数学历年真题全精解析•数学二
一、选择题(1~10小题，每小题5分，共50分•下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的.)
(1)当工―0时,心，0(工)是非零无穷小量，则以下四命题
① 若aQ)〜0(h),则a (x)〜代(z).
② 若 a? (x)〜g (x),则 a(z)〜0(h).
③ 若 a(z)〜0(h),则 a(z) —0(°) = o(a(z)).
④ 若 a(z) — 0(z) = o(a(z)),则 a(z)〜0(h).
真命题的序号是
(A)①③. ⑻①④. (C)①③④. (D)②③④.
(2)了 d.z ——
Jo J y J] + g3
(A)咚. ⑻1- (C)韦. (D) 1
0
(3) 设函数_/Cz)在工=©处有2阶导数，则
(A) 当fS 在©的某邻域内单调增加时,/(jco)> 0.
(B) 当/(^0)> 0时,/(工)在氏的某邻域内单调增加.
(C) 当于Q)在工。的某邻域内是凹函数时,/(^0)>0.
(D) 当fZ> 0时，/'&)在氐的某邻域内是凹函数.
f
(4) 已知 连续，令 f&q) = Jo (工一y — t)ya)d/,则
_ dF d2F _ d2F zox dF _ dF d2F _ d2F
(A)石=顽左=寿・ ⑻石=乔，狂=一^?・
丫「、OF __0F /F _ JF 小、OF _ dF d2F _ d2F
(°)石一时左=ay- (D)石一盯狂=—歩•
(5) 设p为常数，若反常积分「爲n* 吐收敛，则p的取值范围是
JoQ(l — J3) P
((A- ) 1,1). ((B- ) 1,2). ((C) —fl). (D)(—s,2).
(6)设有数列&”},其中如满足一于冬如£号，则
(A) 若limcosCsin z”)存在，则limg 存在.
”一*8 ”一>OO
(B) 若limsin(cos 工”)存在，则limz” 存在.
fl f 8
n*O-O
(C) 若limcos(sin x„)存在，则limsin x„存在，但limz”不一定存在.
n->oo ”YOo ”一>00
(D) 若limsin(cos xn)存在，则丘mcos x„存在，但limz”不一定存在.
_____x_____ 「晋土空牡，人=[' —肛，则
(7)已知11 dx,I2
2(1 + cos 工) J o 1 十 cos x J o 1 + sm x
(AM <I2< I3. (BI ) 2 < li < /3.
(CM <I3< I2. (D/ ) 3 <I2< 人.2022年全国硕士研究生招生考试数学(二)试题
_1 0 0_
(8)设A为3阶矩阵，人=0 -1 0,则A的特征值为1,-1,0的充要条件是
_0 0 0_
(A)存在可逆矩阵P,Q,使得A = PAQ. (B)存在可逆矩阵P,使得A = PAP1.
(C)存在正交矩阵Q，使得A = QAQ-1. (D)存在可逆矩阵P,使得A = PAP\
(9)设矩阵A = ，则线性方程组Ax = b解的情况为
(A)无解. (B)有解.
(C)有无穷多解或无解. (D)有唯一解或无解.
7' 1'
(10)设a】= 1 心= A 心= 心= 入 ，若向量组Oi ,ct2心与ai心，ct4等价，则A的取
A. .A2.
值范围是
(A) {A | A G R}• (B){A I A 6 H-2}.
(C) {A I A G R,入工一 1，入丰—2}. (D){A I A e Ra 丰一1}.
二、填空题(11〜16小题，每小题5分，共30分.)
/1 + 于 \ *
2 )=-------------
(12) 已知函数》=》(工)由方程/+剳+b =3确定，则/(I) =________.
(13) 「2加+名押工=________.
J 0 X — 2 十 1
(14) 微分方程y,f — 2/ + 5j/ = 0的通解夕(工)—________ ・
(15) 已知曲线L的极坐标方程为厂=sin 30(0 ，则L围成有界区域的面积为________ .
(16) 设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的一1倍加到第1列，得到矩阵
-2 1 - r
1 - 1 0 ，则 的迹 “(AT) = ________.
-1 0 0 _
三、解答题(17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)
(17) (本题满分10分)
已知函数 g 在= 1处可导且lim**)—3/p + sin2Q = 2,求/(i).
X
L0\ ”数学历年真题全精解析•数学二
(18)(本题满分12分)
设函数y(x)是微分方程2ryf — 4y = 21nz — 1满足条件j/(l) = +的解，求曲线y =
g)(l W*e) 的弧长.
(19)(本题满分12分)
已知平面区域D= {(z,jO |夕一2 =工£丿4 —,0 M£ 2}，计算
(20)(本题满分12分)
已知可微函数 f(u,v)满足"丫，力 一"丫，刀=2(“_Q)eT"+Q 且 /(M,0) = u2e-\
du dv
(I)记 g(z,y) = f^x,y — x')，求0&吁，夕)；
dx
(U)求/(“,◎)的表达式和极值.
(21)(本题满分12分)
设函数fS 在(-00,4-00)上具有2阶连续导数•证明fS $ 0的充分必要条件是对任意
不同的实数 a,b,f^ Q J /*"(攵)
(22)(本题满分12分)
已知二次型 /(j：! ,JC2 ,X3 ) = 3xl + 4& + 3j?3 + 2工1工3.
(I)求正交变换x = Qy，将于(心，工2,氐)化为标准形
(D)证明:minZS 空，口)= 2.
心0 XX
