文档内容
普通高中教科书
物 理
必 修
第 二 册
总主编 束炳如 何润伟
上海科技教育出版社2
亲爱的同学：
欢迎你学习《物理（必修 ）》！
2
你已经投身于一项激动人心的探索活动。让我们继续携手，
度过一段美好的时光。
你周围世界发生的事情几乎都跟物理学有关，现代社会的
许多技术进步都源于对物理规律的理解和应用。学习物理可以
使你提高科学素养的愿望得到实现，甚至可以使你成为“专家”。
作为现代社会的公民，物理学将有助于我们解决生活、生产中
的许多问题。
在《物理（必修 ）》中，我们将学习曲线运动，探索机
2
械能及其守恒定律，领会万有引力定律的重要意义，了解从牛
顿力学到现代物理的变革，体会物理学的思想观点和研究方法，
认识物理学在科学技术上的广泛应用，及其对人类文明与社会
发展的巨大影响。
为了让你在学习《物理（必修 ）》的过程中获得更大的成功，
2
请浏览下面的本书栏目介绍。
每章的开头都有一
些情境，提出一些问题，
让你明确本章研究的主
要内容。
5
第 章 经典力学的局限性
与相对论初步
经典力学（classical mechanics），通常叫牛顿力学。
牛顿把地面上物体的运动与行星的运动综合起来进行深入
研究，总结了经典力学的基本规律。他的不朽名著《自然
哲学的数学原理》，为经典力学奠定了基础。 实验探究
步入 世纪末叶，在经典力学基础上发展起来的经
19
典物理学，似乎到了尽善尽美的程度。著名物理学家开尔 这里将第 2 章要 抛体运求动 你提出问题3，3
文勋爵（ Lord Kelvin ）踌躇满志地宣告：“科学大厦已经基 这样，伽利略对物体做平抛运动的过程和轨迹给出了完整
本建成。”但他也有所担忧：“在物理学晴朗天空的远处， 的描述。伽利略关于平抛运动的研究结论，不但具有重要的实
还有两朵小小的令人不安的乌云。” 用价值，而且揭示了研究二 设 维运动 计 的基 实 本方法 验 。 方案，动手做一些有
开尔文担忧的“两朵乌云”是什么呢？ 伽利略对平抛运动的研究与分析，对你研究较复杂的运动
当物理学研究扩展到微观、高速领域时，人们发现经 有什么启示？ 意义的实验，进行科学探究。
典力学不再适用。 世纪初，物理学家创立了相对论和量
20
子论，驱散了“两朵乌云”，奠定了现代物理学的基础。 验证伽利略的研究结论
本章你将在了解经典力学巨大成就及其局限性的基础
上，初步了解相对论时空观，关注宇宙起源和演化，体会 下面我们用实验来验证伽利略关于平抛运动的上述研究
人类对自然界的探索永无止境。 结论。
实验探究 研究平抛运动 A A B B
实验的部分装置如图 所示。实验时，用小锤击打弹
2-1-4
性钢片，小球B沿水平方向飞出，做平抛运动；同时小球A被
放开，做自由落体运动。
用小锤击打弹性钢片后，你观察到了什么现象？
请你分析一下：这个实验的结果能验证伽利略关于平抛运
动的研究结论吗？请说出你的理由。
A B
我们还可以用频闪照相的方法进一步验证伽利略的研究 A B
结论。 图2-1-4 研究平抛运动的实验
图2-1-4 研究平抛运动的实验
分析与论证 研究平抛运动的频闪照片
我们用频闪照相的方法记录小球在平抛运动中的运动情况。
图 2-1-5 是以间隔 3 1 0 s 拍摄的频闪照片，其中小球A做自由落
体运动，小球B做平抛运动。请你用刻度尺分别测量小球A和
B在不同时刻所处的水平位置x和竖直位置y，记录在下表中，
并讨论表后所列问题。 A B
t / æ è3 1 0sö ø 0 1 2 3 4 5 …
A x
/m
球 y
/m
B x
/m
球 y
/m
. 频闪照片上小球的轨迹跟伽利略用几何方法得到的轨迹
1
是否一致？ 图2-1-5 平抛运动的频闪照片第 2 章 抛体运动
3
分析与论证
这里你将进行分析、综合，并 分析与论证 分析产生离心现象的原因
设质量为m的物体，沿半径为R的圆周做匀速圆周运动，
运用数学工具进行推理，得出物理 线速度为v，运动中受到指向圆心的外力的合力为F，如图
3-4-3
所示。
学规律和公式。通过这一过程，你 物体做匀速圆周运动所需要的向心力是F mv2。
向心= R
试根据向心力公式，思考讨论下列几种情况时物体的运动
将体会科学思维的魅力。
状况：
学生必学做生实必验做实验探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
我们知道，向心力的大小跟运动物体的质量、速度和圆周
学生必做实验
运动的半径有关。本实验根据向心力公式，进一步探究向心力
大小与物体的质量、角速度、圆周半径之间的关系。
如图 所示，向心力实验仪主要由调速轮、长滑槽、 这里为你提供了完整的实
3-2-5
短滑槽、横臂、弹簧测力套筒、标尺、转动手柄、传动皮带、小球、
基座等组成。
验活动，让你通过动手实验，探
索物理规律，学习物理方法，形
成物理观念，提高解决问题的能
力，体验成功的喜悦。
图3-2-5 向心力实验仪
信息浏览
信息浏览、STSE 信息浏览
时间延缓效应的实验验证
这里为你提供了各种有趣、有用的
通过观察高速运动的微观粒子，时间的相对性
反复地得到了证实。例如，有一种粒子叫μ子，它
资料，包括物理学史上的经典事例、科 的寿命只有 2.2 μ s ，就是说，如果你观察一个相对
于你静止的μ子，你只能观察 μ，之后它就发
2.2 s
生了衰变。在高能物理实验室中，μ子可以加速到
学家小故事等，它们反映了物理学与科
0.9966
c，由公式计算出它的平均寿命为
26.7
μ
s
，
实验值也为约 μ。因此，实验完全证实了时间
26.4 s
延缓公式。
学、技术、社会、环境的紧密联系。你 年哈夫勒（ ）和基廷（ ）
1971 , J. Hafele R. Keating
用喷气式飞机携带铯原子钟进行环球飞行实验，证
的视野将更开阔，你会更加热爱科学。 实了时钟延缓效应（图 5-3-6 ）。
多学一点 圆周运动的速度
做圆周运动的物体在圆周上某一点的瞬时速度v可以用以 多学一点
下方法求得。
如图 3-1-7 所示，假如物体在圆周上从A点运动到B点， 这里将介绍更多更深的奥
位移是AB，所用的时间为Δt。根据速度的定义，速度是位移
AB跟所用时间Δt的比值，即v AB，这是Δt时间内的平均
速度。所取的时间Δt越短，B 点 = 越Δ接 t 近A点，物体在AB间的 秘，以开阔你的视野。你如果
运动就越接近于匀速直线运动，所求的平均速度也越接近于A
点的瞬时速度。假如所取的时间为无限短，B点将无限逼近A点， 有兴趣，可以作进一步的探索。
此时求得的平均速度，就是A点的瞬时速度了。
速度是矢量。做圆周运动的物体在圆周上某一点的瞬时速
度的方向，是圆周上这点的切线方向。
课题研究
课题研究
研究水柱的射程
这里提供了一些课题供你选
请用图 所示的装置研究水桶内
2-2-6
水的深度与水柱射程的关系，并用适当的
择研究，这种研究将使你的才智得
方式描述这种关系。
到充分的展示。
图2-2-6 研究水柱的射程4
目 录
1
第 章 功和机械能 ……………………… 6
1.1 动能变化跟做功的关系 …………………… 7
1.2 功与功率 …………………………………… 12
1.3 动能定理的应用 …………………………… 17
1.4 势能的变化与机械功 ……………………… 21
1.5 机械能守恒定律 …………………………… 25
2
第 章 抛体运动 ………………………… 30
2.1 飞机投弹与平抛运动 ……………………… 31
2.2 平抛运动的规律 …………………………… 35
2.3 斜抛运动 …………………………………… 40
3
第 章 圆周运动 ………………………… 46
3.1 怎样描述圆周运动 ……………………… 47
3.2 匀速圆周运动的规律 ……………………… 51
3.3 圆周运动的案例分析 ……………………… 56
3.4 离心现象及其应用 ………………………… 59第 2 章 抛体运动
5
4
第 章 万有引力与航天 …………… 65
4.1 从托勒密到开普勒 ………………………… 66
4.2 万有引力定律是怎样发现的 ……………… 70
4.3 飞出地球去 ………………………………… 76
5
第 章 经典力学的局限性与
相对论初步 …………………… 83
5.1 经典力学的巨大成就和局限性 …………… 84
5.2 狭义相对论的基本原理 …………………… 88
5.3 相对论的时空观与宇宙演化 …………… 93
总结与评价 课题研究成果报告会…………… 100
研究课题示例 ……………………………………100
评价表 …………………………………………… 1016
1
第 章 功和机械能
你坐过游乐园里的过山车吗？如果坐过 , 你的感觉如
何？过山车时而在低处蜿蜒穿行，时而在高处倒悬着掠过
弧顶。当它从高处直冲而下，速度最高可达 200 km/h，当
它沿扭转的轨道疾驰，你瞬时感觉天旋地转，定会惊叫连
连。太惊悚了！太刺激了！
你能从物理学的角度思考过山车的原理吗？这里涉及
做功、物体的动能、势能及其相互转化等物理学原理呢！
本章将以汽车的运动为背景，深化对功和功率的认识，
通过实验探究物体的动能变化跟做功的关系。接着以打桩
机的工作为背景，研究重力做功与重力势能变化的关系，
通过实验验证机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理
规律的重要性。第 1 章 功和机械能
7
1.1 动能变化跟做功的关系
如图 所示，汽车启动后，在牵引力的作用下行驶一 牵引力
1-1-1
段距离，速度发生了变化。根据初中所学的知识，牵引力对汽
车做了功，汽车的动能就发生了变化。那么，汽车动能的变化
跟牵引力做的功有什么关系呢？
从汽车的动能变化谈起
从汽车的从动汽能车变的化动谈能起变化谈起
图1-1-1 汽车在牵引力作用下运动
分析论证 研究汽车动能的变化过程
分析与分论析证论 证 研研究究汽汽车车动动能能的的变变化化过过程程
如图 所示，假设有一辆质量为m 的汽车，不受阻力
如图 1-1所-2示，假设有一辆质量为m的汽车，在不变的牵引
作用，5在-1不-2变 如 的 图 牵引力 F 所 作 示 用 ，假 下 设 沿 有 平 一 直 辆 公 质 路 量 行 为 驶m， 的 速 汽 度 车 由 ， v 在 增 不变的牵引
5-1-2
力F作用下行驶，速度由v 增加到v，相应的行驶距离为s。那么1，
大到v ，力相F应作的用行下驶行距驶 1离，为速 s 度。由那2 v么增，加在到此v过，相程中应，的汽行车驶的距加离速为s。那么，
在此过程2中，汽车的加速度多大？汽车1 运动的速2 度v、v 跟牵引力
度多大？在汽此车过运程动中的，速汽度车
v
的、加
v
速，度跟多牵大引？力汽
F
车、运行1 动驶2 的距速离度
s
的v、关v 跟牵引力
F、距离s的关系是怎样的？ 1 2 1 2
系是怎样F的、？距离s的关系是怎样的？
根据牛顿第二定律有 F ma
根据牛顿根第据二牛定顿律第有二定 = 律F有ma F ma
v v = =
由运 由 动 运 学 动 公 学由 式 公运 有 式动有 a = 学公 2 2- 式s 1 2 有a v 2 2- v 1 2
2 = s
由此可得 2
由此可得由此可得
Fs = 1 mv 2 2- F1s m = v m 1 2 v 2 2 - mv 1 2 （ 1 ） （ 1 ）
2 2
请想一想，上式表示什么物理意义？
请想一想，（1）式表示什么物理意义？
v
1 v
2
F
F
s
图1-1-2 汽车在不变的牵引力作用下运动，速度增大
动能 动能定理
汽车牵引力是工程技术上为
了计算方便而引入的一个等效
我们来分析（ ）式的物理意义。
1 力。在汽车行驶过程中，发动机
等式左边的Fs是我们在初中就已熟悉的功。汽车在行驶
动力做功，可以等效地看成是牵
1.
距离s的过程中牵引力F所做的功W = Fs。 引力对汽车所做的功。8 从汽车的动能变化谈起
等式右边的两项跟汽车的质量和速度有关。物理学中把
2.
