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专题 66 带电粒子在组合场中的运动
授课提示：对应学生用书105页
1．(多选)如图所示，两平行金属板长度均为L，O、O′为两金属板中心处正对的两个
小孔，两平行金属板间加可调的电压U，紧靠金属板右侧的直角三角形MNP区域内存在方
向垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，MN与右金属板等长且重合，∠PMN＝37°.
一比荷为k的粒子(不计重力)从O点以可以忽略的初速度进入金属板间的电场，经加速后
再进入磁场，并从NP边界离开磁场．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的
是( )
A．左板电势低于右板电势
B．粒子从NP边界离开磁场时的最大速度大小为
C．粒子从NP边界离开磁场时离N点最远距离为L
D．要使粒子从NP边界离开磁场，可调电压的变化范围是＜U≤
答案：BC
解析：粒子进入磁场后向下偏转，由此可知粒子带正电，加速电极板是左板电势高于
右板电势，选项A错误；
粒子以最大速度v(对应轨道半径为r)从NP边界离开磁场时的运动轨迹如图所示，
0 0
由题设知＝k，由牛顿第二定律有qvB＝m，由几何关系有r ＝(r ＋)sin 37°，联立各式
0 0 0
解得r ＝，v ＝，选项B正确；粒子从NP边界离开磁场时离N点最远距离为＝L，选项C
0 0
正确；由qU＝mv2，可得U＝mv2＝v2，粒子以最小速度从NP边射出时经过N点，此时运
动半径R′＝，由牛顿第二定律有qBv＝m，从而解得最小速度v＝，则粒子从NP边界离开
磁场时＜v≤，于是可得＜U≤，选项D错误．
2．(多选)如图所示为一种质谱仪示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成．
若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场在中心线处的电场强度大小为
E，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向外．一
质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由
P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点，不计粒子重力．下列说法正确的是()
A．粒子一定带正电
B．加速电场的电压U＝ER
C．直径PQ＝
D．若一群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，则该群离子具有相同
的电荷量
答案：ABC
解析：根据题意可知，粒子在静电分析器中所受到的电场力指向圆心 O，故粒子带正
电，故A正确；对于加速过程，根据动能定理有 qU＝mv2，在静电分析器中，电场力提供
向心力有qE＝m，联立解得U＝ER，故B正确；粒子进入磁分析器，洛伦兹力提供向心力
有qvB＝m，结合AB分析可得R′＝，则直径PQ＝2R′＝，故C正确；由C分析可知，若一
群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，则该群离子具有相同的比荷，故 D
错误．
3．[2024·吉林卷]现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度．简化模型如图：
Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电
场区，Ⅳ区电场足够宽；各区边界均垂直于x轴，O为坐标原点．甲、乙为粒子团中的两
个电荷量均为＋q(q>0)、质量均为m的粒子．如图，甲、乙平行于x轴向右运动，先后射
入Ⅰ区时速度大小分别为v 和v.甲到P点时，乙刚好射入Ⅰ区．乙经过Ⅰ区的速度偏转角
0 0
为30°.甲到O点时，乙恰好到P点．已知Ⅲ区存在沿＋x方向的匀强电场，电场强度大小
E＝.不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场．
0
(1)求Ⅰ、Ⅱ区磁场的磁感应强度的大小B；
(2)求Ⅲ区宽度d；
(3)Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴，电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为E＝
ωt－kx，其中常系数ω>0，ω已知、k未知，取甲经过O点时t＝0.已知甲在Ⅳ区始终做匀
速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F与Δx
间的关系式(不要求写出Δx的取值范围)
