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2025年中考数学一轮复习
第2讲 无理数与实数
一．选择题（共10小题）
1．在1，﹣2，√3，0四个数中最小的数是（ ）
A．1 B．﹣2 C．√3 D．0
√1
2．若m=(√12+√6)× ，则估计m的值应在（ ）
3
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．4和5之间
3．设实数√7的整数部分为a，小数部分为b．则b2+2ab的值为（ ）
A．1 B．4√7−5 C．3 D．﹣3
4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为 a，b，
√1 a2+b2−c2
c，那么面积S= [a2b2−( ) 2 ]．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数
4 2
n﹣1和n之间，则n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．2 B．﹣3 C．−√2 D．0
6．图中的内容是某同学完成的作业，嘉琪帮他做了批改，嘉琪批改正确的题数是（ ）
填空：
①﹣1的倒数是1；（×）
② 1 的平方根，立方根都等于它本身；
（√）
1 2
③(− ) =9；（×）
3
¯
|1−√2|=√2−1
④ ；（√）
¯
√ 16
⑤ 3− =−√38；（√）
2
¯
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A．0＜a＜b B．|a|＝|b| C．ab＞0 D．a﹣b＞0
8．在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则是a*b＝a2﹣b2，如果（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），那
么x的值是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝46 D．x＝﹣46
9．如图，在数轴上，点O对应数字0，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB＝4，连接
OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
√ 1
10． 的算术平方根是（ ）
16
1 1 1 1
A． B．− C． D．±
4 4 2 2
二．填空题（共5小题）
11．请写出一个大于2且小于3的无理数 ．
12．设n为正整数，若√n的整数部分是1，则n的值可以是 .（写出一个即可）
13．比较大小：√5−1 √2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
14．已知√a+1与|b﹣2|互为相反数，ab＝ ．
{m2+m+n，当m＞n时
15．对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n= ，若x （﹣1）
n2+m+n，当m≤n时
⊗ ⊗ ⊗
＝11，则实数x的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．计算：(−2) −1−4sin45°+|2−√8|+(π−√2) 0+√38．
17．【观察思考】
如图是由长度为1cm和√2cm的两种线段拼成的正方形图案：【规律发现】
请用含n的式子表示：
（1）第n个图案中需要√2cm长的线段的条数为 ；
（2）第n个图案中需要1cm长的线段的条数为 ；
【规律应用】
（3）若要组成一个面积为100cm2的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？
18．如图，是一条不完整的数轴，点A、B、C对应的实数分别为a、b、c，AB＝6，c＝﹣1，其中2a、﹣
b与c的和记为M．
（1）若a＝4，求M的值；
（2）若a＝2x，5≤M＜9，求满足条件的x的整数解．
19．小杰计算2cos60°+(π−2024) 0−|√3−2|过程如下：
小杰的计算是否正确？若正确请在框内打“√”，直做第20题；若错误．请指出错误： .（从
“①”“②”“③”中选填），并写出你的解答过程．
1
20．计算：( )
−1+(3.14−π) 0+|2√3−√2|+2sin45°−√12．
20232025年中考数学一轮复习之无理数与实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在1，﹣2，√3，0四个数中最小的数是（ ）
A．1 B．﹣2 C．√3 D．0
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；推理能力．
【答案】B
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据
此判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜0＜1＜√3，
∴在1，﹣2，√3，0四个数中最小的数是﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负
实数，两个负实数绝对值大的反而小．
√1
2．若m=(√12+√6)× ，则估计m的值应在（ ）
3
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．4和5之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，并进行化简，然后估算2+√2的大小，进行判断即可．
√1
【解答】解：∵m=(√12+√6)×
3
√1 √1
=√12× +√6×
3 3
√ 1 √ 1
= 12× + 6×
3 3
=√4+√2
=2+√2，
∵11＜√2＜2，
∴2+1＜2+√2＜2+2，3＜2+√2＜4，
∴3＜m＜4，
∴m的值应在3和4之间，
故选：A．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则和如何估算无理数的
大小．
3．设实数√7的整数部分为a，小数部分为b．则b2+2ab的值为（ ）
A．1 B．4√7−5 C．3 D．﹣3
【考点】估算无理数的大小；实数的运算．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】C
【分析】先估算√7的近似值，确定a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，
∴a＝2，b=√7−2，
∴b2+2ab
＝（√7−2）2+2×2×（√7−2）
＝3，
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的意义是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答
的关键．
4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为 a，b，