分析论证 研究汽车动1能m的v2变叫化做过物程体的动能（ ），用符号E 表示，即
2 kinetic energy k
E 1 mv2
如图 所示，假设有一辆质量为m的汽车，在
k
=不 变 的牵引
5-1-2 2
力F作用下行驶，速度由v 增加到v，相应的行驶距离为s。那么，
动能是标量，在国际单位制中，动能的单位是焦耳，简称焦，
1 2
在此过程中，汽车的加速
符
度
号
多
是
大
。
？汽车运动的速度v、v 跟牵引力
1 2
J
F、距离s的关系是怎样的？
根据牛顿第二定律有 请F思考m：a 大货车与小汽车以相同的速率行驶时，谁具有
=
的v动2 能v 2 大？同一辆小汽车，或以 60 km/h 的速率行驶，或以
由运动学公式有a 2- 1
= s
110 2km/h 的速率行驶，它以哪个速率行驶时所具有的动能大？
由此可得
物理量的增量是指后一时刻 Fs 1 mv 2 1 mv 2 反映了汽车从初状态到末状态的动能变化，
的量值减去前一时刻的量值。 3=. 2- 1
2 2
我们称它为汽车动能的增量，即 ΔE E E 。于是（ ）式
k = k2 - k1 1
可写成：
W ΔE （ ）
= k 2
需要指出，上式虽然是以汽车的运动为例推导出来的，但
从汽车的动能变具有化普谈遍起意义。理论和实验都表明，外力对物体所做的功等于
物体动能的增量。物理学中把这个结论叫做动能定理（
theorem
）。
分析论证 研究汽车动能的变化过程
of kinetic energy
动能定理是一条重要的物理规律，（ ）式是它的数学表达式。
2
如图 所示在，下假一设节有我一们辆将质运量用为（ m的）式汽对车功，在的不概变念的和牵功引能关系作进一步的
5-1-2 2
讨论。
力F作用下行驶，速度由v 增加到v，相应的行驶距离为s。那么，
1 2
在此过程中，汽车的加速度多大？汽车运动的速度v、v 跟牵引力
1 2
实验探究 恒力做功与物体动能变化的关系
F、距离s的关系是怎样的？
根据牛顿第二定律有下面再F用实m验a 来研究动能定理。
=
v v
2 2
由运动学公式有a 2- 1
=提出s问题
2
由此可得
前面已通过理论分析，得出了恒力做功与物体动能变化的关
系，即FWs
1
mv
2 1
mv
2
。那么，能否用实验对此进行验证呢？
= 2- 1
2 2
制订计划与设计实验
为了探究恒力做功与物体动能变化的关系，你应该怎样来
设计实验，需要测量哪些物理量？
请写出你制订的探究计划。
图 是向你推荐的一种实验装置。你也可以根据自己
1-1-3
制订的计划，选用其他器材设计实验。图 的方格坐标纸
1-1-4第 1 章 功和机械能
9
光电门 连连接计计时时器器
气垫导轨 滑块
通气源
刻度尺
钩码
图1-1-3 用气垫导轨验证动能定理的实验装置
以下两个研究计划供你
可供你在实验中选用。
参考以，你下也两可个以研制究定计其划他供计你参
你选用了哪些实验器材？ 考划。，你也可以制订其他计划。
实验中钩码的质量要远小于滑块的质量，为什么？ 11.. 直直接接验验证证 逐逐一一比比较较外
力力对对物物体体做做的的功功与与物物体体动能动能的
请写出你设计的实验方案。
增增量量的。大小。
22..用用图图像像验验证证 根根据据公式
进行实验与收集证据
W
1
mv2，，用用实实验验数数据据作作出出图像，
=
请写出你实验中的主要步骤，设计表格，记录实验中收集 2
图研究像，W研与究v图2、像 W能与否m反的映关W系。
到的数据。
与v·2 、W与m的关系。
科学不能停留在单纯地观测
分析论证
数据上，必须对观测到的数据进
请写出数据的主要处理过程。 行细致的分析，才能找到规律。
通过分析，你得出的结论是什么？
图1-1-4 方格坐标纸
评估
请思考，在你的实验中：
主要误差是什么？你是如何减小误差的？
你认为如何改进，可以使你的实验更好一些？从汽车的动能变化谈起 从汽车的动能变化谈起
分析论证 研究汽车动能的变化过程 分析论证 研究汽车动能的变化过程
10
如图 所示，假设有一辆质量为m的汽车，如在图不变的牵所引示，假设有一辆质量为m的汽车，在不变的牵引
5-1-2 5-1-2
交流与合作
力F作用下行驶，速度由v 增加到v，相应的行驶力距F作离用为下s。行那驶么，速，度由v 增加到v，相应的行驶距离为s。那么，
1 2 1 2
与同学交流讨论，了解他们制订的探究计划和设计的实验
在此过程中，汽车的加速度多大？汽车运动的速在度此过v、程v 跟中牵，汽引车力的加速度多大？汽车运动的速度v、v 跟牵引力
1 2 1 2
方案，分析其中有哪些地方是值得你学习的。
F、距离s的关系是怎样的？ F、距离s的关系是怎样的？
完成一份实验报告。
根据牛顿第二定律有 F ma 根据牛顿第二定律有 F ma
= =
v v v v
2 2 2 2
由运动学公式有a = 2多 - s学1 一点 过程量 由 与 运 状 动 态 学公 量 式有a = 2- s 1
2 2
由此可得 由此可得
由动能定理的分析过程可知，动能是跟物体的运动状态有
关的Fs物理 1 m量v 2 。 1 mv 2 是物体在速度为 v 时刻的动能Fs， 1 mv 2 是 1 物mv 2
= 2- 1 1 = 2- 1
2 2 2 2
体在速度为v 时刻的动能，W是物体由速度v 增大到v 过程中，
2 1 2
力对物体所做的功，它反映的是力对物体的做功过程。
由此可见，功是力对物体作用的过程量，动能是跟物体运
动有关的状态量。动能定理则把做功过程与物体状态（动能）
的变化联系了起来。
案例分析
案例 图 是一颗质量为 的子弹以 的速
1-1-5 40 g 100 m/s
度击穿苹果瞬间的照片。子弹穿过苹果后，速度降为 。
60 m/s
问子弹击穿苹果前后的动能变化了多少？苹果对子弹做了
多少功？
分析 以子弹为研究对象，在子弹击穿苹果的过程中，由
于苹果的阻力对子弹做了功，子弹的动能减少了。根据子弹击
穿苹果前后的速度变化，可以计算出子弹的动能增量ΔE 。再
k
根据动能定理W ΔE ，就可以算出苹果对子弹所做的功了。
= k
解答 子弹的质量 m × -2 ，子弹的初速度
= 40 g = 4.0 10 kg
v 击穿苹果后的速度v 。
1 = 100 m/s, 2 = 60 m/s
图1-1-5 子弹击穿苹果的照片从汽车的动能变化谈起
分析论证 研究汽车动能的变化过程
如图 所示，假设有一辆质量为m的汽车，在不变的牵引
5-1-2
力F作用下行驶，速度由v 增加到v，相应的行驶距离为s。那么，
1 2
在此过程中，汽车的加速度多大？汽车运动的速度v、v 跟牵引力
1 2
F、距离s的关系是怎样的？
根据牛顿第二定律有 F ma
=
v v 第 1 章 功和机械能
由运动学公式有a 2 2- 1 2 11
由动能定理W ΔE 可=知，苹s 果对子弹做的功与子弹击穿
2
由此可得 = k
苹果前后动能的变化量是相等的，
W ΔE E EFs 1 mv 2 1 mv 2
= k = k2 - k1 = 2- 1
2 2
代入数值得W 。
= -128 J
负号表示苹果对子弹做负功，使子弹的动能减少。
STSE
公路上为什么要限制车速 高速公路对中、重型车辆和客车的车速限制一般
当公路上行驶的车辆发生意外碰撞时，它们 是 ，对小汽车一般是 。
100 km/h 120 km/h
的损坏程度和事故的严重性跟碰撞前车辆的动能 有的汽车，如城市中的双层客车，在设计时
大小有关，而车辆的动能则取决于车辆的质量和 厂家就把车速限制在 。当汽车速度大于
70 km/h
车速的平方。因此在公路（尤其是高速公路）上， 时，即使驾驶员踩油门加速，燃油系统
70 km/h
都有限制车速的标志。货车、客车的质量较大， 也不会把燃油送到发动机中，直到汽车速度小于
对它们速度大小的限制值要比轿车小一些。例如， ，才会恢复供油。
70 km/h
家庭作业与活动
1. 把一辆汽车的速度由 提高到 ， 了多少功？物体的动能增加了多少？
10 km/h 20 km/h
跟把这辆汽车由 提高到 相比， 3. 质量m 的物体，原来的速度v ，
50 km/h 60 km/h = 500 g 1 = 2 m/s
哪种情况下要做较多的功？试通过计算来 受到一个与运动方向相同的力F 的作用，
= 4 N
说明。 在光滑水平面上发生了位移s 。问物体的
= 2 m
2. 质量是 的物体， 从 高处自由下落 末动能是多大？
0.5 kg 15 m
到 高处。在这个过程中，重力对物体做
10 m12
1.2 功与功率
在初中，我们研究过力与运动方向相同的情形中功的计算
式 W F s，高中物理中则要从功和能的关系上进行研究，加深
=
对功的理解。
当力的方向与物体的运动方向不相同时（图 ），怎
1-2-1
样计算力对物体做的功呢？
F
s
α
α s
F
a 擦地板的力F 做功 b 拖木箱的力F做功
图1-2-1 力跟位移不在一条直线上
怎样计算力跟位移成一定夹角时的功
分析与论证 计算力跟位移成夹角 α 时的功
如图 所示，人向斜上方拉木箱，设拉木箱的力 F
1-2-1b
跟水平地板的夹角为α，木箱在水平地板上的位移为s。
为了计算力 F 对木箱做的功，可将 F 按图 所示分解
1-2-2
为F 和F 。F 跟运动方向垂直，不做功；F 跟运动方向一致，
1 2 2 1
对木箱做功。根据力的分解知识可得
F F α
1 = cos
所以，当力跟位移成夹角α时，功的计算公式是
W Fs α
= cos
这是计算功的一般公式，它表明，力对物体所做的功，等
于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
功是标量，在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，
符号是 。
J第 1 章 功和机械能
13
F F
F F
2 2
α α
F F
1 1
是 。 s
J
图1-2-2 拉力的水平分力跟位移方向相同
案例分析
案例 如图 所示，两人用力推一辆熄火的小轿车，每人
案例分析
■ 5-2-3
用力的大小都是 ，方向都跟车的运动方向成 角。当小轿
案例 如图 200N 所示，两人用力推一辆熄火30的° 小汽车，
车前进了 时 ，1汽-2车-3发 动机点火启动。问：
每人用力的20大m小都是 ，方向都跟车的运动方向成 °。当
（）在推车过程，两人 2对00车 N一共做了多少功？ 30 30° 30°
小1汽车前进了 时，汽车发动机点火启动。问：
（）两人应该 怎20样 m推 车，才会有最好的效果。
2 （ ）在推车过程，两人对车一共做了多少功？
分1析 先根据公式W = F s α计算出一个人推汽车所做的
■ （ ）两人应该怎样推车，c才os会有最好的效果。
功，再计2算 出另一个人推车所做的功，最后将两人推汽车所做的
分析 先根据公式 W Fs α 计算出一个人推汽车所做的
功 相加就是做的总功了 。 = cos
功，再计算出另一个人推汽车所做的功，最后将两人推汽车所
写出你的计算过程。
做的功相加就是做的总功了。
有的同学提出：也可以先求出两人推汽车的合力，再求合力做的
写出你的计算过程。
功，这个值应该与用上面的解法得到的结果相同。
有的同学提出：也可以先求出两人推汽车的合力，再求合
图1-2-3 两人推汽车
你同意他的意见吗？请试一试。
力所做的功，这个值应该与用上面的解法得到的结果相同。
你同意他的意见吗？请试一试。
正功、负功的含义
正功、负功的含义
〓
把计算功的一般公式（W = F s α）和动能定理（W = E）结合起
把计算功的一般公式（W Fs α）和动能定理（W
cos Δ
= cos =
来做些分析，不仅可以加深对功的含义的理解，而且可以进一步
ΔE ）结合起来做些分析，不仅可以加深对功的含义的理解，
k
揭示做功和能量变化之间的联系。
而且可以进一步揭示做功和能量变化之间的联系。
当当力力FF 与与物物体体位位移移ss 之之间间的的夹夹角角α等
α
等于于零零时时，根，据根功据的功一的般一计
般算计式算，式，α = ，αW = F，s， W 这表 F 示 s，力这F表对示物力体做 F 对正物功；体由做动正能功定。理由可
cos co1s = 1 =
动知能，因定为理W可>知，，所因以为WE > ，，这所说以明Δ物E体的，动这能说增明加物。体且的做动了能多
0 Δ > 00 k > 0
增少加功，，动且能做就了增多加少多功少，。动能就增加多少。
请请讨讨论论当当 α 、α 、 α 三三种种情情况况下下，，做做功功的
π π π
0< < = < ≤π
2 2 2
的正负情况和做功与动能变化的关系。
综上所述，力对物体做正功时，物体的动能增加；力对物
体做负功时，物体的动能减少；力对物体做多少功，物体的动
能就变化多少。这就是说，功是能量变化的量度。14
请思考并讨论：在汽车启动、加速、减速、制动等各个过
程中，分别有哪些力对汽车做功？哪些力对汽车做正功？哪些
力对汽车做负功？做功与动能变化的关系怎样？
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“功”的概念是怎样建立的 诺（ ）以重物与升高的高度乘积来评价
L. Carnot
在物理学的发展过程中，随着动力学研究 机器的功效，称其为“作用矩”；法国数学家
的进展，人们逐渐认识到需要一个物理量来衡 蒙日（ ）则把功称为“动力效应”；法
G. Monge
量“运动量”的转移问题。 国工程师彭赛列（ ）明确推荐了“功”
J. Poncelet
到 、 世纪，欧洲的机械工业蓬勃发展。 这个名词。从此，“功”的概念从机械功效的
18 19
在分析机器的运转中，功作为一个基本参数， 研究中被引入到了物理学。
逐渐显示出它的重要性。例如，法国工程师卡
研究功率
研究功率
〓
我们知道，物体做功的快慢用功率来表示。功 W 与完成这
我们在初中已经知道，物体做功的快慢用功率来表示。功W跟完
些功所用时间 t 的比叫做功率（ ），功率用符号 P 表示，
成这些功所用时间t的比值叫做功p率ow，e功r 率用符号P表示，则
即
W
P
= t
在在国国际际单单位位制制中中，，功功率率的的单单位位是是瓦瓦特特（，简）称，瓦简，称符瓦号，符是号是。
watt W
。 。技。术技上术常上用常千用瓦千（瓦（）做）做单单位位，， 。。
W1 W 1= W1 J=/s1J/s kWkW 11 kkWW == 11 000000 WW
机机器器的的功功率率是是衡衡量量机机器器性性能能的的重重要要指指标标。。图图 给给出出了了几
5-12--26-4
种几汽种车汽的车发的动发机动功机率功。率发。动发机动功机率功大率的大汽的车汽，车单，位单时位间时内间做内的做功
多的，功因多而，动因能而增动加能得增也加快得。也多。
想想一一想想：：为为什什么么赛赛车车的的功功率率都都比比较较大大？？
你是否注意到，汽车在路面较好的公路上行驶时，车速较快，
而在路你面是较否差注意的到公，路汽上车行在驶路，面或较者好上的坡公时路，司上机行常驶时通，过车换速挡较来快减，
而在路面较差的公路上行驶或者上坡时，司机常通过换挡来减
小车速。这表明：当汽车的功率一定时，汽车的牵引力跟车速有
小车速。这表明：当汽车的功率一定时，汽车的牵引力跟车速
一定的关系。那么，牵引力跟车速、功率之间究竟有什么关系呢？
有一定的关系。那么，牵引力跟车速、功率之间究竟有什么关
系呢？
分析论证 研究力、速度跟功率之间的关系
分析与论证 研究力、速度跟功率之间的关系
如图 所示，若汽车在牵引力F的作用下做匀速直线运
5-2-7
动，经如过图时间t从A所运示动，到若B汽，车行在驶恒的定距的离牵为引s。力 F 的作用下做匀
1-2-5
根据功和功率的定义式W=Fs，P ，以及速度公式v ，可以推
= =
导出牵引力做功的功率
P=Fv
请写出你的推导过程。
这个公式反映了功率跟力和速度之间的关系。公式虽然是
在匀速直线运动的情况下推导出的，但对变速运动也适用。在变
速运动中，如果公式中的v是时间t内的平均速度，那么P就是这
段时间内的平均功率；如果v表示物体在某一时刻的瞬时速度，那
么P就是该时刻的瞬时功率。
请用这个公式分析：为什么汽车在路面较差的公路上行驶或
爬坡时，司机总要通过换挡来减小车速？
如果汽车上坡时仍要保持原来的速度，司机应该怎样做？为
什么要这样做？怎样描述运动的快慢
第 1 章 功和机械能
15
物体的运动常常有快有慢，方向也会变化。那么怎样描述物体运
动的快慢呢？由于物体的运动跟时间与空间有关，因此，为了描
述物体运动的快慢，物理学中就引入了一个跟时间和空间有关的
物理量，这个物理量就是速度。
小型汽车，功率约40 kW
货车，功率约100 kW
什么叫速度
为了定量地描述物体运动的快慢，我们从研究简单的直线运
动开始。
如图 所示，一辆汽车沿平直公路行驶，请仔细分析图
1-2-1
中秒表的示数和汽车的位移，判断汽车在做怎样的运动？
高级小汽车，研功率究约功180率 kW 铰接客车，功率约150 kW
物体沿直线运动，如果在相等的时间内通过的位移相等，这种运
〓
动叫做匀速直线运动 图。1-2-4 几种汽车发动机的平均功率
(uniform rectilinear m我ot们ion在) 初中已经知道，物体做功的快慢用功率来表示。功W跟完
成这些功所用时间t的比值叫做功率，功率用符号P表示，则
在物理学中，把物体通过的位移s跟发生这段位移所用时间t
速直线运动，经过时间t，从A运动到B，行驶的距离为s。
的比值叫做速度 。用v表示速度 则有
W
(velocity) 根据功 , 和功率的定义式 W F s，P ，以及速度公式
= = t
s
v ，可以推导出牵引力做功的功率
= t 在国际单位制中，功率的单位是瓦特（ ），简称瓦，符号是
watt
。 。技术上常用千瓦（ ）做单位， 。
在国际单位制中，速度的单位是米每秒，符号为 （或 ）。
W 1W=1J/s P -1F v kW 1kW=1000W
机器 m 的 /s 功率 m 是 · 衡 s = 量机器性能的重要指标。图 给出了几
5-2-6
请写出种你汽的车推的导发过动程机。功率。发动机功率大的汽车，单位时间内做的功
这个公多式，反因映而了动功能率增跟加力得也和快速。度之间的关系。公式虽然是
在匀速直线运动想的一情想况：下为什推么导赛出车的的，功但率对都变比速较运大动？也适用。在
匀变速直线运动你中是，否如注果意公到式，汽中车的在v路是面时较间好t 内的的公平路均上速行度驶，时，车速较快，
那么 P 就是而这在段路时面间较内差的的平公均路功上率行；驶如，果或者v 表上示坡物时体，司在机某常一通时过换挡来减
刻的瞬时速 小 度 车 ， 速 那 。 么 这P表 就 明 是 ： 该 当 时 汽 刻 车 的 的 瞬 功 时 率 功 一 率 定 。 时，汽车的牵引力跟车速有
请用这个公式分析：为什么汽车在路面较差的公路上行驶
一定的关系。那么，牵引力跟车速、功率之间究竟有什么关系呢？
或爬坡时，司机总要通过换挡来减小车速？
如果汽车上坡时仍要保持原来的速度，司机应该怎样做？
分析论证 研究力、速度跟功率之间的关系
为什么要这样做？
如图 所示，若汽车在牵引力F的作用下做匀速直线运
5-2-7
动，经过时间t从A运动到B，行驶的距离为s。
v v
根据功和功率的定义式W=Fs，P ，以B及速度公式v ，可以推
1 A 2
= =
导出牵引力做功的功率
F
F
s
P=Fv
请图写1-2出-5你 汽的车推在导牵过引力程作。用下匀速行驶
这个公式反映了功率跟力和速度之间的关系。公式虽然是
在匀速直线运动的情况下推导出的，但对变速运动也适用。在变
速运动中，如果公式中的v是时间t内的平均速度，那么P就是这
段时间内的平均功率；如果v表示物体在某一时刻的瞬时速度，那
么P就是该时刻的瞬时功率。
请用这个公式分析：为什么汽车在路面较差的公路上行驶或
爬坡时，司机总要通过换挡来减小车速？
如果汽车上坡时仍要保持原来的速度，司机应该怎样做？为
什么要这样做？16
家庭作业与活动
1. 某人推着一辆质量为 的自行车上坡。已 手拉葫芦（差动滑轮），一般在 内可将
10 kg 5 min
知坡的倾斜角为 °，长度为 ，此人所 钢材提高 。比较运动员举杠铃和用
30 300 m 500 kg 2 m
用的推力为 ，方向平行于坡面。在他把自 手拉葫芦吊钢材时做功的功率。
75 N
行车从坡底推到坡顶的过程中： 3. 一台水泵每秒能把 的水抽到 高的水
30 kg 10 m
（ ）他对自行车做的功是多少？ 塔上。不计额外功的损失，这台水泵的输出功
1
（ ）重力对自行车做的功是多少？ 率是多大？如果保持这一输出功率，半小时能
2
2. 图 中，一名举重运动员在 的时间内把 做多少功？g取
2
。
1-2-6 1 s 10 m/s
重 杠铃举高了 ；而我们知道，用 4. 一辆汽车以 的速率在水平路面上匀速
210 kg 1.2 m 108 km/h
行驶。如果作用在汽车上的空气阻力与摩擦力
之和为 （图 ），那么汽车发动机
800 N 1-2-7
输出的功率多大？
108km/h
800N 800N
空气阻力和摩擦力 牵引力
图1-2-7
图1-2-6
课题研究
研究汽车的功率和速度 在什么情况下要减小油门。
观察司机启动汽车的过程。
在司机的指导下，完成下列任务。 5.
