a-n）²+a²=（a+n）²，化简为a²=4an，由于a 为正整数可知a=4n。可知三个正方形边长分别为3n、4n、5n，面积之和为
（3n）²+（4n）²+（5n）²=50n²≤5000，n²≤100，n 可以取1 到10，共10 组解。因此，选择D 选项。
10.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题，属于立体几何。第二步，水深变化前后体积比为1：（
）=64：125，
由于底面积不变，根据定理“立体图形中，体积之比等于相似比的立方”，则圆锥前后的高度之比为4：5，原来是3 米，则水深减少
之后是3÷
=3.75 米。前后水深减少了0.75 米是人工湖水深的20%，那么人工湖水深为0.75÷20%=3.75 米。因此，选择B 选项。
11.【答案】D。解析：第一步，本题考查几何问题，属于其他几何类问题。第二步，根据题意，秋千的摆绳长度是固定的，假设
，已知BD=0.45，秋千摆角为30°时，根据30°直角三角形性质可得，
米，解
217
得
米；秋千摆角增加15°时，根据45°直角三角形性质可得，
米，因此秋千摆到最高
位置上升了BF＝DF－BD＝0.86－0.45＝0.41 米。
因此，选择D 选项。
12.【答案】A。解析：解法一：第一步，本题考查几何问题，用比例法解题。第二步，变化前后谷量不变，也就是体积不变。由
谷堆为一个圆锥的四分之一，变化前后圆锥半径之比与弧长之比一致，都为6∶8=3∶4，根据几何放缩性质可知底面积之比为9∶16，
变化前后体积不变，则高之比为反比，即16∶9。变化前谷堆高为2 米，变化后高为
（米）。因此，选择A 选项。解法二：
第一步，本题考查几何问题。第二步，由于谷堆是一个圆锥的四分之一，所以底面弧长应为底面圆周长的四分之一。当底面弧长是6
米时，底面周长应为24 米，根据周长公式C=2πr，
，则此谷堆的体积
；当底面
弧长是8 米时，底面周长应为32 米；根据周长公式C=2πr，
，则此谷堆的体积
；
根据谷堆谷量不变，即体积不变，可知
，解得
（米）。因此，选择A 选项。
13.【答案】C。解析：第一步，本题考查几何问题。第二步，如图所示，插入饮料盒的吸管最大应为长方体的体对角线BH，BH 与
高BF 及底面对角线HF 构成一个直角三角形BFH。
218
第三步，设底面正方形边长为a 厘米，则HF 为
厘米。根据勾股定理有27²=2a²+23²，解得a=10。因此，选择C 选项。
14.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，设梯形的上底、下底、高分别为a、b、h，根据
“面积将扩大10 平方米”可得
，解得h＝10（米）；根据“面积将扩大55 平方米”可得
，解得a＝10（米）；根据“面积将扩大105 平方米”可得
，解
得b＝20（米）。第三步，如果上底增加1 倍多2 米变为22 米，下底边增加3 倍多4 米变为84 米，则面积将扩大
（平方米）。因此，选择B 选项。
15.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题。第二步，根据题意，我方无人机与可疑无人机相遇时，飞行距离如图所示：
219
我方无人机的飞行距离为BD＝BO＋OD，可疑无人机的飞行距离为CD，结合直角三角形的特性，OD＝OC/2＝50，CD＝50
，则BD
＝200。结合比例行程：时间一定的时候，速度与路程呈正比，则我方无人机的速度：可疑无人机的速度＝BD：CD＝200：50
＝
。
因此，选择B 选项。
16.【答案】D。解析：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用方程法解题。第二步，设道路的宽是x，则整个道路的
面积为
。解方程可使用尾数法，代入四个选项，只有11 和13 代入后等号两边尾数相等，代入11 有：
，排除11，x 只能为13。或整理方程得
，即（x-13）（x-91）=0，解得x=13 或
x=91（舍弃）。因此，选择D 选项。
17.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题，属于几何特殊性质类，用几何性质解题。
第二步，每个位置与电视塔的距离相等且每个位置与相邻位置距离相等，那么六个观测点的位置组成一个正六边形，其中心即为
电视塔的位置，如下图所示：
根据正六边形性质，各顶点距中心点的距离等于正六边形边长，那么观测点与电视塔的距离等于相邻观测点间距为144 米。第三
步，画平视图如下：
220
CD 的高度为1.6 米，BC 长度为144 米，∠ADE＝45°，易知∠AED 是一个直角，那么△AED 是一个等腰直角三角形，则有AE＝DE。
又易知DE＝BC，则AE＝144 米，且CD＝BE＝1.6 米。那么电视塔的高度AB＝AE＋EB＝144＋1.6＝145.6（米），在144＜x≤180 范围
内。因此，选择B 选项。
18.【答案】C。解析：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，题干中可知∠ABE＝30°，则∠ABC＝120°，因为
渔船逃窜的距离与发现执法船时与执法船的距离相等，即AB＝BC。所以∠A＝∠C＝30°，作BD 垂直于AC 交AC 于D，则AB＝2BD，AC
＝2AD＝2
BD，所以AC=
AB。由于非法渔船和执法船走AB、AC 的时间相同，因此速度之比等于距离之比，可知执法船的速度为
15
海里/小时。
因此，选择C 选项。
19.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，根据分割成正方形和两个相同的圆，要所弃面积
最小，由于正方形没有丢弃的面积，所以要使正方形的面积最大。则可将木板按如下图示分割：
221
第三步，圆半径为
（厘米）。因此，选择B 选项。
20.【答案】C。解析：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，赋值丙面积为1，根据“中点”得到AB＝2DE，所
以甲的面积为4（相似图形，面积比等于边长平方的比）。丙和丁的底边都在DB 上，顶点都为E，由于高相同，三角形面积比等于底
边长之比，故得到丁的面积为2，同理乙的面积也为2。第三步，由于戊的面积与丙、丁面积之和相等（三角形底边长度相等，高相等），
得到戊的面积为3，故总面积为4＋2＋1＋2＋3＝12。根据种白花的面积为4＋3＝7，得到白花面积的占比为
。因此，选择C 选项。
21.【答案】A。解析：第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。第二步，为了棱长最小，需要截面尽量大。在切掉一个角
的情况下，最大截面为如图虚线所构成的正三角形。设正方体棱长为a，则每个正方形的对角线均为棱长的
倍，即正三角形的边长
为
，在正三角形中，高为边长的
倍，故正三角形的面积为100
＝
×
a×
（
a）。第三步，解得a＝10
14.14，
故最小整数值为15。
222
因此，选择A 选项。
22.【答案】D。解析：第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。第二步，根据“与三个点同时保持500 米”得到如图，飞
机P 的投影点O 与三个顶点A、B、C 的距离也相同。根据任意直角三角形中，斜边中点距离三个顶点距离相同，所以投影点为斜边中
点，所以OC 长度为最远两点AB（600 米）的一半，即OC＝300（米）。第三步，在直角三角形POC 中，PO＝
＝
＝400（米）。
因此，选择D 选项。
23.【答案】D。解析：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，如图。E、F、H、G 是四边形ABCD 四条边的中点，
