江苏省扬州市2023-2024学年高三上学期1月期末检测数学答案_2024届江苏省扬州市高三上学期1月期末考试_江苏省扬州市2024届高三上学期1月期末考试数学

2023—2024 学年第一学期期末检测 高三数学参考答案 2024.01 1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 9．BC 10．AD 11．AC 12．ABD 13．8 14． 第1页（共5页） 3 15． ( 0 , 1 2 ] 6 16． 7 17.【答案】(1) 在△ABC中，由正弦定理得： s a in A  s b in B ， 又因为 a  4 b ，所以sinA4sinB4sin(B)4sin(AC)， 又因为 C   3 ，所以 s in A  4 s in ( A   3 )  4 ( 1 2 s in A  2 3 c o s A )  2 s in A  2 3 c o s A ， 所以 s in A   2 3 c o s A ， ················································································· 3分 因为 A  ( 0 ,  ) ，所以 s in A  0 ，所以 c o s A  0 ， 所以 ta n A  s c in o s A A   2 3 ． ············································································· 5分 (2) 方法一：在△ABC中，由余弦定理得： c 2  a 2  b 2  2 a b c o s C ， 又 c  1 ， a  4 b ， C   3  ，所以116b2 b2 24bbcos ， 3 解得 b 2  1 1 3 ， ······························································································ 8分 所以 S △ A B C  1 2 a b s in C  1 2  4 b  b  2 3  3 b 2  1 3 3 ． ·············································10分 方法二：由(1)知 s c in o s A A   2 3 ，又 s in 2 A  c o s 2 A  1 12 ，解得sin2 A . 13 在△ABC中，由余弦定理得 s a in A  s c in C ， 所以 a 2  c 2 s s in 2 in 2 C A  1 1 6 3 ， ················································································ 8分 1 1 a 3 3 3 所以S  absinC  a   a2  . ···············································10分 △ABC 2 2 4 2 16 13 18.【答案】(1) 因为 a n  1  3 a n  b n ， b n  1  a n  3 b n ， 所以 a n  1  b n  1  4 a n  4 b n  4 ( a n  b n ) ， ······························································ 2分 又a 3， 1 b 1  1 ，所以a b 40，所以a b 各项均不为0， ························ 3分 1 1 n n a b 所以 n1 n1 4是常数， a b n n 所以数列a b 是等比数列． ······································································· 5分 n n (2) 由(1)知，a b 4n. ① ·········································································· 6分 n n 方法一：因为a 3a b ， n1 n n b n  1  a n  3 b n ， 所以a b 2a 2b 2(a b )， ······························································ 8分 n1 n1 n n n n 又a 3，b 1，所以a b 20，所以a b 各项均不为0， 1 1 1 1 n n a b 所以 n1 n1 2是常数， a b n n {#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}所以数列a b 是首项为2，公比为2的等比数列， n n 所以 第2页（共5页） a n  b n  2 n . ② ①+②： 2 a n  4 n  2 n ，所以 a n  1 2 ( 4 n  2 n ) . ·······················································12分 方法二：因为 a n  1  3 a n  b n ， a n  b n  4 n ，所以 a n  1  2 a n  4 n ， ····························· 8分 所以 a 2 nn  11  a 2 nn  2 n  1 ， 所以 n  2 时， a 2 nn  a 12  1  2  2 2  … 2 n  2  a 12  2 n  1  1  2 n  1  1 2 ， 所以 a n  2 2 n  1  2 n  1 ( n ≥ 2 ) ， 又 n  1 时，上式也成立，所以 a n  1 2 ( 4 n  2 n ) ． ··················································12分 19．