尽可能用你所学的物理知识分析你所了解
观察汽车的铭牌，了解汽车发动机的功
1.
的情况，并将你的体验与分析过程写成调查报
率等主要参数。
告。同时拍摄相关的照片，并加以说明。
观察汽车的驾驶室（图 ），了解驾
2. 1-2-8
驶台上有哪些仪表，它们的用途是什么，怎样
读取仪表上的数据。
了解司机在什么情况下要换挡，他是怎
3.
样通过换挡来变速的。了解你所参观的汽车采
用的是无级变速还是分挡变速，汽车变速系统
的基本物理原理是什么。
请教司机，在什么情况下要加大油门， 图1-2-8 汽车驾驶室
4.第 1 章 功和机械能
17
1.3 动能定理的应用
动能定理是物理学的重要原理。用动能定理分析问题，只
需考虑物体初、末状态的动能与外力对它所做的功，而不必考
虑物体的加速度和时间，因而往往比用牛顿定律和运动学规律
更简便。下面来分析几个具体案例。
研究汽车的制动距离
案例分析
案例 汽车的制动性能是衡量汽车性能的重要指标。在一
次汽车制动性能的测试中，司机踩下制动闸，使汽车在阻力作
用下逐渐停止运动（图 ）。下表中记录的是汽车以不同
1-3-1
速率行驶时，制动后所经过的距离。
汽车速率v（ ） 制动距离s
-1
/ km·h /m
10 1
20 4
40 16
？
60
请根据表中的数据，分析以下问题：
（ ）为什么汽车的速率越大，制动距离也越长？
1
（ ） 让汽车载上 名乘客，再做同样的测试，制动距离
2 3
会有变化吗？试分析原因。
（ ）设汽车在以 匀速行驶的时候制动，在表中填
3 60 km/h
上（没有乘客时的）制动距离的近似值。试说明你分析的依据
和过程。
图1-3-1 汽车制动性能测试18
分析 对问题（ ），以汽车为研究对象。在制动过程中，
1
制动产生的阻力对汽车做负功，汽车制动后的末速度是零。假
设汽车制动时的阻力为滑动摩擦力，由动能定理可知，汽车制
动前的速度越大，它的初动能越大，制动时阻力做的功也越
多，因而制动过程中经过的距离就越长。
请参照以上分析方法分析问题（2），并写出你的分析过程。
问题（ ）要求定量地算出汽车的制动距离 s。由于不知道
3
制动时的阻力f，也不知道汽车的质量m，因而很难根据动能定
理直接求解。
你可以运用动能定理列方程组解答，也可以通过分析表中
的数据，找出车速 v 跟制动距离 s 的（比例）关系，从而求出
当汽车速率为 时的制动距离。
60 km/h
请写出你的分析解答过程。
合力做功与动能变化
在实际问题中，往往是多个力同时对一个物体做功，这时
怎样运用动能定理分析问题呢？
案例分析
案例 一架质量 m × 3 的喷气式飞机，从静止开
= 5.0 10 kg
始在跑道上滑行，经过距离 s × 2 ，达到起飞速度 v
= 5.3 10 m =
。在这个过程中飞机受到的平均阻力是飞机所受重力的
60 m/s
倍。请根据动能定理求出飞机滑行时受到的牵引力。
0.02
分析 以飞机为研究对象，先分析飞机受力和每个力做功
的情况。飞机在跑道上滑行时，水平方向上受到两个力的作
用：一个是发动机的牵引力 F，与飞机滑行方向相同，对飞机
做正功；另一个是阻力f，与飞机滑行方向相反，这个力使飞机
的动能减少，对飞机做负功。竖直方向上的力对飞机不做功，
图1-3-2 正在滑行的飞机
可以不考虑。再算出总功和动能的变化，最后根据动能定理可
求出牵引力的大小。
解答 牵引力对飞机做的功为
W F s
牵引力
=
阻力对飞机做的功为
W f s kmgs
阻力
= - = -
× × × × ×
3 2
= -0.02 5.0 10 9.8 5.3 10 J
×
5
= - 5.2 10 J
飞机动能的增量为
ΔE 1 mv2 1 × × 3 × 2 × 6
k = = 5.0 10 60 J = 9.0 10 J
2 2第 1 章 功和机械能
19
运用动能定理得
W W W ΔE
牵引力 阻力
= + = k
请你代入数据，求出飞机所受到的牵引力。
可见，当有多个力对物体做功而使物体的动能发生变化时，
应分析物体受到哪几个力，每个力是否对物体做功，做正功还
是负功。动能定理中的功应是每个力所做功的代数和。
是否可以将动能定理中的功 F s 理解为合外力所做的功？
如果可以，则可先分析物体的受力情况，算出合外力做的功（或
列出表示合外力做功的代数式），再应用动能定理列出方程求解。
按这一思路将此题再解答一次，得出的结果是否与前面的
一致？
此题也可用牛顿定律来解答，请你尝试一下，看看用哪种
方法更简便。
由动能定理计算变力做功
有些问题用牛顿定律与运动学知识是很难解决的，但用动
能定理却可以很方便地解决。我们知道，当变力对物体做功时，
可可以很以方难方便根便地据地求功求出的出功计功。算。式W F s求出功，但根据功与动能变化的关
=
系就可以方便地求出功。
案案例例分分析析
案例分析
案案例例 用用质质量量为为 的的铁铁锤锤，，以以 的的速速度度打打击击放放在在铁铁
■■ 案例 用质量为44..00kkgg 的铁锤，5以5..00mm//ss 的速度打击放在
砧砧上上烧烧红红的的铁铁块块，，设设击击中中 4铁铁.0块 块kg后后 铁铁锤锤即即静静止止 5。。.求0求 m铁铁/s块块 对对铁铁锤锤所所做做的的
铁砧上烧红的铁块。设击中铁块后铁锤即静止，求铁块对铁锤
功功。。
所做的功。
分分析析 铁铁锤锤打打击击铁铁块块的的过过程程中中，，力力的的大大小小是是变变化化的的，，过过程程比比
分析 铁锤打击铁块的过程中，力的大小是变化的，过程
■■
较较复复杂杂，，用用牛牛顿顿定定律律很很难难解解决决。。但但本本题题并并不不要要求求知知道道物物体体做做功功的的
比较复杂，用牛顿定律很难解决。但本题并不要求知道物体做
细细节节，，只只要要求求知知道道做做功功的的多多少少，，因因此此可可以以通通过过动动能能定定理理来来解解决决。。
功的细节，只要求知道做功的多少，因此可以通过动能定理来
以以铁铁锤锤为为研研究究对对象象。。在在铁铁锤锤打打击击铁铁块块的的过过程程中中，，铁铁块块对对铁铁锤锤
解决。
做做了了负负功功，，使使铁铁锤锤由由运运动动变变为为静静止止，，铁铁锤锤的的动动能能减减少少直直至至变变为为零零。。
以铁锤为研究对象。在铁锤打击铁块的过程中，铁块对铁
解解答答 忽忽略略重重力力对对铁铁锤锤做做的的功功。。根根据据动动能能定定理理，，铁铁块块对对铁铁
锤做了负功，使铁锤由运动变为静止，铁锤的动能减少直至变
■■
锤锤做为做的零的功。功为为
解答 忽略重力对铁锤做的功。根据动能定理，铁块对铁
锤W做W的功EE为 EE EE
==ΔΔ kk== kk22-- kk11
WW EE EE EE
==ΔΔ kk== kk22-- kk11
mmvv
11 22 11 22
==00-- 11==-- ××44..00××55..00JJ
22 22
==--5500JJ
WW通== 过对mm案vv 22例的分析与体验
22
，可归纳出运用动能定理分析解
00-- 11==-- ××44..00××55..00 JJ
决W问W题== 的步骤：
--5500 JJ
通通过过对对案案例例的的分分析析与与体体验验，，可可归归纳纳出出运运用用动动能能定定理理分分析析解解决决
问问题题的的步步骤骤：：
明明确确要要解解决决的的问问题题，，确确定定研研究究对对象象；；
分分析析研研究究对对象象的的受受力力情情况况，，确确定定外外力力（（或或合合外外力力））对对研研究究对对象象
所所做做的的功功；；20
（ ）明确要解决的问题，确定研究对象；
1
（ ） 分析研究对象的受力情况，确定外力（或合外力）
2
对研究对象所做的功；
（ ）明确研究对象在初末状态的动能，确定动能增量；
3
（ ）运用动能定理列出方程。
4
家庭作业与活动
1. 一同学用手将质量为 的物体由静止向上提 设在运动的全过程中汽车的牵引力做功W ，克
1 kg 1
起 ，这时物体的速度为 ，g取
2
， 服摩擦力做功W ，求W ∶W 。
1 m 2 m/s 10 m/s 2 1 2
则下列说法中正确的是（ ）。
该同学对物体做的功为 v
A. 12 J
物体所受合外力做的功为
v
B. 12 J
1
物体所受合外力做的功为
C. 2 J
物体克服重力做的功为
D. 10 J
2. 一质量为m的物体静止在粗糙的水平面上。当
此物体受水平力F作用运动了距离s时，其动 O t
1 2 3 4
能为E ；而当此物体受水平力 F作用运动了
图1-3-3
k1 2
相同的距离时，其动能为E ，则（ ）。
k2
E E E E 4. 质量为 的滑块，以 的初速度在光滑
A. k2 = k1 B. k2 = 2 k1 24 kg 4 m/s
E E E E E 水平面上向左直线滑行，从某一时刻起在滑块
C. k2 > 2 k1 D. k1 < k2 < 2 k1
3. 汽车在平直的公路上由静止开始做匀加速运 上施加一水平向右的力。经过一段时间，滑块
动，当速度达到v 后立即关闭发动机让其滑行， 的速度方向变为向右，大小为 ，则在这段
1 4 m/s
直至停止。汽车的v t图像如图 所示。 时间内力所做的功为 。
- 1-3-3第 1 章 功和机械能
21
1.4 势能的变化与机械功
物理学中把物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能
（ ）。因此，打桩时被举高的重锤具
gravitational potential energy
有重力势能（图 ）。
1-4-1
重锤的质量越大，上升的高度越高，桩就被打得越深。这
表明，重锤的重力势能跟它的质量和高度有关。
那么，重力势能的大小跟重锤的质量与高度，究竟有怎样
的关系呢？
研究重力做功跟重力势能变化的关系
分析与论证 重力势能的大小
图 是打桩机工作的示意图，打桩机重锤的质量为m，
1-4-2
重锤所受到的重力为G mg。
=
设重锤从离地面高度h 处，自由下落至离地高为h 处（桩
1 2
的顶端），重锤高度的变化为（h h ），因此重力做的功为
1 - 2
W mg（h h ）
= 1 - 2
即
W mgh mgh （ ）
= 1 - 2 1
这是一个很重要的关系式，下面我们来研究它的物理意义。
图1-4-1 打桩机
（ ）式中的 mgh 跟物体的质量和离地面的高度有关，这
1
就是物体的重力势能，用符号E 表示，于是有
p
E mgh （ ）
p = 2
上式表明，物体的重力势能等于它所受重力和它的高度的
乘积。在国际单位制中，势能的单位是焦耳，符号是 。
J
G h
1
重力做功跟重力势能的变化
h
（ ）式反映了重力做功跟重力势能变化的关系。由（ ） 2
1 1
式可知：当重锤从高处h 下落到低处h 的过程中，重力做正功，
1 2
重锤的重力势能减少。
反之，当重锤从低处 h 上升到高处 h 的过程中，重力做
2 1
图1-4-2 打桩机工作示意图
负功，重锤的重力势能增加。
重力做功与重力势能变化的关系可用下式表示
重力势能是地球与物体系统
W E E ΔE
所共有的。
= p1 - p2 = - p22
式中，W 为重力所做的功，E 为物体在初始位置的重力势能，
p1
E 为物体在末了位置的重力势能，ΔE 为重力势能的增量。
p2 p
综合重力做功的两种情况可知：当重力对物体做正功时，
物体的重力势能减少；当重力对物体做负功时，物体的重力势
能增加。
我们在第 节中已经知道，物体动能的变化可以用外力
1.1
做功的多少来量度，而重力势能的变化也可以用重力做功的多
少来量度。这又一次表明：功是能量变化的量度。
案例分析
案例 打桩机重锤的质量是 ，重锤在打桩机顶端
250 kg
时，离地面的高度是 。试分析计算：
20 m
（ ） 当重锤被钢丝绳拉着从地面匀速上升到打桩机顶端
1
时，重力对重锤做了多少功？重锤的势能变化了多少？
（ ）当钢丝绳松弛，重锤从打桩机顶端自由落到地面时，
2
重力做了多少功？重锤的势能变化了多少？
分析 首先分析重力对重锤所做的功和重锤势能是怎样变
化的。当重锤匀速上升时，重力是做正功还是负功？重锤的势
能是增加还是减少？当重锤下落时，情况又怎样呢？
请写出你的分析、计算过程和结果。
重力做功跟路径无关
A
重力做功跟物体经过的路径有没有关系呢？
在图 中，两个学生的质量都是 m，因此他们所受重
1-4-3
力相等。当他们分别以图示的路径登上高 h 的阶梯顶端 A 时，
h
重力对这两个学生所做的功是否相同？重力对这两个学生做的
功跟他们经过的路径有关吗？
请写出你的分析过程与结论。
图1-4-3 重力对谁做功多 分析结果表明：重力对这两个学生所做的功一样多，都等
于mgh，跟他们登梯的路径没有关系。
请讨论：
1. 假如图中的男同学沿着另外几种不同的斜坡登上A 处，
重力所做的功是多少？
2. 图 中的滑雪运动员从山上沿不同的坡道下滑到山
1-4-4
脚，重力对他做的功是否一样？
由以上分析和进一步的研究可知：
重力对物体做的功只跟物体的初始位置和末了位置的高度
图1-4-4 重力对滑雪运动员做的功
有关，而跟物体经过的路径无关。
与路径有关吗第 1 章 功和机械能
23
物体的重力势能计算式 E mgh 中的 h，是相对于某个重
p =
力势能为零的参考平面而言的。在这个参考平面上，h ，重
= 0
力势能也为零。选择不同的参考平面，公式中的高度h就不相同，
因而物体的重力势能也不同：位于参考平面上方的物体的重力
势能为正值，在其下方的物体的重力势能为负值。