根据中位线定理，EF//AC，FH//BD。由于四边形EFHG 为矩形，则EF⊥FH，则得AC⊥BD。四边形ABCD 为对角线互相垂直的四边形。因
此，选择D 选项。
223
24.【答案】D。解析：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，如下图，三角形A 和B 高相等，A 的底边为B 的
一半，则
（平方米）。长方形面积S＝8×4＝32（平方米），则
＝32－4－8＝20（平方米）。
第三步，店铺C 装修费为500×20＝10000（元）。因此，选择D 选项。
25.【答案】A。解析：第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。第二步，类似切割重构问题，分别从角（顶点）、棱和面
三个维度进行讨论。原长方体中，角（顶点）处的小正方体，有4 个面被涂色，棱上小正方体的3 个面被涂色，剩余面上小正方体的
两个相对面被涂色。第三步，为了让新正方体黑色的面积尽可能大，则让小正方体黑色的面尽量外露。原长方体和新正方体的匹配过
程如下表。
224
第四步，根据“角”位置比原来少4 个小正方体，可得缺少黑色面3×4＝12（个），用原来“面”位置多出的4 个小正方体，放
置在“角”位置，可看到黑色面有1×4＝4（个），这样总共会缺少黑色面12－4＝8（个）。由于每个面的面积为1 平方厘米，故正
方体黑色面积为4×4×6－1×8＝88（平方厘米）。因此，选择A 选项。
26.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题的平面几何类，画几何图形。第二步，由外圆是人工湖，内圆是人工岛，要是
划船从A 点到C 点最短，需要从C 点画切线到人工岛、交于一点B，那最短路线就是：需要先沿着人工岛圆弧到达B 点，再直线到C
点。根据OB 垂直于BC，OC=120，OB=60，那么BC=60
。∠AOB=180°－∠BOC=180°-60°=120°，根据圆的周长=2πr，圆弧
。第三步，那么总路程=圆弧AB+直线BC=60
+40π=103.92+125.6=229.52 米（π≈3.14，
≈1.732）。
根据路程=速度×时间，已知速度=1m/s，那么时间=229.52 秒=3 分49.52 秒。
因此，选择B 选项。
27.【答案】D。解析：第一步，本题考查平面几何问题。第二步，设正方形的边长为a，长方形的长为m，宽为n。由正方形的周
长得知，正方形的边长a=60 米，正方形的面积＝3600 平方米。长方形的面积与正方形的面积相同，则m×n=3600，长方形的周长2（m+n）
=60+240=300，联立方程组，得m＝120，n＝30。故长方形的长比宽多90 米。因此，选择D 选项。
225
28.【答案】A。解析：第一步，本题考查立体几何问题。第二步，根据题意，当玻璃球沉入水底后，水面刚好与玻璃球相切，可
知，此时花瓶中水深刚好为玻璃球的直径，设玻璃球半径为r，则此时水深为2r，那么花瓶中水上升的体积即为玻璃球的体积，可列
式：
，化简后可得：
，直接计算较复杂，考虑用代入排除法计算，代入A 选项，等式成立。
因此，选择A 选项。
29.【答案】C。解析：第一步，本题考查几何问题中的其他几何类。第二步，蓄水池容积为144 立方米，深度为4 米，则蓄水池
底面积为
平方米，由于蓄水池底面积固定，根据几何性质，矩形面积固定，正方形周长最小，蓄水池底面边长为
=6 米时
侧面积最小。第三步，则侧面积为（6×4）×4=96 平方米。因此，选择C 选项。
30.【答案】D。解析：第一步，本题考查几何问题平面几何类。第二步，小乌龟在每次操作下逆时针旋转
，经过5 次操作后回
到起点，说明旋转的总角度是周角的倍数，即答案乘以5 是360 度的倍数，只有D 符合。因此，选择D 选项。
31.【答案】B。解析：第一步，本题考查平面几何类问题。第二步，A 点，因为MN 长等于半径，所以三角形MAN 为等边三角形，
∠MAN＝60°，满足；B 点，∠MBN 为弦MN 所对的圆周角，等于∠MAN 的一半，即等于30°，不满足；C 点，∠MCN＝∠MBN＝30°，不
满足；D 点，直角三角形MDN 中，MN＞ND，根据三角形性质：大角对大边，∠MDN＞∠NMD，又∠MDN＋∠NMD＝90°，所以∠MDN＞45°，
满足。故满足条件的点有2 个。因此，选择B 选项。
32.【答案】D。解析：第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。第二步，可以赋值正方形边长为2，则①和②的面积都是
正方形面积的
，即面积都是1；③和⑤的面积=
，正方形⑥的面积=
。因此，③、⑤、⑥的面积都是
，④
和⑦的面积=
，所以共有三类展区。因此，选择D 选项。
226
33.【答案】C。解析：第一步，本题考查几何问题中的平面几何类。第二步，设泉眼到山脚的距离为x 米，因为泉眼距地面的垂
直高度约为100 米，且sin20°≈0.34，可得
，解得x 约等于294 米，又因为开挖水渠每米的土方量约为0.3 立方米，则
开挖整条水渠的土方量约为294×0.3=88.2 立方米。因此，选择C 选项。
34.【答案】A。解析：第一步，本题考查几何问题中的平面几何类。第二步，由题意画图可得，第一次翻转时A 点走过的轨迹长
度为
；第二次翻转时由于是以A 点为圆心进行翻转，故A 点没有变化；第三次翻转时A 点走过的轨迹长度为
；第四次翻转
时A 点恰好回到原位，此时A 点走过的轨迹长度为
。故A 点走过的轨迹总长度为
。因此，
选择A 选项。
35.【答案】C。解析：第一步，本题考查几何构造类问题，可结合图形进行分析。第二步，为确保路灯照亮长100 米，宽16 米的
整个路面，故马路下方路灯照射形成的圆形要与马路上方的相邻路灯照射形成的圆形相切，此时连接两盏路灯，并取任意一盏向对边
做垂线，可得斜边长20，直角边长16 的直角三角形。
第三步，根据勾股定理，路一侧相邻路灯的距离相差
，故一侧共要100÷12=8.3 盏路灯，为确保能全部照亮，向
上取整为9。第四步，路两侧共需要9×2=18 盏路灯。因此，选择C 选项。
36.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题。第二步，在三角形ABE 中，AE=8，BE=6，AB=10，三边关系符合勾股定理，可
知三角形ABE 为直角三角形，且AE 垂直于BE。从E 点向AB 边作垂线EF，向AD 边作垂线EG。根据三角形的面积公式：S=
ah，可以
227
计算三角形AEB 的面积为：
×AE×BE=
×AB×EF，代入数据得：
×8×6=
×10×EF，解出EF=4.8（厘米）。在三角形AEF 中，
AF²=AE²-EF²=8²-4.8²=（8-4.8）×（8+4.8）=3.2×12.8=3.2×3.2×2×2，得AF=6.4（厘米）。
第三步，在三角形ADE 中，AD=10，GE=AF=6.4，根据三角形的面积公式：S=
ah，可以计算三角形ADE 的面积为：
×10×6.4=32
（平方厘米）。因此，选择B 选项。
37.【答案】C。解析：第一步，本题考查几何问题其他几何类。第二步，蓄水池容积为144 立方米，深度为4 米，则蓄水池底面
积为
=36 平方米，由于蓄水池底面积固定，若要总造价最低，则使得侧面积最小即可。根据几何性质，矩形面积固定，正方形周
长最小，蓄水池底面边长为
=6 米时侧面积最小，侧面积为（6×4）×4=96 平方米。第三步，则总造价最低为36×260+96×180=26640
元。因此，选择C 选项。
38.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题中平面几何类。第二步，做A 点关于公路的对称点
（如下图所示），连接
、
B 交公路于点C，集散中心建在点C 时，到两个村的直线路程之和最小。货车从集散中心出发，到两村送货后返回中心，所走的总路程
＝AC＋BC＋AB＝