【答案】(1) 方法一：连结 P M ， M B ，BD. 因为 △ P A D 为等边三角形， M 是 A D 的中点，所以 P M  A D . 又因为平面 P A D  平面 A B C D ，平面PAD 平面 A B C D  A D ， P M  平面 P A D ， 所以 P M  平面ABCD.··················································································· 2分 因为MB、BC平面ABCD，所以 P M  M B ，PM BC. 在 R t △ P M B 中， P M  3 ， P B  6 ，所以 M B  P B 2  P M 2  3 ， 在 △ M A B 中，MA1，AB2， 所以 M A 2  M B 2  A B 2 ，所以 A M B 2    ，则 M B  A D . ······································· 4分 又 A D ∥ B C ，所以BCMB， 又因为 B C  P M ， P M M B  M ， P M 、 M B  平面 P B M ， 所以 B C  平面 P B M ，又 M N  平面 P B M ，所以 B C  M N . ································· 6分 x A z P M D N B y C x A z P M D N B Q y C (方法一图) (方法二图) 方法二：连结PM ， 因为△PAD为等边三角形， M 是 A D 的中点，所以 P M  A D . 又因为平面PAD平面ABCD，平面 P A D 平面ABCD  A D ，PM 平面PAD， 所以 P M  平面 A B C D . ··················································································· 2分 如图，在平面 A B C D 内，作 M Q  M A ，分别以MA,MQ,MP为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则 A (1 , 0 , 0 ) ， P ( 0 , 0 , 3 ) . 设C(a,b,0)（ b  0 ），则B(a2,b,0). 因为 A B  2 ，所以(a1)2 b2 4. ① 因为PC 10，所以 a 2  b 2  3  1 0 . ② ···························································· 4分 由①②，解得： a   2 ， b  3 （舍负）. 所以C(2, 3,0)，B(0, 3,0)， 3 3 3 3 因为N为PB的中点，所以N(0, , )，所以BC(2,0,0)，MN (0, , )， 2 2 2 2 所以BCMN 0，所以BCMN． ································································· 6分 {#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}(2) 由(1)可知， 第3页（共5页） P M  平面ABCD，又 M A 、 M B  平面 A B C D ， 所以 P M  M A ， P M  M B ，又 A D  M B ， 所以以 M 点为坐标原点， M A 、 M B 、 M P 所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角 坐标系. 则 A (1 , 0 , 0 ) ， B ( 0 , 3 , 0 ) ， P ( 0 , 0 , 3 ) ， M ( 0 , 0 , 0 ) . 因为 M P  M B  3 ， N 为 P B 的中点，所以 M N  P B ， N ( 0 , 2 3 , 2 3 ) ， 由(1)知 M N  B C ，又 P B B C  B ， P B 、 B C  平面 P B C ， 所以 M N  平面PBC，所以 M N  ( 0 ， 2 3 ， 2 3 ) 为平面PBC的一个法向量. ·················· 8分 设 n  ( x , y , z ) 为平面 P A B nAB0, 的一个法向量，则 nAP0. 因为AB(1, 3,0)，AP(1,0, 3)，所以    x x   3 3 y z   0 0 , , 取 y  1 ，则x 3， z  1 ，则 n  ( 3 ,1 ,1 ) 为平面 P A B 的一个法向量. ·····················10分 所以 c o s  M N , n   M M N N   n n  0 2  ( 0 2  3 ) 2 3   ( 3 2 3 2 )  2 1   ( 2 3 3  2 ) 1  1 2  1 2  1 5 0 ， ············· 11分 由图可知二面角 A  P B  C 的平面角为钝角， 所以二面角 A  P B  C 的余弦值为  1 5 0 . ··························································12分 20．