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2024 年中考押题预测卷 02【浙江卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．2
【答案】A
【分析】先求出每个数的绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：∵3、-2、0、2的绝对值依次为3、2、0、2，
∴绝对值最大的数是-3．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较和绝对值，能比较有理数的大小是解此题的关键．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．根据中心对称图形和轴对称图形
的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果
旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：C．
3．下列运算中，正确的是（ ）.
A．3x3+2x2=5x5 B．a⋅a2=a3
C．3a6÷a3=3a2 D．(xy) 3=x y3
【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、积的乘方，
根据合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、积的乘方的运算法则逐项判断即
可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、3x3和2x2不是同类项，不能直接合并，故原选项计算错误，不符合题意；
B、a⋅a2=a3，原选项计算正确，符合题意；
C、3a6÷a3=3a3，原选项计算错误，不符合题意；
D、(xy) 3=x3y3，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．已知一次函数y＝kx＋b，其中k从1，－2，5中随机抽取一个值，b从－2，－1，0
中随机抽取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率是（ ）．
1 2 1 4
A． B． C． D．
3 9 6 9
【答案】B
【分析】先根据题意画出树状图，再结合一次函数图象性质找出符合要求的情况数，然后
根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：共有9种情况，其中满足一次函数y＝kx＋b经过第二、三、四象限，即k＜0，b＜0的情况
2
有2种，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为 ，故B正确．
9
故选：B．
【点睛】此题考查了画树状图或列表求概率及其一次函数图象的性质，一次函数y＝kx＋b
的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限，y的
值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限，
y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四
象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、
三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
5．已知a，b是一元二次方程x2−3x−m3−1=0的两个根，则a2+3b+ab的值等于
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．与m的值有关
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根
与系数的关系，找出“a2−3a=m2+1，a+b=3，ab=−m2−1”是解题的关键．利用一
元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2−3a=m2+1，a+b=3，ab=−m2−1，再将
其代入a2+3b+ab=a2−3a+3(a+b)+ab中即可求出结论．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程x2−3x−m2−1=0的两个根，
∴a2−3a=m2+1，a+b=3，ab=−m2−1，
∴a2+3b+ab=a2−3a+3a+3b+ab=a2−3a+3(a+b)+ab=m2+1+3×3−m2−1=9．
故选：B．
6．如图，在直角△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AD是∠CAB的平分线，交
边BC于点D，过点C作△ACD中AD边上的高线CE，则∠ECD的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°【答案】C
1
【分析】先根据角平分线定义求出∠CAD＝∠BAD＝ ∠CAB＝45°，再根据直角三角形两
2
锐角互余求出∠ACB及∠ACE，再通过∠ECD＝∠ACE﹣∠BCA求解．
【详解】解：∵∠CAB＝90°，AD是∠CAB的角平分线，
1
∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠CAB＝45°，
2
∵CE⊥AD，
∴∠ECA＝∠CEA﹣∠CAE＝45°，
∵∠BCA＝∠CAB﹣∠B＝20°，
∴∠ECD＝∠ACE﹣∠BCA＝25°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，角平分线有关知识，解题关键掌握角平分线的
性质及直角三角形两个锐角互余.