＋AB。
228
第三步，在直角三角形ABD 中，BD＝7－3＝4 公里，所以
公里；在直角三角形
中，
＝
AD＝7.5 公里，BE＝7＋3＝10 公里，所以
公里，所以货车所走总路程＝
公
里。60 公里/小时＝1 公里/分钟，根据时间＝路程/速度，所以路途所花费的最少时间为
分钟。因此，选择B 选项。
39.【答案】B。解析：第一步，本题考查立体几何，用代入法求解。第二步，代入A 选项，整个奶酪体积是4×4×4=64 立方厘米，
比144 立方厘米还小，不符合，排除；代入B 选项，剩余奶酪的长和宽分别是6，高是4，则剩余体积是6×6×4=144 立方厘米，符合。
因此，选择B 选项。
40.【答案】C。解析：第一步，本题考查几何问题。第二步，边刷长度为8 厘米，只要边刷可清扫到顶角即可。最大半径如图所
示：
229
设机器人圆形机身的最大半径为r 厘米，圆形机身的圆心到角落顶点的连线为
，可列方程：
r＝r＋8，解得r≈19.3，那
么最大直径为19×2＝38（厘米）。因此，选择C 选项。
41.【答案】A。解析：第一步，本题考查几何问题中的立体几何类。第二步，如图所示，过上棱长两个端点向下垂直做两个切面，
两侧是两个四棱锥，中间是一个三棱柱。四棱锥底面是长1m，宽3m 的长方形，高和屋顶的高相同均为1m，四棱锥体积公式为
×底
面积×高，则四棱锥体积为
×（1×3）×1=1m³；三棱柱的高为2m，底面是三角形，三角形的底是3m、高和屋顶的高相同为1m，三
棱柱体积公式为底面积×高，则三棱柱体积为（
×3×1）×2=3m³，则该帐篷屋顶的体积是两个四棱锥＋一个三棱柱，为1×2＋3=5m
³。
因此，选择A 选项。
42.【答案】B。解析：第一步，本题考查几何问题中的立体几何类。第二步，根据几何等比放缩理论，体积之比等于相似之比的
立方，圆锥剩下部分的高度为原先的一半，则相似比为1：2，体积比为1：8，沙漏中沙子剩下部分的体积是原先总体积的
。沙漏中
沙子匀速漏下，则剩下部分所需时间是总等待时间的1/8，即再过25×
=3.125（分钟）未上菜，将享受免单服务。因此，选择B 选
项。
230
小王速度为80 千米/小时，火车速度为160 千米/小时，相同时间内，路程与速度成正比，则AC=2AB，故在直角三角形ABC 中，
BC=
AB。第三步，小王1 分钟行驶
千米，最开始距离为0，此时火车头距离小王
千米，即增加
千米。因此，选择C 选项。
43.【答案】D。如下图所示，连接AE，根据“ABEF 为直角梯形”，可知
，
和
均以AG 为底、EB 为高，
即两个三角形同底等高，则
。由于ABCD 为矩形且AD、AB 长度分别为240 米、100 米，则所求涉密区域面积
平方米=1.2 万平方米。
44.【答案】C。设该长方体零件的三条不同长度的棱长从长到短依次为a、b、c，则最大面的面积为ab、次大面的面积为ac、最
小面的面积为bc，根据题意则有
，根据①可得a=3c，代入②可得
。
231
45.【答案】D。根据题意，该容器由圆柱体和倒立圆锥体组成，注入水后先注满圆锥体，再注满圆柱体。根据几何等比例放缩性
质，在立体几何中，体积比等于相似比的立方，根据题意可知，
，则相似比为1：2，故
，因为注入水的流速相同，则
，故注满圆锥体需要用时8 分钟；水
注满圆锥体后，再注满圆柱体需要用时1+30-8=23 分钟，因圆锥体和圆柱体的底面半径相等，则二者的底面积相等，设圆锥体和圆柱
体的底面积为S，圆柱体的高为
厘米，根据公式：
，
，可得
，解得
厘米，则整个容器的高度为12+11.5=23.5 厘米。
46.【答案】B。如图所示，结合题意可知AE+ED=20 米，且四个梯形为全等梯形，则OE=ED=OF，AE=FH，由此可得AB=FH+OE=AE+ED=20
米，BH=AE+OF=AE+ED=20 米，BC=2×BH=40 米。梯形ABCD 的面积为(AD+AC)÷2*AB=(20+30)÷2*20=600 平方米。该实验田玉米总产量
为110+115+125+130=480 千克，则该实验田玉米的平均产量为480÷600=0.8 千克/平方米。
47.【答案】C。因为AC、BC 与弧线相切，故
。已知
，四边形OACB 内角和为
，则
。根据弧长公式：弧长=
，则点A 至点B 弧长=
，即这段
隔音板的安装长度为
km。
232
48.【答案】A。如图所示，根据题意可知半圆O 的半径为
米，半圆
的半径为r=20 米。连接OA、OB，可得
米，又因为
，可得
和
均为等腰直角三角形，则
。故
平方米，
平方米；根据扇形面积公式：
，可得：
平方米。
综上，所求戏水池面积
平方米。
49.【答案】A。由图可知，平台的外表面是由三层平台的上表面和侧面组成的。三层平台的上表面相当于直径为100 米的大圆面
积，侧面则由三个圆柱体侧面积组成。由于大圆直径为100 米，则半径为50 米，三层平台的上表面面积
；
233
上层侧面积
平方米；中层侧面积
平方米；下层侧面积
平方米。故共需要维护
平方米。
50.【答案】D。该圆锥体轴截面如图所示，根据题意，设圆锥形冰淇淋的高为3h，则AG=2h。△AGE∼△AFC，则DE/FC=AG/AF，
即GE/3=2h/3h，得GE=2 厘米。根据公式：
，
。
51.【答案】D。如图所示，连接EG，过F 向DC 作垂线，垂足为H，与EG 交于点M，根据题意可知
，E、
F、G 分别为所在边的中点，则梯形ABCD 为等腰梯形，EG 为等腰梯形ABCD 的中位线，FH 为等腰梯形ABCD 的高，FM 为
的高，
234
，
，由图可知
，设AF 长度为a，FH 长度为2h，
则AB=2a、CD=4a、FM=h，根据梯形面积公式：
，可得
；根据三
角形面积公式：
，可得
，则
，即
亩，因此
亩。
52.【答案】C。连接AD，设长方形长BC、AD为4x米，则宽AB、DC为3x米，则根据勾股定理可得长方形对角线
米；根据△AED 为等腰直角三角形，三边比例关系为
，可得
米；则
；解得x=50 米，那么AB=CD=150 米，AD=BC=200 米，BD=250 米。由题意可得
F、G 分别为AE、DE 中点，故
米；过E 点做AD 垂线相交于H 点，过G 点做AD、BC 垂线分别相交于I、J 点，则EH=HD=100
米，GI 为
的中位线，故
米；那么在直角
中，CJ=DI=50 米，JG=IJ+GI=150+50=200 米，根据勾
235
股定理可得：
米，同理可得：
米；则所求距离
=DB+BF+FG+GC
=
米。
53.【答案】C。本题属于平面几何求最短路径问题，以AC 为对称轴作E 点的对称点
（如下图），与AC 交于点G，连接
与
AC 交于点F，再连接EF、
，则两条线路长度之和最小为
。因为
为等腰直角三角形，可得
，则
，可得
，已知E 为AB 中点，则
，
，即
公里。
236
54.【答案】C。根据题意可作图如下，令小王身高为BC、平顶建筑为DE、尖顶建筑为FH，过点C 作垂线交ED 于M 点，过点E 作
垂线交FH 于N 点。平顶建筑（DE）、尖顶建筑（FH）、小王（BC）在同一水平面上，即
，则
。因此，
，则
······①。根据下图可知，EN=DF=200 米，ME=DE-DM=DE-BC=23.7-1.7=22 米，
NG=FH-FN-GH=FH-DE-GH=133.7-23.7-22=88 米，代入①式可得：
，解得CM=50 米，即BD=50 米，故小王所站位置和平顶建
筑物的直线距离为50 米。
237
55.【答案】C。如图所示，使半球形保护罩既能罩住长方体又表面积最小，则长方体顶点A、B、C、D 均与球面相切，O 为底面中
点，连接OA 即为球体的半径。连接
，则
是长方形
对角线
的一半，且
，
，则根据勾
股定理，
，
。因为三角形
为直角三角形，且
，则根
据勾股定理，
。根据公式：球体表面积
，可得该保护罩的表面积为
。
56.【答案】A。如下图所示，正方形广场ABCD 边长为200 米，则对角线AC、BD 长度均为
