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雅礼教育集团 年上期期末考试
2025
⾼⼆数学试卷
命题⼈：蒋志华 审题⼈：孙密莲
⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 已知集合 ，若 ，则实数 （ ）
A. B.0 C.1 D.2
2. 已知⼀个球 表⾯积与体积的数值相等，则这个球的体积为（ ）
A.3 B.12 C. D.
3. 设函数 的定义域为 ，则“ ， ”是“函数 为增函数”的
A. 充分⽽不必要条件 B. 必要⽽不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量 ， 在 ⽅向上的投影向量为 ，则 （ ）
A. B. C.6 D.12
6. 已知随机变量 ， ， ，则 的最⼩值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设 ，则 的值为（ ）
A.20 B. －20 C.160 D. －160
8. 如图，在正⽅体 中， 是棱 的中点，点 在棱 上，且 ，若
平⾯ ，则 （ ）
第1⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A B. C. D.
⼆、多选题：本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分，在每⼩题给出的四个选项中，有多项
符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A.
B. 复数 的共轭复数的虚部为4
C. 若复数z满⾜ ，则 的最⼤值为2
D. 若 是关于x的⽅程 的⼀个根，则
10. 已知数列 的前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列 为递减数列
B. 当且仅当 时， 取得最⼤值
C.
D. 是等⽐数列
11. 设函数 ，则（ ）
A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数
C. 在区间 上单调递增 D. 的图象关于点 中⼼对称
三、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知函数 为奇函数，则 ______.
第2⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司13. ⼀个袋中装有⼤⼩质地相同的9个⼩球，其中⽩球2个，红球3个，⿊球4个，现从中不放回地摸球，
每次摸⼀球，则前三次能摸到红球的概率为__________.
14. 设函数 ，若 且 ，则 取值范
围是__________．
四、解答题：本⼤题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，⻆ 所对的边分别为 ， ，⻆ 的平分线交 于点 ，
且 ．
（1）求 的⼤⼩；
（2）若 ，求 的⾯积．
16. 随着⽹络App的普及与发展，刷“ 抖⾳” 成为了⼈们⽇常⽣活的⼀部分.某地区随机抽取了部分20～40
岁的“ 抖⾳” ⽤户，调查他们⽇均刷“ 抖⾳” 的时间情况，所得数据统计如下表：
性别 ⽇均刷“ 抖⾳” 时间超过2⼩时 ⽇均刷“ 抖⾳” 时间不超过2⼩时
男性 48 72
⼥性 24 56
（1）依据⼩概率值 的独⽴性检验，能否认为⽇均刷“ 抖⾳” 时间的⻓短与性别有关？
（2）现从被调查的⽇均刷“ 抖⾳” 时间超过2⼩时的⽤户中，按照性别⽐例采⽤分层随机抽样的⽅法抽取
3名⽤户参加抖⾳知识问答，已知男性⽤户、⼥性⽤户顺利完成知识问答的概率分别为 ， ，每个⼈是
否顺利完成知识问答相互独⽴，求在有且仅有2⼈顺利完成知识问答的条件下，这2⼈性别不同的概率.
参考公式： ，其中 .
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2706 3841
6.635 7.879 10.828
第3⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司17. 如图，在三棱柱 中，侧⾯ 为正⽅形， ， ， ，
， 为 的中点.
（1）求证： 平⾯ ；
（2）求直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值；
（3）求⼆⾯⻆ 的余弦值.
18. 已知椭圆 的离⼼率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的⽅程；
（2）若 ， 分别为椭圆 的上，下顶点，过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于另⼀点 （异
于椭圆的右顶点），交 轴于点 ，直线 与直线 相交于点 .求证：直线 的斜率为定值.
19. 张景中院⼠在《与中学教师谈微积分》⼀⽂中，给出了“差商有界”函数和“⼴义差商有界”函数的定义，即
若函数 在区间 上有定义，并且存在⼀个正数 ，使得 且 ，不等式
恒成⽴，则称 在 上为“差商有界”函数；若函数 在区间 上有定
义，并且存在⼀个正整数 ，使得 且 ，不等式 恒成⽴，则称
在 上为 “⼴义差商有界”函数.
