夜雨聆风【题目】如图所示，球心为 O、半径为 R 的半球体固定于水平地面，质量为 m 的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为 O’的小圆的直径，压力大小均为 N 且不超过3/5mg (g 为重力加速度大小)。手与球面间动摩擦因数为 √3/3，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设 OO’长为 h，则( )
A.h=R/2 时，演员保持平衡状态，N 大小可能为 3/5 mg
B.h=R/2 时，演员可以通过增大 N 往上移动
C.h<√3R/4 时，演员不可能保持平衡状态
D.演员要保持平衡状态，N 的最小值为 √3/4 mg
【答案】AD
【解析】设球心 O 到单侧手的作用点连线与竖直轴 OO’的夹角为 θ，由几何关系得 cosθ=h/R，sinθ=√(R² - h²)/R。演员受力平衡：水平分量抵消，竖直方向两个手的支持力和摩擦力的竖直分量平衡重力，整理得 2(Ncosθ + f sinθ) =mg。最大静摩擦力满足 f≤ f_m=μN。当静摩擦力取最大值时，联立可得 N = mg / [2(cosθ + (√3/3) sinθ)]。h= R/2 时，代入数据解得 N_min= mg/2，由于 N ≤ 3mg/5，可知 N 的范围为 mg/2 ≤ N ≤ 3mg/5，N 大小可能为 3mg/5，选项A正确。根据题目分析可知 h=R/2 时，演员可以处于平衡状态，在保持平衡状态的前提下，当N增大时，静摩擦力变小，合力始终不变，能否上升与N无关，选项B错误。根据平衡条件，当 N=3mg/5 时，解得平衡临界 h = 0.28R<√3R/4，选项C错误。根据 N=mg / [2(cosθ + (√3/3) sinθ)]，结合辅助角公式可得 N=mg / [ (4√3/3) sin(θ+60°) ]，可得 N 的最小值为 √3/4 mg，选项D正确。
【试题情境】
本题以杂技演员倒立于半球体上的经典平衡问题为背景，采用文字+示意图形式创设“生活实践类”学习探索情境。情境素材来源于生活中常见的杂技表演与力学平衡模型，属于模型类命题情境。试题情境与共点力平衡、摩擦力、几何关系等知识深度融合，属于情境嵌入型。题目信息直白，已知量明确，但需要学生将演员双手支撑的立体结构抽象为平面受力模型，并利用几何关系建立方程，属于较复杂情境，突出应用性与综合性。
【必备知识】
本题考查必修1中II级考点：共点力平衡、滑动摩擦力与最大静摩擦力、受力分析；必修2中I级考点：几何关系应用。共点力平衡条件、摩擦力公式、力的合成与分解属于陈述性知识；将立体结构抽象为平面受力图、建立几何关系与平衡方程属于程序性知识；利用辅助角公式求极值、借助临界条件判断平衡可能性属于策略性知识。
【课标要求】
必修1：1.2.3 理解牛顿运动定律，能用牛顿运动定律解释生产生活中的有关现象。
必修1：1.2.2 通过实验，认识共点力平衡的条件，并应用于生产生活。
必修1：1.2.1 通过实验，认识滑动摩擦力，知道滑动摩擦力的大小与压力大小和接触面的粗糙程度有关。
【素养等级】
(1)本题考查物理观念中的运动与相互作用观念，能在杂技表演的复杂受力情境中，准确分析演员的受力情况，理解摩擦力与支持力的关系，达到学业质量水平3要求。
(2)本题考查科学思维中的模型建构与科学推理，能将实际的三维受力问题抽象为二维平面模型，并利用数学工具（几何关系、辅助角公式）进行逻辑推理和定量计算，达到学业质量水平3要求。
【能力要求】
本题着重考查模型建构能力、信息加工能力、逻辑推理能力、数学运算能力。
(1)模型建构能力：将演员双手支撑的半球体结构，抽象为作用于两个对称点的支持力与摩擦力，并建立平面受力分析模型。
(2)信息加工能力：从题干中提取“压力大小均为N且不超过3/5mg”、“动摩擦因数√3/3”、“OO’长为h”等关键条件，并将其转化为物理参量。
(3)逻辑推理能力：能根据平衡条件推导N的表达式，并利用临界条件（最大静摩擦力）判断演员能否保持平衡。
(4)数学运算能力：能利用几何关系（cosθ = h/R）和辅助角公式求极值，进行代数运算。
【问题复杂性分析】
【试题难度】
【命题综述】
【基于高考评价体系的多维命题细目表】
【拓展延伸】
拓展1：若演员双手与球面间的动摩擦因数变为 μ = 0.5，则 h = R/2 时，演员保持平衡所需 N 的范围是多少？N 的最小值是否发生变化？
解析：当 μ = 0.5 时，临界条件下 N 的表达式变为 N = mg / [2(cosθ + 0.5 sinθ)]。代入 h = R/2，得 cosθ = 0.5，sinθ = √3/2，则 N_min = mg / [2(0.5 + 0.5×√3/2)] ≈ 0.536mg。N 的上限仍为 3mg/5 = 0.6mg，因此 N 的范围变为 0.536mg ≤ N ≤ 0.6mg。N 的最小值可通过辅助角公式重新计算，由于 μ 变化，N_min 值会改变。
拓展2：本题中，若演员双手间距离（即小圆直径）不是固定值，而是随 h 变化，请分析 h 增大时，演员保持平衡的难度如何变化？
解析：h 增大，则 cosθ = h/R 增大，sinθ 减小。由 N = mg / [2(cosθ + μ sinθ)] 可知，分母增大，N_min 减小，演员更容易满足 N ≤ 3mg/5 的条件。但同时，h 增大意味着双手更靠近半球顶部，支撑更稳定，但操作空间变小。因此，h 增大在力学上降低了平衡难度，但实际表演中可能受限于身体姿态。 拓展3：若将半球体换为内表面光滑的半球形碗，演员在碗内做类似动作，平衡条件有何不同？
解析：若碗内表面光滑，则摩擦力为零，演员无法通过摩擦力平衡重力。此时，演员只能依靠支持力竖直方向的分量平衡重力，即 2Ncosθ = mg。由于 N 有上限，因此只有当 cosθ ≥ mg/(2N_max) 时，演员才能保持平衡，即 h 必须足够大。相比粗糙表面，光滑碗内演员的平衡条件更苛刻，且无法通过增大 N 来弥补摩擦力不足。