米，由于每名工作人员服务半经
不超过
米，要想安排的工作人员最少，则每名工作人员服务范围要尽量的大，服务半径最大为
米，则服务范围最大是一个
直径为
米的圆。将正方形广场分为4 个完全相等的正方形区域，以左上正方形AEOF 为例，其对角线AO 为
米。若1 名工作人员站在AO 的中点G 上，其服务的范围为正方形AEOF 的外接圆，恰好覆盖了4 个顶点以及4 条边。同理，再将3 名
工作人员分别安排在BO、CO、DO 的中点上，就能确保咨询服务全覆盖，则至少需要安排4 名工作人员。
238
57.【答案】B。根据圆锥体积公式：
，底面半径=3cm，高h=6cm，代入可得
，将圆锥
分割为体积相等的两部分，则上半部分的体积为
。
由于分割后的小圆锥与原圆锥相似，故
与
相似，故
，故AB=2BC ，可得上半部分体积
，化简可得
，根据题意，截面半径（BC）等于球形首饰的直径，故球形半径
。
239
则球形体积为
。回收后黄金体积为原来的75%，故可以置换数量为
个。
58【答案】B。该农田被灌溉的面积如下图所示，即三角形OAF 和扇形OEF 的面积之和。根据题意可知，OA=1/4AD=9 米，OF=18 米，
根据特殊三角形结论可知，角AOF=60 度，则
米，
平方米。由于
，则
，
则
平
方
米
。
则
该
农
田
被
灌
溉
的
面
积
=409 平方米，在B 项范围内。
240
59.【答案】D。设该长方体铸件的长、宽和高分别为5x 米、4x 米和3x 米，根据“表面积正好为1 平方米”，可列式：
，解得
。若要切下的三棱柱尽可能大，应沿长方体任意面的对角线切割，此时三棱柱体
积为长方体体积的一半，为最大情况。要想得到的三棱柱切面面积尽可能大，如图所示，可沿
方向进行切割，此时切面为
，
根据勾股定理可得，
米，故切面面积
平方米，故最
大切面面积一定大于0.25 平方米，在D 项范围内。
60.【答案】C。根据圆形面积公式：
，月牙形水池底面积=大圆面积-小圆面积
。根据圆柱体体积
公式：V=底面积×高，则注入水的体积
立方米，与C 项最接近。
61.【答案】B。根据题意，该饮料瓶由两部分组成，上半部分是半径为5cm 的半球，根据公式：
，则其体积为
；下半部分是高为10cm，底面半径为5cm 的圆柱，根据公式：
，则其体积为
。
故该饮料瓶的体积为
（
取3.14）。
241
62.【答案】B。如图所示，由C 点向AB 作垂线交AB 于D 点，由B 点向AC 作垂线交AC 于E 点，则CD 为AB 边上的高，BE 为AC
边上的高。设AC 为2x 公里，则BC 为
公里，因
是以AC 为底边的等腰三角形，则
公里，
公里。在直角三角形BEC 中，根据勾股定理，可得：
公里。根据三角形
面积公式
，则
，可得：
，解得
，则
公里。
63.【答案】B。根据题意，若要使得裁剪出的钢片数最多，则需尽可能减少材料浪费。观察题干信息：钢片长+宽+间隔长
=70+40+5=115cm，恰好与钢板宽度115cm 相等，此时造成的浪费最少。如下图所示，将钢板分为700×70cm 与700×40cm 两块区域，
钢片分别按照纵向与横向分布裁剪。
242
设第一行、第二行裁剪出的钢片最大数量分别为a、b 个，可得：
，解得
，则a、b 最大分别取15 个、9
个，最多可剪裁出15+9=24 块。
64.【答案】C。由题可知：
，
，则
。如下图所示，
、
、
、
分别表示对应边长，则
，
，
，
。设A 的种植面积为21x，则B、C 的种植面积分别为14x、9x。
14 和21 都有公因子7，令b=7，则d=3x，c=2x，a=3，又因a+b=c+d，即3+7=2x+3x，可得x=2，则a=3、b=7、c=4、d=6，故D 的种植
面积是A 的
。
65.【答案】A。连接BE，如下图所示。根据题意BCEF 为矩形，则
且BC=EF=400 米，
，那么
与
为
同
底
等
高
的
三
角
形
，
即
，
那
么
平方米，即12 万平方米。
243
66.【答案】D。根据题意“三角形ABC 与ACD 为两个面积相等的直角三角形，AB 长度是BC 的2 倍”，可得
，
则
，连接
、
可得与两圆交点分别为G 与H 两点，则BG、DH 分别为B、D 两点距离两圆的最短距离，
，
，设大圆、小圆半径分别为R 、r ，则
、
，
，
，赋值AD=BC=10 ，则
，所以
。
244
67.【答案】C。由图可知，
与
等高，则对应面积比等于底之比，即
；同理，
与
等高，则
，
平方千米，
平方千米。B 点到CD 的
距离即为
以CD 为底的对应高，根据三角形的面积公式
，即
，解得所求高=8 千米。
68.【答案】B。根据题意，赋值AB=2，AD=AC=4。ABCD 为直角梯形，则
。在直角
中，AC=2AB，则
，则
，
。在
中，AD=AC，
，则该三角形为等边三角形。如
下图所示，连接OD 与圆相交于点G，根据题意“已知D 点到圆上任一点最短距离为AB 长度的一半”，则
。E、F 为切
点，
，
，OE=OF，OD 为公共边，则
与
全等，
，则DO=2OE，即1+r=2r，则圆的
半径r=1，圆的面积
。因此特色生态园与特色花坛的面积比值
，在B 项范围内。
69.【答案】A。勾股定理n
2 + 3n
2 = 120
2，解n = 60，根据题干设甲的速度V，则乙的速度为
，根据乙比甲提前3h，t 甲−t
乙= 3h，
，解得v = 10。
245
70.【答案】A。从DA 向EF 引垂线，则三角形ADG 与ODE 相似，则
，ADGF 面积为ADG + ABF =( AD× AG)/2 +
(AG× EB0/2 = [AG× (A D+EB)]/2=(AG× EC)/2 = E C /2× (BC* AB)/BC = (BC× AB) /2= 12000，单位换算后选择A。
71.【答案】C。圆锥1 分钟高6cm，由于高度比的立方等于体积比，则8 分钟后能把圆锥注满，8 分钟后注入的都是圆柱体内，由
于圆锥圆柱底面积一样，注入体积比为1:3，8 分钟注入12cm 的三分之一为4cm，即2 分钟注入高度为1cm ，剩下30−8 = 22 分钟
注入高度为11cm，总高度为11 +12 = 23cm。
72.【答案】C。
,所以
。
246
最值问题
1.【答案】B。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，由题意可知“生产1 台乙设备需要4 个B 零件和9 个C 零件”，且C
零件的用量超过100 个，100÷9＝11……1，故生产乙设备至少12 台，所需的零件数为12×（4＋9）＝156 个。由于“共用A、B、C
三种零件不超过200 个”，因此生产甲设备所用的零件数至多200－156＝44 个，44÷（5＋11）=2……12，故最多可能生产了2 台甲
设备。因此，选择B 选项。
2.【答案】B。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，根据题意A 库房比B 库房多4 台，B 库房比C 库房多2 台，C 库房和
A 库房共22 台，假设B 库房有X 台，A 库房有X+4 台，C 库房有X-2 台，X+4+X-2=22，则X=10，故A、B、C 三个库房总共有32 台电脑。
第三步，每个部门获得的电脑数量均不相同，而且还需要分组最多，所以可从最少的情况数开始考虑，每个部门获得的电脑数量为1、
2、3、4、……，总共是32 台电脑，则最多可分7 组，余4 台无法成1 组，所以最多可以有7 个部门可以获得电脑。因此，选择B 选
项。
3.【答案】B。解析：第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。第二步，设申请金额最低的农户最少可能申请x 万元信贷，根
据申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2 倍，则最高的申请2x 万元，要使最低的最低，则中间8 户应尽量高，已