【答案】(1) 由题可知 X ~ B (1 0 0 0 0 , 0 .2 5 % ) ， 则E(X)100000.002525， ········································································ 2分 记该公司今年这一款保险产品利润为变量 Y ，则Y 2005X ， 所以 E ( Y )  E ( 2 0 0  5 X )  2 0 0  5 E ( X )  7 5 万元. ················································ 4分 (2) 因为 X ~ B ( n , p ) ，当 n 较大且 p 较小时， E ( X )  2 5 ，则D(X)25. 由于 n 较大，X ~ N(,2)，其中E(X)25，2 D(X)25， ······················· 6分 若该公司今年这一款保险产品利润Y 2005X(50,100)，则 X  ( 2 0 , 3 0 ) ， P ( Y 2 0 0 5 X ( 5 0 ,1 0 0 ) ) P ( 2 0 X 3 0 ) P ( X ) 0 .6 8 3                 ； ·············· 9分 若该公司今年这一款保险产品利润 Y  2 0 0  5 X  0 ，则 X  4 0 ， P ( Y 2 0 0 5 X 0 ) P ( X 4 0 ) P ( X 3 ) 1 0 .9 2 9 7 0 .0 0 1 5              . ······················ 11分 答：(1)E(X)25，该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元； (2) ①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率为0.683； ②亏损的概率为 0 .0 0 1 5 . ·················································································12分 x2 y2 21．【答案】(1) 因为双曲线E:  1的渐近线方程为bxay0，左焦点F(c,0)， a2 b2 c 6   , a 2 所以 则b 3，又 bc   3,   b2 a2 a 2  b 2  c 2 3 ，所以a2 3 a2，所以 2 a 2  6 ， x2 y2 故双曲线E的标准方程为  1. ································································ 4分 6 3 {#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}(2) 由题设可知 第4页（共5页） l1 : y  k 1 ( x  3 ) ， l2 : y  k 2 ( x  3 ) . 设 A ( x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ， 则由  y x  2  k 1 2 ( x 2 y   3 ) 6 , 得 (1  2 k 21 ) x 2  1 2 k 21 x  1 8 k 21  6  0 ，所以 x 1  x 2  1 1  2 k 2 21 2 k 1 ， 又 M 是 A B 的中点，所以 x M  1 6  k 2 21k 21 ， y M  k 1 ( 1 6  k 2 21k 21  3 )  1 3  k 2 1k 21 ， 则 M ( 1 6  2 k 12 k 21 , 1 3  k 2 1k 21 ) . 同理 N ( 1 6  k 2 22k 22 , 1 3  k 2 2k 22 ) . ·················································································· 6分 思路一：若 x M  x N ，即 1 6  2 k 12 k 21  1 6  k 2 22k 22 ，即 k 21 (1  2 k 22 )  k 22 (1  2 k 21 ) ，即 k 21  k 22 ， 又 k 1 k 2   1 5 ，则 k 21  k 22  1 5 ，此时 x M  x N  2 ，此时 M N : x  2 ， 由图形的对称性，猜测直线MN 过x轴上一定点 T ( 2 , 0 ) . ········································ 8分 下面，验证一般性： k M T  1 1 6  3 k 1  2 k 2 k 1 2 2 k 1 21  2  1 0 3 k k 21 1 2 ， k N T  1 0 3 k k 22 2 2  1 0 3 (   ( 5  1 k 1 5 k 2 ) 1 1 )  2  1 0 3 k k 21 1 2 ，则 k M T  k N T ，所以 M 、T、 N 三点共线. 