文档内容
行程-基础行程-相遇问题基本知识-4
星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
相遇问题基本知识 B 1.了解相遇问题的特征 少考
2.掌握相遇问题的关键点
3.利用公式灵活解决相遇问题
知识提要
相遇问题基本知识
相遇问题的特征
两个运动物体在一条直线上运动，行进的方向可能是相同，也可能相反。当它们行进方向
相反时，如果它们面对面地接近，我们就称为“相向而行”；如果是背对背的远离，我们
就称为“相背而行”。两个物体之间的相遇既可以是“相向而行”也可以是“相背而行”，
其中“相向而行”的相遇问题更常见一些。
例：甲从
A地到
B地，乙从
B地到
A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了
A，
B之间这段路程，如果两人同时出发，那么 相遇问题的主基本数量关系（相遇问题必须紧紧抓住“速度和”和“路程和”这两个关键
条件。）
速度和 × 相遇时间=路程和
路程和 ÷ 速度和=相遇时间
路程和 ÷ 相遇时间=速度和
注意：在使用上述公式的时候，两个运动物体必须同时进行。如果整个相遇过程中并不是
同时进行的，这个公式就不能直接应用了，需要分段考虑。
多人相遇问题
即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇问题．
所有行程问题都是围绕“路程=速度 × 时间”这一条基本关系式展开的，相遇问题的本质
也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下关系式：
路程和=速度和 × 相遇时间
多人相遇问题虽然较复杂，但只要抓住这条公式，逐步分析题目中所涉及的数量，问题即
可迎刃而解
精选例题
相遇问题基本知识
1. 某城市早 7:00 到 8:00 是高峰时段，所有车辆的行驶速度变为原来的一半．每天早上
6:50，甲、乙两人从这城市的 A、B 两地同时出发，相向而行，在距离 A 地 24 千米的
地方相遇．如果乙早出发 20 分钟，两人将在距离 A 地 20 千米的地方相遇；如果甲晚出
发 20 分钟，两人恰好在 AB 中点相遇．那么，AB 两地相距 千米．
【答案】 42
【分析】 列方程组求解，设 AB 两地相距 x 千米，甲乙两车的速度分别是 a 和 b，
根据三个过程可以列出如下方程组：
a
{(x-10a-10b)× +10a=24
a+b
a
(x-10a-30b)× +10a=20
a+b
1 a 1
(x-10b-10× b)× = x
2 a+b 2
根据这个方程组可以解出x=42
{
7
a=
15
7
b=
20
所以 AB 两地相距 42 千米．
2. 甲，乙而人分到从 A，B 两地同时出发，相向而行，甲到达 AB 中点 C 时，乙距 C
点还有 240 米，乙到达 C 点时，甲已经经过 C 点 360 米，则两人在 D 点相遇时，CD
的距离是 米．
【答案】 144
【分析】 由题意知相同时间内，乙走 240 米，甲走 360 米，即乙走 2 米，甲走
3 米，当甲从 C 点出发，乙从距 C 点米 240 处出发，相遇时甲走
240÷(2+3)×3=144米,
即 CD=144．
3. 甲、乙两人在如图所示的跑道上练习跑步，都从 A 点同时出发，甲在 A、E 之间做折返
跑（转身时间不计），乙则沿着正方形 ABCD 顺时针跑步．已知 AB＝BE＝100 米，且
两人的速度都在每秒 3 米到每秒 8 米之间．如果两人出发 2 分钟后第一次相遇，之后隔了
15 秒第二次相遇，问此时距离 A 多远？
【答案】 75 米．
【分析】 很明显第一次相遇地点不在 B 点，否则乙至少需要 3×100÷8=37.5 秒
后才能再次出现在 BA 这段跑道上，才可能发生第二次相遇，这与 15 秒后两人第二次相遇
矛盾．同理，若乙跑得快，第一次相遇地点也不在 A 点．
若乙跑得慢，且第一次相遇地点在 A 点，由于甲至少需要跑完 AE+EB=300 米才能再次
回到 BA 这段道上，才可能发生第二次相遇，很明显也超过 15 秒，排除．
假设相遇地点在 B、A 之间的 F 点，那么相遇时甲、乙两人运动的方向有如下两种情况，
即甲、乙同向或反向．很明显在情况 1 中，若乙跑得快，乙至少还要跑 (BF+300) 米才可能和甲再次相遇，超过
15 秒，排除；若乙跑得慢，甲至少还要跑 (BF+200) 米才可能和乙再次相遇，超过 15 秒，
排除．
在情况 2 中，若乙跑得快，乙至少还要跑 (BF+300) 米才可能和甲再次相遇，超过 15 秒，
排除；若乙跑得慢，则甲 15 秒比乙多跑 2FA，那么 FA 最多长 15×(8-3)÷2=37.5 米，
同时要注意保证 15 秒乙不能跑完 BF．根据“两人出发 2 分钟后第一次相遇”和“两人跑
步的速度都在每秒 3 米和每秒 8 米之间”，那么乙用 120 秒跑了 (400+FA) 米或
(800+FA) 米，
甲用 120 秒跑了 (400-FA) 或 (800-FA) 米．因为乙跑得慢，所以乙用 120 秒跑了
(400+FA) 米，甲用 120 秒跑了 (800-FA) 米．
利用两人的速度差为等量关系，列出方程：
1 2FA
×[(800-FA)-(400+FA)]= .