知每人申请金额都是1000 元的整数倍，构造如下表：
列方程：2x+（2x－0.1）+（2x－0.2）＋……＋x＝25，解得x＝1.5+，问题求最少向上取整，最少申请1.6 万元信贷。因此，选
择B 选项。
4.【答案】C。解析：第一步，本题考查基础应用题与最值问题的杂糅。第二步，4 个车间共投资450 万元，甲车间是其他三个车
间之和的一半，甲车间为450÷3＝150 万元，乙、丙、丁之和为300 万元。根据乙比丙高25%，设丙为4x、乙为5x，根据丁比乙、丙
之和低60 万元，丁为9x－60，列方程4x＋5x＋9x－60＝300，解得x＝20，乙为100 万元、丙为80 万元、丁为120 万元。第三步，
后期向4 个车间追加200 万元，每个车间的追加投资额都不超过其余任一车间追加投资额的2 倍，设追加最少的为y 万元，最多的为
2y 万元，根据问题所求投资额最高与最低可能相差多少，即让y 与2y 差距尽可能大，则其余两车间追加均为y 万元，列方程：2y＋y
＋y＋y＝200，解得y＝40 万元，2y＝80 万元，投资额最高为甲150＋80＝230 万元、最低为丙80＋40＝120 万元，最高和最低相差230
－120＝110 万元。因此，选择C 选项。
247
5.【答案】D。解析：第一步，本题考查最值问题，属于最不利构造。第二步，根据“至少……保证……”可知本题为最不利构造，
答案为“所有最不利情况+1”。要求搬出的鲜花中一定有郁金香，最不利的情况是把所有月季花、牡丹花都搬出来，即搬出20+20=40
（盆）。在此基础上再搬1 盆，就能够保证搬出的鲜花中一定有郁金香，即至少要搬出40+1=41（盆）。因此，选择D 选项。
6.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题，属于其他最值构造类，用不定方程解题。第二步，要想使未答的题最少，则使
答对的和答错的尽可能多，那么应该让答对的题超过15 题，获得额外的10 分，这样也可以使答错的题多一些。第三步，设答对x 题，
答错y 题，可列不定方程：5x＋10－3y＝60，化简得5x－3y＝50，可知y 值越大x 值也越大。利用因子分析法解不定方程：y 含有5
因子，因为x＋y<29，所以y 最大为10（若y＝15，则x＝19 不满足），当y＝10 时，x＝16。第四步，未答的题目数为29－10－16
＝3（道）。因此，选择C 选项。
7.【答案】B。解析：第一步，本题考查最值问题，用代入排除法解题。第二步，题目条件较为复杂，可以考虑代入排除。问最小，
从最小选项开始代入：5 台机器同时生产，每小时总计可以生产300 件产品，一台机器每小时60 件产品。代入A 选项，多开3 台机器，
则每台机器平均每小时生产60－2×3＝54（件）产品，每小时生产效率为54×8＝432（件），要想提升50%以上至少需要达到300×
（1＋50%）＝450（件），A 选项不符合题意，排除。代入B 选项，多开4 台机器，则每台机器平均每小时生产60－2×4＝52（件）产
品，每小时生产效率为52×9＝468（件），超过了450 件，符合题意。因此，选择B 选项。
8.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查最值问题，属于反向构造。第二步，赋值观众100 人，那么5 幅作品得票数分别
是69、63、44、58、56，共290 票。想要投票有效率最高，即有效投票人数最高，反向构造无效投票人数最少。根据“不超过”，令
所有有效投票观众都投2 幅作品，无效人数都投5 幅作品时，多余票数290－100×2＝90 所对应的人数最少。因此无效人数为
（人），投票有效人数为100－30＝70（人），有效率是70%。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查最值问题，属于反向构
造。第二步，赋值观众100 人，那么5 幅作品得票数分别是69、63、44、58、56，共290 票。想要投票有效率最高，即有效投票人数
最高，反向构造无效投票人数最少。根据“不超过”，令所有有效投票观众都投2 幅作品，无效人数都投5 幅作品时，有效票率最高，
设有效票观众人数为x，则无效票观众人数为（100-x）人，可列方程2x+5（100-x）＝290，解得x＝70，即有效票率为70÷100＝70%。
因此，选择B 选项。
9.【答案】D。解析：第一步，本题考查最值问题，属于数列构造类。第二步，在C 市建设x 个充电站，定位、构造如下：
248
C 市至少，则其他市尽可能多，在D 市建设的充电站数量少于其他任一城市，若A 市＞B 市，则A 市＋B 市＋C 市＞72，因此A 市
＜B 市，D 市构造为x－7。第三步，加和求解，x－6＋24＋x＋x－7＝72，解得x＝
，最少取整为21，即C 城市的充电站建设数目
至少为21 个。因此，选择D 选项。
10.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，假设这一批抽检100 种奶粉品牌，其中，符合OPO 结构脂指标的奶
粉品牌有100×82%＝82（种），其余四种以此类推，则共有82＋78＋73＋90＋57＝380（项）指标合格，根据符合三项及以上指标要
求的奶粉品牌认定为合格，要使合格率尽可能少，应使不合格品牌多占指标及仅符合两项指标，合格品牌符合的指标数尽可能多（即
最多5 项指标，尽量少的4 项指标）。因此，给100 个品牌先分2 项合格指标，即为100×2＝200 项，则剩余380－200＝180（项）
合格指标。第三步，要想使合格品牌符合的指标数尽可能多，则最多可满足同时五项合格，由于抽检比例最低的是57%，则同时符合5
项指标合格的品牌最多有57 种。其次让尽可能多的四项合格，设四项合格的为x，可列方程：57×（5－2）＋x×（4－2）＝180，其
中5－2 是前面已经给100 种品牌分得2 项指标，要满足5 项指标，还需要5－2＝3 项指标，4－2 道理相似，解得x＝4.5 即最多有5
种品牌四项指标合格，则至少有57＋5＝62（种）奶粉品牌合格，合格率为62÷100＝62%。因此，选择C 选项。
11.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题中其他最值构造。第二步，因为3 只小猴配3 辆小车，要求每只小猴至少骑一
次车但不能重复骑同一辆，因此3 只小猴骑车的总次数应该等于3 辆小车被骑的总次数，即2+2+x=1+3+y，解得x=y。第三步，y 表示
1 辆小车被骑次数，小猴不能重复骑同一辆车，因此y 最大可取3，x+y 最大可取6。因此，选择C 选项。
12.【答案】C。解析：解法一：第一步，本题考查数列构造，用方程法解题。第二步，设最大数最大为m。因为总和为定值，因
此m 取最大，其他数据需取到最小，因此前18 个正整数只能取1~18，其和为171，则m=191－171=20。因此，选择C 选项。解法二：
第一步，本题考查数列构造，用代入排除法解题。第二步，A 选项，若最大数为18，则最多有18 个不同的正整数，与题干矛盾，排除。
B 选项，若最大数为19，则19 个不同正整数为1~19，总和为190，不是191，与题干矛盾，排除。C 选项，若最大值为20，因为本题
求最大值，其余数字需取最小，因此为1~18，总和为191，与题干吻合。因此，选择C 选项。
13.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题，用数列构造法解题。第二步，将10 栋楼的垃圾袋盒数由大到小排序，设派发
垃圾袋盒数最少的那栋楼最少派发垃圾袋x 盒，其他楼栋派发垃圾袋盒数尽可能多，因为最多相差不超过1 倍，所以将最多的楼栋设
为2x，又因为任意两栋楼派发的垃圾袋盒数都不相同，故由高到低依次设为2x、2x－1、2x－2、……2x－8、x，可列表如下：