选择重力势能的参考平面，应视研究问题的方便而定。通
常选择水平地面作为重力势能为零的参考平面。
案例分析
案例 图 是地图上某小山包的等高线图，a、b、c为
1-4-5
山包上的三个点在地图上的位置。
c
（ ） 若选择海平面为重力势能参考面，质量为 的学
1 55 kg
a
生在 a、b、c 位置时的重力势能是多大？他从 a 位置上升到 c
150m
位置，重力做了多少功？ b
（ ）若选择 的等高线所在平面为重力势能参考面， 100m
2 100 m 50m
则质量为 的学生在a、b、c位置时的重力势能是多大？他
55 kg 图1-4-5 地图上的等高线
从a位置上升到c位置，重力做了多少功？
分析 等高线上标注的数字（称为标高）表示地面上此处
距海平面的高度。两等高线数字之差表示此两位置之间的高度
差（竖直距离）。
根据重力势能计算式，物体在某一位置的重力势能等于物
体受到的重力mg和此位置相对于势能参考面的高度h的乘积，
因此若选择海平面作为重力势能参考面，则重力和等高线标高
的乘积就是该物体在此等高线上的势能。若选择某一等高线所
指的面为重力势能参考面，则考察点和参考面等高线标高之差
与物体所受重力的乘积，即为物体相对选定重力势能参考面的
重力势能，在参考面之上的重力势能为正值，在参考面之下的
重力势能为负值。
解答 （ ）请根据上面分析完成问题（ ）的计算。
1 1
（ ）当选择 的等高线所在平面为参考面时，计算如
2 100 m
下（g取
2
）。
10 m/s
学生在a位置时，他相对于重力势能参考面的高度
h ，
ab = 50 m - 100 m = -50 m
重力势能
E mgh × ×（ ） × 4
p a = ab = 55 10 -50 J = -2.75 10 J
学生在 b 位置时，因为就在重力势能参考面上，所以重力势
能E 。
p b = 0
学生在c位置时，他相对于重力势能参考面的高度
h ，
cb = 150 m - 100 m = 50 m24
重力势能
E mgh × × × 4
p c = cb = 55 10 50 J = 2.75 10 J
从 a 位置上升到 c 位置，重力做的功等于重力势能增量的
负值
W ΔE E E × 4 × 4 × 4
= - p = p a - p c = -2.75 10 J - 2.75 10 J = -5.5 10 J
弹性势能
物体发生弹性形变时具有的势能叫做弹性势能，被拉伸或
压缩的弹簧都具有弹性势能（图 ）。
1-4-6
弹性势能与形变的大小有关。例如，弹簧的弹性势能与弹
簧的伸长量或压缩量有关。被拉伸或压缩的长度越长，恢复原
状的过程对外做的功就越多，弹簧的弹性势能就越大。
a b c
图1-4-6 压缩的弹簧有做功的本领，具有弹性势能
多学一点 弹性势能表达式
设弹簧的劲度系数为 k，弹簧的伸长量或压缩量为 x，则弹
簧的弹性势能可表示为E
1
kx2 。
p =
2
家庭作业与活动
1. 质量为 的小球从高 处落到水平地面 （ ） 在物体由位置 运动到跟位置 在同一
100 g 1.8 m 2 2 1
上，又弹回到 高处。在这个过程中，重 水平面上的位置 的过程中，重力所做
1.25 m 3
力对小球所做的功是多少？小球的重力势能变 的功是多少？物体的重力势能减少了多
化了多少？ 少？
2. 质量为 的人沿着长 、倾角为 ° （ ）在物体由位置 运动到位置 的过程中，
50 kg 150 m 30 3 1 3
的坡路走上一个土丘，重力对他所做的功是多 重力所做的功是多少？物体的重力势能
少？他克服重力所做的功是多少？他的重力势 变化了多少？
能增加了多少？
3. 图 是一个质量为m的物体被斜抛出去后 2
1-4-7
的运动轨迹。
h
（ ）在物体由抛出位置 运动到最高位置
1 1 2
的过程中，重力所做的功是多少？物体 3
克服重力所做的功是多少？物体的重力 1
势能增加了多少？
图1-4-7第 1 章 功和机械能
25
1.5 机械能守恒定律
在初中已经知道，运动的物体往往既具有动能，也具有势能，
且势能和动能是可以互相转化的。打桩机的重锤从高处下落的
过程中，重锤的高度越来越小，速度却越来越大，这表明重锤
的势能在减少，但动能却在增加，减少的势能转化成了动能。
机械能守恒定律
a 下落的果实
物体的动能与势能之和称为机械能（ ）。
mechanical energy
若用符号E表示机械能，则有
E E E
= k + p
通过对图 1 5 1 中各事例的分析，你能猜想出物体机械能
- -
的转化遵循什么规律吗？
b 过山车
下面从理论分析和实验探究两方面来研究机械能的转化与
图1-5-1 这些物体在运动中的动能
守恒问题。 与势能怎样转化
分析与论证 研究重锤自由下落过程中机械能是否守恒
如图 所示，设打桩机重锤的质量是 m，当重锤离桩
1-5-2
分析论证 研究重锤顶自高由度下为落H过时程，中以机桩械顶能为是参否考守平恒面，重锤具有的机械能是
E E E mgH mgH
分析论证 研究重锤自由下落过程中机械能是否守恒 1 = k1 + p1 = 0 + =
如图 所示，设打忽桩略机空重锤气的阻质力量，是重m锤，下当落重过锤程离桩中顶只高有重力做功。当下落
4-10
如图 所示，设 度 打 为 桩机 H时 重 ， 锤 以 的 桩 质 顶 量 为 是 参至 m 考离 ， 平 当 桩面 重 顶， 锤 重高 离 锤度 桩 具为 顶 有h高 的处机时械，能因是为mv 2 g（H - h），此时的动能 v
4-10 2 = 2
度为H时，以桩顶为参考平面 忽 ，重 略 锤 空 具 气 有 阻 的 力 E 机 ， 1 重 = 械EE k 锤 2 能 k 1= 下 + 是 2 1 落 E m p1 过 v = 2 2 程 =0 m 中 +gm 只 （g 有 HH = 重 - mh 力 g）H 做 ， 功 而 。 E 当 p2 下 = m 落 g 至 h， 离 所以重锤具有的机械 H
E = E + E = + mgH = mgH
1 k1 p1 0 能是 h
桩顶高度为h处时，因为 v g（H- h），此时的动能E mv
忽略空气阻力，重锤下落过程中只有重力做功2。当下落至离 2
2 = 2 E E E mg（H -k 2h=） 2m=gh mgH
桩顶高度为h处时，因为
mg（
v
H-
g
h
（
），
H
而
-
E
h），
=
此
m
时
gh
的
，所
动
以
能
重
E
锤具2 =
m
有
v
的k2 +机 械p2 能= 是 + =
2 2 = 2 p2 同理， k 重 2 = 锤刚 2 2下 = 落至桩顶时，因为mv 2 gH，此时的动能
E = E + E = mg（H-h）+mgh=mgH 3 = 2
mg（H-h），而E =mgh，所以重锤具有的机械能是
E p = 2 E + E = 同 mg 理 （H ，重 -h 锤 ） 2 刚 +m 下 g k h 落 2E =k 至 3m = p 桩 g 2 1 H 顶 mv 时 3 2 =， 因 mg 为 H， v 2 而E g p H 3 =， 此0 ， 时 重 的 锤 动 具 能 有 E 的机械能是
2 3 = 2 k3 =
2 k2 p2 E E E mgH mgH
mv mgH，而E = ，重锤具有的机械能是
同理，重锤刚下落至桩 3 2 = 顶时，因为 p v 3 3 2 = 0 2 gH，此 比 时 较 的 重 动 锤 能 在 E 这k3 3 三 = = 个 k 位 3 + 置 p 时 3 = 的 机械 + 能 0 = E 、E 、E ，可得出什
E = E + E = mgH+ =mgH 1 2 3
mv mgH，而E = ，重锤具有的机械能是
3
2
= p3 0
3 么结k3论？p3 0
比较重锤在这三个位置时的机械能E、E、E，可得出什么结论？
E = E + E = mgH+ =mgH
3 k3 p3 0
重锤在自由下落1 过2 程3中，只有重力做功，它的重力势能转
重锤在自由下落过程中，只有重力做功，它的重力势能转化
比较重锤在这三个位置时的机械能E、E、E，可得出什么结论？
化为动能，但动能与重力势能之和是一个恒量，即机械能保持
1 2 3
为动能，但动能与重力势能之和是一个恒量，即机械能保持不变。
重锤在自由下落过程中，只有重力做功，它的重力势能转化
不变。
上面是从分析重锤自由下落过程中得出的结论。这个结论 图1-5-2 研究打桩机重锤下落过程
为动能，但动能与重力势能之和是一个恒量，即机械能保持不变。
的机械能
是否具有普遍意义呢？
上面是从分析重锤自由下落过程中得出的结论。这个结论
分析图 中斜抛物体的频闪照片，你也能得出“斜抛物体的
是否具有普遍意义呢？
4-9c
动能和势能互相转化，但在任一位置的机械能都相同”的结论吗？
分析图 中斜抛物体的频闪照片，你也能得出“斜抛物体的
4-9c
研究证明，在只有重力做功的情况下，不论物体是做直线运
动能和势能互相转化，但在任一位置的机械能都相同”的结论吗？
动还是做曲线运动，这个结论都是正确的。
研究证明，在只有重力做功的情况下，不论物体是做直线运
同样可以证明，在只有弹力做功的物体系统内，动能与弹性
动还是做曲线运动，这个结论都是正确的。
势能可以互相转化，总的机械能也保持不变。
同样可以证明，在只有弹力做功的物体系统内，动能与弹性
可以得出结论：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能
势能可以互相转化，总的机械能也保持不变。
与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。即
可以得出结论：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能
E = E + E = 恒量
与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。即
k p
这个结论叫做机械能守恒定律（
E = E + E = 恒量
law of conservation of me⁃
k p
）。它是力学中的一条重要定律，是普遍的能量守
这个结论叫做机械能守恒定律（
chanical energy
law of conservation of me⁃
恒定律的一种特殊情况。
）。它是力学中的一条重要定律，是普遍的能量守
chanical energy
恒定律的一种特殊情况。
实验探究 验证机械能守恒定律
实验探究 验证机械能守恒定律
实验目的 验证在只有重力做功时，物体的机械能守恒。
实验设计 下面推荐两种方案供选用，你也可以自行设计实
实验目的 验证在只有重力做功时，物体的机械能守恒。
验方案。
实验设计 下面推荐两种方案供选用，你也可以自行设计实
根据你的实验方案进行实验，并完成一份实验报告。实验报
验方案。
根据你的实验方案进行实验，并完成一份实验报告。实验报26
上面是从分析重锤自由下落过程中得出的结论。这个结论
是否具有普遍意义呢？
研究证明，在只有重力做功的情况下，不论物体是做何种
形式的运动，这个结论都是正确的。
同样可以证明，在只有弹力做功的物体系统内，动能与弹
性势能可以互相转化，总的机械能也保持不变。
可以得出结论：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动
机械能中的势能包括重力势
能与弹性势能。 能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。即
E E E 恒量
= k + p =
这个结论叫做机械能守恒定律（
law of conservation of
）。它是力学中的一条重要定律，是普遍的能
mechanical energy
量守恒定律的一种特殊情况。
学生必学做生实必验做实验验证机械能守恒定律
我们通过实验来研究物体在自由下落过程中动能与重力势
能的变化，从而验证机械能守恒定律。
设计实验和进行实验
实验装置如图 所示。重物自由下落时，如果忽略空
1-5-3
气阻力，只有重力做功，重物的机械能守恒。
把纸带的一端固定在重物（钩码）上，另一端穿过打点计
时器的限位孔。用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器
下方附近。接通电源，待打点计时器打点稳定后再松开纸带，
让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点。取
下纸带，换上新的纸带，重复实验三次。
重物的质量用天平测出。在纸带上按序标注几个计数点，
选定纸带上的起始点作为参考点，设打该点时重物的重力势能
打点计 纸带
时器 为零。通过测量，算出各点的动能和势能，就能验证机械能是
否守恒。
夹子
收集证据
钩码
从三条纸带中选择一条比较理想的纸带，将起始点作为参
考点 O。测量出标注的几个其他计数点到位置 O 的距离并计算
出各点的瞬时速度，记录在表格中。
图1-5-3 验证自由落体的机械能守
恒定律第 1 章 功和机械能
27
重物质量m
= kg
位置 O A B C D
到O点距离s
/m
重力势能E
p/J
速度v（ ）
-1
/ m·s
动能E
k/J
机械能E
/J
分析论证
由上面的实验证据，你得出的结论是 。
思考讨论
确定参考点 O 后，设打该点时重物的重力势能为零，你
1.