120 15
200 1 ( 200) 25
解得 FA= 米，乙 15 秒跑了 × 400+ ×15=50+ 米，第二次相遇处距
9 120 9 9
200 25
离 A： +50+ =75 米．
9 9
4. 在 A、B 之间有一段笔直的公路，在其中两个三等分点处各有一棵树．早上 9:30 时有
一辆汽车从 A 出发，以固定的速度沿公路行使，于当天上午 10:00 到达 B．一辆摩托车在
当天早上 9:25 从 B 出发，以变化的速度开往 A 地．摩托车手记得他和汽车在某棵树处相
遇，但记不清是哪棵树了，他只知道以摩托车的最快速度从 B 到 A 恰好要 15 分钟．如果
摩托车手能够根据上述信息推断出自己是在哪棵树遇到汽车的，那么摩托车最晚什么时间之前
到达 A 地？
【答案】 10:00
【分析】 汽车 9:30 从 A 点出发，9:40 到达第一棵树，9:50 到达第二棵树．
若摩托车与汽车在第一棵树相遇，相遇时间是 9:40，摩托车从相遇点走到 A 点至少需要 5
分钟，最早在 9:45 到达 A 地；若摩托车与汽车在第二棵树相遇，相遇时间是 9:50，摩托车从相遇点走到 A 点至少需要
10 分钟，最早在 10:00 到达 A 地；
因此若摩托车在 10:00 之前到达 A 地，就能断定他是在第一棵树处遇到汽车的，否则就无
法判断了．
5. 一个圆的圆周长为 1.26 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行．这两
只蚂蚁每秒钟分别爬行 5.5 厘米和 3.5 厘米，在运动过程中它们不断地调头．如果把出发算
作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是 1 秒、3 秒、5 秒、⋯⋯，即是一个
由连续奇数组成的数列．问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？
【答案】 49
【分析】 （法一）找路程规律．通过处理，找出每次爬行缩小的距离关系规律．两只
蚂蚁相距 1.26÷2=0.63(米)=63(厘米)，相向爬行 1 秒距离缩小 5.5+3.5=9(厘米)．
如果不调头，需要 63÷9=7(秒) 相遇；
第 1 轮爬行 1 秒，假设向上半圆方向爬，距离缩小 9×1(厘米)；
第 2 轮爬行 3 秒，调头向下半圆方向爬，距离缩小 9×(3-1)=9×2(厘米)；
第 3 轮爬行 5 秒，调头向上半圆方向爬，距离缩小 9×(5-2)=9×3(厘米)；⋯⋯
每爬行 1 轮距离缩小 9×1(厘米)，所以爬行 7 轮后相遇，时间是
1+3+5+⋯+13=49(秒)．
（法二）对于这种不断改变前进方向的问题，可以先看简单的情况：
在一条直线上，如上面的图形，一只蚂蚁先从 O 点出发向右走，然后按照经过 1 秒、3 秒
⋯⋯ 改变方向．由于它的速度没有变化，可以认为蚂蚁每秒钟走一格．
第一次改变方向时，它到 A ，走 1 格，OA =1 格；
1 1