√1 a2+b2−c2
c，那么面积S= [a2b2−( ) 2 ]．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数
4 2
n﹣1和n之间，则n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意计算出三角形的面积为√8，再估算出√8的取值范围即可得出结果．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为2，3，3，√1 22+32−32
∴S= (22×32−( ) 2
4 2
√1
= ×(36−4)
4
=√8，
∵√4＜√8＜√9，
∴2＜√8＜3，
∵面积S介于整数n﹣1和n之间，
∴n的值为3，
故选：B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练计算出三角形的面积是解题的关键．
5．下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．2 B．﹣3 C．−√2 D．0
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数比较即可．
【解答】解：﹣3＜−√2＜0＜2，
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边
的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较
大小，绝对值大的数大；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
6．图中的内容是某同学完成的作业，嘉琪帮他做了批改，嘉琪批改正确的题数是（ ）
填空：
①﹣1的倒数是1；（×）
② 1 的平方根，立方根都等于它本身；
（√）
1 2
③(− ) =9；（×）
3
¯
|1−√2|=√2−1
④ ；（√）
¯
√ 16
⑤ 3− =−√38；（√）
2
¯A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】实数的运算；平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】运用倒数、平方根、立方根和绝对值知识分别进行计算、辨别．
【解答】解：∵﹣1的倒数是﹣1；
1的平方根是±1，立方根都等于它本身；
1 1
（− ）2= ；
3 9
|1−√2|=√2−1；
√ 16
3− =√3−8=−√3 8，
2
∴嘉琪批改的第①③④⑤题正确，第②题错误，
∴嘉琪批改正确的题数是4个，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算能力，关键是能准确确定各种运算方法，并能进行正确地计算．
7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．0＜a＜b B．|a|＝|b| C．ab＞0 D．a﹣b＞0
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据图示，可得a＝﹣2，b＝2，a＜0＜b，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得a＝﹣2，b＝2，a＜0＜b，
∵a＜0＜b，
∴选项A不符合题意；
∵a＝﹣2，b＝2，
∴|a|＝2，|b|＝2，
∴|a|＝|b|，
∴选项B符合题意；
∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，∴选项C不符合题意；
∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，
当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
8．在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则是a*b＝a2﹣b2，如果（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），那
么x的值是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝46 D．x＝﹣46
【考点】实数的运算；解一元一次方程．
【专题】新定义；运算能力．
【答案】A
【分析】按照定义的新运算可得（x+2）2﹣25＝x2﹣25，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：（x+2）*5＝（x﹣5）（5+x），
（x+2）2﹣25＝x2﹣25，
x2+4x+4﹣25＝x2﹣25，
x2+4x﹣x2＝﹣25+25﹣4，
4x＝﹣4，
x＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
9．如图，在数轴上，点O对应数字0，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB＝4，连接
OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【考点】实数与数轴．
【专题】常规题型．
【答案】B【分析】因为△OAB是一个直角三角形，且有OC＝OB，所以可求得OB的长度即得C点所表示的数，可
判断其大小．
【解答】解：∵AB⊥OA
∴在直角三角形OAB中有 OA2+AB2＝OB2
∴OB=√22+42=√20
∴4＜√20＜5
又∵OC＝OB
∴点C所表示的数介于4和5之间
故选：B．
【点评】此题考查的重点就是由垂直而组成的直角三角形的性质，从而解得答案．
√ 1
10． 的算术平方根是（ ）
16
1 1 1 1
A． B．− C． D．±
4 4 2 2
【考点】算术平方根．
【专题】二次根式．
【答案】C
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
√ 1 1 1
【解答】解： = 的算术平方根是： ．
16 4 2
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．请写出一个大于2且小于3的无理数 √5（答案不唯一） ．
【考点】实数大小比较；无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据完全平方数，即可解答．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴写出一个大于2且小于3的无理数是√5，
故答案为：√5（答案不唯一）．【点评】本题考查了实数大小比较，无理数，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
12．设n为正整数，若√n的整数部分是1，则n的值可以是 2 （答案不唯一） .（写出一个即可）
【考点】估算无理数的大小；二次根式有意义的条件．
【专题】计算题；数感．
【答案】2（答案不唯一）．
【分析】根据题意可得：√1≤√n＜√4，即1≤n＜4，因此n的值可以是1，2，3．