综上，直线 M N 过定点 T ( 2 , 0 ) . ········································································10分 所以存在定圆 G : ( x  2 ) 2  y 2  4 ，使得直线MN 被圆 G 截得的弦长恒为4. ···············12分 思路二：若x x ，则 M N k M N  1 1 3  6  k 2 k 2 2k 22k 22 22   1 1 3  6  k 2 k 2 1k 21k 21 21  2 k k 222 (1 (1   2 2 k k 2121 ) )   k 2 1k (1 21  (1 2  k 2 22k ) 22 )  1 2  ( k 2 1 k  k 1k 2 2 ) ， 又 k 1 k 2   1 5 ，所以 k M N  1 2  ( 2 k 1   (  1 5 k 1 5 1 ) )  1 0 3 k k 21 1 2 ， 所以直线 M N 3k 3k 6k2 的方程为y 1  1 (x 1 )， 12k2 10k2 2 12k2 1 1 1 3k 3k 6k2 3k 3k 6k 即y 1 x 1  1  1 ，即y 1 x 1 ， 10k2 2 10k2 2 12k2 12k2 10k2 2 10k2 2 1 1 1 1 1 1 即 y  1 0 3 k k 21 1 2 ( x  2 ) ，所以直线MN 过定点 ( 2 , 0 ) . ··············································· 9分 若 x M  x N 6k2 6k2 ，即 1  2 ，即k2(12k2)k2(12k2)，即 12k2 12k2 1 2 2 1 1 2 k 21  k 22 ， 1 1 又kk  ，则k2 k2  ，此时x x 2，此时MN:x2也过(2,0). 1 2 5 1 2 5 M N 故直线MN 过定点T(2,0). ··············································································10分 所以存在定圆G:(x2)2  y2 4，使得直线MN 被圆G截得的弦长恒为4. ···············12分 {#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}22．【答案】(1) 因为 f(x)lnx1m（ 第5页（共5页） x  0 ）， 所以当 x  ( 0 , e m  1 ) 时， f(x)0， f ( x ) 单调递减；当 x  ( e m  1 ,   ) 时， f(x)0， f ( x ) 单调递增． 所以 f ( x ) m in  f ( e m  1 )   e m  1   1 ，所以m1. ····················································· 4分 (2) 由(1)知， f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 又当 x  ( 0 , e ) 时， f ( x )  0 ，当 x  ( e ,   ) 时， f ( x )  0 ， 所以0x 1x e， 1 2  1  a  0 . ···································································· 5分 先证明：x x 2. 1 2 记 g ( x )  f ( x )  f ( 2  x )  x ln x  ( x  2 ) ln ( 2  x )  2 x  2 ，则 g ( x )  ln x  ln ( 2  x )  ln [ x ( 2  x ) ] ， 当x(0,1)时，0x(2x)1，所以 g ( x )  0 ，g(x)单调递减， 所以当 x  ( 0 ,1 ) 时， g ( x )  g (1 )  0 ，即 f ( x )  f ( 2  x ) ， 故 f ( x 1 )  f ( 2  x 1 ) ，即 f ( x 2 )  f ( 2  x 1 ) ． 又 x 2  1 , 2  x 1  1 ，由单调性可知： x 2  2  x 1 ，即 x 1  x 2  2 . ································· 8分 再证明： x 2  x 1  ( a  1 ) e . 记函数 y  a 与y x和 1 y 2  x e   e 1 交点的横坐标分别为 x 3 , x 4 . ①当 x  ( 0 ,1 ) 时， f ( x )  x  x ln x  0 ，故 a   x 3  f ( x 1 )   x 1 ，所以， x 1  x 3   a . 【或： y  f ( x ) 的图象在 y 1   x 的图象的下方，且两个函数在 ( 0 ,1 ) 上都是减函数】 ②当 x  (1 , e ) 时，记 h ( x )  f ( x )  x e   e 1  x ln x  x  x e   e 1 1 ，所以h(x)lnx . e1 当 x  (1 , e 1e  1 ) 时， h ( x )  0 ， h ( x ) 单调递减；当 x  ( e 1e  1 , e ) 时， h ( x )  0 ， h ( x ) 单调递增． 又h(1)h(e)0，所以当 x  (1 , e ) 时， h ( x )  0 ，即 f ( x )  x e   e 1 . 故 a  f ( x 2 )  x 4e   e 1  x 2e   e 1 ， 所以 x 2  x 4  a e  a  e ，故 x 2  x 1  x 4  x 3  ( a  1 ) e . 【或 y  f ( x ) 的图象在 y 2  x e   e 1 的图象的下方，且两个函数在 (1 , e ) 上都递增】 综上， 2  x 2  x 1  x 2  ( a  1 ) e ． ·····································································12分 {#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}