七下习题11.2:571人租11辆车,怎样最省钱?

教材原题｜习题11.2 拓广探索

9. 分别求出不等式5x−1＞3(x＋1)与(1/2)x−1＜7−(3/2)x的解集，并尝试确定它们的公共部分。

10. 某校七年级560名学生和11位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆。客运公司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下： A型：载客量40人，租金1000元； B型：载客量56人，租金1200元。 学校计划租用11辆客车，那么 （1）最多可以租用多少辆A型客车？ （2）共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？

同学们，今天这两道题有一条共同的线索：一个答案，要同时满足所有条件。第9题要求一个数同时满足两个不等式；第10题则要求租车方案既满足车辆总数，又能坐下全部师生，还要比较租金。先判断可不可行，再讨论省不省钱。

先猜一猜

A型车每辆便宜200元，是不是应该尽量都租A型？如果不等式算出A型车可以租到2.8125辆，能不能四舍五入成3辆？先留下你的判断，等会儿用座位数来检验。

01 · 各自解清楚，才能找公共部分

第9题：先分别求出两个解集

第一个不等式：5x−1＞3(x＋1)。先去括号，得5x−1＞3x＋3；移项合并，得2x＞4；两边除以正数2，得x＞2。

第二个不等式：(1/2)x−1＜7−(3/2)x。两边同时乘正数2，得x−2＜14−3x；移项合并，得4x＜16，因此x＜4。

去分母时，每一项都要乘2，不能只乘带分母的项。因为乘的是正数，不等号方向不变；若乘或除以负数，才需要改变方向。

02 · 公共部分，强调“同时”

公共部分为什么是2＜x＜4？

“公共部分”就是同时满足x＞2和x＜4的数。它既在2的右边，又在4的左边，所以答案是2＜x＜4。在数轴上，2和4处都画空心圆，只保留中间这一段。

例如3满足两个条件；5虽然大于2，却不小于4；1虽然小于4，却不大于2。后面两个数都不属于公共部分。不要把“同时满足”理解成“满足其中一个就行”。

还要注意，题目没有要求x是整数，答案不能只写3。像2.5、3.8也都在公共部分内，符合条件的数有无数个。

03 · 人数别漏老师，座位允许多不能少

第10题：先算人数，再确定未知数

学生和老师都要乘车，所以总人数是560＋11＝571人。设租A型车a辆，因为总共租11辆，B型车就是11−a辆。这样用一个未知数，就表达了两种车的数量。

A型提供40a个座位，B型提供56(11−a)个座位。要让所有人都有座位，总载客量应不少于571人，因此列出40a＋56(11−a)≥571。

这里是“大于或等于”，不是必须等于。允许有空座位，但不能有人没有座位。题目说租用11辆，我们就按恰好11辆讨论。

04 · 解不等式后，还要服从整数条件

最多能租几辆A型车？

去括号并合并，得616−16a≥571，移项得−16a≥−45。两边除以负数−16，必须改变不等号方向，得到a≤45/16＝2.8125。

a表示车辆数量，必须是非负整数，而且不超过11。因此可取的值只有0、1、2，A型车最多租2辆。

不能把2.8125四舍五入成3。若租3辆A型、8辆B型，只有3×40＋8×56＝568个座位，比571少3个，方案不成立。这里要找“不超过上界的最大整数”。

三种方案，逐一核对座位和租金

方案一：A型0辆、B型11辆，提供616个座位，租金13200元。 方案二：A型1辆、B型10辆，提供600个座位，租金13000元。 方案三：A型2辆、B型9辆，提供584个座位，租金12800元。

三种方案都能坐下571人。最低租金是12800元，对应A型2辆、B型9辆，还剩13个空座位。

为什么全租B型也算一种方案？

题目说有两种型号“可供租用”，并没有要求两种都必须租。因此a＝0是允许的，不能漏掉全租B型。如果另加“两种型号都要租”的条件，才只剩后两种方案。回答原题时，不要自行添加限制。

不用逐个算租金，也能判断谁最省吗？

可以。总租金为1000a＋1200(11−a)＝13200−200a。总车辆数固定，每用一辆A型替换一辆B型，租金就少200元，但座位也少16个。

所以应在座位足够的前提下，让A型车尽可能多。前面已经确定最多2辆，最低租金方案也就随之确定。不能只看便宜就一直替换，因为承载人数是必须满足的条件。

名师方法｜先找公共条件，再筛实际答案

解集题先分别求解，再找重合范围；应用题先用不等式保证可行，再结合整数、非负等条件列全方案，最后比较费用。遇到“最多”“最少”，先看限制从哪里来，不要凭直觉取整。

两道题放在一起，能发现什么？

第九题是在两个不等式规定的范围中找重合部分；第十题其实也在做同样的事。车辆数既要满足座位限制，也要满足非负、整数以及总共十一辆的要求。把这些条件叠在一起，才得到最终可选的数量。

区别在于，第一题留下的是一整段连续的数，第二题留下的是几个整数点。做完计算后，请再问自己一句：这个字母表示一般的数，还是现实中只能整件计数的数量？这一问，能帮助你避免把解集写少，也能避免把不合理的小数带进实际答案。

当堂检测

1. 第9题的公共部分包含2吗？包含2.5吗？ 2. 第10题为什么要用571列式？ 3. 最省钱的方案有多少空座位？

想好再看：不包含2，包含2.5；560名学生和11位老师都要乘车；584−571＝13个。

内容依据：新人教版七年级下册数学第十一章《不等式与不等式组》第137页，习题11.2“拓广探索”第9、10题。

先满足全部条件，再寻找最合适的答案。