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专练 47 抛物线
授课提示：对应学生用书99页
[基础强化]
一、选择题
1．抛物线y＝x2的焦点到其准线的距离为( )
A．1 B．2
C． D．
答案：B
解析：y＝x2可化为x2＝4y，则焦点到准线的距离为×4＝2.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
答案：B
解析：∵y2＝2px的准线为x＝－，又准线过点(－1，1)，∴－＝－1，∴p＝2，故其焦点
坐标为(1，0).
3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨
迹为( )
A．抛物线 B．直线 C．线段 D．射线
答案：B
解析：∵F(2，1)在直线l：3x＋4y－10＝0上，∴动点M的轨迹为过点F且与直线l垂
直的直线．
4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
答案：B
解析：∵－y2＝1的右焦点为(2，0)，∴＝2，p＝4.
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|
＝( )
A.2 B．2
C．3 D．3
答案：B
解析：由已知条件，易知抛物线 y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为 x＝－1.又
B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x ，2).根据抛物线的定义可知x －
0 0
(－1)＝2，所以x＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝＝2.故选B.
0
6．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案：D
解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝
8，故选D.
7.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|
BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
答案：B
解析：
如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|
BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，
∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵AE∥FG，∴＝，即＝，得p＝2.∴抛物线
方程为y2＝4x.故选B.
8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA·OB等于(
)
A． B．－ C．3 D．－3
答案：B
解析：当AB与x轴垂直时，A，
B，OA·OB＝×＋1×(－1)＝－；
当AB与x轴不垂直时，
设l：y＝k，
由得k2x2－(k2＋2)x＋＝0
设A(x，y)，B(x，y)
1 1 2 2
由韦达定理得x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
∴OA·OB＝xx＋yy＝xx＋k2
1 2 1 2 1 2
＝(1＋k2)xx－k2(x＋x)＋＝－.
1 2 1 2
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两
点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3，y)时，△AEF为正三角形，则此
0
时△OAB的面积为( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：不妨设点A在第一象限，如图所示，过点F作AE的垂线，垂足为H，由题知当A的坐标为(3，y)时△AEF为正
0
三角形，此时H为AE的中点，|AE|＝3＋，|EH|＝p，∴2p＝3＋，解得p＝2，∴y2＝4x，
A(3，2)，F(1，0)，∴k ＝，直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程得3(x－1)2＝4x.
AF
设A(x ，y)，B(x ，y)，解得x ＝3，x ＝，此时y ＝2，y ＝－，∴S ＝S ＋S ＝
1 1 2 2 1 2 1 2 △AOB △OFB △OFA
×1×(＋2)＝，故选A.
二、填空题
10．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与
x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
答案：x＝－
解析：抛物线C：y2＝2px (p>0)的焦点F，
∵P为C上一点，PF与x轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p，
不妨设P(，p)，
因为Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，所以Q在F的右侧，
又∵|FQ|＝6，
∴Q(6＋，0)，∴PQ＝(6，－p)
因为PQ⊥OP，所以PQ·OP＝×6－p2＝0，
∵p>0，∴p＝3，
所以C的准线方程为x＝－.
11．已知点A在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
答案：
解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程
为x＝－，所以A到准线的距离为1－＝.
12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．
答案：0或1
解析：由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
若k＝0，满足题意；若k≠0，则Δ＝(4k－8)2－4×4k2＝0，得k＝1.综上得k＝0或k＝
1.
[能力提升]
13．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]设O为坐标原点，直线 y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝
2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
答案：AC
解析：由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0).对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以＝1，即p
＝2，所以A选项正确．
对于B，不妨设M(x，y)，N(x，y)，x0)，则点P坐标为(m，2)或(m，－2)，|PB|＝m＋1.当P点坐标
为(m，2)时，|PA|＝，∵|PA|＝|PB|，∴|PA|2＝|PB|2，即m2＋4m＋16－16＝m2＋1＋2m，化简
得2m＋15－16＝0，解得m ＝＋4，m ＝－4，当P点坐标为(m，－2)时，|PA|＝，同理，
1 2
由|PA|＝|PB|，得2m＋16＋15＝0，解得＝<0或＝<0，不符合题意，因此满足|PA|＝|PB|的
点P有且仅有2个，故D正确．故选ABD.
15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线C有一点P，过点P作
PM⊥l，垂足为M，若等边△PMF的面积为4，则p＝________．
答案：2
解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠PMF＝∠MFN＝60°，由抛物线的
定义得到|NF|＝p，故|MF|＝2p，故(2p)2＝4，∴p＝2.
16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B
两点(点A在x轴上方)，则＝________.
答案：3
解析：如图所示，由题意得准线l：x＝－.作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，BH⊥AC于点H，
则|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|AH|＝|AC|－|BD|＝|AF|－|BF|，因为在Rt△AHB中，∠HAB＝
60°，所以cos 60°＝＝，
即(|AF|＋|BF|)＝|AF|－|BF|，得＝3.