（1）已知 ，判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不
是，请讨论是否是“⼴义差商有界”函数?
（2）已知函数 .
（i）判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？并说明理由；
第4⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（ii）若 在区间 上是“⼴义差商有界”函数，求正整数 的最⼩值.
第5⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司雅礼教育集团 年上期期末考试
2025
⾼⼆数学试卷
命题⼈：蒋志华 审题⼈：孙密莲
⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 已知集合 ，若 ，则实数 （ ）
A. B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系可得 或 （舍去），解出 ，由集合的互异性检验即可
得出答案.
【详解】因为 ， ，
所以 或 （舍去），
则 ．即
故选：B．
2. 已知⼀个球的表⾯积与体积的数值相等，则这个球的体积为（ ）
A.3 B.12 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤球体的表⾯积公式、体积公式列⽅程求半径，进⽽求其体积.
【详解】若球的半径为 ，则有 ，可得 ，
所以这个球的体积为 .
故选：C
3. 设函数 的定义域为 ，则“ ， ”是“函数 为增函数”的
A. 充分⽽不必要条件 B. 必要⽽不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
第1⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由增函数定义知：若函数 为增函数，则 ， ，必要性成⽴；
反之充分性不成⽴，如⾮单调函数 （取整函数），满⾜ ， ，所以选B.
考点：充要关系
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤诱导公式结合同⻆三⻆函数的关系化弦为切即可得解.
【详解】 .
故选：C.
5. 已知向量 ， 在 ⽅向上的投影向量为 ，则 （ ）
A. B. C.6 D.12
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利⽤投影向量的意义求解即得.
【详解】依题意， 在 ⽅向上的投影向量为 ，则 ，⽽ ，
所以 .
故选：A
6. 已知随机变量 ， ， ，则 的最⼩值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
第2⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.
【详解】由随机变量 服从正态分布 ，其正态分布分布曲线的对称轴为直线 ，
则 ，
所以 ，且 ， ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
故选：C.
7. 设 ，则 的值为（ ）
A.20 B. －20 C.160 D. －160
【答案】D
【解析】
【分析】先求出 的通项，令 ，即可求出 的值.
【详解】因为 的通项为： ，
令 ，则 ，
故选：D.
8. 如图，在正⽅体 中， 是棱 的中点，点 在棱 上，且 ，若
平⾯ ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
第3⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】建⽴空间直⻆坐标系，求平⾯ 的法向量 ，根据线⾯平⾏可得 ，运算求解即可.
或利⽤线⾯平⾏的判定结合条件可得.
【详解】解法⼀：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建⽴如图所示的空间直
⻆坐标系，设正⽅体的棱⻓为1，
则 ， ，可得 ，
设 是平⾯ 的法向量，则 ，
令 ，则 ，即 ，
由 ，且 ，可得 ，
⼜因为 ，则 ，
由 平⾯ ，可得 ，
解得 .
解法⼆：如图，取 中点 ，连接 ，易证 ，
所以平⾯ 即为平⾯ ，
易知当 为 的中点时， ， 平⾯ ， 平⾯ ，
从⽽ 平⾯ ，所以 .
第4⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：C.
⼆、多选题：本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分，在每⼩题给出的四个选项中，有多项
符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A.
B. 复数 的共轭复数的虚部为4
C. 若复数z满⾜ ，则 的最⼤值为2
D. 若 是关于x的⽅程 的⼀个根，则
【答案】BC
【解析】
【分析】计算 可判断A；根据共轭复数的定义可判断B；求出 的轨迹为圆，圆上的点到原点
的距离最⼤值为2，可判断C；得到 为⽅程的另⼀个根，根据⻙达定理计算可得 判断D.