【解答】解：∵n为正整数，若√n的整数部分是1，
∴√1≤√n＜√4，
∴1≤n＜4，
∴n的值可以是1，2，3，
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
13．比较大小：√5−1 ＜ √2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】＜．
【分析】先估算出√5和√2的取值范围，再求出√5−1的取值范围，再比较即可．
【解答】详解：∵√5≈2.236，√2≈1.414，
∴√5−1≈1.236＜1.414，
∴√5−1＜√2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能估算出√5的范围是解此题的关键．
14．已知√a+1与|b﹣2|互为相反数，ab＝ 1 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【专题】二次根式；运算能力；应用意识．
【答案】1．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数
式进行计算即可得解．
【解答】解：∵√a+1与|b﹣2|互为相反数，
∴√a+1+|b−2|=0=0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，所以，ab＝（﹣1）2＝1
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质，关键是根据“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”列出方
程．
{m2+m+n，当m＞n时
15．对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n= ，若x （﹣1）
n2+m+n，当m≤n时
⊗ ⊗ ⊗
＝11，则实数x的值为 3 ．
【考点】实数的运算．
【专题】一元二次方程及应用；几何直观；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据新定义，当x＞﹣1时，x2+x﹣1＝11，即x2+x﹣12＝0，当x≤﹣1时，（﹣1）2+x﹣1＝11，
然后分别解一元二次方程和一元一次方程可得到满足条件的x的值．
【解答】解：当x＞﹣1时，x2+x﹣1＝11，即x2+x﹣12＝0，
解得x ＝3，x ＝﹣4（舍去），
1 2
当x≤﹣1时，（﹣1）2+x﹣1＝11，
解得：x＝11，
所以x的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
三．解答题（共5小题）
16．计算：(−2) −1−4sin45°+|2−√8|+(π−√2) 0+√38．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
1
【答案】 ．
2
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后计算乘法，
最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：(−2) −1−4sin45°+|2−√8|+(π−√2) 0+√381
=− −2√2+2√2−2+1+2
2
1
= ．
2
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一
样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级
运算要按照从左到右的顺序进行．
17．【观察思考】
如图是由长度为1cm和√2cm的两种线段拼成的正方形图案：
【规律发现】
请用含n的式子表示：
（1）第n个图案中需要√2cm长的线段的条数为 2 n 2 ；
（2）第n个图案中需要1cm长的线段的条数为 2 n 2 + 2 n ；
【规律应用】
（3）若要组成一个面积为100cm2的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？
【考点】算术平方根；规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）2n2；
（2）2n2+2n；
（3）需要√2cm长的线段200条，需要1cm长的线段220条．
【分析】（1）根据题干中所给的图案总结出规律即可；
（2）根据题干中所给的图案总结出规律即可；
（3）由题意可得此为第10个图案，然后代入（1）（2）中所得结论中计算即可．
【解答】解：（1）第1个图案中√2cm长的线段的条数为2×1．
第2个图案中√2cm长的线段的条数为2×4＝2×22，
第3个图案中√2cm长的线段的条数为2×9＝2×22，
…第n个图案中√2cm长的线段的条数为 2n2，
故答案为：2n2；
（2）第1个图案中1cm长的线段的条数为4×1．
第2个图案中1cm长的线段的条数为4×2+2×2×1，
第3个图案中1cm长的线段的条数为4×3+3×2×2，
…
第n个图案中1cm长的线段的条数为 4×n+n•2（n﹣1）＝2n2+2n，
故答案为：2n2+2n；
（3）由题意得，面积为 100cm2 的正方形图案为第10个图案，
当n＝10时，2n2＝200，2n2+2n＝220，
即需要√2cm长的线段200条，需要1cm长的线段220条．
【点评】本题考查算术平方根及图案的规律总结问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
18．如图，是一条不完整的数轴，点A、B、C对应的实数分别为a、b、c，AB＝6，c＝﹣1，其中2a、﹣
b与c的和记为M．
（1）若a＝4，求M的值；
（2）若a＝2x，5≤M＜9，求满足条件的x的整数解．
【考点】实数与数轴；解一元一次方程．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）M＝9；
（2）x的整数解为0或1．
【分析】（1）由题意得，a﹣b＝6，已知a＝4，可得b的值，已知c＝﹣1，可得M的值；
（2）已知a＝2x，a﹣b＝6，可得b的值，可求得M的值，因为5≤M＜9，可得x的取值范围，因为x为
整数，可得满足条件的x的整数解．
【解答】解：（1）由题意得，a﹣b＝6，
∵a＝4，
∴b＝﹣2，
∴M＝2a﹣b+c＝4×2﹣（﹣2）+（﹣1）＝9；
（2）∵a＝2x，a﹣b＝6，
∴b＝2x﹣6，
∴M＝2a﹣b+c＝4x﹣（2x﹣6）﹣1＝2x+5，∵5≤M＜9，
∴5≤2x+5＜9，
解得：0≤x＜2，
∴x的整数解为0或1．
【点评】本题考查了实数与数轴，关键是正确化简计算．
19．小杰计算2cos60°+(π−2024) 0−|√3−2|过程如下：
小杰的计算是否正确？若正确请在框内打“√”，直做第20题；若错误．请指出错误： ①②③ .
（从“①”“②”“③”中选填），并写出你的解答过程．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】①②③．
【分析】根据实数的混合运算法则运算检验即可．
【解答】解：小杰做的不正确，①②③都错，正确解答如下：
