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2014 年年年年全全全全国国国国硕硕硕硕士士士士研研研研究究究究生生生生入入入入学学学学统统统统一一一一考考考考试试试试数数数数学学学学三三三三试试试试题题题题及及及及解解解解析析析析(完完完完
整整整整精精精精准准准准版版版版)
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一一一一、、、、选选选选择择择择题题题题：：：：1~8小小小小题题题题，，，，每每每每小小小小题题题题4分分分分，，，，共共共共32分分分分，，，，下下下下列列列列每每每每题题题题给给给给出出出出四四四四个个个个选选选选项项项项中中中中，，，，只只只只有有有有一一一一个个个个选选选选项项项项
符符符符合合合合题题题题目目目目要要要要求求求求的的的的，，，，请请请请将将将将所所所所选选选选项项项项的的的的字字字字母母母母填填填填在在在在答答答答题题题题纸纸纸纸指指指指定定定定位位位位置置置置上上上上。。。。
（1）设lima =a,且a„ 0，则当n充分大时有（ ）
n
|a| |a| 1 1
（A） a > （B）|a |< (C) a >a- (D) a e 0$ ˛ N N+" s>.t n N时，有|a - a<| e
n
即 a- e< a < a+ e . ⇒ ||a|e- £ | |a£ | +|ae|
n n
|a| 2|a| |a|
取e = . 有 a n ‡ >
3 3 2
(2)下列曲线有渐近线的是
1
（A）y = x+sinx (B) y = x2 +sin x (C) y = x+sin (D)
x
1
y = x2 +sin
x
1
x+sin
【【【【解解解解析析析析】】】】a=lim f(x) =lim x =lim(1+ 1 sin 1 )=1
xfi¥ x fi¥ x x fi¥ x x x
1 1
b=lim[f(x)- ax=] lim[x+ sin - =x] limsin= 0
xfi¥ fi¥ x x fi¥ x x
1
\ =y x是y = x+sin 的斜渐近线
x
(3)设P ( x )=a+bx+cx2 +dx2，当xfi 0时，若P（x）- tan x是比x3高阶的
无穷小，则下列试题中错误的是（ ）
（A）a=0 （B）b=1
1
（C）c=0 （D）d =
6
1
【【【【解解解解析析析析】】】】法1：由泰勒公式tanx= x+ x3 +O(x3)得
3
1
a+(b- 1)x+ cx2+ (d- )+x3 o(x3)
lim
P(x)- tanx
=lim 3 =0
xfi 0 x3 fi x 0 x31
a =0,b=1,c =0,d = ,故选（D）.
3
法2：由条件及
P(x)- tanx b+ 2cx+ 3dx2- sec2 x
limtanx=0,知a =0,又lim =lim ,limsec2 x=0,
xfi 0 fi x 0 x3 fi x 0 3x2 xfi 0
1
故b=1,同理，再用洛比达法则可得c=0,d = ,故选（D）.
3
【答答答答案案案案】D
（4）设函数 （f x）具有二阶导数，g（x）= （f 0）（1- x）+ （f 1）x，则在区间[0,1]上（ ）
（A）当f（¢ x）‡ 0时，（f x）‡ g（x） （B）当f（¢ x）‡ 0时，（f x）£ g（x）
（C）当f（¢¢ x）£ 0时，（f x）‡ g（x） （D）当f（¢¢ x）£ 0时，（f x）£ g（x）
【【【【解解解解析析析析】】】】当 f† ( x )‡ 0时， f ( x ) 是凹函数
( ) ( ( )) ( ( ))
而g x 是连接 0, f 0 与 1, f 1 的直线段，如右图
故 f
(
x
)£
g
(
x
)
【答答答答案案案案】D
0 a b 0
a 0 0 b
（5）行列式 =（ ）
0 c d 0
c 0 0 d
（A）（ad - bc）2 （B）-（ad- bc）2 （C）a2d2 - b2c2 （ D ）
b2c2 - a2d2
0 a b 0
a b 0 0 a b
a 0 0 b
【【【【解解解解析析析析】】】】 按第4行展开c·（-1）4+1 0 0 b +d(- 1)4+4 a 0 0
0 c d 0
c d 0 0 c d
c 0 0 d
a b a b
=-c·b（-1）3+2 +d·a（-1）2+1
c d c d
= ( ad - bc ) ·bc- ad（a- d bc）
= ( ad - bc )( bc- ad=)- (- ad bc )2
【答答答答案案案案】B（6）设aaa 均为三维向量，则对任意常数k,1,向量组a +ak a， a +l 线性无关是向
1, 2, 3 1 3 2 3
量a ,a a , 线性无关的（ ）
1 2 3
（A）必要非充分 （B）充分非必要 （C）充分必要 （D）既非充分也非必
要
1 0
【【【【解解解解析析析析】】】】由（a +ak a , a +la a)a=( , , ) 0 1 知，