第二次改变方向时，它到 A ，走 3 格，OA =2 格；
2 2
第三次改变方向时，它到 A ，走 5 格，OA =3 格；
3 3
第四次改变方向时，它到 A ，走 7 格，OA =4 格；
4 4
第五次改变方向时，它到 A ，走 9 格，OA =5 格．
5 5
不难发现，小蚂蚁的活动范围在不断扩大，每次离 O 点都远了一格．当两只蚂蚁活动范围重
合时，也就是它们相遇的时候．另外从上面的分析可以知道，每一次改变方向时，两只蚂蚁都
在出发点的同一侧．这样，通过相遇问题，可以求出它们改变方向的次数，进而求出总时间．
由于每一次改变方向时，两只蚂蚁之间的距离都缩短 5.5+3.5=9(厘米)．
所以，到相遇时，它们已改变方向：1.26×100÷2÷9=7(次)，也就是在第 7 次要改变方
向时，两只蚂蚁相遇，用时：1+3+5+⋯+13=49(秒)．
6. 如图，A、B 是一条道路的两端点，甲在 A 点，乙在 B 点，两人同时出发，相向而行．
他们在离 A 点 100 米的 C 点第一次相遇．甲到达 B 点后返回 A 点，乙到达 A 点后返
回 B 点，两人在离 B 点 80 米的 D 点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持
不变．求 A、B 间的距离是多少米？【答案】 220．
【分析】 第一次相遇，甲和乙共走 1 个 AB 间的距离，第二次相遇甲和乙合走 3
个 AB 间的距离，所以，从开始到第二次相遇所花的时间，应该是从开始到第一次相遇所花
时间的三倍，对应的，甲从开始到第二次相遇走的路程，应该是甲从开始到第一次相遇走的路
程的 3 倍．从开始到第一次相遇，甲走了 100 米，从开始到第二次相遇走了 AB 间距离加
80 米，所以 AB 间的距离为
3×100-80=220(米).
7. 甲、乙两辆汽车从 A、B 两地同时相向开出，出发后 2 小时，两车相距 141 千米；出
发后 5 小时，两车相遇．A、B 两地相距多少千米？
【答案】 235．
【分析】 根据题意，如图所示：5 小时的相遇时间与 A、B 两地的距离相对应，
5-2=3（小时）的相遇时间与 141 千米相对应．两车的速度之和是：
141÷(5-2)=47(千米/时).
A、B 两地相距：
47×5=235(千米).8. 甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地出发相向而行，甲车先行 3 小时后乙车从 B 地出发，
乙车出发 5 小时后两车还相距 15 千米．甲车每小时行 48 千米，乙车每小时行 50 千米．
求 A、B 两地间相距多少千米？
【答案】 649．
【分析】 题目中写的“还”相距 15 千米指的就是最简单的情况．画线段图如下：
方法一：由图中可以看出，甲行驶了
3+5=8(时),
行驶距离为：
48×8=384(千米);
乙行驶了 5 小时，行驶距离为：
50×5=250(千米),
此时两车还相距 15 千米，所以 A、B 两地间相距：
384+250+15=649(千米).