2cos60°+(π−2024) 0−|√3−2|
1
＝2× +1﹣（2−√3）
2
＝1+1﹣2+√3
=√3．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数混合运算是关键．
1
20．计算：( )
−1+(3.14−π) 0+|2√3−√2|+2sin45°−√12．
2023
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【答案】2024．
【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减即可．
1
【解答】解：( )
−1+(3.14−π) 0+|2√3−√2|+2sin45°−√12
2023√2
=2023+1+2√3−√2+2× −2√3
2
=2023+1+2√3−√2+√2−2√3
＝2024．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键．考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0时，则其中的每一
项都必须等于0．
3．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“√a”，负的平方根表示为“−√a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作√a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根
是0．
4．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算
术平方根．记为√a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以
借助乘方运算来寻找．
5．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出
不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
6．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，
那么x叫做a的立方根．记作：√3 a．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号√3 a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一
个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根
是0．
7．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根
等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
1
比如4＝4.0， =0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562．
3
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有
π
的数，如分数 是无理数，因为 是无理数．
2
π π
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如√2，√3，√35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有 的绝大部分数，如2 ．
注意：判断π一个数是否为无理数，π不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．8．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点
表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是
在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原
点左侧，绝对值大的反而小．
9．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于 0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个
负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在
原点左侧，绝对值大的反而小．
10．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
11．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊
三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
12．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接
利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
13．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
14．负整数指数幂
1
负整数指数幂：a﹣p=
（a≠0，p为正整数）
ap
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）
的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
15．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．√a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式
的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
16．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，
灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使
方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，
方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
17．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
1 √3 √3
sin30°= ； cos30°= ；tan30°= ；
2 2 3
√2 √2
sin45°= ；cos45°= ；tan45°＝1；
2 2
√3 1
sin60°= ；cos60°= ； tan60°=√3；
2 2
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
