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2018年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上)
1．（4分）﹣2018的绝对值是（ ）
A．2018 B．﹣2018 C． D．±2018
2．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2＝（ ）
A．30° B．60° C．45° D．120°
3．（4分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列．行程最长，
途径城市和国家最多的一趟专列全程长13000km，将13000用科学记数法表示为（ ）
A．13×103 B．1.3×103 C．13×104 D．1.3×104
4．（4分）下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式
B．数据2，0，﹣2，1，3的中位数是﹣2
C．可能性是99%的事件在一次实验中一定会发生
D．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生
6．（4分）使 有意义的x的取值范围是（ ）
第1页（共15页）A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
7．（4分）二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．菱形的对角线相等
D．相等的两个角是对顶角
9．（4分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行100km所用
时间，与以最大航速逆流航行80km所用时间相等，设江水的流速为vkm/h，则可列方程为
（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
10．（4分）函数y＝kx﹣3与y＝ （k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)
11．（4分）因式分解：ab+ac＝ ．
12．（4分）计算：a2•a3＝ ．
13．（4分）在一个不透明的盒子中，有五个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，5，随
机摸出一个小球，摸出的小球标号为奇数的概率是 ．
14．（4分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
15．（4分）一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 ．
第2页（共15页）16．（4分）根据下列材料，解答问题．
等比数列求和：
概念：对于一列数a ，a ，a ，…a …（n为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个
1 2 3 n
数的比为一定值，即 ＝q（常数），那么这一列数a ，a ，a ，…，a ，…成等比数列，这
1 2 3 n
一常数q叫做该数列的公比．
例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和，
解：令S＝1+3+32+33+…+3100
则3S＝3+32+33+…+3100+3101
因此，3S﹣S＝3101﹣1，所以S＝
即1+3+32+33…+3100＝
仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52018的和为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分)
17．（8分）计算：2sin30°﹣（ ﹣ ）0+| ﹣1|+（ ）﹣1．
π
18．（8分）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（10分）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG＝5，求AB的长．
20．（10分）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，
共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树
苗所需费用为y元．
（1）求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；
第3页（共15页）（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该
方案所需费用．
21．（12分）为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，
因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两
幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 ；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
22．（12分）已知：如图，AB是 O的直径，AB＝4，点F，C是 O上两点，连接AC，AF，OC，
弦AC平分∠FAB，∠BOC＝⊙60°，过点C作CD⊥AF交AF⊙的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留 ）；
（2）求证：CD是 O的切线． π
⊙
23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD边上一点，AE与BE分别为
∠DAB和∠CBA的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结
论；
（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作 O（要求：尺规作图，保留
⊙
第4页（共15页）作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下， O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE＝4，sin∠AGF＝
⊙
，求 O的半径．
⊙
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）
两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直
角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共15页）2018年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上)
1．【分析】直接利用绝对值的定义进而分析得出答案．
【解答】解：﹣2018的绝对值是：2018．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2．【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将13000用科学记数法表示为1.3×104．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】找出四个选项中几何体的主视图，由此即可得出结论．
【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，
∴A不符合题意；
B、正方体的主视图为正方形，
∴B不符合题意；
C、球体的主视图为圆形，
∴C不符合题意；
第6页（共15页）D、圆锥的主视图为三角形，
∴D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，牢记圆锥的主视图为三角形是解题的关键．
5．【分析】根据调查的方式、中位数、可能性和样本知识进行判断即可．
【解答】解：A、调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式，正确；
B、数据2，0，﹣2，1，3的中位数是1，错误；
C、可能性是99%的事件在一次实验中不一定会发生，错误；
D、从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为100，错误；
故选：A．
【点评】此题考查概率的意义，关键是根据调查的方式、中位数、可能性和样本知识解答．
6．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子 有意义，
∴x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知被开方数具有非负性是解答此题的关
键．
7．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
+ 得：2x＝0，
①解得②：x＝0，
把x＝0代入 得：y＝2，
①
则方程组的解为 ，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
8．【分析】根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判断即可．
【解答】解：两直线平行，同位角相等，A是真命题；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，B是假命题；
第7页（共15页）菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C是假命题；
相等的两个角不一定是对顶角，D是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．【分析】根据“以最大航速沿江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行80km所
用时间相等，”建立方程 即可得出结论．
【解答】解：江水的流速为vkm/h，则以最大航速沿江顺流航行的速度为（30+v）km/h，以最
大航速逆流航行的速度为（30﹣v）km/h，
根据题意得， ，
故选：C．
【点评】此题是由实际问题抽象出分式方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本
题的关键．
10．【分析】根据当k＞0、当k＜0时，y＝kx﹣3和y＝ （k≠0）经过的象限，二者一致的即为
正确答案．
【解答】解：∵当k＞0时，y＝kx﹣3过一、三、四象限，反比例函数y＝ 过一、三象限，
当k＜0时，y＝kx﹣3过二、三、四象限，反比例函数y＝ 过二、四象限，
∴B正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取