【详解】A选项， ，故A错误；
B选项，复数 的共轭复数为 ，故虚部为 ，故B正确；
C选项，若复数z满⾜ ，则z的轨迹为复平⾯内，以 为圆⼼，1为半径的圆，
此圆上的点到原点的距离，最⼤值为2，即 到原点距离，故 的最⼤值为2，故C正确；
D选项， 是关于x的⽅程 的⼀个根， 为⽅程另⼀个根，
故 ，D不正确.
故选：BC
10. 已知数列 的前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
第5⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. 数列 为递减数列
B. 当且仅当 时， 取得最⼤值
C.
D. 是等⽐数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出数列 的通项公式，再作差可判断A选项；结合⼆次函数 可判断B选项；
利⽤降标作差可判断C选项；利⽤等⽐数列的定义可判断D选项.
【详解】由题意可知， ，则 ，
故数列 为递减数列，故A正确；
因⼆次函数 的对称轴为 ，且开⼝朝下，
则当 或 时， 取得最⼤值，故B错误；
当 时， ，
则 ，
⼜ ，符合上式，故 ，故C正确；
令 ，则 ，则 是等⽐数列，故D正确.
故选：ACD
11. 设函数 ，则（ ）
A. 的图象有对称轴 B. 是周期函数
C. 在区间 上单调递增 D. 的图象关于点 中⼼对称
第6⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项由偶函数得到 轴是其中⼀条对称轴；B选项⽤周期的定义找到其中⼀个周期为 ；C选
项通过两个特殊点函数值的⼤⼩判定函数在区间 不是单调递增；D选项由中⼼对称的定义验证是否
成⽴即可.
【详解】∵ ，
∴ 是偶函数，关于 轴对称，故A正确；
∵ ，
∴ 是函数 的⼀个周期，故B正确；
，∵ ， ，
显然 ，故 在区间 上不单调递增，故C错误；
，
∴ 的图象关于点 中⼼对称.
故选：ABD.
三、填空题：本⼤题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知函数 为奇函数，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得 定义域，由 可得 ，据此可得答案.
第7⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】因 ，则 ，
由于 有意义，结合 为奇函数，则 ，因此 ，
故 ，则 .
故答案为：
13. ⼀个袋中装有⼤⼩质地相同的9个⼩球，其中⽩球2个，红球3个，⿊球4个，现从中不放回地摸球，
每次摸⼀球，则前三次能摸到红球的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求前三次中每⼀次都没有摸到红球的概率，进⽽得前三次均未摸到红球的概率，利⽤对⽴事件
即可求得前三次⾄少有⼀次摸到红球的概率.
【详解】袋中有⾮红球6个，则第⼀次没有摸到红球的概率为 ，
第⼆次没有摸到红球 概率为 ，第三次没有摸到红球的概率为 ，
所以前三次均未摸到红球的概率为 ，
所以前三次⾄少有⼀次摸到红球的概率为 .
故答案 ： .
14. 设函数 ，若 且 ，则 的取值范
围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】画出函数的图象，判断 的范围，进⽽可得 ，然后利
第8⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⽤导数研究函数的性质，进⽽推出 的取值范围．
详解】解：函数 ，
若 且 ，
如图画出函数的⼤致图象，
由已知条件可知： ，
，
，
，
由 ，故 在 为减区间，
，
的取值范围是： ．
故答案为： ．
四、解答题：本⼤题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，⻆ 所对的边分别为 ， ，⻆ 的平分线交 于点 ，
且 ．
第9⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求 的⼤⼩；
（2）若 ，求 的⾯积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤正弦定理把边化成⻆，进⽽求解；
（2）由三⻆形⾯积公式并利⽤ 可得 ，再由余弦定理即可求得 ，由三⻆
形的⾯积公式可得结果.