如何确定打其他点时重物重力势能的正负？
2. 通过实验，你得到了什么结论？
3. 如何减小实验误差？
应用机械能守恒定律分析问题
在生活和生产中，应用机械能守恒定律分析解决有关的力
学问题往往比较方便。在分析问题时，首先要注意是否只有重
力或物体系统内部弹力做功。
案例分析
案例 1 图 是上海轨道交通某车站的设计方案。由
1-5-4
于站台建得稍高，列车进站时要上坡，出站时要下坡。忽略斜
坡的摩擦力，你能从机械能守恒定律分析这种设计的优点吗？
分析 列车进站前虽关闭了电动机，但仍具有动能，可使
列车爬上斜坡，这是将动能转化为势能储存起来。出站时，列
车可利用斜坡再将势能转化成动能。可见，这种设计方案可以
节约电能。
你认为这种设计方案还有哪些优点？说说你的看法。
h
A
图1-5-4 上海轨道交通某车站设计方案28
案例 2 打桩机重锤的质量为 ，被提升到离地面
250 kg
的高度后自由下落， 求它到达地面时的动能和速度（g 取
20 m
）。
2
10 m/s
分析 提升到高处的重锤具有重力势能。因为重锤在自由
下落过程中，只有重力做功，所以机械能守恒。重锤到达地面
时，势能全部转化为动能。可用机械能守恒定律计算这时重锤
的速度。
请完成有关的计算。
家庭作业与活动
1. 下列哪些事例中的机械能是守恒的？为什么？ 面的一定高度滚下，必然在一个对接的斜面上
雨滴接近地面时匀速下落； 冲到同样的高度，且不因这个斜面的倾角变化
A.
铅球在空中飞行（空气阻力不计）； 而变化。由于做这个实验时，摩擦阻力总是存
B.
玩具小车沿光滑固定斜面向上运动（空气阻 在的，所以伽利略特别指出“在没有摩擦阻力
C.
力不计）； 的情况下”。现在，你能运用机械能守恒定律
“神舟”载人飞船与运载火箭分离前与分离 来解释伽利略的想法吗？
D.
后做无动力运动。 3. 滑雪运动员从离水平地面 的高处，沿弯曲
30 m
2. 我们在必修 中学过，伽利略在他的理想实验 起伏的滑道向水平地面滑行，阻力不计。运动
1
中认为，在没有摩擦阻力的情况下，小球从斜 员滑到水平地面时具有多大的速度？
第 1 章家庭作业与活动
A组 的速度为 ，那么拉力做了多少功？
5 m/s
1. 物体沿粗糙斜面下滑，在此过程中，什么力做 平均功率为多大？开始和结束时的瞬时
正功？什么力做负功？什么力不做功？ 功率各为多大？
2. 请讨论下列问题： 3. 如图 所示，在“蹦极跳”中，质量为m
1-A-1
（ ） 以 的速度匀速拉升一质量为 的游戏者身系一根长为L、弹性优良的轻柔蹦
1 5 m/s 10 kg
的物体，在 内，拉力做了多少功？ 极绳，从水面上方的高台由静止开始下落 L
10 s 1.5
（ ） 若以比上面快 倍的速度把物体提升到 到达最低点。假定空气阻力可忽略，则下列说
2 1
相同的高度，那么所需做的功是否比前 法中正确的是（ ）。
一次多？为什么？ 游戏者在下落过程中机械能守恒
A.
（ ） 在上面两种做功情况下，它们的功率是 游戏者从开始下落到最低点动能增加了mgL
3 B.
否相同？ 游戏者从开始下落到最低点重力势能减少了
C.
（ ） 若用一个大小不变的力将该物体从静止 mgL
4
加速拉高到同一高度，使物体最后获得 在最低点处蹦极绳的弹性势能为 mgL
D. 1.5第 1 章 功和机械能
29
斜坡滑下，到了斜坡底部后，小车继续在平地
上滑行，此时它受到一个 的摩擦力作用。
2.0 N
小车在停下之前，能在平地上滑行多远？
B组
1. 张强每天的工作就是把地上的箱子搬到 高
12 m
的楼上。某天，他必须尽可能快地把 箱总
30
质量为 的箱子搬上楼，因此他考虑不能
150 kg
一次只搬一箱。但如果每次搬得太多，就会走
得很慢，不时要休息，而如果每次只搬一箱，
图1-A-1 那么大量的体能将用于提升自己的身体。现测
得他在一段时间里的功率与他所搬物体质量之
4. 图 所示的是一学生骑车爬坡的情形。假
间的关系如图 所示。如果不把他返回楼
1-A-2
1-B-1
如她骑车时的最大功率是 ，车和学生
下的时间和搬起、放下每个箱子的时间计算在
1 200 W
的总质量是 ，斜坡倾角θ为 °，运动过
内，请你求出：
75 kg 20
程中受到的摩擦等阻力恒为 ，方向沿斜坡
（ ） 在所需时间最短的情况下，他每次搬运
60 N
1
向下，则此学生骑车上坡的最大速度是多少？
箱子的数目。
假如她在水平路面上骑车，所受阻力仍为 ，
（ ） 把所有箱子都搬到楼上所需要的最短时
60 N
2
最大速度可达到多少？g取
2
。
间。
10 m/s
mg θ
sin
60N θ
图1-A-2
5. 一台起重机将质量m ×
3
的货物匀加速
= 1 10 kg
地竖直吊起，在 末货物的速度为v 。
2 s = 4 m/s
图1-B-1
若g取
2
，不计额外功，求：
10 m/s
（ ）起重机在这 内的平均功率； 2. 用打点计时器能否验证动能定理？请你设计出
1 2 s
（ ）起重机在 末的瞬时功率。 实验探究方案，写出实验探究报告。
2 2 s
6. 某同学身高 ，在学校运动会上参加跳高比 3. 给你一个额定工作电压为 的微型直流电
1.8 m 2.5 V
赛，起跳后身体横着越过了高度 的横杆。 动机和一个没有动力的玩具小汽车。现要用此
1.6 m
若不计阻力，你能根据机械能守恒定律估算出 电动机作为玩具汽车的动力，请你设计一个探
他起跳时竖直向上的速度吗？ 究实验，探究P F v，并将你探究的结果写成
=
7. 一质量为 的小车，沿着高为 的光滑 报告。探究需要的器材，可以请老师帮助解决。
1 kg 0.3 m30
2
第 章 抛体运动
观众席上，人山人海；绿茵场上，激情飞扬。一场国
际足球比赛正在激烈进行。一声哨响，蓝方队员被判犯规，
红方获得任意球机会。只见红方 号队员助跑了几步，
10
飞起一脚，那球在空中划过一道“美丽的弧线”……
在我们生活的广阔空间里，物体在做着各种各样的机
械运动，不但做直线运动，而且更多的是做曲线运动。
那么，怎样研究曲线运动呢？在本章中，我们将以飞
机投弹、炮弹发射等现象为背景，探讨物体的曲线运动；
像伽利略那样，运用运动合成与分解的方法，实验探究平
抛运动的规律，分析生产生活中的拋体运动，体会将复杂
运动分解为简单运动的物理思想。第 2 章 抛体运动
31
2.1 飞机投弹与平抛运动
从飞机投弹谈起
空军在军事演习或实战中，常需进行投弹。飞机在空中沿
水平方向飞行时，要使投下的炸弹准确地命中地面的目标，飞
行员应在何处投弹？
有的同学说：当飞机飞到目标的正上方时投弹，才能命中
目标。
有的同学说：当飞机在离目标一定水平距离处投弹，才能
命中目标。
……
要想正确地回答这个问题，就要弄清楚炸弹离开飞机后的
运动情况。 a
曲线运动
让我们来做一个模拟实验。如图 所示，使一个小球
2-1-1
在水平桌面上以一定的速度向右运动，小球离开桌面后在空中
的运动跟炸弹在空中的运动是相似的。你认为哪一幅图中的曲
线可以表示小球离开桌面后的运动轨迹？ b
请动手做一做，并仔细观察小球离开桌面后的运动轨迹。
可以发现，小球因惯性要保持向前运动；同时，小球因受
重力作用而向下运动。图 中的曲线能大致表示小球的
2-1-1b
运动轨迹。我们把物体沿着一条曲线路径的运动叫做曲线运动
（ ）。常见的圆周运动就是曲线运动。
curvilinear motion
c
物体做曲线运动的条件
模拟飞机投弹的实验表明：当物体受到的合力的方向跟它
运动的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动。
运动物体加速度的方向跟它所受合力的方向是相同的。因
此，做曲线运动的物体，它的加速度跟它的速度方向也不在同
一直线上。
d
曲线运动速度的方向
曲线运动的速度方向总是不断地变化着。做曲线运动的质 图2-1-1 哪一幅图能表示小球运动
的轨迹32
点在某一点（或某一时刻）的速度方向是在曲线上该点的切线
方向上（图 ）。
2-1-2
我们知道，速度是矢量，只要速度的方向发生了变化，速
度就发生了变化，也就有了加速度。曲线运动的速度方向时刻
都在改变，所以曲线运动是变速运动。
图2-1-2 做曲线运动的质点在某一 平抛运动
点A的瞬时速度v的方向就在该曲线
上过A点的切线方向上 将一个物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气
阻力，物体只在重力作用下所做的曲线运动，叫做平抛运动
（ ）。上述飞机投弹、滑出台面的小
horizontal projectile motion
球在空中的运动都是平抛运动。平抛运动是一种二维曲线运动，
下面我们来研究平抛运动。
伽利略关于平抛运动的研究
早在 世纪，伽利略（ ）就对抛体运动进行
17 Galileo Galilei
了详细的研究，找到了研究二维曲线运动的基本方法。
伽利略假定，做平抛运动的物体同时做两种运动：在水平
方向上，物体不受力的作用做匀速直线运动；在竖直方向上，
物体受到重力作用做自由落体运动。他认为这两个方向的运动
“既不彼此影响干扰，也不互相妨碍”，物体的实际运动就是
这两个运动的合运动。
由于物体在水平方向做匀速直线运动，它在水平方向发生
的位移跟时间的一次方成正比，即在相等的时间间隔内位移相
等。物体在竖直方向做自由落体运动，它在竖直方向发生的位
移跟时间的二次方成正比，即在相等的时间间隔内位移之比为
∶ ∶ ∶…。据此，伽利略用几何方法作出了平抛物体的运动
1 3 5
轨迹，它是一条抛物线（图 ）。
2-1-3
匀速直线运动
A B C D E
自 O
由 K F
落 L G
体
运
动 H
N
M I
图2-1-3 伽利略用几何方法得到的平抛物体的运动轨迹第 2 章 抛体运动
33
这样，伽利略对物体做平抛运动的过程和轨迹给出了完整
的描述。伽利略关于平抛运动的研究结论，不但具有重要的实
用价值，而且揭示了研究二维运动的基本方法。
伽利略对平抛运动的研究与分析，对你研究较复杂的运动
有什么启示？
验证伽利略的研究结论
下面我们用实验来验证伽利略关于平抛运动的上述研究
结论。
A B
实验探究 研究平抛运动
实验的部分装置如图 所示。实验时，用小锤击打弹
2-1-4
性钢片，小球 B 沿水平方向飞出，做平抛运动；同时小球A 被
放开，做自由落体运动。
用小锤击打弹性钢片后，你观察到了什么现象？
请你分析一下：这个实验的结果能验证伽利略关于平抛运
动的研究结论吗？请说出你的理由。
A B
我们还可以用频闪照相的方法进一步验证伽利略的研究
图2-1-4 研究平抛运动的实验
结论。
分析与论证 研究平抛运动的频闪照片
我们用频闪照相的方法记录小球在平抛运动中的运动情况。
图 是以间隔
1
拍摄的频闪照片，其中小球A做自由落
2-1-5 s
30
体运动，小球 B 做平抛运动。请你用刻度尺分别测量小球 A 和
B在不同时刻所处的水平位置 x和竖直位置y，记录在下表中，
A B
并讨论表后所列问题。
æ ö
t /è 1 s ø 0 1 2 3 4 5 …
30
A x
/m
球
y
/m
B x
/m
球
y
/m
. 频闪照片上小球的轨迹跟伽利略用几何方法得到的轨迹
1
是否一致？ 图2-1-5 平抛运动的频闪照片34
. 伽利略假设平抛运动在水平方向应是匀速直线运动，即
2
小球在相同的时间内发生的位移应相等，你的测量结果怎样？
. 伽利略假设平抛运动在竖直方向应是自由落体运动，即
3
小球发生的位移应跟时间的二次方成正比，你的测量结果怎样？
由以上的实验探究和分析论证，你得出的结论是什么？
家庭作业与活动
1. 研究平抛运动规律的一般方法是：将平抛运 的两个物体，它们一定不能同时着地，抛
动分解到 方向和 方向。伽 出的水平距离也一定不同
利略根据平抛物体受到重力作用，猜测物体 3.用玩具手枪水平射击一个与枪口位于同一高度，
在竖直方向可能做 运动；根据平抛 但有一定距离的固定靶子，子弹能否击中靶
物体在水平方向不受力的作用，猜测物体在 子？若子弹从枪口水平射出的瞬间，靶子从静
水平方向可能做 运动。 止开始自由下落，子弹能否击中靶子？
2. 根据伽利略关于平抛运动的研究结论，下列说 4. 假设一架飞机在高空沿水平方向匀速飞行，每
法中正确的是（ ）。 隔相同的时间，从飞机上释放一个物体。请根
从同一高度，以大小不同的速度同时水平 据伽利略对平抛运动的结论推断：
A.
抛出的两个物体，它们一定同时落地，但 （ ） 这些物体在落地之前，在空中排列成的
1
抛出的水平距离一定不同 几何图形是什么样子？它们在竖直方向
从不同高度，以相同的速度同时水平抛出 的距离之比是多少？
B.