方法二：也可以这样做：两车 5 小时一共行驶：
(48+50)×5=490(千米),
A、B 两地间相距：
490+48×3+15=649(千米),
所以，A、B 两地间相距 649 千米．
9. 在一次宴会上，一位客人给著名的数学大师、“计算机之父”冯·诺伊曼先生出了一个蜜蜂
问题：两列火车相距 100 英里，在同一轨道上相向行驶，速度都是每小时 50 英里．火车
A 的前端有一只蜜蜂以每小时 100 英里的速度飞向火车 B，遇到火车 B 以后．立即回头
以同样的速度飞向火车 A，遇到火车 A 后，又回头飞向火车 B，速度始终保持不变，如此
下去，直到两列火车相遇时才停止．假设蜜蜂回头转身的时间忽略不计，那么，这只蜜蜂一共
飞了多少英里的路？
【答案】 100
【分析】 因为两列火车相距 100 英里，以每小时 50 英里的速度相向而行．所以，
他们相遇时所经过的时间是 1 小时，而蜜蜂在这段时间内，不停地在两列火车之间往返飞行，
蜜蜂飞行的全部时间正好是两行火车相遇的时间，所以，蜜蜂在这 1 小时内，正好飞行了
100 英里．10. 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67.5 米，丙每分钟走 75 米，甲
乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇，
求东西两镇间的路程有多少米？
【答案】 5130
【分析】 那 2 分钟是甲和丙相遇，所以距离是 (60+75)×2=270 米，这距离是乙
丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间 =270÷(67.5-60)=36 分钟，所以路程
=36×(67.5+75)=5130 米．
11. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲车速度为 32 千米/时，乙车速度为
1 1
48 千米/时，它们到达 B 地和 A 地后，甲车速度提高 ，乙车速度减少 ，它们第一次
4 6
相遇地点与第二次相遇地点相距 74 千米，那么 A、B 之间的距离是多少千米？
【答案】 240
2
【分析】 由于出发时甲车速度为乙车速度的 ，即两车的速度比为 2:3，则第一次
3
相遇时，甲车行了全程的
2 2
= ,
2+3 5
2 2
即相遇点与 A 的距离为全程的 ，乙到达 A 点时，甲行了全程的 ，此时，乙车速度减
5 3
1 1 5
少 ，则乙的速度变为原来的 1- = ，甲乙速度比为：
6 6 6
( 5)
2: 3× =4:5,
6
2 1
甲行完余下的全程的 1- = 后，乙又行了全程的
3 3
1 5 5
× = ;
3 4 12
1
然后甲的速度提高 ，即变为
4
( 1)
4× 1+ =5,
4
5 7
则此时甲乙的速度比为 5:5=1:1，此时甲乙还相距：1- = ．则相遇时，乙又行了全程
12 12
7 7
的： ÷2= ，所以相遇地点距 A 地为全程的
12 24
5 7 17
+ = ,
12 24 2417 2 37
两次相遇点之间的距离为全程的： - = ，则全程为
24 5 120
37
74÷ =240(千米).
120
12. 小竹、小松两人从 A 地，小梅则从 B 地同时出发，相向而行．小竹的速度为每小时 55
千米，小梅的速度为每小时 45 千米．出发 4 小时后，小竹与小梅相遇．又过了 1 小时，
小松也与小梅相遇．A、B 两地相距多少千米？小松每小时走多少千米？
【答案】 400；35
【分析】 全程长：(55+45)×4=400 千米，小松与小梅用了 5 小时相遇，所以小
松的速度为：400÷5-45=35 千米/时．
13. 甲、乙两地之间有一座桥，小华上午 10 点 18 分从甲地出发，于下午 1 点 30 分到达
乙地，小伟从上午 9 点从乙地出发，于上午 11 点 40 分到达甲地，小华与小伟恰好同时到
达桥的两端（面对面），小华走完桥比小伟走完桥多用 1 分钟，那么他们同时到达桥的两端
的时间是什么时候？
【答案】 11:00
【分析】 小华小伟走完全程各用时 192 分钟、160 分钟，易得时间比为 6:5，因
为小华走完桥比小伟走完多用一分钟，那么显然过桥各用时 6 分钟、5 分钟．假设甲乙两地
1 1
全程长为单位 1，小华小伟速度分别为 、 ，又小伟早出发 1 小时 18 分，即比小
192 160
78
华早走距离为 ，那么从 10:18 至两人到达桥两端两人共走过的路程为
160
1 78
1- ×6- ，所用时间为
192 160
( 1 78 ) ( 1 1 )
1- ×6- ÷ + =42(分钟),
192 160 192 160
所以两人到达桥两端的时间为 11:00．
14. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，6 小时相遇；如果甲早出发 2 小时，
甲、乙相遇时，甲已经走过 A、B 的中点后还走了 144 千米；如果乙早出发 2 小时，甲、
乙相遇时，甲还差 48 千米才到 A、B 的中点；求甲、乙两人的速度差．
【答案】 16 千米/小时
【分析】 由于甲乙都是早出发 2 小时，所以把这两种情况合起来考虑，即这时甲乙
行驶的总路程是 A、B 两地距离的 2 倍，又因为甲乙共同行驶一个总路程需要 6 小时，那么共同行驶两个总路程需要 12 个小时，甲乙行驶的路程差是：(144-48)×2=192(千米)，
所以甲乙的速度差是：192÷12=16(千米/小时)．
15. 甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距 100 里，甲每小时走 6 里，乙每
小时走 4 里．如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时 10 里的速度向乙奔去，遇到乙
后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住．这只狗共跑了
多少千米？
【答案】 100
【分析】 只从狗本身考虑，光知道速度，无法确定跑的时间．但换个角度，狗在甲乙
之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同．由此便能求出答案．
狗一共跑了
100÷(6+4)=10(小时)
所以狗跑的距离为
10×10=100(千米).