7．如图，在▱ABCD中，P是AD边上的一个点，连接PB，PC，M，N分别是
PB，PC的中点．若S =6，则S 的值是（ ）
四边形BMNC ▱ABCD
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，
MN 1
由三角形中位线性质可得MN∥BC， = ，进而得到△PMN∽△PBC，即可得
BC 2
S 1 3 1
△PMN = ，得到S = S ，可得S =8，又由S = S 即可求解，
S 4 四边形BMNC 4 △PBC △PBC △PBC 2 ▱ABCD
△PBC
3
由相似三角形得到S = S 是解题的关键．
四边形BMNC 4 △PBC
【详解】解：∵M，N分别是PB，PC的中点，MN 1
∴MN∥BC， = ，
BC 2
∴△PMN∽△PBC，
∴
S
△PMN =
(MN) 2
=
(1) 2
=
1
，
S BC 2 4
△PBC
3
∴S = S ，
四边形BMNC 4 △PBC
4 4
∴S = S = ×6=8，
△PBC 3 四边形BMNC 3
∵四边形ABCD为平行四边形，
1
∴S = S ，
△PBC 2 ▱ABCD
∴S =2S =2×8=16，
▱ABCD △PBC
故选：C．
8．成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早
3
晚两次投喂，早上的粮食是晚上的 ，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行
4
4
调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的 ，猴子们对
3
这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是x千克，晚上的粮食是y千克，则可列方
程组为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据设调整前早上的粮食是x千克，晚上的
3
粮食是y千克，根据早上的粮食是晚上的 ，调整后，从晚上的粮食中取2千克放在早上
4
4
投喂，这样早上的粮食是晚上的 ，列出方程组即可．
3
【详解】解：∵调整前早上的粮食是x千克，晚上的粮食是y千克，且早上的粮食是晚上
3
的 ，
43
∴x= y，
4
∵老翁从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂后，
∴早上粮食为(x+2)千克，晚上粮食为(y−2)千克，
4
∵调整后早上的粮食是晚上的 ，
3
4
∴x+2= (y−2)，
3
∴可列方程组¿ ，
故选：B．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若
∠ACB=35°，则∠BPC的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角．
根据直径所对的圆周角是直角得∠ABC=90°，然后利用互余计算∠CAB的度数，然后根
据圆周角定理解答即可．
【详解】∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC=90°，
∴∠ACB+∠CAB=90°，
∵ ∠ACB=35°，
∴ ∠CAB=90°−35°=55°，
由圆周角定理得：
∠BPC=∠CAB=55°
故选：C．
1
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x= ，且经
2( 1 )
过点(2,0)．下列说法∶①abc>0；②4a+2b+c=0；③2a+c=0；④ 若 − ,y ，
4 1
1
(1,y )是抛物线上的两点，则y >y ；⑤ b≥m(am+b)．其中正确的结论有（ ）
2 1 2 4
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图像与性质判断a、b、c的正负，即可判断①；根据函数图象经
1
过点(2,0)，代入计算即可判断②；根据对称轴为直线x= ，得出b=−a，代入
2
1
4a+2b+c=0整理即可判断③；根据二次函数的图象与性质，对称轴为直线x= ，明白
2
1
自变量离 越远，则函数值越小，即可判断④；推出b=−a，c=−2a=2b，用含b的代数
2
9
式表示出函数最大值，再得出am2+bm+2b≤ b整理，即可判断⑤．
4
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线
1
x= ，且经过点(2,0)，
2
∴a<0，c>0，
b 1
− = ，即b=−a，
2a 2
4a+2b+c=0，
∴b>0，
abc<0，
∴①错误，②正确，∴4a+2×(−a)+c=2a+c=0，
∴③正确，c=−2a=2b，
∴y=ax2+bx+c=−bx2+bx+2b，
1
∵对称轴为直线x= ，图象开口向下，
2
1 (1) 2 1 1 1 9
∴当x= ，函数取最大值=−b× +b× +2b=− b+ b+2b= b，即离顶点越远
2 2 2 4 2 4
函数值越小，
∴am2+bm+c=am2+bm+2b，
9
am2+bm+2b≤ b，
4
1 1
am2+bm≤ b，即 b≥m(am+b)，故⑤正确，
4 4
( 1 )
∵ − ,y ，(1,y )是抛物线上的两点，
4 1 2
∴(1,y )离顶点更近，
2
∴y >y ，故④错误，
2 1
∴正确的结论有②③⑤这3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握根据二次函数的图象与性质列式计