249
根据垃圾袋盒数一共有230 盒可列式：2x+2x-1+2x-2+2x-3+2x-4+2x-5+2x-6+2x-7+2x-8+x=230。第三步，解得x＝14，故派发垃
圾袋盒数最少的那栋楼最少可派发垃圾袋14 盒。因此，选择C 选项。
14.【答案】C。解析：第一步，本题考查最不利构造。第二步，最不利情况：先取出5 个香蕉，然后苹果、橘子、梨每种水果均
取出9 个，再取出任何一个水果，即可满足题意，即需取出5+9+9+9+1=33 个。因此，选择C 选项。
15.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题，用数列构造法解题。第二步，将10 栋楼的口罩数量由大到小排序，设派发口
罩数量最少的那栋楼最少派发口罩x 盒，其他楼栋派发口罩数量尽可能多，因为最多相差不超过1 倍，所以将最多的楼栋设为2x，又
因为任意两栋楼派发的口罩数量都不相同，故由高到低依次设为2x、2x－1、2x－2、……2x－8、x，可列表如下：
根据口罩一共有230 盒可列式：2x+2x-1+2x-2+2x-3+2x-4+2x-5+2x-6+2x-7+2x-8+x=230。第三步，解得x＝14，故派发口罩数量
最少的那栋楼最少可派发口罩14 盒。因此，选择C 选项。
16.【答案】A。解析：第一步，本题考查最不利构造。第二步，抽奖箱里有20 种不同的礼品，最不利情况为每种礼品均有2 人领
取，即20×2=40，根据最不利情况+1，则最少41 人当天参加抽奖活动，才能保证至少有3 人领取的礼品相同。因此，选择A 选项。
17.【答案】B。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，50 名员工合计捐款81.5×50=4075 元，设捐款83 元及以上的员工x
人，则83 元以下的50-x 人，要使83 元及以上的人最多，则x 人均捐款83 元，由于任2 名员工捐款金额相差不超过10 元，剩余50-x
人每人捐款83-10=73 元，列方程：83x+73（50-x）=4075，解得x=42.5，问题求最多，向下取整，最多可能有42 人。因此，选择B
选项。
18.【答案】B。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，四个研究所共有5+5+7+7=24 人，其中A、B、C、D 研究所各有3、3、
4、4 名男性。分成两个小组，每个小组中均包含4 个研究所的人且来自任意2 个研究所的人数都不相同，两个小组人数分别为1+2+3+4=10
人，2+3+4+5=14 人，要使化验小组男性最少，化验小组总人数应尽可能少，为10 人。第三步，分组情况举例如下表：
250
此时，化验小组男性最少为0+1+0+1=2 人。因此，选择B 选项。
19.【答案】B。解析：第一步，本题考查反向构造。第二步，第一至五题答错的人数分别为8、4、12、18、30 人，其和为72，
要想及格人数最少，那就要不及格人数最多，那么每个人错的题目就要最少，即刚好错3 个，共72÷3=24 人，此时为不及格人数最多，
那么及格人数最少为60-24=36 人。因此，选择B 选项。
20.【答案】A。解析：第一步，本题考查最值问题，属于多集合反向构造。第二步，根据多集合反向构造的思路，“反向——求
和——做差”。反向：未观看乒乓球比赛的人数为1000×（1-87%）=130 人，未观看跳水比赛的人数为1000×（1-75%）=250 人，未
观看田径比赛的人数为1000×（1-69%）=310 人。求和：三种比赛有人没看过的最多有130+250+310=690 人。做差：三种比赛都观看
过的至少为1000-690=310 人。因此，选择A 选项。
21.【答案】B。解析：第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。第二步，5 位员工的平均为90 分，则总分为90×5=450 分。
在总分一定的前提下，要使排第二名的员工得分最少，那么其他员工的得分应尽可能的多。设第二名的最低分为x 分，根据每名员工
分数各不相同，则有第一名得分最多为满分100 分，第三名得分最多为x-1 分，第四名得分最多为x-2 分，已知分数最低的员工为77
分。第三步，根据总分可列方程100+x+x-1+x-2+77=450，解得x=92，即第二名员工至少得92 分。因此，选择B 选项。
22.【答案】D。解析：第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。第二步，分情况讨论：（1）当人口最少的地区人口数量最小
时，设最少为x 万人，要使最少的最小，需其他地区的人口最多均为1.1x，可构造11 个投票区分别为10 个1.1x 和一个x，根据总人
数为13.2 万，可得10×1.1x＋x=13.2 万，解得x＝1.1 万。（2）当人口最少的地区人口数量最大时，设最少为x 万人，要使最少的
最大，需其他地区的人口最少均为x，根据总人数为13.2 万，可得11x=13.2 万，解得x＝1.2 万。第三步，人口最少的地区人口数量
取值范围为1.1~1.2 万人。
23.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，本题仅需将钥匙与房间一一匹配，无需打开，故尝试时最多分别需
要29、28、27、26……、1，共
＝435（次）。因此，选择C 选项。
251
24.【答案】A。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，将8 个人编号为1—8 号，由于8 个人每个人负责不同的部分，故先
让2—8 号将自己负责的部分都发送给1 号，需要发送7 封邮件，之后让1 号将完整的书稿同时抄送给2—8 号，需要发送7 封邮件，
总共至少需要发送7＋7＝14 封邮件。因此，选择A 选项。
25.【答案】D。解析：第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。第二步，80 人共投出80 张票，若使得B、C 获得的选票最多，
则A、D、E、F 票数尽量少。已知A 票数最多，共获得20 张选票，F 获得10 张选票；因此尽量让D、E 的票数最少，且高于F，均是
11 票。第三步，B、C 共获得最多票数为80－20－10－11×2=28（张），B、C 两人的票数相同，则B=C=28÷2=14（张）。因此，选择
D 选项。
26.【答案】B。解析：解法一：第一步，本题考查最值问题，用枚举法解题。第二步，题干要求购买橡皮的顾客尽可能多，而卖
出橡皮不到50 盒，故构造每位顾客购买的盒数尽可能少，首先考虑购买1 盒的顾客，由于任意2 名顾客购买的橡皮块数都不相同，故
购买1 盒的顾客可能的橡皮块数有3 种（3，5，10），购买1 盒的顾客最多有3 名；其次考虑购买2 盒的顾客，可能的橡皮块数有5
种（3＋3＝6，3＋5＝8，3＋10＝13，5＋10＝15，10＋10＝20），购买2 盒的顾客最多有5 名；再次考虑购买3 盒的顾客，可能的橡
皮块数有7 种（3＋3＋3＝9，3＋3＋5＝11，3＋3＋10＝16，3＋5＋10＝18，3＋10＋10＝23，5＋10＋10＝25，10＋10＋10＝30），购
买3 盒的顾客最多有7 名，由于卖出的橡皮不到50 盒，故购买4 盒的顾客最多有
名，最多有3
名，故当天最多有3＋5＋7＋3＝18 名。因此，选择B 选项。解法二：第一步，本题考查最值问题与排列组合的杂糅。第二步，题干要
求购买橡皮的顾客尽可能多，而卖出橡皮不到50 盒，故构造每位顾客购买的盒数尽可能少。先不考虑重复的总数，购买1 盒有
=3
种总块数；购买2 盒有
=6 种总块数（两盒块数不一样+两盒块数一样）；购买3 盒有
=10 种总块数（三盒块数都
一样+两盒块数一样第三盒不一样+三盒各不一样）。这其中2 个5 之和与10 重复，则重复了1+