的两个物体，它们一定不能同时着地，抛 （ ） 这些物体在落地之后，在地面（假设地
2
出的水平距离也一定不同 面平坦）排列成的几何图形是什么样子？
从不同高度，以不同的速度同时水平抛出 相互之间的距离是多少？
C.第 2 章 抛体运动
35
2.2 平抛运动的规律
飞机水平飞行时，投下的炸弹做平抛运动。要使炸弹命中
目标，飞机应该在离目标有一定水平距离时投弹。这个距离是
多少呢？要解决这个问题，就必须对平抛运动进行定量的研究。
运动的合成与分解
通过上一节的学习我们已经知道，平抛运动可以看成是水
平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运
动。人们在研究复杂运动时，通常是把复杂运动看作是由两个
或几个简单运动复合而成的，这就是运动的合成与分解。物理
学中，把物体的实际运动叫做合运动，而把组成合运动的两个
或几个运动叫做分运动。
由分运动求合运动叫做运动的合成（ ），
composition of motions
由合运动求分运动叫做运动的分解（ 。运动
resolution of motion)
的合成与分解遵循怎样的规律呢？
力是矢量，力的合成与分解遵循平行四边形定则。研究运
动的合成与分解就是要研究描述运动的位移、速度、加速度等
物理量的合成与分解。这些量也都是矢量，它们的合成与分解
都遵循平行四边形定则。
运用平行四边形定则可以算出做平抛运动的物体的位移、
速度等物理量。
案例分析
案例 研究船渡河的运动
如图 所示，有一条渡船正在渡河，河宽为 ，
2-2-1 260 m
船在静水中的速度是 ，水的流速是 。为了让船 水流
36 km/h 18 km/h
北
能垂直于河岸运动而渡过河去，船应该怎样航行？
西 东
分析 船在渡河过程中的运动是由两个分运动合成的：船
南 v v
的匀速直线运动和在水流推动下船平行于河岸的匀速直线运
1
动。
解答 河宽s ，渡船相对于静水的速度v
α
= 260 m 1 = 36 km/h
，河水相对于河岸的速度 v ，于是， v
2
= 10 m/s 2 = 18 km/h = 5 m/s
渡船相对河岸的运动速度的大小
v v v
2 2 2 2
= 1 - 2 = 10 - 5 m/s = 8.7m/s
图2-2-1 研究船渡河的运动36
s
船渡河的时间 t
260
= v = s= 29.9s
8.7
因为渡船的两个分运动都是匀速直线运动，所以渡船的合
运动也是匀速直线运动。
v
由图所示的几何关系知 α 2 5 1 ，于是
cos = v = =
1 10 2
α
= 60°
因此，为了让船能垂直于河岸渡河，渡船的航行方向应指
向上游方向，且与河岸成 °角。
60
研究平抛运动的规律
分析与论证 平抛运动的位移和速度
将运动的合成与分解应用于平抛运动，不仅可以用几何方
法画出做平抛运动的物体的轨迹，还可以算出此物体在任意时
刻的位移和速度。
如图 所示，设小球离开桌面时的初速度是v 。
2-2-2 0
v
0
a = g
v
x
v
v
y
图2-2-2 平抛运动
在水平方向上，由于不受力的作用，小球因惯性以抛出时
的速度做匀速直线运动。物体在任一时刻的速度 v 、位移 x 分
x
别是
v = v x = v t
x 0 0 （ ）
1
在竖直方向上，小球只受重力作用，做自由落体运动。小
球在任一时刻的速度v 、位移y分别是
y
v
y
= g t y =
1
g t2
（ ）
2 2
你能根据分运动的速度和位移，求出图 中的小球在
2-1-5
第 次，第 次，第 次……拍照时的速度和位移的大小和方
1 2 3
向吗？第 2 章 抛体运动
37
多学一点 推导平抛运动的轨道方程
把上述（ ）和（ ）式中的 t 消去，可得到平抛运动的轨
1 2
迹方程
g
y x
2
= v
2
2 0
想一想：这是什么曲线的方程？
学生必学做生实必验做实验探究平抛运动的特点
本实验要求学生描绘出平抛物体的运动轨迹，探
究平抛运动的特点和规律。
实验装置如图 所示，将固定有斜槽的木板
2-2-3
A 放在水平桌面上，用图钉把坐标纸固定在竖直的木
板 B 上，使坐标纸上的竖线处于竖直位置，并在坐标
纸上选定与斜槽末端投影所在的位置为坐标原点 O，
以水平向右的方向为 x 轴的正方向，竖直向下的方向
为y轴的正方向。
图2-2-3 研究平抛物体的运动
设计实验
实验时，在斜槽上某一固定位置释放小球，使小球自由滑下，
并从 O 点开始做平抛运动。先目测做平抛运动的小球在某一水
平位置x处（如x ）的y值。然后使小球重新从固定位
= 1.0 cm
置自由滑下，在目测确定的位置附近，用铅笔记下小球实际经
过的位置，并记录在坐标纸上。接着依次改变 x 值，重复上述
步骤，确定各点的位置。
进行实验与收集证据
安装实验装置，按照设计好的方案进行实验。
1.
收集信息。
2.
（ ） 取下坐标纸，用平滑曲线画出小球做平抛运动的
1
轨迹。
（ ） 在平滑曲线上选取几个不同的点，测出它们的 x 值
2
和y值，并填入下表中。
实验序号
0 1 2 3 4 5
x
/cm
y
/cm38
分析论证
运用所学知识分析论证实验结果。
做平抛运动的小球的运动轨迹是抛物线吗？为什么？
1.
已知重力加速度 g 的值，利用公式 x v t 和 y
1
gt2 ，
2. = 0 =
2
求出上述实验中小球做平抛运动的初速度v 的平均值。
0
思考讨论
实验时，要求斜槽的末端必须处于水平位置，为什么？
案例分析 飞机投弹问题的研究
案例 一架飞机水平飞行的速度为 ，飞机距地面的
250 m/s
高度为 。飞行员应该在离目标多少水平距离时投弹，才
3 000 m
能命中目标？ g 取 2 。
10 m/s
分析 由于飞机的水平速度为 ，炸弹离开飞机后的
250 m/s
运动是以 的初速度做平抛运动，所以飞行员必须在离
250 m/s
目标一定水平距离时投弹才能命中目标。
炸弹运动的水平距离可根据x v t 求出。而炸弹在空中运
= 0
动的时间t可根据飞机的高度，用自由落体运动的规律求出。
解答 由题知v ，h 。
0 = 250 m/s = 3 000 m
由h
1
g t2 ，可得
=
2
h
t
2
= g
2×3000
= s
10
= 10 6 s
= 24.5s
炸弹在水平方向上运动的距离
x v t × 。
= 0 = 250 10 6 m = 6 124 m
可见，飞行员应该在离目标水平距离为 处投弹，
6 124 m
才能命中目标。第 2 章 抛体运动
39
家庭作业与活动
1. 图 是小球做平抛运动时被拍下的频闪 你能根据图中所给的数据，计算出运动员击
2-2-4
照片的一部分，背景标尺每小格表示 。 出球时球的速度吗？
5 cm
由这张照片可得小球做平抛运动的初速度 4. 关于平抛运动，下列说法中正确的是（ ）。
为 。 它是速度大小不变的曲线运动
m/s A.
它是加速度不变的匀变速曲线运动
B.
它是水平方向的匀速直线运动和竖直方向
50 C.
的匀速直线运动的合运动
t
40 = 0.1 s 它是水平方向的匀速直线运动和竖直方向
D.
的匀加速直线运动的合运动
30 t
= 0.2 s
5. 某同学在离地高 处以 的水平速度抛
5 m 5 m/s
20 出一个物体，不计空气阻力，则物体在空中运
动的时间为 ，物体落地点到抛出点
10 s
t 的水平距离为 。 g取
2
。
O = 0.3 s m 10 m/s
6. 飞机在距地面 的高度以 的速
10 20 30 40 50 0.81 km 250 km/h
度水平飞行。要使得投下的物资落在指定地点，
图2-2-4
飞机应该在与目标的水平距离为多远的地方投
2. 四楼阳台离地面约 。在阳台上水平抛出 放（不计空气阻力）？
9.0 m
一个小皮球，落点离阳台的水平距离约 ， 7. 根据学过的平抛运动知识，用直尺测量玩具手
6.0 m
则球抛出时的速度约有多大？ 枪子弹射出枪口时的速度。
3. 图 中，一名网球运动员正在将球水平 （ ）你的测量方法是 。
2-2-5 1
击出，他要让球准确地落在图中所示的位置。 （ ）计算子弹速度的公式是 。
2
2.5 m
7.5 m
15.0 m
图2-2-5
课题研究
研究水柱的射程
请用图 所示的装置研究水桶内
2-2-6
水的深度与水柱射程的关系，并用适当的
方式描述这种关系。
图2-2-6 研究水柱的射程40
2.3 斜抛运动
将一个物体以一定的初速度沿斜向抛出，且该物体在运动
过程中仅受重力作用，该物体所做的运动叫做斜抛运动（
angle
）。生活中斜抛运动的例子很多，例如，运动
projectile motion
员踢出的足球的运动，投出去的铅球、铁饼或标枪的运动……
你还能列举一些物体做斜抛运动的例子吗？
本节以炮弹发射为背景，运用运动合成的方法来研究斜抛
运动的规律。
为了研究问题的方便，我们假定空气对炮弹的阻力可以忽
略不计。
怎样研究斜抛运动
如图 所示，发射出去的炮弹具有一个向着斜上方的
2-3-1
初速度v 。不计空气阻力，炮弹在空中运动的轨迹是怎样的？
0
v
0 目标
θ
图2-3-1 研究炮弹的运动
分析与论证
研究斜抛运动，大致有两种思路。
方案1
设想炮弹不受任何力的作用，它将沿着初速度 v 的方向做
0
匀速直线运动。而事实上，炮弹在竖直方向受到重力作用，因
此它在竖直方向上做自由落体运动。根据运动的合成，我们可
以把炮弹的运动看成是沿初速度 v 方向的匀速直线运动与沿竖
0
直方向的自由落体运动的合运动。
如图 所示，每经过 ，炮弹沿初速度方向走过相等
2-3-2 1 s
的距离；而在竖直方向上，炮弹按自由落体运动的规律，在 内，
1 s
内， 内……下落的距离之比为 ∶ ∶ ∶…。
2 s 3 s 1 4 9
根据以上分析，可以画出炮弹做斜抛运动时的轨迹（图
）。
2-3-2第 2 章 抛体运动
41
45m
20m
5m
1s 2s
3s
图2-3-2 炮弹做斜抛运动时的轨迹
你不妨在图 中也试画一下，并将你画的轨迹与图
2-3-1
做一比较。
2-3-2
方案2
类似于研究平抛运动的方法，以炮弹射出点为原点，建立
直角坐标系（图 ），将初速度 v 分解为沿水平方向的分
2-3-3 0
量 v 和沿竖直方向的分量 v ，这样，炮弹的运动就可以看成
x y
0 0
是以下两个运动的合运动：
在水平方向上，炮弹不受力的作用，因此炮弹在这个方向
上的分运动是速度为v v 的匀速直线运动。
x = 0 x
在竖直方向上 炮弹受重力作用，加速度为g，方向与初速
,
度 v 的方向相反，因此炮弹沿这个方向的分运动是匀减速直
y
0
线运动。
y
v y v v y = 0 v v
v 0 y v 0 v x v x v
y v
x
O θ v x
x
0
a=g v v
y
图2-3-3 斜抛运动沿水平和竖直方向分解
分析图 ，你能描述一下炮弹在做斜抛运动的过程中
2-3-3
速度的变化情况吗？
在分析炮弹运动轨迹时可以发现：炮弹的运动轨迹关于经
过其最高点的竖直线是左右对称的。这启发我们：是不是可将
斜抛运动作为平抛运动来分析处理呢？有兴趣的同学不妨一试。
设炮弹从炮筒中射出时的速度是 m/s，不计空气阻力，
100
当炮筒的仰角分别为 °、 °、 °时，请用运动合成与分解的
30 45 60
方法，描绘炮弹的运动轨迹。42
研究斜抛运动的射程与射高
在斜抛运动中，人们比较关注的是射高、射程和飞行时间。
射高是被抛物体所能达到的最大高度。
射程是被抛物体的抛出点与落点之间的水平距离。
飞行时间就是被抛物体从被抛出点到落点所用的时间。
你可以用频闪照相（图 ）等实验方法进行研究，也
2-3-4
可以用理论分析的方法进行研究。
图2-3-4 斜抛小球的频闪照片
实验探究 研究斜抛运动的射程和射高
如图 所示，用喷水枪喷射出一股水流，改变水流喷
2-3-5
出时初速度的大小和方向（即喷射角），探究斜抛运动的射程
和射高与哪些因素有关。
说出你的探究结论。
请根据实验结果讨论：
75°
60°
45°
30°
15°
图2-3-5 研究喷水枪喷射出的水流的射程和射高第 2 章 抛体运动
43
. 设初速度一定，当喷射角为多大时，射程最远？
1
. 要获得同样的射程，可以有几个不同的喷射角？你能找
2
出其中的规律吗？
理想弹道曲线与实际弹道曲线
在炮弹的实际运动过程中，由于初速度很大，空气阻力的
影响是很大的。按不计空气阻力计算，用 °角射出初速度为
20
的炮弹，射程应达 。但实际测量的结果却只有
600 m/s 24 km
，射高也减小，而且轨迹也不再是抛物线，而变成了图
7 km 2-3-6
中实线所示的弹道曲线（图中的虚线是理想弹道曲线）。在进
行炮弹射击时，要根据具体情况，对理想弹道曲线进行修正，
才能得到实际所需的弹道曲线。
实际射程 理想射程
图2-3-6 炮弹运动的理想弹道曲线和实际弹道曲线
信息浏览
伽利略是怎样研究斜抛物体射程的
伽利略把以各种抛射角发射的物体的射程和射高一一计算出来，制 你从伽利略对斜抛物
体射程的研究中得到了哪
成表格，从中得出：当抛射角α °时，射程最大；抛射角为 °±β
= 45 45 些启示？
的两个斜抛运动射程相等。而在他之前，意大利学者塔尔塔利亚（
N.
）于 年就指出了前一个结论。
Tartaglia 1546
伽利略评论道：“仅用数学便得出如此严格的证明，这使我心中充满
了又惊又喜的感觉……通过探索原因而达到对某一简单效应的理解会使
你能证明斜抛物体在
人茅塞顿开，从而使理解和验证其他事实毋需借助实验，目前的例子恰
同样大小的初速度下，抛
好说明了这一点；由于作者成功地证明了最大射程必定是仰角为 °时
45 射角分别为 ° β 和
45 +
发生的，因此他也证明了在实际上可能从未观察到的情况，即在同 ° ° β（ β< °）时的射
45 45 - 45
角相差（大于或小于）同一数量的仰角下，射程是相等的……” 程相等吗？44
家庭作业与活动
1. 下列选项中物体做抛物线运动的是（ ）。 到了什么规律？你能用理论分析的方法证明
一个从跳板上跳入游泳池的人 这一规律吗？
A.
一艘绕着地球运行的太空飞船
B.
1m/s 1m/s
一片从树上掉下的叶子
C.
一列沿着平直轨道行进的火车 2m/s 2m/s
D.