16. 甲、乙两人同时从 A、B 两点出发，甲每分钟行 80 米，乙每分钟行 60 米，出发一段
时间后，两人在距中点的 C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7 分钟，两人将在距
中点的 D 处相遇，且中点距 C、D 距离相等，问 A、B 两点相距多少米？
【答案】 1680
【分析】 甲、乙两人速度比为 80:60=4:3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度
4 3
之比，相遇时甲走了全程的 ，乙走了全程的 ．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次
7 7
4 3
相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的 ，甲行了全程的 ．由于甲、乙速度比
7 7
3 3
为 4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了 × ，所以甲停留
7 4
4 3 3 1 1
期间乙行了 - × = ，所以 A、B 两点的距离为 60×7÷ =1680(米)．
7 7 4 4 4
17. 小新和阿呆各骑一辆自行车从相距 32 千米的两个地方沿直线相向而行，在他们同时出发
的那一瞬间，一辆自行车把上的一只小鸟开始向另一辆自行车径直飞去，它一到达另一辆自行
车的车把，就立即转向往回飞行，这只小鸟如此在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到小新
和阿呆相遇为止．如果小新每小时行驶 17 千米，阿呆每小时行驶 15 千米，小鸟每小时飞
行 24 千米，那么小鸟总共飞行了多少千米？
【答案】 24【分析】 由小鸟和两车同时开始飞行和同时停止，故小鸟飞行的时间和两车相遇的时
间相等，32÷(17+15)=1 小时．小鸟飞行的路程：24×1=24(千米)．
18. 甲、乙两地之间有一座桥，小华上午 10 点 18 分从甲地出发，于下午 1 点 30 分到达
乙地，小伟从上午 9 点从乙地出发，与上午 11 点 40 分到达甲地，小华与小伟恰好同时到
达桥的两端（面对面），小华走完桥比小伟走完桥多用 0.5 分钟，那么从小华出发到他们一
起在桥的两端共用时多少分钟？
4
【答案】 43
11
【分析】 小华小伟走完全程各用时 192 分钟、160 分钟，易得时间比为 6:5，因
为小华走完桥比小伟走完多用一分钟，那么显然过桥各用时 3 分钟、2.5 分钟．假设甲乙两
1 1
地全程长为单位 1，小华小伟速度分别为 、 ，又小伟早出发 1 小时 18 分，即比
192 160
78
小华早走距离为 ，那么从 10:18 至两人到达桥两端两人共走过的路程为
160
1 78
1- ×3- ，所用时间为
192 160
( 1 78 ) ( 1 1 ) 4
1- ×3- ÷ + =43 (分钟).
192 160 192 160 11
19. 老师教同学们做游戏：在一个周长为 114 米的圆形跑道上，两个同学从一条直径的两端
同时出发沿圆周开始跑，1 秒钟后他们都调头跑，再过 3 秒他们又调头跑，依次照 1、3、
5⋯⋯ 分别都调头而跑，每秒两人分别跑 5.5 米和 3.5 米，那么经过几秒，他们初次相遇？
1
【答案】 48
3
【分析】 可以知道，每跑 1 轮距离缩小 9×1 米，由于两个同学最开始相距 57 米，
小于 63 米，而又大于 54 米，63 米的时候是 7 轮后相遇，时间是
1+3+5+⋯+13=49(秒)．所以两人在第七次掉头后相遇，而且没有走完第七次掉头的 13
2
秒，相遇时比 13 秒少走了 (63-57)÷(5.5+3.5)= (秒)，所以他们初次相遇时经过了
3
2 1
49- =48 (秒).