值确定函数所在的象限．
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)
11．【分析】直接找出公因式进而提取得出答案．
【解答】解：ab+ac＝a（b+c）．
故答案为：a（b+c）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5．
第8页（共15页）故答案为：a5．
【点评】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．
13．【分析】利用随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果
数进行计算即可．
【解答】解：摸出的小球标号为奇数的概率是： ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的计算方法．
14．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为
0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，
∴22﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个
相等的实数根，则可得△＝0，此题难度不大．
15．【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
16．【分析】直接利用有理数的混合运算法则以及结合已知例题分析得出答案．
【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52017+52018
则5S＝1+5+52+53+…+52017+52019
因此，5S﹣S＝52019﹣1，所以S＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算法则，正确将原式变形是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共86分)
第9页（共15页）17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简
得出答案．
【解答】解：原式＝2× ﹣1+ ﹣1+2
＝1+ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】分别解两不等式，进而得出公共解集．
【解答】解：解 得：x≤4，
解 得：x＞2，①
②
故不等式组的解为：2＜x≤4，
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组的解法，正确掌握基本解题思路是解题关键．
19．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥DC，
∴∠A＝∠C，
在△ABE与△CDF中 ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，
∴EG＝ CD，
∵EG＝5，
∴CD＝10，
∵△ABE≌△CDF，
∴AB＝CD＝10．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A＝∠C．
20．【分析】（1）根据购买两种树苗所需费用＝A种树苗费用+B种树苗费用，即可解答；
（2）根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确定x的取值范围，再
根据（1）得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可
得出更合算的方案．
第10页（共15页）【解答】解：（1）根据题意，得：y＝90x+70（21﹣x）＝20x+1470，
所以函数解析式为：y＝20x+1470；
（2）∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，
∴21﹣x＜x，
解得：x＞10.5，
又∵y＝20x+1470，且x取整数，
∴当x＝11时，y有最小值＝1690，
∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．
【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，
找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
21．【分析】（1）用“戏曲”的人数除以其所占百分比可得；
（2）用总人数乘以“民乐”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；
（3）用360°乘以“戏曲”人数所占百分比即可得；
（4）用总人数乘以样本中“书法”人数所占百分比可得．
【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%＝100名，
故答案为：100；
（2）“民乐”的人数为100×20%＝20人，
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360°×10%＝36°，
故答案为：36°；
（4）估计该校喜欢书法的学生人数为2000×25%＝500人．
第11页（共15页）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
22．【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．
（2）易证∠FAC＝∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是
O的切线．
⊙【解答】解：（1）∵AB＝4，
∴OB＝2
∵∠COB＝60°，
∴S扇形OBC ＝ ＝
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC＝∠CAO，
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO
∴∠FAC＝∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C在圆上，
∴CD是 O的切线
【点评】本⊙题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方
法，本题属于中等题型．
23．【分析】（1）添加条件AD＝BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即
可；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为
角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可
得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF＝∠AEB，根据sin∠AGF的
值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．
【解答】解：（1）当AD＝BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：
第12页（共15页）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：AD＝BC；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAG+∠FGA＝90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAG＝∠EAB，
∴∠AGF＝∠ABE，
∴sin∠ABE＝sin∠AGF＝ ＝ ，
∵AE＝4，
∴AB＝5，
则圆O的半径为2.5．
【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平
分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
24．【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a＝2，然后求出a即可得到抛物线
解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接
第13页（共15页）DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的
值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负
倒数设直线PC的解析式为y＝﹣ x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为
y＝﹣ x+3，再解方程组 得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物
线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB＝MB′，
∴MB+MD＝MB′+MD＝DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y＝x+3，
当x＝0时，y＝x+3＝3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
第14页（共15页）∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y＝﹣ x+b，
把C（0，3）代入得b＝3，
∴直线PC的解析式为y＝﹣ x+3，
解方程组 ，解得 或 ，则此时P点坐标为（ ， ）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线AP的解析式可设为y＝﹣ x+b，
把A（﹣1，0）代入得 +b＝0，解得b＝﹣ ，
∴直线AP的解析式为y＝﹣ x﹣ ，
解方程组 ，解得 或 ，则此时P点坐标为（ ，﹣ ），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ），
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函
数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过
解方程组求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短
路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/9/16 12:37:35；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第15页（共15页）
