厦门高二数学10月月考对比：一双外、二中六中、同安一中集美，难度差在哪？

大家好，我是厦门数学陈老师，专注厦门高中数学教学。平时结合厦门各校月考、质检与高考真题，分享学习方法、失分点与提分思路。

前几天我发表了一篇高一10月月考对比的文章，不少家长给我留言想要看高二10月的月考对比

这次，我把厦门一中、双十、外国语、二中、六中、同安一中、集美的七份高二数学试卷放在一起看了一遍

和高一那次相比，这次有个地方更需要先说清楚：各校试卷覆盖的内容，已经有差别了

双十明确考到了椭圆，一中有较多直线与圆的综合题，二中、六中、集美则更集中在空间向量、立体几何和直线。同安一中还安排了解三角形的题。

孩子如果某一部分还没学到，拿来做不出来，不能直接归为能力跟不上。

所以下面按一中、双十、外国语；二中、六中；同安一中、集美三组展开。我会重点比较同一类知识怎样增加难度，也看看各卷有辨识度的题。

分组是为了方便讨论。本文依据所提供题面作教学分析，没有各校均分、排名和逐题得分率，不做跨校分数换算，也不据此给学生水平排座次。

01. 一中、双十、外国语：算一个结果以后，还要能继续研究

看这一组，我比较在意后段题怎样追问。

一中第18题，是一个底面为正方形的空间图形。

前面先证明两条直线垂直，再求两个平面的夹角，最后让点M在线段PQ上运动，研究直线EF与平面ACM所成角的正弦值什么时候最大。

图注：从固定位置下求角，到研究动点造成的角度变化。

前两问做完，最后一问未必能顺着算下去。因为M一动，平面ACM也跟着变。学生得把动点表示出来，再把角度写成能研究的数量关系，最后处理最大值。

这就超过了"找两个向量，代入公式"的要求。

第19题又把场景换到圆上。先根据弦长求直线，再研究两个三角形面积比的最大值，最后探究是否存在一个定点，使两段距离的乘积保持不变。

我觉得，一中这两道题放在一起，能提醒孩子一件事：算出当前这个位置的结果，只完成了部分任务。题目继续问"什么时候最大""有没有定点"，还需要往下组织思路。

双十这份卷子，知识范围上的差异更明显。

从第1题的椭圆焦距，到第18题把椭圆与三角形重心、面积定值联系起来，都需要相应的学习基础。其他学校的孩子选这份卷子练习，要先确认进度。

而且，综合要求并没有全部留到最后。第8题就把椭圆的切线、圆的切线与三角形面积最值放在一起了。

最后的第19题，则是光线在直线y=x与x轴之间交替反射。

图注：从一次具体反射，走到整个反射过程的判断。

题目先给出一条具体的初始光线，再研究反射前后斜率的关系，最后追问：反射点能不能有无穷多个？如果不能，最多有几个？

这里我会特别提醒学生：直线方程算出来以后，还得检查光线是不是朝着下一次反射的位置走。

两条直线有交点，不等于沿当前方向传播的光线一定能到达那里。

这种题很能看出孩子是不是只顾着算，还是一直在理解题目描述的过程。

外国语的末题，又用了另一种方式增加要求。

第19题给出多面体顶点"曲率"的定义：2π减去该顶点处各面角之和，然后利用曲率条件，继续研究平面垂直，以及是否存在满足垂直条件的点。

图注：把新定义翻译成角度关系，再接回熟悉的立体几何。

家长看到"曲率"，不必马上理解成提前学了很深的内容。按题目给出的定义，这里首先要做的，是把曲率转成几个角的和，再结合等边三角形、直角梯形这些已知条件，找到新的垂直关系。

这一步做好，后面才能继续证明和计算。

我看这一组所举的综合题，会把难点概括为：在基本计算以外，继续研究变化、判断过程、转换条件。它们对孩子独立推进问题的要求比较突出。常规方法分别会，还得能把它们接起来。

02. 二中、六中：方法线索更容易辨认，但完整做完并不轻松

二中和六中的一些大题，能比较清楚地对应到空间向量、点到平面距离、线面角等常规方法。对学生来说，找到起点的线索相对明确。但往后做，照样会遇到门槛。

比如二中第18题，先证明线面垂直，再求点到平面的距离，最后在线段上找一个点，使指定二面角的正切值达到给定数值。

这类题很适合检查：孩子是只会算固定图形，还是已经能把动点位置设成参数，再根据角度条件反求位置？

第19题，则介绍了空间直线的标准方程和平面的点法式方程。

图注：从理解方程表示，到反求满足条件的平面。

第一问可以照着给出的形式写方程；第二问需要从两个平面的交线中找到直线方向；第三问再结合交线和夹角，反求平面方程。

我觉得，这道题的梯度很清楚：先会使用，再理解其中的方向关系，最后把几个条件放到一起。

如果孩子第一问会，后两问停住，复习就要检查他是否真正理解了方向向量、法向量分别代表什么。

六中第18题，是正四棱台中的证明、距离和存在性问题。

图注：证明平行、计算距离，再根据线面角寻找动点。

前两问围绕一个确定的平面展开，第三问则在线段上寻找点M，使一条直线与这个平面的夹角为45°。

设出M的位置、写出方向向量以后，还得检查解是否在线段允许的范围内。

有些孩子算出一个参数就结束了。其实，"有没有这样的点"，最后必须回到图形和范围作判断。

六中的最后一道也值得看。它在人脸识别的情境下，介绍欧几里得距离、曼哈顿距离和余弦距离，再研究最值及不同距离下最小值的关系。

这说明，二中、六中也在考查读懂新规则后的应用能力，不能把这一组概括为"只考常规题"。

如果和前一组所举题目比较，我会说：这里有一批起点和方法线索较明确的题，更适合用来检查常规工具是否掌握完整；但最后的条件组合、新定义和存在性研究，仍然需要独立思考。