2. 要提高运动员掷铅球的成绩，应该采取哪些
措施？ 3m/s 3m/s
3. 我国于 年 月 日成功发射了“神舟”
2003 10 15
五号载人宇宙飞船。假如航天员杨利伟在飞
4m/s 4m/s
船中抛出一个小球，小球的运动轨迹将是怎
样的？为什么？
4. 图 所示的是做斜抛运动的物体在几个
2-3-7
位置时的速率。分析图中给出的速率，你找
图2-3-7
课题研究
研究弹道曲线 哪些因素？怎样增大枪、炮的射程？等等。
学了抛体运动后，有些同学可能会对有关 在进行此项研究时，你可能要向当地驻军
的军事知识产生兴趣，或许想进一步了解弹道 部队官兵请教，最好能参加一次实际的射击活
曲线方面的知识。 动。你可能要查阅一些参考资料。
研究弹道曲线的规律是军事和射击运动中 请把你的研究成果写成科学报告，向同学
的基本科目。请你分析：实际的弹道曲线是由 和老师介绍。
哪些因素决定的？用枪、炮瞄准目标时应考虑
课外活动
假如有一天能在月球上开运动会，你能想象出
那将是一种什么样的情景吗？例如，掷铅球、投标
枪的成绩会发生什么变化？跳远、跳高的成绩会发
生什么变化？等等。
你可以在互联网、资料室查询有关资料。
班级还可以此为题，召开一次科学讨论会。
图2-3-8 月球、卫星与地球（近处的为月球）第 2 章 抛体运动
45
第 2 章家庭作业与活动
A组
1. 某人站在匀速运动的自动扶梯上，经时间t 恰
1 9km/h
好到达楼上。若自动扶梯停止运行，此人沿此
梯拾级而上，需经时间t 到达楼上。如果自动
2 260m
扶梯正常运行，人仍保持原来的步频沿梯而上，
A
则到达楼上的时间为 。
______
2. 两个相同的物体位于同一高度处，其中一个水
平抛出，另一个沿光滑斜面从静止自由下滑， 图2-A-1
哪一个物体先到达地面？到达地面时，两者速
B组
率是否相等？
1. 春游时，同学们在农田旁看见一台正在抽水的
3. 水平匀速飞行的飞机上，相隔 落下物体A
1 s 农用水泵，其出水管水平放置。只用一把刻度
和物体B。在落地前，A物体将（ ）。
尺，如何估算出水泵的出水口在单位时间内流
在B物体的前方
A. 出的水量（设水从出水口均匀流出）？要求说
在B物体的后方
B. 明需测量的物理量。
在B物体正下方
C. 2. 如图 所示，枪管AB对准小球C，ABC
在B物体前下方 2-B-1
D. 在同一水平线上。子弹射出枪口时，悬挂小球
4.做平抛运动的物体，每秒速度增量总是（ ）。
的细线突然断开，小球C由静止开始下落。已
大小相等，方向相同
A. 知BC的距离s为 ，不计空气阻力，重力
大小不等，方向不同 100 m
B. 加速度g取
2
，问：
大小相等，方向不同 10 m/s
C. （ ）如果小球C下落 时被击中，那么子
大小不等，方向相同 1 20 m
D. 弹离开枪口时的速度是多大？
5. 一个小球从高处水平抛出，抛出点跟落地点的
（ ） 如果子弹离开枪口时的速度大于上面所
水平距离为s。现将s分成三等分，则小球在 2
求的数值，那么子弹仍然能击中这个小
s
水平方向上相继运动 的时间内，其下落高度
球吗？为什么？
3
之比为（ ）。 （ ） 如果悬挂小球的细线突然断开后，小球
3
∶ ∶ C不是由静止开始下落，而是和子弹同
A. 1 1 1
∶ ∶ 时以 的初速度沿子弹初速度方向
B. 1 2 3 10 m/s
∶ ∶ 水平抛出，那么子弹是否还能击中这个
C. 1 3 5
∶ ∶ 小球？若能击中，在何处击中？
D. 1 4 9
6. 一艘小船从河岸的 A 点出发渡河，河宽为
，船在静水中的速度是 ，水流速
260 m 18 km/h
度是 ，如图 所示。为使船在最 A B
9 km/h 2-A-1
C
短的时间内到达河对岸，问：
（）船渡河最短时间是多少？
1 图2-B-1
（）船到达河对岸的位置在 A点下游多远处？
246
3
第 章 圆周运动
过山车运行时，最令人惊心动魄的是它倒悬着掠过弧
顶的那一刻。它怎么就不掉下来呢？要回答这个问题，我
们要来研究一下圆周运动。
圆周运动是一种常见的曲线运动。汽车在公路转弯处
的运动，钟表指针上各点的运动等，通常都可以看作圆周
运动。
我们怎样描述和研究圆周运动呢？
使物体做圆周运动的力有什么特点呢？
圆周运动遵循哪些规律呢？
在本章中，我们将以生产生活中的圆周运动为背景，
认识与描述圆周运动的物理模型——匀速圆周运动。通过
实验，探究匀速圆周运动的规律，用牛顿第二定律分析匀
速圆周运动，了解生产生活中的离心现象及其产生的原因。
进一步体会物理学中化繁为简的方法，增强分析和解决问
题的能力。第 3 章 圆周运动
47
3.1 怎样描述圆周运动
做圆周运动的质点的运动轨迹是圆，描述圆周运动的方法
跟描述直线运动与抛体运动的方法，既有相同点，又有不同点。
那么，应该用哪些物理量来描述圆周运动呢？ A B
C
D
路程、位移与线速度
R
O
路程与位移
在直线运动中，常用路程、位移来描述物体的运动。对圆
周运动，同样也可以用路程与位移来描述。如图 所示，
3-1-1
物体从A点沿圆周运动到B、C、D各点。
图3-1-1 圆周运动的路程与位移
请在图中表示：
. 物体从A点运动到B、C、D各点所经过的路程。
1
. 物体从A点到B、C、D各点的位移。
2
s
A
线速度 B
物体做直线运动的快慢可以用速度来描述，物体做圆周运
动的快慢则常常用线速度（ ）来描述。
linear velocity
物体经过的圆弧 AB 的长度 s（图 ）跟通过这段圆弧 O
3-1-2
所用时间t的比，叫做圆周运动的线速度的大小，用符号v表示，
则
s
v 图3-1-2 物体经过的弧长与所用
= t 时间的比值是圆周运动的线速度
那么圆周运动的线速度方向是怎样的呢？如图 所示，
3-1-3
雨伞旋转起来后，水滴将沿雨伞边缘的切线方向飞出。
观察图 ，用砂轮打磨工件时，火花是沿什么方向飞
3-1-4
出的？这个现象说明了什么问题？
研究表明，圆周运动的线速度方向沿着圆周的切线方向。
物体做圆周运动时，如果在相等的时间里通过的圆弧
长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动（
uniform circular
）。物体做匀速圆周运动时，线速度v的大小是不变的。
motion
钟表指针上各点的运动、“神舟”飞船环绕地球的运动、月亮
绕地球的运动都可以近似看作是匀速圆周运动。
你还知道哪些物体做匀速圆周运动？试举例说明。
图3-1-3 水滴从伞的边缘沿切线
方向飞出48
角速度与周期
角速度
物体做圆周运动的快慢还可以用角速度（ ）
angular velocity
来描述。在相同的时间内，连接运动物体与圆心的半径所转过
的角度越大，物体沿圆周运动得就越快。
图3-1-4 火花沿砂轮的切线方向
如图 所示，物体做圆周运动时，连接它与圆心的半
飞出 3-1-5
径转过的角度 θ 跟所用时间 t 的比值叫做角速度。角速度一
Δ
般用ω表示，即
s
θ
ω
Δ
= t
θ
Δ
R 式中， θ 的单位是弧度，符号是 ， ω 的单位是弧度 秒，
Δ rad /
符号是 ，读作“弧度每秒”。
rad/s
想一想：物体做匀速圆周运动时，它的角速度大小是否发
生变化？
图3-1-5 用角速度表示圆周运动
的快慢 周期
圆周运动是一种周期性的运动，因此，描述圆周运动的物
理量还有周期和转速。
物体沿圆周运动一周的时间叫做圆周运动的周期（ ）。
period
周期一般用 T 表示，在国际单位制中的单位是 。物体在单位
s
时间内完成圆周运动的圈数叫做转速（ ），转速
rotation speed
一般用 n 表示，单位是转每秒（ ）或转每分（ ）。由此
r/s r/min
可知
ω
2π
= T
想一想：匀速圆周运动的周期与转速是否变化？
角速度与线速度的关系
以上描述圆周运动的各物理量之间是互相联系的，例如物
体经过的弧长s与转过的角度 θ之间的关系是
Δ
s R θ
= Δ
式中，R 是圆周的半径。第 3 章 圆周运动
49
你能否证明线速度和角速度的关系是v = ω R吗？ 用角度来描述圆周运动，建
立角速度、转速等概念，比单纯
你还能用周期 T、转速 n 来描述匀速圆周运动的线速度 v
用线速度来描述圆周运动情况更
和角速度 ω 吗？
具有实用价值。
请写出你的推导过程与结论。
案例分析
案例 观察自行车的主要传动部件，了解自行车是怎样用
链条传动来驱动后轮前进的。如图 所示，其中 图是链
3-1-6 b
条传动的示意图，两个齿轮俗称“牙盘”。试分析并讨论：
（ ）同一齿轮上各点的线速度、角速度是否相同？
1
（ ） 两个齿轮相比较，其边缘的线速度是否相同？角速
2
度是否相同？转速是否相同？
（ ） 两个齿轮的转速与齿轮的直径有什么关系？你能推
3
导出两齿轮的转速n 、n 与两齿轮的直径d 、d 的关系吗？
1 2 1 2
试根据以上分析，说明自行车将踏板的转动传递给后轮的
过程。你知道多挡变速自行车是怎样变速的吗？
分析 自行车前进时，链条不会在齿轮上打滑，因而两个
齿轮边缘的线速度大小必定相同。但两个齿轮的直径不同，根
据公式v ωR可知，两齿轮的角速度不同，且角速度与直径成
=
反比。根据以上分析，你就可以回答上面的问题了。
请在观察的基础上，运用所学的知识分析讨论所提出的问
题，并与同学交流讨论的结果。
请在课外用刻度尺测量自行车的两个齿轮的直径和车轮的
直径（例如，被称为“ 英寸”的车轮，其直径约 cm）。计算一
26 66
下，踏脚板每转一圈，自行车前进多少米？
小齿轮
v
大齿轮
ω ω
2 1
链条 d d
2 1
a b
图3-1-6 自行车与链条传动50
多学一点 圆周运动的速度
做圆周运动的物体在圆周上某一点的瞬时速度 v 可以用以
下方法求得。
如图 所示，假如物体在圆周上从 A 点运动到 B 点，
3-1-7
A
位移是AB， 所用的时间为Δt。根据速度的定义， 速度是位移
v AB
1 AB跟所用时间Δt的比值，即 v ，这是 Δt时间内的平均
r
= t
B Δ
速度。所取的时间 Δt 越短，B 点越接近 A 点，物体在 AB 间的
运动就越接近于匀速直线运动，所求的平均速度也越接近于 A
O
v
2
点的瞬时速度。假如所取的时间为无限短，B点将无限逼近A点，
此时求得的平均速度，就是A点的瞬时速度了。
速度是矢量。做圆周运动的物体在圆周上某一点的瞬时速
度的方向，是圆周上这点的切线方向。
图3-1-7 当B点无限逼近A点时，
物体做匀速圆周运动时，物体在圆周上任一点的速度的大
AB之间的平均速度就是A点的瞬时
速度
小（即速率）不变，但方向时刻都在变化。前面说的线速度的
大小就等于匀速圆周运动的速度的大小。
请你分析：匀速圆周运动是匀速运动吗？
家庭作业与活动
1. 图 表示一位同学用绳子系着一个软木 3. 手表的秒针长 ，分针长 ，秒针
3-1-8 1.3 cm 1.2 cm
塞，让它在竖直平面内做圆周运动。若在软 针尖和分针针尖运动的线速度是多大？秒针
木塞运动至最高点或最低点时突然松手，软 和分针转动的角速度是多大？
木塞将怎样运动？ 4. 钟表分针的角速度与时针的角速度之比
是 。
5. 图 是皮带传动机构的示意图（A、B 轮
3-1-9
共轴）。
（ ） 请分析：三个轮子边缘上哪些点可能具
1
有相同大小的线速度？哪些点可能具有
相等的角速度？三个轮子转速的关系又
如何？
（ ） 假设轮 A 与轮 B 的半径分别为 和
2 0.4 m
，轮C的半径为 。已知轮B
0.2 m 0.2 m
每分钟转 转，计算每个轮子边缘上
600
图3-1-8 一点的线速度和角速度。
A
2. 某物体做匀速圆周运动，圆周的半径为 R，
B
C
周期为 T。物体在运动 9 T 的时间内，位移 O O′
4
的大小是 ，路程是 ，转过的角度
是 。
图3-1-9第 3 章 圆周运动
51
3.2 匀速圆周运动的规律
速度是矢量，只要运动物体的速度发生了变化，就表明物
体有了加速度。物体做匀速圆周运动时，虽然速度的大小不变，
但方向却时刻都在变化，这表明：做匀速圆周运动的物体具有
加速度；这个加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
物体做匀速圆周运动时，加速度的大小与方向是怎样的呢？
它是怎样产生的呢？
向心加速度
我们已经知道，物体做匀速圆周运动时，其速度方向沿着
B′
圆周的切线方向。如图 所示，物体在圆周上从 A 点经时 v
3-2-1 a
B
间 Δt 运动到 B 点。物体在 A 点时，其速度方向沿着 A 点的切
A
v
线方向，如果没有力的作用（因而没有加速度），物体将因惯
性而沿着这条切线运动到 B′点。然而，实际上物体却是运动到 R
圆周上的 B 点，且速度方向沿着 B 点的切线方向。这说明做匀 O
速圆周运动的物体受到力的作用，产生了加速度，这个加速度
只改变速度的方向。分析表明，做匀速圆周运动的物体在圆周
上各点的加速度方向，总是跟该点的速度方向垂直，即沿着半
图3-2-1 做匀速圆周运动的物体
径指向圆心，如图 所示。
具有加速度
3-2-2
想一想：假如物体在圆周上某一点的加速度方向跟速度方
向不垂直，物体沿圆周的运动还能保持“匀速”吗？
做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度， v
4 v
1
叫做向心加速度 。
(centripetal acceleration)
理论和实验都证明，向心加速度的大小跟圆周运动的线速 a
1
度、角速度和半径有关，其表达式为 a
4
O a
2
v
a 2 或a ω R
= R = 2 a
3
v
3
在上面两式中，前式表明向心加速度的大小跟半径 R 成反
v
2
比，后式却表明向心加速度跟半径R成正比。
图3-2-2 做匀速圆周运动物体的
这两个式子是否互相矛盾？你是怎样理解的？
加速度与速度方向垂直，指向圆心
由前式可知，当线速度v一定时，R越大，a就越小。
设有一个物体的线速度为 m /s，运动所在圆周的半径
100
等于地球半径，那么是否可以把这个物体的运动看成是水平地
面上的匀速直线运动？为什么？52
你能用周期T或转速n来表示向心加速度吗？
多学一点 推导向心加速度公式
如图 所示，物体从 A 点经时间 Δt 沿圆周做匀速
v
