广东2024中考数学压轴真题解析和答案(22题)

这道广东2024年中考数学几何压轴题，问题设置是比较反常规的，当前常规的压轴题设置基本都是层层推进，问问逐步拔高，前后的连贯性是比较强的，但是本题1-2问和第3问之间基本就没有思路上的联系，看起来像两个相互独立的题目。

1-2问主要考查学生的对于三角形旋转后的相似判定以及结合中位线对于相似三角形的线段转换来证明线段数量关系等式的成立。第3问主要考学生对于运用三角函数来解直角三角形的边角关系，特别是通过构建两组直角三角形相似，通过建立的两组相邻角互余来达到证明两大角互补的目的。

整问始终贯穿tan∠B=4/3这条主线索来进行线段求值，反过来证明三角形相似，整体难度系数很高，应该算是几何综合大题的天花板，具体题目如下：

 解： 

      第一问，相对比较简单，主要依据题干条件进行导角即可。因为E点和A点重合，所以中位线DE和DA相等即DE=DA，所以∠DAE=∠DEA，又因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，因此，∠DEA=∠BCA，则有∠DAE=∠BCA。

所以，AB=BC。

第二问，因为，DE是△ABC的中位线，所以，BD=AD，且有△A'DC'为△ADC旋转所得，因此，A'D=AD=BD，所以△A'BA为RT△，且△A'DA为等腰△。又因为△A'BD也为等腰△，且DF为其中线，因此DF⊥A'B，而∠AA'B=90°，所以DF即为△A'BA的中位线，则有A'A=2DF。

同理，因为△A'DC'为△ADC旋转所得，所以DC'=DC，则△C'DC也为等腰△，∠A'DC'=∠ADC。另外∠A'DA+∠ADC'=∠A'DC'，∠C'DC+∠ADC'=∠ADC，所以∠A'DA=∠C'DC。

所以，等腰△A'DA∽等腰△C'DC。

因此，AD/CD=A'A/C'C，即为CD*A'A=AD*C'C，

所以，2DF*CD=BD*C'C，命题得证。

第三问，给到核心题干条件tan∠B=4/3，同时已经套在一个RT△DBE中，求解在四边形ADEC中是否存在一点构成∠AGD+∠CGE=180°，刚开始看题干条件是有点懵圈的，如何才能使两个共顶点的角互补，成了思考的重要命题，如果能把这两个角分割成两组互余的角，即可达到题干要求，而且我们看到题干还给BE=3，AD=32/5，CE=32/3，再tan∠B=4/3，因此只需要构建含有锐角等于∠B的两相似RT△即可达到要求，因此根据上述思路，我们做辅助线。

首先，过点C作CF垂直AB，垂足为F。这样RT△DBE和RT△CBF相似。过点D作DG∥BC，交CF于点G，过点G作GH⊥BC，垂足为H，连接EG、AG，则只需证明图中∠AGD+∠CGE=180°，命题即可得证。

依据题意，因为DG∥BC，又有DE垂直BC，∠DEH=90°，所以∠GDE=90°，且有GH⊥BC，则∠GHE=90°，因此四边形DEHG为矩形，所以RT△DFG∽RT△GHC（一线三垂直），所以，∠DGF+∠HGC=90°，所以只需要证明∠AGF+∠HGE=90°即可。

因为，tan∠B=4/3，再有BE=3，所以tan∠B=DE/BE=4/3，因此，DE=4，则有DB=5，BC=BE+CE=3+32/3=41/3，所以就有sin∠B=4/5，cos∠B=3/5。

因此，在RT△CBF中，cos∠B=BF/BC=3/5，则有BF=41/5，FD=BF-BD=41/5-5=16/5，AF=AD-DF=32/5-16/5=16/5，所以AF=DF，因此有RT△DFG≌=RT△AFG，所以∠AGF=∠DGF，且有AG=DG=EH。

因为，DG∥BC，所以，∠FDG=∠B。同理，在RT△FDG中，tan∠FDG=FG/FD=tan∠B=4/3，GF=DF*4/3=16/5*4/3=64/15。cos∠FDG=DF/DG=cos∠B=3/5，DG=5/3*DF=5/3*16/5=16/3。所以，DG=AG=EH=16/3。

在RT△AFG中，tan∠AGF=AF/FG=16/5/64/15=3/4。

在RT△EGH中，tan∠GEH=GH/EH=3/（16/3）=3/4。

所以，tan∠AGF=tan∠GEH，则有∠AGF=∠GEH，又因为∠GEH+∠EGH=90°，所以，∠AGF+∠EGH=90°，结合以证明结论：∠DGF+∠HGC=90°，∠AGF+∠DGF+∠EGH+∠HGC=180°。

即∠AGD+∠CGE=180°成立，在四边形ADEC存在G点，使得∠AGD+∠CGE=180°结论成立。

综上所述，本题第3问绝对是几何压轴大题战力的天花板，既要有效阅读翻译题干要求，同时又能牢牢抓住主线tan∠B=4/3，同时利用构建多组相似RT三角形非对应锐角互余来有效拆解题目要求两个角互补，这样只要证明关联共顶点的两组RT三角形相似，命题即可得证成立。

方法二：利用AD、CE两线段为直径做辅助圆，根据直径所对的圆周角等于90°，只要确定两圆存在相交或相切，则两角和必等于180°，也就只需证明两圆半径之和大于或等于圆心距来解题，逻辑思路比较简单，但是计算过程比较复杂，留给大家自己线下去思考练习。

附上具体解析答案：