1 3 2 3 1 2 3
k l
1 0
a a,a , 线性无关时，因为 ≠0
1 2 3 0 0
所以 a +aka , a +l 线性无关
1 3 2 3
反之不成立. 如当 a =0，且 a 与 a 线性无关时，aa a , 线性相关
3 1 2 1, 2 3
【答答答答案案案案】A
（7）设随机事件A与B相互独立，且P（B）=0.5，P（A-B）=0.3，则P（B-A）=（ ）
（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0. 4
【【【【解解解解析析析析】】】】P（A-B）=P（A）-P（AB）
∵A与B相互独立
∴P（AB）=P（A）P（B）
∴P（A-B）= P（A）- P（A）P（B）=P（A）[1-P（B）]=0.3
P（A）（1-0.5）=0.3
∴P（A）=0.6 P（AB）=P（A）P（B）=0.6×0.5=0.3
∴P（B-A）=P（B）-P（BA）=0.5-0.3=0.2
【答答答答案案案案】B
X - X
（8）设X ，X ，X 为来自正态总体N（0，s 2）的简单随机样本，则统计量S = 1 2 服
1 2 3
2 X
3
从的分布为（ ）
（A）F（1，1） （B）F（2，1） （C）t（1） （D）t（2）
X - X
【【【【解解解解析析析析】】】】S = 1 2
2 X2
3
( )
X - X ～N 0，2s 2
1 2
X - X ( )
1 2～N 0，1
2s
X ～N(0,s 2)
32
X ( ) X
∴ 3～N 0，1 ∴ 3～c 2(1)
s s
X - X X
1 2 与 3 相互独立.
2s s
X - X
1 2
2s
=
X
1
- X
2 ～t(1)
X2 2 X2
3 3
s 2
二二二二、、、、填填填填空空空空题题题题：：：：9～～～～14小小小小题题题题，，，，每每每每小小小小题题题题4分分分分，，，，共共共共24分分分分，，，，请请请请将将将将答答答答案案案案写写写写在在在在答答答答题题题题纸纸纸纸指指指指定定定定位位位位置置置置上上上上.
（9）设某商品的需求函数为Q=40-2p（p为商品的价格），则该商品的边际收益为 .
【解解解解析析析析】R(p)=PQ= p(40- 2p)=40p- 2p2
R¢(p)=40- 4p.
（10）设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域，则D的面积为 .
【解解解解析析析析】如右图：
∴区域D的面积
S
=∫1 dy∫0 dx+∫2 dy∫0
dx
0 - y 1 - 1
y
1
= +ln2
2
（11）设∫2
xe2xdx=
1
，则a= .
0 4
a 1
【解解解解析析析析】∵∫ xe2xdx=
0 4
1 1 1 1
即 ae2a - e2a + =
2 4 4 4
1 1
∴ ae2a - e2a =0
2 4
1
∴a= .
2
（12）二次积分∫1 dy ∫1 (
ex2
- ey2 )dx= .
0 y x
【解解解解析析析析】积分区域如右图原式=∫1 dy
∫1ex2
dx- ∫1 dy ∫1 ey2 dx
0 y x 0 y
=∫1 dx ∫ xex2 dy- ∫1 ey2 x 1 dy
0 0 x 0 y
=∫1 ex2 dx- ∫1 ey2 (1- y)dy
0 0
=∫1 ex2 dx- ∫1 ey2 +∫1 yey2 dy
0 0 0
1
= 1 ∫1 ey2 dy2 = 1 ey2 = 1 (e- 1)
2 0 2 2
0
（13）设二次型 f(x ,x ,x )= x2 - x2+ 2ax x+ 4x x 的负惯性指数是 1，则a的取值范
1 2 3 1 1 3 2 3
围 .
1 0 a
【解解解解析析析析】A=0 - 1 2
a 2 0
因为l +l +l =0, l l l = A ，负惯性指数为1
1 2 3 1 2 3
\ 设l< 0, 从而ll ‡ 0
1 2 3
\ A £ 0
①若 A <0，则l <0,l >0l, >0. 此时符合题意，而 A =a2 - 4
1 2 3
\ a- 2 <4 0. 即- < 2< a 2.
②若 A =0，则l <0,l >0l, =0，此时a=– 2
1 2 3
1 0 2 l - 1 0 - 2
当a=2时. A= 0 - 1 2 l E- =A 0 l+ 1- =2ll +( l 3-)( 3)
2 2 0 - 2 - 2 l
l =- 3，l =3，l =0
1 2 3
\ a=2符合题意
1 0 - 2 l - 1 0 2
当a =- 2时A= 0 - 1 2 l E- A = 0 l +1 - 2 =l (l +3)(l - 3)
- 2 2 0 2 - 2 l
l =- 3，l =3，l =0 符合题意
1 2 3
综上，a的取值范围是 - 2£ a£ 2 2x
,q < xY 1}
=1- P{X= 1,Y= 1}
=1- 5/9= 4/9