=4 种（5+5，5+5+另一种）。共计
3+6+10-4=15 名。第三步，由于卖出的橡皮不到50 盒最多为49 盒，15 名顾客已经购买了3+10+21=34（盒），那么最多再卖15 盒，
故购买4 盒的顾客最多有15÷4=3.75 名，最多有3 名（肯定可以互不相同），故当天最多有15＋3＝18 名。因此，选择B 选项。
252
27.【答案】D。解析：解法一：第一步，本题考查数列构造。第二步，总和为45，C 区人数为45×
=9，其他三个区人数之和为
45-9=36。设A 为x 名，那么B 为x-4 名。要使得A 最少，则D 应该最多；D 不超过任何其他地区，如果最多为x-4，则超过了C 区的
9 人（可代入验证），因此D 区最多为9 人。可得方程x+x-4+9+9=45，解得x=15.5，最少为16。此时四个区人数分别是16、12、9、
8。因此，选择D 选项。解法二：第一步，本题考查数列构造，用代入排除法解题。第二步，根据题意可得：A+B+C+D=45①；A-B=4②；
C=45×
=9③；将选项由小到大依次代入②中。代入A 选项，A=12，即B=8，通过C=9，得到D=16，不满足D 不超过其他地区，排除A。
代入B 选项，A=13，即B=9，通过C=9，得到D=14，不满足D 不超过其他地区，排除B。代入C 选项，A=15，即B=11，通过C=9，得到
D=10，D＞C 区，不满足D 不超过其他地区，排除C。因此，选择D 选项。
28.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，前两位是奇数，则只能从1 或3 中选择，有2×2＝4 种，后两位有
4×4＝16 种，故不同的信号有4×16＝64 种。第三步，由于250÷64＝3……58，故传输次数最多的信号最少传输3＋1＝4 次，即x 的
最小值为4。因此，选择C 选项。
29.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题，用代入排除法解题。第二步，题中要求无论怎样分配，都要有水果店至少分
到8 箱，则至少有一个店分到8 箱即可满足要求。要水果店最多，则需要每个店分到的水果尽量少，根据最值代入法从最大值开始代
入。第三步，D 项，201÷29≈6.9，如果尽可能平均分，则没有水果店分到8 箱，不符合题意，排除。C 项，201÷28=7……5 箱，则
一定有水果店可分到8 箱，符合题意。因此，选择C 选项。
30.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，设两两求和最大的是x，那么两两求和从小到大依次是：23，27，
30，31，34，x，其中23 必是两个较小数的和，x 必是两个较大数的和，所以x＋23 是四个数之和，剩下的27，30，31，34 中存在27
＋34＝30＋31，故四个数之和为61，那么x 为61－23＝38，则四个集装箱中最重的一定超过19，排除A、B 选项。第三步，代入C 选
项，若最大的为21，则第二大的为17，第三大的为34－21＝13，最小的为10，且21＋13＝34，21＋10＝31，17＋13＝30，17＋10＝
27，满足题意。因此，选择C 选项。
31.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题，属于其他最值构造。第二步，设总共有100 人投票，则共投出了88+70+46=204
（次）选票，每张选票“○”的个数不超过2 时才为有效票，为了使有效票率高，只需无效票尽量少，故先让100 人每人投出两票，
共100×2＝200 票，则剩余204-200＝4 票，则无效票最少有4 张，故有效票最多有100-4=96 票，本次投票的有效率最高可能为96%。
因此，选择C 选项。
253
32.【答案】B。解析：第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。第二步，总和一定，求某项最值，使用数列构造的方法。首
先，根据题意将6 辆货车的载重量从大到小排序则第一重的为71 吨，最轻的为54 吨，求第三重的卡车至少载重多少，则其余货车载
重尽量多，设第三重的卡车至少载重x 吨，那么构造排名第二至第五的载重依次为：70，x，x－1，x－2。可列方程：71＋70＋x＋（x
－1）＋（x－2）＋54＝62×6，解得x＝60。因此，选择B 选项。
33.【答案】D。解析：第一步，本题考查最不利构造。第二步，若观众选取的是2 支同色的荧光棒有
＝7（种）方式，若观众
选取的是2 支不同颜色的荧光棒有
＝21（种）方式，共有7＋21＝28（种）方式。至少有28＋1＝29（名）观众才能保证一定有两
人选取的荧光棒颜色完全相同。因此，选择D 选项。
34.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。第二步，总和一定，求某项的最值，利用数列构造方法解题。
首先把5 个项目按从大到小的顺序排列，设问题所求第三项经费为x，要求x 最小值，其他项需尽量大，则最后两项均为x-1，则后两
项之和为2x-2，前两项之和为4x-4。五项之和为（4x-4）+x+（2x-2）=500，解得x=
。第三步，求x 的最小值，向上取整。当x=73
时，后两项均为72，其和为72×2=144，前两项和为144×2=288，此时第三项为500-144-288=68，不符合题意，则后两项最大只能为
71，其和为71×2=142，前两项和为142×2=284，此时第三项为500-142-284=74，为最小值。因此，选择C 选项。
35.【答案】B。解析：第一步，本题考查最值问题，属于最不利构造。第二步，首先将25 个人分成A、B、C、D、E 五个小组进行
无领导小组讨论，按每个人的能力水平排序，进行五场得到如下表格：
第三步，将每组第一名五个人进行小组讨论，这样可以评选出25 人中的第一名。在此假定为按能力水平从大到小排序分别是A1
＞B1＞C1＞D1＞E1，进行一场即第六场能确定A1 是25 人中的第一名。第四步，将有可能是第二名或第三名的人放在一个小组进行评
254
选，由于A1＞B1＞C1＞D1，C 组后四名、D 组和E 组都不可能出二三名，第二名只能是A2 或者B1，第三名只能是A2、A3、B1、B2 或
者C1。那么将A2、B1、A3、B2、C1 五个人进行评选，进行一场即第七场能确定第二名和第三名。第五步，第七场排名可能情况如下：
①A2 能力最好，B1 其次。第四名只能是A3、B2、C1 中的一个，恰好都在本场中，那么这7 场已经全部搞定前四名。②A2 能力最好，
A3 其次。那么第四名只能是B1 或者A4，将两人同时放到一场讨论即可知道谁是25 人中的第四名，一共需要8 场。③B1 能力最好，
A2 其次。第四名只能是A3、B2、C1 中的一个，恰好都在本场中，那么这7 场已经全部搞定前四名。④B1 能力最好，B2 其次。如果C1
＞A2，那么第四名只能是B3 或者C1，将两人同时放到一场讨论即可知道谁是25 人中的第四名，一共需要8 场；如果C1＜A2，那么第
四名只能是B3 或者A2，将两人同时放到一场讨论即可知道谁是25 人中的第四名，一共需要8 场。⑤B1 能力最好，C1 其次。如果接
下来A2＞B2，那么第四名可能是A2、C2、D1，将三人同时放到一场讨论即可知道谁是25 人中的第四名，一共需要8 场；如果接下来
B2＞A2，那么第四名可能是B2、C2、D1，将三人同时放到一场讨论即可知道谁是25 人中的第四名，一共需要8 场。综上所述，8 场就
可以选出前四名。因此，选择B 选项。
36.【答案】A。解析：第一步，本题考查最值问题，用构造法解题。第二步，集团每个分公司的员工数增加9 人，该集团共有13
个分公司，则甲和乙两个分公司共招聘了13×9＝117（人）。招聘后甲乙两个分公司共有员工76＋137＝213（人），招聘前两个分公