算判断是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若 √x−1+|y+9|=0，则x+ y的立方根是 ．
【答案】−2
【分析】此题考查非负数的性质，立方根和绝对值，解题关键在于掌握非负数的性质．根
据非负数的性质，求出x，y的值，代入即可得出结果．
【详解】解：∵ √x−1+|y+9|=0，
∴ x−1=0，y+9=0，
解得：x=1，y=−9，∴ x+ y=1+(−9)=−8，
∴ x+ y 的立方根是−2，
故答案为：−2．
12．分解因式9−4x2= ．
【答案】(3−2x)(3+2x)
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得出．
【详解】9−4x2=32−(2x) 2=(3−2x)(3+2x)
【点睛】此题考查了因式分解的方法，熟练应用平方差公式进行因式分解是解决本题的关
键．
13．一组数据为：5，﹣2，3，x，3，﹣2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组
数据的中位数是 ．
【答案】3
【分析】由于每个数据都是这组数据的众数，根据众数定义可知m=5，再根据中位数的计
算方法进行计算即可．
【详解】解：∵-2出现2次，3出现2次且每个数据都是这组数据的众数
∴x＝5，
∴这组数据从小到大排列为：-2，-2，3，3，5，5，
3+3
∴中位数＝ ＝3．
2
故答案为：3．
【点睛】本题考查了众数、中位数，解题的关键是掌握众数、中位数的计算方法．
14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若AB=3，BC=4，
则BD的长为 ．
【答案】2.5
【分析】先由勾股定理求出AC的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可
求得BD的长．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√32+42=5，
∵D是AC中点，
1
∴BD= AC=2.5．
2
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质是解
题的关键
15．如图，已知△ABC在边长为1的小正方形的格点上，△ABC的外接圆的一部分和
△ABC的边AB、BC组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
5π 7
【答案】 −
4 2
【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点O，则点O为△ABC
的外接圆的圆心，先求出OA=√5，再根据S =S −S −S 求解即可，掌
阴影 扇形OAC △OAC △ABC
握相关知识是解题的关键．
【详解】解 ：取格点O，则点O为△ABC的外接圆的圆心，如图：
由网格可知，∠AOC=90°，
OA=√22+12=√5，
∵S =S −S −S
阴影 扇形OAC △OAC △ABC2
90°×π×(√5) 1 1
= − ×√5×√5− ×2×1
360° 2 2
5π 5
= − −1
4 2
5π 7
= − ，
4 2
5π 7
故答案为： − ．
4 2
16．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF
的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG=4，
CG=3，则CE的长为 ．
56
【答案】
11
【分析】
连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG=FG，设CE=x，则DE=7−x=BF，
FG=EG=11−x，再根据RtΔCEG中，CE2+CG2=EG2，即可得到CE的长．
【详解】
解：连接EG，如图所示：
由旋转可得，△ADE≌△ABF，∠ABF=∠D=90°，
∴AE=AF，DE=BF，
∴∠ABG+∠ABF=180°，
∴F、B、G三点共线，又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG=FG，
设CE=x，则DE=7−x=BF，FG=CF−CG=11−x，
∴EG=11−x，
∵∠C=90°，
56
∴Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，即x2+32=(11−x) 2，解得x= ，
11
56
∴CE的长为 ，
11
56
故答案为： ．
11
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点
到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图
形全等．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（本题满分6分）（1）先化简，再求值：(2a−1)(a−1)−(a2−3a)，其中
a=1−√2．
（2）解方程组：¿
【答案】解：（1）(2a−1)(a−1)−(a2−3a)
=2a2−3a+1−a2+3a
=a2+1
∵a=1−√2
∴原式=a2+1=(1−√2) 2+1=4−2√2
（2） ¿
由①得：y=4x−3③，
把③代入②得：2x−5(4x−3)=−3，
解得：x=1，