3 3
20. 甲、乙两人同时 A 地出发，在 A、B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，
甲每次到达 A 地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 AB 之间行走方向不
会改变，已知两人第一次相遇的地点距离 B 地 1800 米，第三次的相遇点距离 B 地 800
米，那么第二次相遇的地点距离 B 地．【答案】 1200 米．
【分析】 设甲、乙两人的速度分别为 v 、v ，全程为 s，第二次相遇的地点距离 B
1 2
地 x 米．
由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达 B 地并调头往回走时遇到乙的，
2s v -v
这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与 B 地的距离为 v × -s= 1 2s，
1 v +v v +v
1 2 1 2
v -v
那么第一次相遇的地点到 B 地的距离与全程的比为 1 2 ；
v +v
1 2
两人第一次相遇后，甲调头向 B 地走，乙则继续向 B 地走，这样一个过程与第一次相遇前
相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到 B 地的距离，即 1800 米．根据上面的分
v -v
析可知第二次相遇的地点到 B 地的距离与第一次相遇的地点到 B 地的距离的比为 1 2 ；
v +v
1 2
类似分析可知，第三次相遇的地点到 B 地的距离与第二次相遇的地点到 B 地的距离的比为
v -v 800 x
1 2 ；那么， = ，得到 x=1200，故第二次相遇的地点距离 B 地 1200 米．
v +v x 1800
1 2
21. 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段：在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米；在第
二段上，汽车速度是每小时 90 千米；在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米．已知第一
段公路的长恰好是第三段的 2 倍．现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1
1
小时 20 分后，在第二段公路上从甲到乙方向的 处相遇．请问：甲、乙两市相距多少千米？
3
【答案】 185
【分析】 画图如下：
因为两辆车在 CD 段上速度相同，所以虚线的两段可以抵消，现在考虑 AC 和 DB 两段路，
2 1
车在两段上的路程比是 2:1，速度比是 4:5，所以时间比是 t :t = : =5:2，所以车在
AC DB 4 5
ED 段用了 3 份时间．
由于两车经过 8 份时间相遇，所以 1 份是 10 分钟，所以两市相距
5 9 2
×40+ ×90+ ×50=185 千米．
6 6 6
22. 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 点．如果甲速度不
变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距C 点 10 千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出
发相向而行，则相遇点 E 距 C 点 5 千米．问：甲原来的速度是每小时多少千米？
【答案】 11 千米
【分析】 甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，相遇点 D 距 C 点 10 千米，出发
后 5 小时甲到达 C，乙到达 F．（如下图）
因为 FD=DC=10 千米，即相遇后在相同的时间甲、乙走的路程相同，所以此时甲、乙的
速度相同，也就是说原来甲比乙每小时多行 4 千米．
乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，相遇点 E 距 C 点 5 千米，出发后 5 小时乙到达 C，
甲到达 G．（如下图）
因为 EG=2CE，即相遇后在相同的时间甲走的路程是乙的 2 倍，所以甲每小时多行 3 千
米后，速度是乙的 2 倍．
{甲=乙+4
由 解得，原来甲每小时行 11 千米（乙行 7 千米）．
甲+3=2乙
23. 刘备、关羽、张飞三人，刘备每分钟走 40 米，关羽每分钟走 60 米，张飞每分钟走 50
米．如果刘备从 A 地，关羽和张飞从 B 地同时出发相向而行，刘备和关羽相遇后，过了
10 分钟又与张飞相遇，求 A、B 两地间的距离为多少米？