解析：(1)根据题意，作出甲、乙两粒子在Ⅰ区和Ⅱ区中的运动轨迹，如图所示乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，则乙在Ⅰ区运动轨迹所对的圆心角为30°
根据几何关系有r sin 30°＝L
乙
对乙在Ⅰ区运动的过程，由洛伦兹力提供向心力有
qvB＝m
0
联立解得B＝
(2)乙从进入Ⅰ区到运动至P点的过程，运动时间t＝T
1
又T＝＝
解得t＝
1
分析可知，甲、乙都沿＋x方向从P点射入Ⅲ区，在t 时间内，甲从P点运动到O点，
1
根据运动学规律有
d＝vt＋at
01
根据牛顿第二定律有qE＝ma
0
联立解得d＝πL
(3)甲从P点运动到O点的过程，根据运动学规律有
v ＝v＋at
甲O 0 1
解得v ＝3v
甲O 0
由于甲在Ⅳ区做匀速直线运动，则甲所在位置的电场强度为
E ＝ωt－kx＝ωt－kv t＝0
甲 甲O
解得k＝
当甲运动t 时间至x＝x 处时，乙在Ⅳ区x＝(x－Δx)处
0 0 0
在x＝x 处有E ＝ωt－kx＝0
0 甲 0 0
在x＝(x－Δx)处有E ＝ωt－k(x－Δx)
0 乙 0 0
又F＝qE
乙
联立解得F＝Δx
4．[2024·河北省邢台市五岳联盟联考]如图所示，MN为竖直平面内的一条水平分界线，
MN的上方有方向竖直向下的匀强电场，MN的下方有垂直于竖直平面向外的匀强磁场，磁
感应强度大小为B.粒子源S可向平行于纸面的各个方向发射质量为m、电荷量为q(q>0)、
速度大小不同的带电粒子，分界线MN上A点位于为S的正上方，S到A点的距离为d，忽
略带电粒子受到的重力．
(1)若从S发出的带电粒子经磁场偏转一次就能到达A点，求粒子的最小速度v；
0
(2)若从S发出的带电粒子的初速度方向与竖直方向的夹角θ＝30°，且粒子从A点进入
电场，之后在电场和磁场中沿闭合轨迹做周期性运动．
①求匀强电场的电场强度大小E；
②求粒子的运动周期T.答案：(1) (2)① ②
解析：(1)根据题意可知，从S发出的粒子在磁场中做圆周运动到达A点的最小半径r
1
＝d
洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
0
解得v＝
0
(2)①符合题意的粒子的运动轨迹如图所示
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，根据几何关系有2r sin θ＝d
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
设粒子在电场中运动的时间为t，根据运动规律有
2
vtsin θ＝2r cos θ
2
2v cos θ＝t
2
解得E＝
②粒子在磁场中运动的时间t＝
1
粒子的运动周期T＝t＋t
1 2
解得T＝
5．[2024·湖南省湘东九校联考]如图所示，在xOy平面内，有两个半圆形同心圆弧，与
坐标轴分别交于a、b、c点和a′、b′、c′点，其中圆弧a′b′c′的半径为R.两个半圆弧之间的区
域内分布着辐射状的电场，电场方向由原点 O向外辐射，其间的电势差为U.圆弧a′b′c′上
方圆周外区域，存在着上边界为y＝2R的垂直纸面向里的足够大的匀强磁场，圆弧abc内
无电场和磁场．O点处有一粒子源，在xOy平面内向x轴上方各个方向，射出质量为m、
电荷量为q的带正电的粒子，带电粒子射出时的速度大小均为2，被辐射状的电场加速后
进入磁场，不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑粒子从磁场返回圆形区域边
界后的运动．(1)求粒子被电场加速后的速度v；
(2)要有粒子能够垂直于磁场上边界射出磁场，求磁场的磁感应强度的最大值B；
0
(3)当磁场中的磁感应强度大小为第(2)问中B 的倍时，求能从磁场上边界射出粒子的边
0
界宽度L.
答案：(1)v＝ (2)B＝
0
(3)(＋1)R
解析：(1)带电粒子进入电场后，在电场中做加速运动，由动能定理有qU＝mv2－mv
解得v＝
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有qvB＝m
解得r＝
粒子垂直上边界射出磁场，则粒子轨迹圆的圆心必然在上边界线上，且根据几何关系，
轨迹圆圆心到坐标原点的距离d满足d2＝r2＋R2
如图所示
当d＝2R时，轨迹圆半径有最小值r ＝R
min
此时磁感应强度有最大值B＝＝
0
(3)当磁感应强度B＝B 时，粒子运动圆半径r＝r ＝R
0 min
如图所示
①粒子轨迹圆与上边界相切时，粒子运动到最左边，有x＝R
1
②当粒子轨迹圆与上边界的交点、运动轨迹圆圆心以及坐标原点 O点三点共线时，粒
子打在最右边，此时有x＋(2R)2＝(R＋R)2
解得x＝ R
2
可知粒子能从磁场上边界射出粒子的边界宽度为L＝x＋x＝(＋1)R
1 2