03. 同安一中、集美：不能因为分在后一组，就低估综合题

这两份卷子看完，我最想提醒的是：别根据学校分组，提前给题目下结论。

同安一中第18题，把三条含参数直线组成的三角形放在一起，研究对称点、中线长的最小值和面积范围。

这里要把交点坐标、参数取值、长度与面积联系起来。会求两条直线的交点，还只是开头。

第19题则在斜三棱柱中，先证明线面垂直，再求平面夹角，最后放入两个等体积、相切的球，每个球还分别与一个底面及三个侧面相切。

图注：从线面关系，推进到两个球的相切约束。

到最后，学生得把球与各个面的相切条件组织起来，再联系三棱柱的空间尺寸。这和常见的"建系求一个角"，已经有明显区别。

集美的末题，同样是逐步增加要求。

第19题先由两个侧面分别垂直于底面，证明PA垂直于底面；接着利用夹角条件研究截面中的点，求三棱锥体积；最后让H在一个平面上变化，求GF与平面HAD所成角的正弦值范围。

图注：从证明垂直、求体积，走到变化平面下的角度范围。

固定位置下求角，和一个平面变化时求角度范围，是两种不同的要求。学生不仅要算，还得想清楚哪些位置能取到、边界能不能达到。

所以，同安一中、集美这一组，并不适合被写成一个固定的"较低难度档"。它们的综合题，同样给基础较好的学生提出了继续往上走的要求。

04. 真正值得比较的，是同一个知识点，各校问到了哪一步

七份卷子放在一起，我觉得比"哪校压轴最难"更有用的，是按同一条知识线来对照。

比如，都是空间里的角。

六中第15题先求两个已知向量夹角的余弦值；二中第18题、六中第18题进一步根据角度条件寻找动点；一中第18题又要求研究角度的最大值；集美第19题则把问题推进到变化平面下的角度范围。

这些可以作为一条复习顺序，但不能据此排出四份整卷的难度名次。

从会用公式，到会表示动点，再到处理最值和范围，每一步都增加了要求。

再看新定义，也有一个很直观的对照。

同安一中第8题和六中第19题，都引入了曼哈顿距离，也就是两个点在各坐标方向上的绝对差之和。

同安一中让学生根据新的距离条件确定动点轨迹，再研究它与一条直线之间的普通距离；六中则进一步把几种距离放在一起比较。

图注：同样的新概念，后续任务可以很不一样。

名字相同，题目要求完成的任务不同。把陌生词读懂，只完成了第一步。

这也是我对这次试卷难度差别的看法：既有考试范围上的区别，也有同一知识内部，条件组合和研究深度上的区别。

具体到孩子，应该看他从哪一步开始失去独立完成的能力。

05. 差距会不会扩大？高二更应该检查自己的练习停在哪里

只凭这次月考，我不能说哪两所学校之间的差距正在扩大。

但如果一个孩子长期停在固定图形、固定步骤的练习里，另一个孩子已经持续训练动点、范围、最值和新条件转换，独立处理综合题的能力确实可能逐渐拉开。

高二尤其值得注意。很多题前面的计算并不陌生，难的是后面还要继续安排过程。

我的建议，还是可以练其他学校的卷子，但先对齐范围，再按自己的情况选题。

基础还不稳的，先把常规题做准。

方向向量、法向量、数量积、点到直线和平面的距离，要知道各自在解决什么问题。直线斜率不存在、截距为零这些特殊情况，也要专门检查。

比如外国语第12题、六中第6题、同安一中第4题，都涉及截距条件。只记得截距式，却忘记检查过原点的情况，就可能漏解。平时别把这类错误一直归成"粗心"。反复出现，就说明方法还没有学完整。

常规题能做，动点一来就卡的，重点练"把位置表示出来"。

可以选二中第18题、六中第18题，先写清参数表示哪个点、允许取什么范围，再把角度条件转成方程。

算完以后，回到题目检查：点在线段上吗？角度符合要求吗？有没有在变形中引入不合条件的结果？这些完成以后，再练一中第18题这样的最值问题。

基础和常规综合都比较稳的，就要增加对整个过程的判断。

双十的光线反射、一中的圆中定点问题、外国语的新定义、同安一中的双球相切、集美的角度范围，都可以按学习进度选练。

练习时，我建议先独立写出自己能走到的地方，再看提示。看完以后，把后面的过程补完整，隔几天再做一次。

尤其要留下一句具体的订正：我漏了哪个条件？我为什么没有想到把它转成这个关系？高二还有时间把这些补起来。但每次订正都得落实到能自己完成。

家长也不必只问孩子这次考了多少，可以多聊一句：哪些题现在能独立做，哪些题还需要老师提醒第一步？，这也是我之前文章中提到的观点

这个问题问具体了，接下来补什么、练什么，才有方向。

我是数学陈老师，目前在厦门岛内工作室开展高中数学小组教学，专注厦门高中数学，尤其关注基础不够扎实、对数学有畏难情绪，以及暂时跟不上学校进度的学生，帮助他们补足基础、理清思路，逐步跟上学习节奏。

另外也跟大家说明一下，这个公众号一直都是由我本人独立运营的，目前我也是以个人独立教师的身份开展教学，并不是培训机构，可能之前的部分介绍让一些家长产生了误解，这里也简单澄清一下哈😊

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本文是我基于所提供试卷作出的教学分析，不代表学校官方评价或统计结果。