【答案】 9000【分析】 画出线段图如下，从出发到 ① 时刻，有刘和关的相遇、关和张的同向行驶，
由刘、关相遇求 AB 距离、即路程和，速度和已知，需要求时间．关、张同向行驶，速度差
已知，如果知道路程差就可以求时间．① → ② 时间内，是刘、张的相遇过程，时间为 10
分钟，知道速度和，可得 ① → ② 刘、张路程和为 (40+50)×10=900 米．路程和同时也
是路程差，即关、张路程差为 900 米，追及时间为 900÷(60-50)=90 分钟，即从出发到
① 时刻共 90 分钟，全程为 (40+60)×90=9000 米．
24. 阿呆和阿瓜同时从距离 20 千米的两地相向而行，阿呆每小时走 6 千米，阿瓜每小时走
4 千米．阿瓜带着一只小狗，狗每小时走 10 千米．这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候，
它就掉头朝阿瓜这边走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多
少千米？
【答案】 20
【分析】 阿呆和阿瓜两人相遇时间为：20÷(6+4)=2(小时)，狗共跑路程为：
10×2=20(千米)．
25. 一条单线铁路上有 A，B，C，D，E 5 个车站，它们之间的路程如图所示（单位：千
米）．两列火车同时从 A，E 两站相对开出，从 A 站开出的每小时行 60 千米，从 E 站
开出的每小时行 50 千米．由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列
车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道．因此，应安排哪个站相遇，才能使停车等候的
时间最短．先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟？
【答案】 11
【分析】 两列火车同时从 A，E 两站相对开出，假设途中都不停．可求出两车相遇
的地点，从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短．从图中可知：
AE 的距离是：225+25+15+230=495(千米)
两车相遇所用的时间是：
495÷(60+50)=4.5(小时)
相遇处距 A 站的距离是：
60×4.5=270(千米)
而 A，D 两站的距离为：
225+25+15=265(千米)
由于 270 千米 >265 千米，因此从 A 站开出的火车应安排在 D 站相遇，才能使停车等待
的时间最短．因为相遇处离 D 站距离为
270-265=5(千米)
那么，先到达 D 站的火车至少需要等待：
11 11
5÷60+5÷50= (小时), 小时=11分钟
60 60
26. A、B 两地相距 480 千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行 35 千米，
乙车每小时行 45 千米，一只燕子以每小时行 50 千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，
遇到乙车又折回向甲车返飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米
两车才能相遇？
【答案】 300
【分析】 由燕子和两车同时开始飞行和同时停止，故燕子飞行的时间和两车相遇的时
间相等，480÷(35+45)=6 小时．燕子飞行的路程：50×6=300 千米
27. 东、西两城相距 60 千米．小明从东向西跑，每小时跑 8 千米；小光从西向东走，每小
时走 4 千米；小亮骑自行车从东向西，每小时骑行 11 千米．3 人同时动身，途中小亮遇见
小光即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小光又折回向东骑，如此不断往返，直
到三人在途中相遇为止．则小亮共行了多少千米？
【答案】 55
【分析】 小亮行驶的总时间就是小明、小光的相遇时间：60÷(8+4)=5 小时，所以
路程为 55 千米．
28. 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山．他们两人下山的速度都是各自
上山速度的 2 倍．甲与乙在离山顶 400 米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，
求山脚到山顶的距离．
【答案】 3400 千米．
【分析】 不妨设从山脚到山顶的路程为 1 个全程．我们先分析从甲、乙同时出发直
到甲回到山脚、乙回到半山腰的过程．在这一过程所对应的时间里面，甲走了 1 个上坡的全程及 1 个下坡的全程，而甲下坡速度是上坡速度的 2 倍，说明甲走 1 个下坡的时间只够走
1 1 3
个上坡．因而这一过程的时间里，如果甲一直走上坡路程，可以走 1+ = 个上坡的全
