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《10个必须从小学就开始培养的数学意识》之语言意识
《10个必须从小学就开始培养的数学意识》之语言意识在数学学习的过程中，你是否常常感到“心里明明理解题意但就是不知从何处下手，列不出式子”，考试时考题都会但总是考不出好成绩。这是数学学习中普遍存在的问题，但这不是智商问题，而是思维意识问题，总是以为学数学学的是计算，学的是逻辑推理或者定理公式，忽略数学语言，特别是表达能力的学习。实际上，数学是一门全世界通用语言，对“1+1=2”全世界学过数学的小朋友都能看懂，数学中的符号也是全世界通用的，例如用‘π’表示圆周率。学数学就像学外语，光听得懂是没有用的，学数学首先是学如何“看得懂”，然后是如何“讲得出、写的对”。 在自然科学领域中，有突出贡献的科学家基本都是语言表达的高手。例如麦克斯韦方程组用极致凝练的数学语言，预言了电磁波的存在；再例如理查德·费曼用极简的图示语言精准描述粒子间的相互作用，大幅简化了量子场论的计算表达。 一句话，数学是人类为追求精确描述世界而构建的最成功的形式化语言。 “0不能做除数”只用6个字，就把所有除数为0的除法算式没有意义的情况全部覆盖；类似的，“分母不能为0”，六个字就把所有有意义的分数讲清楚了。 “三角形内角和等于180°”，一句话就把全世界所有三角形的这个共同属性全部说清，没有任何例外，不管是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，不管三角形画得大还是小，任何三角形的三个内角加起来的和一定是180°。 学习数学的过程我们会不断遇到这种美妙而简洁的语言：“两点确定一条直线”、“两点之间线段最短”等。 还有著名的欧拉恒等式： 
它极简地把数学中5个最核心的常量——自然对数的底e（也称为自然常数，是一个无理数）、圆周率π、虚数单位i（注：i^2=-1）、自然数的单位1、数学中代表“无”的0——完美联系在了一起，没有任何冗余符号，被数学家评价为“上帝创造的公式”。 平时有人问路，常见说法：“向前开（走）一个会儿，看到教堂向右拐”，导航软件往往采用数学语言指路：“沿当前道路向北行驶550米，在第二个红绿灯右拐。” 掌握了数学语言的严谨性，我们就可以看到日常交流的自然语言存在很多错误或陷阱。 去掉“平均”两个字，分法就有好多种，譬如可以1人分3个，另一人分1个，每人分到的数量不一定相等，“平均”两个字限定了苹果分发的方法，避免了歧义。 要保持商不变，首先要确保被除数和除数同时乘的是“同一个”数；同时除法中有一个限制，那就是除数不能为0，如果同时乘0，除数就变成0，除法就没有意义了，加这个限定才能堵上了逻辑漏洞。 因为在空间几何里，如果两条直线不在同一个平面内可以既不相交也不平行，想一想我们城市的高架路和地面路之间是不是存在很多这样的关系？ 很多学生在课堂上都能够理解，课本也能够看懂，轮到自己动手做题总是感觉到无从下手，这不是智力问题，重点是日常没有注重训练自己的数学表达能力。 例如：一件衣服先涨价10%，再打九折，请判断现价比原价贵还是便宜？ 看到这道题目，很多同学可能会出现“心里明白，但不知道如何下手”，但如果告诉你原价是100元，那么“先涨价10%，再打九折”，你可能很快列出下列算式： 100元涨价10%之后为：100元×(1+10%) = 110元 110元打九折之后为：110元×0.9 = 99元 比原来便宜了1元 但这100元只是我们给的特例，如果原价是1000元是否还成立呢？在没有推理或计算之前我们不敢贸然给出答案，但如何做才能断定，无论原价是多少，我们都能得出“现价比原价便宜”的结论呢？ 那么掌握了数学的符号语言，我们就可以这样做：假定衣服的原价为a元(a>0)，a此时就代表了一个大于0的任意数字（因为衣服价格不能为0或负数，），它可以是100，也可以1000，也可以是其它正实数值，于是我们利用a列出算式产生的结论就具有普适性了。 因此正确的解法是： a是一个可以表示价格的任意正实数，因此无论衣服原价是多少，上述结论都是正确的 做题的关键：首先利用数学语言对题目进行翻译解读，将问题转化为数学表达式，然后按照数学规则进行计算或推理，最终得出普适的结论。 要掌握数学这门语言，在日常的数学学习中必须注意以下三点： 结束语：心里想的是'故事'，写在纸上的才是“数学”。 学数学就像学说话。小时候你先听懂大人说什么（理解），然后你学着自己说（表达）。数学也一样，从故事到数学，中间差的就是“表达”。开始是先看老师如何表达，看书本上的定义、公理、定理、例题怎么表达，然后自己模仿着表达，慢慢地独立地创造性地去表达。 从今天开始，做数学题的时候，别光在脑子里想，试着把每一步都“说出来”、“写清楚”。做每道题都试着问自己：“我能不能把这一步，讲给不懂的人听？”， 讲得清楚，你就真会了。 
1. 数学语言的简洁美
2. 数学语言的严谨美
日常错误表达：“把4个苹果分给2个小朋友，每人一定分到2个” 严谨数学表述：“把4个苹果平均分给2个小朋友，每人一定分到2个”
日常错误说法：“被除数和除数同时乘一个数，商不变” 严谨数学表述：“被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变”
日常错误说法：“不相交的两条直线就是平行线” 严谨数学表述：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”
3. 数学语言的表达能力
设原价为a元 (a>0) 涨价后： a×（1 + 10%）= 1.1a元 再打九折后： 1.1a× 0.9 = 0.99a元，（注‘再’字表明后面打九折的基数是涨价后的价格） 因为：原价-现价=a-0.99a 0.01a（元）> 0
所以：现价比原价便宜。
4. 数学语言该如何学习
首先要知道数学语言的构成要素，并在日常数学学习中注重这些构成要素的积累（例如数学词汇、符号、概念和定义、图、表等），准确掌握数学要素（如数学词汇）之间的差异； 强化训练数学语言的理解能力，能够把生活语言以及自然语言描述的数学问题精准翻译成数学表达式、几何图形、图、表等数学语言的形式，同时基于概念的精准理解识别出数学题目中的语言陷阱； 最重要的一点是掌握数学语言的表达能力，包括：
符号操控能力：能“流畅书写“，不仅懂每个数学符号的含义，而且要能够选择最合适的符号进行表达； 逻辑组织能力：知道“先说什么，后说什么“，有清晰的过程表达能力； 工具或模式选择能力：掌握并灵活运用数学各类表达工具，包括代数式（含分式、根式）、图形（含数轴或坐标轴）、方程式、以及文字描述（使用正确数学术语）； 口头表述能力：能说清楚“为什么”，比算出答案更重要，讲不清楚就很容易自以为懂了，解题错误的概率就非常高； 检验与修正能力——写完能“自己检查”，能清楚说出每一步的依据，并能够进行清晰的口头表述；
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