把x=1代入③得y=4×1−3=1，∴方程组的解为¿．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的求解及二次根式的运算：
（1）先计算平方差，再进行去括号，合并同类项即可，然后把a的值代入化简以后的式子
中求值即可．
（2）按照代入消元法解方程组即可．
18．（本题满分6分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边
长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，只用无刻度的直
尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并
保留作图痕迹．
(1)在图①中以AB为边画一个面积为3的等腰三角形ABC；
(2)在图②中以AB为边画一个面积为3的钝角三角形ABD；
(3)在图③中在线段CD上找一点E，画一个面积为4的△ABE．
【答案】（1）解：如图①中，△ABC即为所求；
；
（2）解：如图②中，△ABD即为所求；
（3）解：如图③中，△ABE即为所求．．
【分析】本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的定义，平移的性质等知识，解题
的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）画一个底为2，高为3的等腰三角形即可；
（2）画一个底为2，高为3的钝角三角形即可；
（3）利用分割法作出一个面积为4的△ABF再平移AB，使点B和点F重合，平移的线段
交CD于点E，△ABE即为所作．
3
19．（本题满分6分）如图，直线y= x−2分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例
2
k
函数y= (k≠0)的图象在第一象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4．
x
(1)写出k值_____；
(2)设点P是双曲线上的一点，且△POB的面积是△AOB的面积的4倍，求出点P的坐
标．
【答案】（1）∵CD⊥y轴，CD=4，
∴x =4，
C
3
∴y = x −2=4，
C 2 C
∴C(4,4)，
k
∵C(4,4)在反比例函数y= (k≠0)上，
x
k
∴4= ，
416
∴k=16，即反比例函数解析式为y= ，
x
故答案为：16；
（2）当x=0时，y=−2，
3 4
当y=0时， x−2=0，解得x= ，
2 3
(4 )
∴A ,0 ，B(0,−2)，
3
4
∴AO= ，BO=2，
3
1 4
∴S = ×OA×OB= ，
△AOB 2 3
∵△POB的面积是△AOB的面积的4倍，
4 16
∴S =4× = ，
△POB 3 3
如图，
1
即有：S = ×OB×|x |，
△POB 2 P
1
∴S = ×2×|x |=|x |，
△POB 2 P P
4 16
∵S =4× = ，
△POB 3 3
16
∴|x |= ，
P 3
16
∴x =± ，
P 3
16
∵点P是双曲线上的一点，反比例函数解析式为y= ，
x16
∴y = =±3，
P x
P
(16 ) ( 16 )
∴点P是的坐标为： ,3 或者 − ,−3 ．
3 3
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质的知识，由CD⊥y轴，CD=4，
得出x =4，是解答本题的关键．
C
【分析】（1）根据CD⊥y轴，CD=4，可得x =4，进而可得C(4,4)，结合C(4,4)在反
C
k
比例函数y= (k≠0)上，问题得解；
x
(4 ) 1 4
（2）先利用一次函数求出A ,0 ，B(0,−2)，即有S = ×OA×OB= ，进而可
3 △AOB 2 3
4 16 1 16 16
得S =4× = ，又根据S = ×OB×|x |，可得|x |= ，即x =± ，结合
△POB 3 3 △POB 2 P P 3 P 3
16
点P是双曲线上的一点，反比例函数解析式为y= ，问题得解．
x
20．（本题满分8分）为了激发学生参与劳动的热情，某校开设了以“端午”为主题
的手工课程：制熏香、制糕点、做香囊和包粽子．要求每位学生选择一门进行学习，
数学兴趣社同学随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的条形和扇
形统计图如下．四门课修完后，学校开展包粽子大赛，七、八、九年级各选10人参加
比赛，得分情况如下所示．
参赛选手的得分（满分10分）记录如下：
七年级：6，7，8，8，8，9，10，10，10，10
八年级：7，7，8，8，8，8，9，9，10，10
九年级：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10请根据上面的信息回答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______人，并补全条形统计图；
(2)参赛的30名同学得分的众数是______，______年级参赛选手得分的中位数最大，九
年级参赛10名同学得分的方差是______；
(3)本校共有900名学生，“制糕点”课周三下午安排在食堂中，食堂的每张餐桌可安
排6人学习制作，试估计上“制糕点”课大约需要安排多少张餐桌？
【答案】（1）解：调查学生的人数为12÷20%=60（人），
包粽子的人数为60×35%=21（人），
制糕点的人数为60−9−21−12=18（人），
