【即将开赛】2026数竞考纲复盘及核心知识点梳理|赛前务必自查

A 类考察内容完整；B 类不考三重积分、曲线曲面积分、高斯 / 斯托克斯公式、傅里叶级数、高阶线性常系数微分方程完整内容、微分方程组，部分知识点仅要求了解。

1. 函数

   定义域求解；四大性质（有界、单调、奇偶、周期）；复合 / 反函数；双曲函数；分段函数。

2. 极限核心

• 概念：左右极限；ε‑N/ε‑δ 理解；极限保号性、唯一性。
• 计算手段：等价无穷小替换、两个重要极限、洛必达法则、泰勒麦克劳林展开（处理加减抵消、高阶无穷小）、夹逼准则、单调有界准则（递推数列极限）、定积分定义求 n 项和极限、中值定理。
• 七种未定式转化；已知极限反求参数是高频题型。

4. 渐近线

   ：水平、垂直、斜渐近线求解。

5. 连续与间断

   ：间断点分类（第一类：可去、跳跃；第二类：无穷、振荡）；闭区间连续函数四大定理：有界、最值、介值、零点定理（证明题常考）。

1. 导数与微分

• 导数定义式（增量极限），左右导数判断可导；可导必连续，连续不一定可导。
• 求导：四则运算、复合链式法则；隐函数、对数求导、参数方程一二阶导数；高阶导数、莱布尼茨公式，熟记常见函数 n 阶导数。
• 微分定义、一阶微分形式不变性。

3. 中值定理 & 泰勒公式（证明题重中之重）

• 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；掌握条件与结论，会构造辅助函数。
• 泰勒公式：皮亚诺余项（求极限）、拉格朗日余项（不等式证明）；熟记 6 个基础麦克劳林展开式。

5. 导数应用

• 单调性、极值（第一 / 第二充分条件）、闭区间最值、实际优化问题。
• 凹凸性、拐点；曲率（A 类要求计算，B 类了解）；相关变化率。

1. 不定积分

   ：凑微分、第二类换元（三角、根式、倒代换）、分部积分；有理函数、三角有理式、简单无理函数积分。

2. 定积分

• 性质、积分中值定理；变限积分求导（复合上下限重点）；牛顿‑莱布尼茨公式。
• 计算：换元（换限）、分部；奇偶 / 周期函数对称区间积分；华里士公式、区间再现公式。

4. 反常积分

   ：无穷限、瑕积分；p‑积分敛散结论；比较判别、极限判别。

5. 定积分应用

• 几何：面积（直角、参数、极坐标）；旋转体体积（圆盘、柱壳法）；平面曲线弧长、旋转曲面面积。
• 物理：变力做功、液体侧压力、质心、引力；B 类增加经济应用（边际函数）。

1. 向量：点积（垂直）、叉积（平行，A 要求计算，B 了解）、混合积（A 考体积共面，B 了解）。
2. 平面：点法式、一般式；点到平面距离，平面垂直平行。
3. 直线：对称式、参数式；线面夹角、异面直线距离（A 考，B 了解）、平面束。
4. 曲面：球面、柱面、旋转曲面；五大二次曲面；空间曲线、投影柱面与投影曲线（A 考，B 要求降低）。

1. 二重极限与连续：区分二重极限与累次极限；有界闭区域连续函数性质。
2. 偏导数、高阶混合偏导；全微分，连续、偏导存在、可微三者逻辑关系（选择题高频）。
3. 复合函数链式法则（抽象复合函数求一二阶偏导是必考题）；隐函数 / 隐函数组求导，雅可比行列式。
4. 方向导数、梯度：梯度方向方向导数最大。
5. 极值：无条件极值判别 \(AC-B^2\)；拉格朗日乘数法（条件极值）；闭区域上多元函数最值。
6. 几何应用：空间曲线切线法平面、曲面切平面法线（A 考）。

1. 二重积分

   ：直角坐标 X/Y 型、交换积分次序；极坐标；变量代换雅可比；几何物理应用（体积、质量、质心）。

2. 三重积分（仅 A）

   ：先一后二、先二后一；柱坐标、球坐标；物理应用。

3. 曲线积分（仅 A）

   ：第一类对弧长；第二类对坐标；格林公式、积分与路径无关、求原函数。

4. 曲面积分（仅 A）

   ：第一类对面积；第二类对坐标；高斯公式（通量散度）、斯托克斯公式（环流量旋度）。

1. 常数项级数：收敛定义（部分和）；收敛必要条件；几何级数、调和级数、p 级数敛散。
2. 正项级数：比较判别、比值、根值、积分判别。
3. 交错级数：莱布尼茨判别；绝对收敛、条件收敛（选择题高频）。
4. 幂级数：阿贝尔定理；收敛半径、收敛区间、收敛域；逐项求导积分；间接展开幂级数；幂级数求和函数，求常数项级数的和（大题高频）。
5. 傅里叶级数（仅 A 类）：狄利克雷收敛定理，奇延拓偶延拓，周期 2π、2l 傅里叶级数。

1. 一阶方程：可分离变量、齐次方程、一阶线性微分方程（通解公式）；伯努利、全微分方程与积分因子。
2. 可降阶高阶方程：\(y''=f(x),y''=f(x,y'),y''=f(y,y')\)（A 熟练，B 了解）。

3. 高阶线性微分方程（仅 A 重点）

   ：解的结构；常系数齐次（特征方程：单根、重根、复根）；非齐次待定系数法；欧拉方程（了解）。
4. 微分方程组（仅 A 了解）。