【⼩问1详解】
因为 ，
所以由正弦定理可得 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
⼜因为 ，所以 ．
【⼩问2详解】
由题意可知 ，
即 ，化简可得 ．
在 中，由余弦定理得 ，
从⽽ ，解得 或 （舍）．
则 ．
16. 随着⽹络App的普及与发展，刷“ 抖⾳” 成为了⼈们⽇常⽣活的⼀部分.某地区随机抽取了部分20～40
岁的“ 抖⾳” ⽤户，调查他们⽇均刷“ 抖⾳” 的时间情况，所得数据统计如下表：
第10⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司性别 ⽇均刷“ 抖⾳” 时间超过2⼩时 ⽇均刷“ 抖⾳” 时间不超过2⼩时
男性 48 72
⼥性 24 56
（1）依据⼩概率值 的独⽴性检验，能否认为⽇均刷“ 抖⾳” 时间的⻓短与性别有关？
（2）现从被调查的⽇均刷“ 抖⾳” 时间超过2⼩时的⽤户中，按照性别⽐例采⽤分层随机抽样的⽅法抽取
3名⽤户参加抖⾳知识问答，已知男性⽤户、⼥性⽤户顺利完成知识问答的概率分别为 ， ，每个⼈是
否顺利完成知识问答相互独⽴，求在有且仅有2⼈顺利完成知识问答的条件下，这2⼈性别不同的概率.
参考公式： ，其中 .
参考数据：
01
0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）⽆关； （2） .
【解析】
【分析】（1）由题意可得 列联表，再计算 ，对⽐临界值表即可得解；
（2）根据题意，求出有且仅有2⼈顺利完成知识问答的概率和这2⼈性别不同的概率，再根据条件概率公
式求解即可.
【⼩问1详解】
由题意， 列联表如下：
性别 ⽇均刷“ 抖⾳” 时间超过2⼩时 ⽇均刷“ 抖⾳” 时间不超过2⼩时 合计
男性 48 72 120
⼥性 24 56 80
合计 72 128 200
第11⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司零假设为 ：⽇均刷“ 抖⾳” 时间的⻓短与性别⽆关，
则 ，
故依据⼩概率值 的独⽴性检验，我们推断零假设 成⽴，
即⽇均刷“ 抖⾳” 时间的⻓短与性别⽆关.
【⼩问2详解】
由分层随机抽样可知，抽取男性⽤户2⼈，⼥性⽤户1⼈.
记“ 有且仅有2⼈顺利完成知识问答” 为事件 ，“ 2⼈性别不同” 为事件 ，则
，
，
故 .
17. 如图，在三棱柱 中，侧⾯ 为正⽅形， ， ， ，
， 为 的中点.
（1）求证： 平⾯ ；
（2）求直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值；
（3）求⼆⾯⻆ 的余弦值.
【答案】（1）证明⻅解析
（2） .
第12⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（3） .
【解析】
【分析】（1）只需证明 ，然后结合线⾯平⾏的判定定理即可得证；
（2）建⽴适当的空间直⻆坐标系，求出直线 的⽅向向量与平⾯ 的法向量 ，由公式 即
可求解；
（3）容易知道 是平⾯ 的⼀个法向量，由公式 结合⼆⾯⻆是钝
⻆即可求解.
【⼩问1详解】
连接 ，设 ，连接 .
因为在三棱柱 中，四边形 是平⾏四边形，
所以 为 的中点.
因为 为 的中点，
所以 .
⼜因为 平⾯ ， 平⾯ ，所以 平⾯ .
【⼩问2详解】
因为 ， ， 平⾯ ，
所以 平⾯ ， 平⾯ ，所以 .
⼜ ，所以 ， ， 两两相互垂直.
如图建⽴空间直⻆坐标系 .
第13⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设平⾯ 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ， .于是 .
因为
所以 .
直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 .
【⼩问3详解】
因为 平⾯ ，
所以 是平⾯ ⼀个法向量.
所以 .
由题设，⼆⾯⻆ 为钝⻆，
所以⼆⾯⻆ 的余弦值为 .