故答案为：60，
补全条形统计图如下：
（2）解：观察这30人的得分，得分为8的次数最多，有11次，
∴这30个数据的众数为8；
∵七年级参赛选手得分的中位数为8.5，八、九年级参赛选手得分的中位数为8，
∴七年级参赛选手的中位数最大；
1
∵九年级参赛选手的得分的平均数为x= ×(6+7+7+⋅⋅⋅+10)=8，
10
1
∴方差为s2= [(6−8) 2+(7−8) 2+(7−8) 2+⋅⋅⋅+(10−8) 2]=1.2，
10
故答案为:8，七，1.2；
18
（3）解：900× ÷6=45，
60
答：“制糕点”课大约需要安排45张餐桌．
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图用样本估计总体的知识，此题综合性较强，
难度适中．
（1）总人数为做香囊的人数÷占比即可，拿总人数乘以占比算出包粽子的人数，再拿总人
数减去包粽子，制熏香，做香囊的人数就是制糕点的人数了，即可画出条形统计图；（2）依据众数，中位数定义，以及方差计算公式求解；
（3）先计算制糕点的占比，再用900乘以占比得人数，再由每张餐桌可安排6人学习制作，
即除以6即可．
21．（本题满分8分）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，
BE∥DF．
(1)求证：AF=CE；
(2)若AC=8，BC=6，∠ACB=30°，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△BEC和△DFA中，¿，
∴△BEC≌△DFA(AAS)，
∴AF=CE；
（2）解：如图所示，过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，
在Rt△AGC中，AC=8，∠ACG=30°，
1
∴AG= AC=4，
2
∵BC=6，
∴平行四边形ABCD的面积=BC⋅AG=4×6=24．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的
性质与判定：
（1）根据平行四边形的性质可证△BEC≌△DFA(AAS)，可得AF=CE；
（2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质可求出AG的长，根据平行四边形面积的计算方法即可求解．
22．（本题满分10分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图中的数据求：
(1)坡角α和β；
(2)坡底BC和斜坡AB的长；（精确到0.1m）
(3)若拦水坝总长500米，修筑这样的拦水坝至少需要多少立方米的泥土？
1 2 1
【答案】（1）解：由题意，得：tanα= = ,tanβ= ，
1.5 3 3
∴α≈33.7°，β≈18.4°；
（2）作AF⊥BC,DE⊥BC，
则四边形AFED是矩形，
AF 1 DE 1
由题意，得：AD=EF=1m,AF=DE=6m, = , = ，
BF 1.5 CE 3
∴BF=1.5AF=9,CE=3DE=18，
∴BC=BF+EF+CE=9+1+18=28m，AB=√AF2+BF2=√117≈10.8m；
1
（3）由题意可得：500× ×(1+28)×6=43500（立方米），
2
答：修筑这样的拦水坝至少需要40500立方米的泥土．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）根据坡度等于坡角的正切值，求出坡角α和β即可；
（2）利用坡度分别求出BF,CE，进而利用线段的和差关系求出BC的长，勾股定理求出
AB的长即可；
（3）求出梯形的面积乘以水坝总长进行求解即可．
23．（本题满分10分）【发现问题】
某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安
置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱
思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为d米，喷出的抛物线形水线距离湖
面高度为h米，h与d的数量变化有一定规律．【提出问题】
喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米与距喷水的柱子的水平距离d米，h与d之间
有怎样的函数关系？
【分析问题】
小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据：
d
… 0 1 2 3 4 …
（米）
h 5 9 5
… 2 2 …
（米） 4 4 4
【解决问题】
(1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)结合表中所给数据和所画出的图象，验证前面的抛物线形状的判断，并求出h与d
之间的函数关系式；
(3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正
下方通过．如果游船宽度为2.4米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，
顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，问游船在能否顺利通过？说明理由．
【答案】（1）
描点、连线、图象如图1；；
（2）
该函数是二次函数，由(1,2)和(3,2)可知，抛物线的对称轴为直线d=2，
9
当d=2时，ℎ = ，