司至多有50＋50＝100（人），所以至少招聘213－100＝113（人），剩下的4 人随意分配，那么相差最多的情况数为甲乙其中一个分
公司原来有员工46 人，那么最多相差50－46＝4（人）。因此，选择A 选项。
37.【答案】D。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，赋值家长人数为100，那么6 幅作品的得票数分别为67、53、72、
39、51、48，共330 票。想要投票的有效率最少，即有效投票人数最少，反向构造无效投票人数最多。若每位家长均投4 票，则总票
数应为400 票。与实际相比，少400-330=70 票。当所有有效人数均投1 票，无效人数均投4 票，对应的投票有效率最低。少的70 票
正源于投1 票的家长。因此，投票中有效票数最少为
票，
，故取24%。因此，选择D 选项。
38.【答案】F。解析：第一步，本题考查最值问题中的其他最值构造，用方程法解题。第二步，男性比重为63%，根据倍数特性
可得到男性是63 的倍数，总人数是100 的倍数，所以设总人数为100x，男性人数为63x；由党员比非党员多12 人，可以得到党员-
非党员=12，党员+非党员=100x，联立解得党员人数为50x+6；题目要求男性中党员的比重最高为多少，男性总人数不变，需要让男性
党员数最多，即所有党员都是男性党员，得到比重为
，当x
1 时此比重最大，约等于88.9%，题目中问最高，故向
下取整为88%。因此，选择F 选项。
255
39.【答案】A。解析：第一步，本题考查最值问题，用方程法解题。第二步，题目要求出每百公里的最低耗油量，即x 在70~110
之间时M 的最小值。
，当x 最大时M 取值最小，所以x=110。第三步，当x=110 时，
，所以每百
公里最小值约等于9。因此，选择A 选项。
40.【答案】C。解析：第一步，本题考查最值问题。第二步，假设四个盒子中粉笔的支数从小到大分别为a、b、c、d，那么根据
题意有a+b=12、a+c=23，b+c=35、a+d=46（或者b+c=46、a+d=35，但无解），b+d=54、c+d=65。可以得到d－c=54－35=19，那么最
大的数d＝（65+19）÷2=42。第三步，盒子中共有4 种颜色，最多的最少，根据数列构造的方法，设最多的颜色支数为x，则其他三
种颜色支数分别为x－1、x－2、x－3，加和有x+（x－1）+（x－2）+（x－3）=42，解得x=12。即最多有12 支。因此，选择C 选项。
41.【答案】A。解析：第一步，本题考查最值问题中的数列构造问题。第二步，根据题意可知发表1 篇，2 篇，3 篇，4 篇的人数
由少到多，设发表4 篇的人数为x，则发表3 篇的人数为x－1，发表2 篇的人数为x－2，发表1 篇的人数为x－3。再由一共有40 人，
可x＋x－1＋x-2＋x－3=40。第三步，解得x=
。再根据上半年发表的论文数最少可知发表1 篇，2 篇，3 篇，4 篇的人数分别为8，
9，11，12 人。最少发表的数量为8＋18＋33＋48=107 篇，则下半年为205－107=98。故差值为107－98=9 篇。因此，选择A 选项。
42.【答案】D。解析：第一步，本题考查最值问题，属于其他最值构造。第二步，首先3 人每人必须至少有1 道正确的题，每个
人先拿8 分，总分24 分，还剩下9 道题。第三步，正确1 道，错误1 道，扣2 分。每个人最多可扣6 分，即6 道题一半对一半错，这
个人的得分此时最低，为2 分，总分24－6＝18（分），还剩下3 道题。这3 道题的得分最低情况是2 个正确，1 个错误，净得分6 分。
所以，三人最低的得分和是18＋6＝24（分），高于20 分。因此，选择D 选项。
43.【答案】C。根据题意可知，全部人员紧急疏散到安全疏散点的时间=人员通过出口逃生时间+从出口到达安全疏散点的时间，
从A、B、C 出口到达安全疏散点分别需要1 分钟、3 分钟、2 分钟。设至少需要n 分钟，才可将全部人员疏散，根据三个出口疏散人员
数相加为总人数，可列式：150（n-1）+100（n-3）+80（n-2）=1040，解n=5，即全部人员紧急疏散到安全疏散点至少需要5 分钟。
44.【答案】C。根据题意，设生产电动车x 辆，燃油车y 辆，根据题意可得到：X+Y≤3000①，且3X-2Y≥0②。因题目要求总利
润最大，因此需要尽可能多的生产车辆，即x+y 尽量大，让x+y=3000，则x=3000-y，代入②式可得：3X(300-Y)-2Y≥0，解得Y≤1800。
题目要求总利润最大，则要多生产利润较大的车辆，即多生产燃油车，也就是y 取最大值1800，此时x=3000-1800=1200 辆。则总利
润最大为x+2y=1200＋2×1800=4800 万元。
256
45.【答案】D。设第一种打包方式装满a 箱，第二种打包方式装满b 箱。根据电脑主机和显示器各有n 台，可得：n=6a+3b=4a+8b，
解得a=2.5b，代入可得n=18b。因为a、b 均为箱子的数量，必须为正整数，故b 取最小值2 时，n 取最小值为36。
46.【答案】D。根据题干要求“确保······则至少······”，可判定为最不利构造题型。当红色、蓝色、绿色、白
色、黑色各取9 个球时为最不利情况，共需取5×9=45 个球；此时再取1 个球，可以确保有10 个小球的颜色相同，则至少要取出45+1=46
个球。
47.【答案】C。根据题意：中间三个分数之和×3=66，可知中间三个分数之和为22。要使7 名裁判打分的平均数最多，则需让其
他4 名裁判打的分数尽量多。第一、第二高的两个分数最高可取10 分，第六、第七高的分数最多可与第五高的分数相同，故应让第五
高的分数尽量高。设第五高的分数为x，因为中间三个分数（第三、第四、第五）总和为定值22，若想第五高的分数x 尽量高，则第
三、第四高的分数应尽量低，列表构造如下：
则有3x=22，解得
，因为裁判所打分数均为0.5 的整数倍，故第五高的分数最高取7 分。第六、第七高的分数最多也均
可取7 分。此时具体分数如下：
或者
此时7 名裁判给这名运动员第一跳打分的平均数最多为
分。
257
48.【答案】C。根据题意可知，总积分（130）=基础积分（50）+民主评议活动积分+贡献积分。基础积分固定为50 分，要想使得
获得积分的民主评议活动项目尽可能少，则需民主评议活动的积分尽可能少，贡献积分尽可能多，即贡献积分获得满分5×10=50 分，
此时民主评议活动获得130-50-50=30 分；民主评议活动项目有5 分/项和10 分/项两类，当获得10 分/项的3 项（3×10=30 分）时，
获得积分的民主评议活动项目最少。故小李至少获得了3 项民主评议活动积分。
49.【答案】A。根据题意，设C 班志愿者人数为x 人，D 班志愿者人数为y 人，则B 班志愿者人数为（x+4）人。根据四个班招募
96 名志愿者，可知
，即2x+y=60。由于2x 和60 均为偶数，可知y 为偶数，结合选项可排除B、D 两项。由
于所求为最多，优先代入C 项验证：当y=20 时，解得x=20，即C 班、D 班志愿者人数均为20 人，不满足D 班志愿者人数比其他三个
班都少的条件，排除C 项，A 项当选。验证A 项可知：当y=18 时，解得x=21，此时，A 班、B 班、C 班、D 班志愿者人数分别为32 人、
25 人、21 人、18 人，满足题干所有条件。
50.【答案】C。根据题意可知，至少有25×20%=5 名顾客2 次都抽中现金券，即共抽中5×2=10 张现金券；至多有25×60%=15 名
顾客2 次都抽中同种类券，则至少有25-15=10 名顾客抽中不同种类券，即每人抽中1 张现金券和1 张奖品券，故抽中不同种类券的
10 名顾客共抽中10×1=10 张现金券。则一共至少有10+10=20 张现金券。
51.【答案】A。第一周；4、4、4、4、4、5、5；第二周：6、7、8、8、8、8、8；第三周：7、6、5、4、4、4、4。