2 2 2
1 1 5
程．类似地，如果乙也一直走上坡路程，他可以走 1+ × = 个全程．由于时间相同，所
2 2 4
3 5
以两人上山的速度比等于 : =6:5．
2 4
5
接着再分析甲、乙两人从出发直到相遇的过程．当甲走了 1 个全程到达坡顶时，乙走了
6
1
个全程，此时甲、乙距离 个全程．之后甲下山，速度变为上山的 2 倍，而乙则继续上山，
6
1 12 2
甲、乙两人的速度比为 12:5．由此可得两人相遇时，甲又走了 × = 个全程的路
6 12+5 17
2
程．这段路程就是 400 米，因此山脚到山顶的全程等于 400÷ =3400 米．
17
29. 两列火车相向而行，甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行 54 千米．两车错车时，甲车
上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒，乙
车上也有一乘客发现：从甲车车头经过他的车窗时开始到甲车车尾经过他的车窗共用了 11 秒，
那么站在铁路旁的的丙，看到两列火车从车头相齐到车尾相离时共用多少时间？
【答案】 25秒
【分析】 方法一：甲乙两车为错车问题，即相遇问题．甲车上乘客看到的即为乙车车
长经过甲车的时间，乙车上乘客看到的即为甲车车长经过乙车的时间，甲的速度：
36×1000÷3600=10(米/秒)，乙的速度：54×1000÷3600=15(米/秒)，所以，乙车车长为：(10+15)×14=350(米)，甲车车长为：(15+10)×11=275(米)，所以错车时间：
(350+275)÷(10+15)=25(秒)．
方法二：甲、乙两车上乘客看到的分别为乙车车长、甲车车长经过自己的过程，速度都为甲乙
两车的速度和，丙在站台上看到的是甲乙两车车长和错过的时间，即为两车车长和除以速度和
得到的时间，也就是甲乙两车乘客分别观察到的时间和：14+11=25(秒)．
30. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲车速度为 32 千米/时，乙车速度为
48 千米/时．他们分别到达 B 地和 A 地后，甲车速度提高四分之一，乙车速度减少六分之
一．如果他们第一次相遇与第二次相遇地点相距 74 千米，那么乙车比甲车早多少小时返回
出发点？
【答案】 2.5
5
【分析】 甲车变速后的速度是 32× =40 千米/时，乙车变速后的速度是
4
5
48× =40 千米/时．设全程为 x 千米，则两车第一次相遇地点和 A 地的距离是
6
32 2 ( 32) 1
x= x 千米．乙车到达 A 地时，甲车距离 B 地 1- x= x 千米；甲车走完
32+48 5 48 3
1 40 1 5 5 7
这 x 千米，乙车又走了 × x= 千米；此时两车相距 x- x= x，并且车速都
3 32 3 12 12 12
1 7 7 7
是 40 千米/时，那么各走 × x= x 千米后相遇，即相遇地点距离 B 地 x 千米；
2 12 24 24
2 7 7 1 7
所以 x- x- x=74，解得 x=240 千米．乙车回到出发点还要 ×240× = 小
5 24 24 40 4
( 7 ) 1 17 17 7
时，甲车回到出发点还要 1- ×240× = 小时，乙车早到 - =2.5 小时．
24 40 4 4 4
[( 7 ) 7 ] 1
（或者由于甲、乙速度相同，所以乙车早到 1- - ×240× =2.5 小时）．
24 24 40
31. 米老鼠从 A 到 B，唐老鸭从 B 到 A，米老鼠与唐老鸭的速度比为 6:5，M 是 A、B
的中点．在 A、M 之间有一 C 点，距离 M 点 26 千米，此处有一个魔鬼，谁经过他都
要减速 25%；B、M 之间有一 D 点，距离 M 点 4 千米，此处有一个仙人，谁经过他都
会加速 25%；现在米老鼠和唐老鸭同时出发，且同时到达各自的目的地，请问：A、B 两地
相距多少千米？
【答案】 92 千米．
【分析】 设 A、C 相距 x 千米，则 D、B 相距 x+26-4=x+22 千米．设米老
鼠的速度为 6z 千米/时，则唐老鸭的速度为 5z 千米/时，那么过 C 点后米老鼠的速度变为9 45
z 千米/时，过 D 点后米老鼠的速度变为 z 千米/时，过 D 点后唐老鸭的速度变为
2 8
25 75
z 千米/时，过 C 点后唐老鸭的速度变为 z 千米/时，依题意得：
4 16
9 45 25
x÷6z+30÷ z+(x+22)÷ z=(x+22)÷5z+30÷ z+x÷7516z.
2 8 4
因为 z≠0，整理去分母解得 x=20，所以 A、B 两地相距 20+26+4+20+22=92 千米．
（当然可以设米老鼠的速度为 96z 千米/时，唐老鸭的速度为 80z 千米/时，那么所有的速
度表达式中就不会出现分数）．