4
9
∴水柱最高点距离湖面的高度是 米；
4
9
由图象可得，顶点(2, )，
4
9
设二次函数的关系式为ℎ =a(d−2) 2+ ，
4
5 1
把(0, )代入可得a=− ，
4 4
1 9
∴ ℎ =− (d−2) 2+ ；
4 4
5 9
将(0, )和(1, )代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上，
4 4
∴可以确认该函数是二次函数；
（3）
游船宽带2.4米，在抛物线的正下方通过，令d=2−1.2=0.8，
1 9
代入抛物线得− (1.2−2) 2+ =2.09，
4 4
由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米，
∴2+0.8=2.8，
∴2.8>2.09，
∴不能正常通过．
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．（1）根据表格数据对应描点画图即可；
（2）根据表格数据和图象的对称性可得答案；
（3）根据二次函数的图象和性质可得答案．
24．（本题满分12分）如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，
P点为劣弧B´C上一个动点，且A(−1,0)、E(1,0)．
(1)B´C的度数为 °；
(2)如图2，连结PC，取PC中点G，则OG的最大值为 ；
(3)如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；
PC+PD
(4)如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证： 为
PA
定值，并求出这个定值．
【答案】（1）（1）连接AC，CE，
∵A(−1,0) E(1,0)
、 ，
∴OA=OE=1，
∵OC⊥AE，
∴AC=CE，
∵AE=CE，
∴AC=CE=AE，
∴∠CAE=60°，∴∠BEC=2∠CAB=120°，
∴ B´C的度数为120°．
故答案为：120．
（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，
由垂径定理可得，CO=OD，
连接PD，如图2，
又∵G为PC的中点，
1
∴OG∥PD，且OG= PD，
2
当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，
且DP=AB=2AE=4，
∴OG的最大值为2，
故答案为：2．
（3）连接AC，BC，
∵ AB⊥CD
直径 ，
∴ A´C=A´D，
∴∠ACD=∠CPA，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ=∠PCQ，∴∠ACD+∠DCQ=∠CPA+∠PCQ，
∴∠ACQ=∠AQC，
∴AQ=AC，
∵∠CAO=60°，AO=1，
∴AC=2，
∴AQ=2．
（4）由题可得，直径AB⊥CD，
∴AB垂直平分CD，
如图4，连接AC，AD，则AC=AD，
由（1）得，∠DAC=120°，
将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，
∴△ACP≌△ADM，
∴∠ACP=∠ADM，PC=DM，
∵四边形ACPD为圆内接四边形，
∴∠ACP+∠ADP=180°，
∴∠ADM+∠ADP=180°，
∴M、D、P三点共线，
∴PD+PC=PD+DM=PM，
过A作AG⊥PM于G，则PM=2PG，
⋅∠APM=∠ACD=30°，
在Rt△APG中，∠APM=30°，
设AG=x，则AP=2x，
∴ PG=√AP2−AG2=√3x，∴ PM=2PG=2√3x
∴ PM=√3AP，
∴ PC+PD=√3AP
PC+PD
∴ =√3 为定值．
PA
【分析】（1）由已知条件可以得到CD垂直平分AE，所以CA=CE，由于CE=AE，所以
可以证得三角形ACE为等边三角形，得到∠CEB=120°；
（2）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到O是CD的中点，又G是CP的中点，
1
连接PD，则OG∥PD，OG= PD，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣
2
弧B´C上的一动点，故当P，E，D三点共线，即PD为直径时，PD最大，此时OG最大；
（3）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到A´C=A´D，所以∠ACD=∠CPA，
又CQ平分∠DCP，所以∠PCQ=∠DCQ，可以证明∠ACQ=∠AQC，所以AC=AQ，
由（1）可得，AC=AE=4，所以AQ=4；
（4）由直径AB⊥CD，可以得到AB垂直平分CD，所以AC=AD，
∠CAD=2∠CAE=120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，可以证明M，D，
P三点共线，所以PC+PD=PM，可以证明△PAM是顶角为120°的等腰三角形，过A做
AG⊥PM于G，由于∠APM=30°，可以通过勾股定理或者三角函数证明PM=√3PA，
PC+PD
所以 =√3．
PA
【点睛】本题是一道圆的综合题，重点考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶
点，等线段”联想到旋转，是此题的突破口，同时，要注意顶角为120度的等腰三角形腰
和底边比是固定值．