A 3-2-3 a
v 圆周运动到达 B 点，转过的角度为 θ。物体在 B 点的速度 v
A v Δ B
B Δ 可以看成是它在A点的速度v （v v v）和速度的变化量Δv
A A= B =
A
v 的合速度，如图 。
B
3-2-3 b
R 当 Δt 趋近于 时， θ 也趋近于 ， B 点接近 A 点，Δv
0 Δ 0
Δθ
接近于同 v 垂直，指向圆心，所以向心加速度方向沿半径指向
O A
圆心。
a
因为 v 、v 和 Δv 组成的三角形与△ OAB 是相似三角形，
A B
所以，仅从大小上看，有
v
A v v
A
Δ
AB = R
B
Δθ v B 即
v
AB v
⋅
Δ = R
v
将上式两边同时除以Δt，得
Δ
v AB v
b
Δ
t = t ⋅ R
Δ Δ
图3-2-3 从速度合成的角度看向
v
心加速度的方向和大小 当Δt趋近于 时，等式左边 Δ 即为向心加速度a的大小，
0 t
AB Δ
等于匀速圆周运动的线速度v，代入上式整理得
t
Δ
v
2
a
= R
你能否进一步证明a = ω2R？
向心力
我们知道力是产生加速度的原因。在匀速圆周运动中，产
生向心加速度的力叫做向心力 。
(centripetal force)
如图 所示，在细绳的一端系一个小塑料球，另一端
3-2-4
牵在手中。将手举过头顶，使小球做圆周运动，感受球运动时
绳对手的拉力。
改变小球转动的快慢或线的长度或球的质量，感受向心力
的变化跟哪些因素有关。
图3-2-4 小球做圆周运动时,手通 运用牛顿第二定律，可由向心加速度公式推导出向心力的
过绳子对球有拉力
公式第 3 章 圆周运动
53
mv
F 2 或F mω R
2
= R =
你会推导吗？请试一试。
请讨论：由向心力的公式分析，物体的向心力跟哪些因素
有关？
学生必学做生实必验做实验探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
我们知道，向心力的大小跟运动物体的质量、速度和圆周
运动的半径有关。本实验根据向心力公式，进一步探究向心力
大小与物体的质量、角速度、圆周半径之间的关系。
如图 所示，向心力实验仪主要由调速轮、长滑槽、
3-2-5
短滑槽、横臂、弹簧测力套筒、标尺、转动手柄、传动皮带、小球、
基座等组成。
图3-2-5 向心力实验仪
实验时，将仪器放置平稳并使转动手柄能伸出台面以便操
作。转动手柄，可使调速轮以及长滑槽和短滑槽随之匀速转动。
皮带分别套在两个调速轮的不同圆盘上，可使两个滑槽内的小
球分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向
心力由横臂的挡板对小球的压力提供，小球对挡板的反作用力
通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上
露出的格子的多少可以显示出所测向心力的大小。
思考讨论
. 利用向心力实验仪，如何探究向心力的大小与物体的质
1
量m、角速度 ω、圆周半径R的关系？54
. 如何利用转速计算角速度的大小？
2
设计实验
根据思考与讨论的结果，你能制订出探索向心力大小与物
体的质量、角速度、圆周半径之间关系的实验方案吗？
进行实验与收集证据
根据你所制订的实验方案进行实验，将实验数据记录在下
页表中。
探究影响向心力大小的因素实验数据记录表
质量 m 角速度大小 ω 圆周半径 R 向心力大小 F
分析论证
你能根据所记录的数据推断出向心力大小与物体的质量m、
角速度大小 ω、圆周半径R的关系吗？
实验结论
实验证明：向心力的大小跟物体的
____________________
成正比。
案例分析
案例 “神舟”五号飞船进入运行轨道后的运动可以简化为
围绕地球的匀速圆周运动。飞船的质量是 ，它围绕地
7 790 kg
球做匀速圆周运动时的向心加速度和向心力各是多大？飞船做
圆周运动的向心力是什么物体提供的？
“神舟”五号飞船运行轨道 分析 我们在研究飞船的运动时，可以把它看成是一个质
的高度是 km（指距地面的高 点。飞船做匀速圆周运动的半径是从地心到运行轨道的距离。
343
度），运行的周期约 min，地
根据本页旁批提供的信息，先要算出飞船运动的轨道半径和线
90
球的半径是 . × 3 km。
637 10 速度（或角速度），再根据向心加速度和向心力的公式就可以第 3 章 圆周运动
55
计算出向心加速度和向心力的大小。
解答 R R 地 h （ × 3 × 3 ）
= + = 6.37 10 + 0.343 10 km
×
6
= 6.713 10 m
a ω R 2 R
2 4π
向心 = = T ⋅
2
2
4 × 3.14 6 2 2
= ( ) × 6.713 × 10 m/s = 9.08m/s
2
60 × 90
F ma
向心 = 向心 = 7790 × 9.08N
4
= 7.07 × 10 N
此向心力是由地球对飞船的引力提供的。
家庭作业与活动
1. 图 是小球在不同的情况下做匀速圆周 需要提供多大的向心力？
3-2-6
运动的示意图，试在图 、 上分别画出小球 3. 如图 所示，在匀速转动的水平圆盘的边
a b 3-2-7
所受到的力，并分析它们做匀速圆周运动所 缘处放着一个质量为 的小金属块，圆盘
0.1 kg
需的向心力的来源。 的半径为 ，金属块和圆盘间的最大静摩
20 cm
擦力为 。为不使金属块从圆盘上掉下来，
0.2 N
圆盘转动的最大角速度为 。
O
a 一小球由绳子系住，
在光滑水平桌面上围绕
O点做圆周运动
图3-2-7
4. 飞机进行特技表演时常做俯冲拉起运动，如图
所示。此运动在最低点附近可看作是
3-2-8
半径为 的圆周运动。若飞行员的质量为
b 将绳子一端固定， 500 m
另一端拴一个小球。 ，飞机经过最低点时的速度为 ，
65 kg 360 km/h
让绳子偏离竖直方向
则这时候飞行员对座椅的压力为多大？ g 取
一个角度，使小球在
一水平面内做匀速圆 2 。
10 m/s
周运动
图3-2-6
2. 要保持一个质量为 的物体在半径为
3.0 kg 2.0 m
的圆周上以 的线速度做匀速圆周运动， 图3-2-8
4.0 m/s56
3.3 圆周运动的案例分析
当你在游乐场玩着过山车或者坐着旋转椅时，当你乘坐的
汽车在弯弯曲曲的盘山公路上行驶时，你是否想过其中的物理
原理？在本节中，我们将运用圆周运动的规律来分析生活中多
姿多彩的圆周运动。
案例 1 分析游乐场中的圆周运动
案例 过山车（图 ）能从高高的圆周轨道顶部轰然
3-3-1
而过，车与人却不掉下来，这是为什么呢？
分析 为了更好地分析这个问题，让我们先做一个实验。
图3-3-1 过山车驶至轨道的顶部，
车与乘客都在轨道下方，却不会掉下 如图 所示，让一个小球从斜面轨道的不同高度处滚下，
来 3-3-2
观察小球通过圆周轨道时的运动情况。
从这个实验可以看出，如果小球从斜面轨道滚下时的起始
高度过低，它到达圆周轨道底部的速度太小，就会在圆周轨道
的某处脱离轨道而掉下来；只有当小球的速度足够大时，才能
通过圆周轨道的顶部而不掉下来。
设过山车与坐在其中的人的总质量是 m，轨道半径是 R，
v
图3-3-2 观察沿斜面轨道滚下的 车经过顶部时的速度是 v 。由向心力公式 F m 2 可知，在
顶 = R
小球通过圆周轨道的情况
圆周轨道的顶部，过山车的速度 v 越大，人与车所需要的向
顶
v 心力F也越大。
顶
当过山车沿圆周运动到轨道的顶部时，人与车作为一个整
体，所受到的指向圆心的力是重力 mg 跟轨道对车的弹力 F 的
F N N
mg 合力（图 ）。
3-3-3
R 请思考：
如果轨道对过山车的弹力恰为零，过山车会掉下来吗？此
时过山车的速度多大呢？如果过山车的速度小于这个速度，会
发生什么现象呢？
如果过山车通过轨道顶部时F ，则重力mg恰好等于过山
N = 0
v
车做圆周运动所需的向心力，即 m 2 mg，由此可得 v gR。
R = =
这时，重力的作用只是改变过山车的运动方向，车不会向下脱
离轨道。
图3-3-3 分析过山车的原理
如果过山车通过轨道顶部时的速度 v 小于 gR，则所需的
为了保证乘客的安全,实际
向心力小于车所受到的重力，过山车有向下脱离轨道的趋势。
运行的过山车的车轮都镶嵌在轨
道的槽内，乘客被安全带束缚在 如果过山车通过轨道顶部时的速度 v 大于 gR，则所需的
座椅上。第 3 章 圆周运动
57
a 摩托车转弯时，必须向转弯处的内侧倾斜 b 滑冰运动员转弯时必须向转弯处的内侧倾斜
图3-3-4 转弯中的运动物体
向心力大于车所受到的重力，车将挤压轨道，所以这时轨道对
车的弹力不为零，车子不会掉下来。
案例 2 研究运动物体转弯时的向心力
案例 生活中经常遇到运动物体转弯的问题。许多物体在
转弯时所做的运动，都可以看成是一种局部的圆周运动。这里
需要讨论的问题是，做这种圆周运动的向心力是从哪里获得的
呢？下面以自行车为例进行分析研究。
经验告诉我们，骑自行车转弯时，车与人会倾向弯道的内侧，
这是什么原因呢？
F
分析 设自行车转弯时所走弯道（作为圆周的一部分）的
半径为R，人和自行车的总质量为 m。
自行车在转弯处的受力情况如图 所示，图中的 F 是
3-3-5
地面对车的作用力（地面对车的弹力和静摩擦力的合力），mg F 合
是重力，这两个力的合力 F 指向弯道处的圆心，它提供了自
合
行车做圆周运动的向心力。
请思考并讨论：
mg
θ
. 自行车转弯时倾斜的角度 与哪些因素有关？
1 θ
. 观察图 ，分析汽车在水平路面转弯时，是怎样获
2 3-3-6
得向心力的。图中 f 表示路面对汽车的摩擦力。
图3-3-5 转弯中的自行车
. 观察图 ，了解并分析火车转弯时是怎样获得向心 自行车向弯道的内侧倾斜，利
3 3-3-7
用地面作用力与重力的合力作为转
力的。
弯所需要的向心力。58
F
N
F
N
F
f
mg
G
a a b b
图3-3-6 汽车在水平路面转弯 图3-3-7 火车在弯道处转弯
家庭作业与活动
1. 取一个量杯，在里面放一个小塑料球。摇动 改造？
杯子，使球在杯内做圆周运动（图 ）。 4. 滑冰运动员以 的速度在水平冰面上沿着
3-3-8 10 m/s
改变转动的速度，观察球在杯内的位置和状 半径为 的圆周滑行，他的身体必须跟冰
50 m
态。请对观察到的现象进行分析讨论。 面成多大的角度才能保持平衡？
5.长L＝ 的轻杆，其一端连接着一个零件A，
0.5 m
零件的质量m＝ 。现让零件在竖直平面内
2 kg
绕O点做匀速圆周运动，如图 所示。在
3-3-9
零件通过最高点时，g取
2
，求下列两种
10 m/s
情况下零件对杆的作用力：
（ ）零件的线速度为 ；
1 1 m/s
（ ）零件的线速度为 。
2 4 m/s
图3-3-8
2. 回忆你自己或你的同学在赛跑中经过弯道时
的跑步姿势，解释为什么要采取这样的姿势。
3. 为了适应我国经济快速发展的需要，我国铁路
部门已多次对列车提速，并将继续提速，最高
时速已经超过 。你认为列车提速是
350 km/h
否要对原来铁路的弯道进行改造？应该怎样 图3-3-9第 3 章 圆周运动
59
3.4 离心现象及其应用
我们乘公交车时，常听到售票员或车上广播提醒说：“车辆
将要转弯，请乘客们拉好扶手。”这是为什么呢？因为车辆转
弯时会发生离心现象。其实，只要你留意，生活中经常会见到
离心现象。那么，什么是离心现象呢？让我们先来分析讨论几
个案例。
生活中的离心现象
案例 1 公交车上的一段对话
公交车上坐着一位中学生，脚旁放着他携带的一小桶水。
当公交车急转弯时，桶内的水泼了出来。中学生对司机有意见了，
于是便出现了下面的一段对话。
中学生：师傅，车子怎么搞的，我桶里的水都泼出来了？
司机：我车子正在转弯呢！
中学生：那你的弯子为什么转得那么大？转小点，桶里的
水就不会泼出来了。
司机：如果我把弯子转得小一点，你桶里泼出来的水会更多。
你读了这段对话，有什么评价？你认为中学生和司机谁说
的对？
汽车转弯时，桶内的水会泼出来，这就是一种离心现象。
乘客在汽车转弯时有被向外甩出的倾向，这也是离心现象。
案例 2 洗衣机是怎样甩干衣物的
你用过洗衣机吗？你知道洗衣机为什么能甩干衣物吗？图
是某种全自动滚筒式洗衣机的外形和内部结构图。一般
3-4-1
全自动洗衣机的内筒是甩干筒，筒的转轴通过传动带与电动机
相连。将潮湿的衣物放入筒内后，选择脱水挡，开动电动机，
甩干筒就会绕轴快速旋转，衣物中的水随着筒的旋转从桶壁的
小孔中被甩出去，一会儿衣物中的水就几乎被甩没了。
衣服中的水从筒壁小孔中被甩出去的现象也是离心现象。
图3-4-1 洗衣机甩干筒的壁上有
许多小孔，当筒绕轴快速旋转时，
你认为甩干筒工作时，转速高时容易甩干衣物，还是转速
衣物中的水从小孔中被甩出
低时容易甩干衣物？
案例 3 汽车一级方程式大赛
你在电视上看过汽车方程式大赛吗？有时候，飞速行驶的60
图3-4-2 赛车
赛车在转弯处会突然冲出赛道。你注意观察过失事赛车是沿赛
道的什么方向冲出去的吗？一般汽车在水平公路上高速行驶时，
如遇道路急转弯，往往也会冲出公路，造成车祸，尤其在雨天，
更容易发生这样的事故。
赛车或汽车在转弯处冲出正常行驶道路的物理原因也是离
心现象。
从上面的几个案例可知，做圆周运动的物体，在某种情
况下会脱离圆周做离开圆心的运动，这种现象称为离心现象
（ ）。
centrifugal phenomenon
为什么会产生离心现象呢？
离心现象
实验探究 研究离心现象
取一段细线，在其一端系上一小块吸足水的海绵。用手指
捏牢细线的另一端，甩动海绵块，使它在细线的牵动下做圆周
运动。当海绵块转动时，所吸附的水由于离心现象会被甩出。
保持细线长度不变，改变海绵块做圆周运动的转速。
1.
请观察思考：海绵块的转速大时离心现象强烈，还是转速
小时离心现象强烈？
保持海绵块做圆周运动的转速不变，改变细线的长度。
2.
请观察思考：细线是长一些时离心现象强烈，还是短一些
时离心现象强烈？
在什么情况下，海绵块会脱离圆周运动飞出去？第 3 章 圆周运动
61
分析与论证 分析产生离心现象的原因
设质量为 m 的物体，沿半径为 R 的圆周做匀速圆周运动，
线速度为v，运动中受到指向圆心的外力的合力为F，如图 F=
F=F
3-4-3 R 向心 0
所示。
O F