18. 已知椭圆 的离⼼率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的⽅程；
第14⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）若 ， 分别为椭圆 的上，下顶点，过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于另⼀点 （异
于椭圆的右顶点），交 轴于点 ，直线 与直线 相交于点 .求证：直线 的斜率为定值.
【答案】（1） ；（2）证明⻅解析.
【解析】
【分析】（1）根据条件求出 ，即可写出椭圆⽅程；
（2）设直线 的⽅程为 ，联⽴直线与椭圆，可表示出 坐标，继⽽得出直线 的⽅程，令
可得 的坐标，即可求出直线 的斜率并得出定值.
【详解】（1）设椭圆的焦距为 ，则 ①，
②，⼜ ③，
由①②③解得 ， ， ，
所以椭圆 的标准⽅程为 .
（2）证明：易得 ， ，直线 的⽅程为 ，因为直线 不过点 ，所以
，
由 ，得 ，
所以 ，从⽽ ， ，
直线 的斜率为 ，故直线 的⽅程为 .
令 ，得 ，
第15⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司直线 的斜率 .
所以直线 的斜率为定值 .
【点睛】本题考查椭圆的⽅程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.
19. 张景中院⼠在《与中学教师谈微积分》⼀⽂中，给出了“差商有界”函数和“⼴义差商有界”函数的定义，即
若函数 在区间 上有定义，并且存在⼀个正数 ，使得 且 ，不等式
恒成⽴，则称 在 上为“差商有界”函数；若函数 在区间 上有定
义，并且存在⼀个正整数 ，使得 且 ，不等式 恒成⽴，则称
在 上为 “⼴义差商有界”函数.
（1）已知 ，判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不
是，请讨论是否是“⼴义差商有界”函数?
（2）已知函数 .
（i）判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？并说明理由；
（ii）若 在区间 上是“⼴义差商有界”函数，求正整数 的最⼩值.
【答案】（1）不是“差商有界”函数，是 “⼴义差商有界” 函数
（2）（i）不是，理由⻅解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）利⽤函数新定义求解即可；
（2）（i）利⽤函数新定义结合导数分析 在区间 上单调递减，得到与①⽭盾的结果即可；
（ii）结合函数新定义构造函数 ，利⽤导数分析其单调性求出 的最⼩值，再构造函数
，利⽤导数找到其隐零点可得.
【⼩问1详解】
在 上不是 “差商有界” 函数.理由如下：
第16⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司假设 在 上是 “差商有界” 函数，则有正数 ，使得 且 ，不等式
恒成⽴，即 ，可⻅ ;
取 ，代⼊ ，得 ，
即 ，产⽣⽭盾，故 在 上不是“差商有界”函数.
在 上是 “⼴义差商有界” 函数.
证明如下：
设 且 ，
即 ，
⼜ ，所以 ，其中 .
故 在区间 上是 “⼴义差商有界” 函数.
【⼩问2详解】
(i) 在区间 上不是“差商有界”函数.
理由如下：
，
当 时， ，则 在区间 上单调递减.
取 (其中 ) 且 ，若满⾜ ，则
，
即 .①
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，
从⽽ ，即 ，这与①⽭盾，
第17⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故 在区间 上不是 “差商有界” 函数.
(ii) 由 ，得 ，
令 ，则 .
设 ，则 ，则 ，
即 ，
即 ，即 .
设 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
从⽽ ，即 ，符合题意.
设 ，
则
(其中 ).
若 ，则 ，则 在 上单调递减，
从⽽ ，符合题意.
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
设 .
第18⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 ，即 时， ，符合题意.
当 ，即 时，设 ，则 ，
.
因为 (利⽤ 时 )，所以
.
令 ，解得 ，
则存在 ，即存在 ，
使 ，不合题意.
综上， ，即 ，解得 ，故正整数 的最⼩值为 2.
【点睛】关键点点睛：本题第⼀问关键是利⽤函数新定义求解即可；第⼆问关键是结合函数新定义构造新
函数然后利⽤导数的单调性结合函数新定义分析.
第19⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
