江苏省扬州市2023-2024学年高三上学期1月期末检测数学答案_2024届江苏省扬州市高三上学期1月期末考试_江苏省扬州市2024届高三上学期1月期末考试数学

2023—2024 学年第一学期期末检测
高三数学参考答案
2024.01
1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C
9．BC 10．AD 11．AC 12．ABD
13．8 14．
第1页（共5页）
3 15． ( 0 ,
1
2
]
6
16．
7
17.【答案】(1) 在△ABC中，由正弦定理得：
s
a
in A

s
b
in B
，
又因为 a  4 b ，所以sinA4sinB4sin(B)4sin(AC)，
又因为 C 

3
，所以 s in A  4 s in ( A 

3
)  4 (
1
2
s in A 
2
3
c o s A )  2 s in A  2 3 c o s A ，
所以 s in A   2 3 c o s A ， ················································································· 3分
因为 A  ( 0 ,  ) ，所以 s in A  0 ，所以 c o s A  0 ，
所以 ta n A 
s
c
in
o s
A
A
  2 3 ． ············································································· 5分
(2) 方法一：在△ABC中，由余弦定理得： c 2  a 2  b 2  2 a b c o s C ，
又 c  1 ， a  4 b ， C 

3

，所以116b2 b2 24bbcos ，
3
解得 b 2 
1
1 3
， ······························································································ 8分
所以 S
△ A B C

1
2
a b s in C 
1
2
 4 b  b 
2
3
 3 b 2 
1
3
3
． ·············································10分
方法二：由(1)知
s
c
in
o s
A
A
  2 3 ，又 s in 2 A  c o s 2 A  1
12
，解得sin2 A .
13
在△ABC中，由余弦定理得
s
a
in A

s
c
in C
，
所以 a 2 
c 2
s
s in
2 in
2
C
A

1
1
6
3
， ················································································ 8分
1 1 a 3 3 3
所以S  absinC  a   a2  . ···············································10分
△ABC 2 2 4 2 16 13
18.【答案】(1) 因为 a
n  1
 3 a
n
 b
n
， b
n  1
 a
n
 3 b
n
，
所以 a
n  1
 b
n  1
 4 a
n
 4 b
n
 4 ( a
n
 b
n
) ， ······························································ 2分
又a 3，
1
b
1
 1 ，所以a b 40，所以a b 各项均不为0， ························ 3分
1 1 n n
a b
所以 n1 n1 4是常数，
a b
n n
所以数列a b 是等比数列． ······································································· 5分
n n
(2) 由(1)知，a b 4n. ① ·········································································· 6分
n n
方法一：因为a 3a b ，
n1 n n
b
n  1
 a
n
 3 b
n
，
所以a b 2a 2b 2(a b )， ······························································ 8分
n1 n1 n n n n
又a 3，b 1，所以a b 20，所以a b 各项均不为0，
1 1 1 1 n n
a b
所以 n1 n1 2是常数，
a b
n n
{#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}所以数列a b 是首项为2，公比为2的等比数列，
n n
所以
第2页（共5页）
a
n
 b
n
 2 n . ②
①+②： 2 a
n
 4 n  2 n ，所以 a
n

1
2
( 4 n  2 n ) . ·······················································12分
方法二：因为 a
n  1
 3 a
n
 b
n
， a
n
 b
n
 4 n ，所以 a
n  1
 2 a
n
 4 n ， ····························· 8分
所以
a
2
nn  11 
a
2
nn  2 n  1 ，
所以 n  2 时，
a
2
nn 
a
12  1  2  2 2  … 2 n  2 
a
12  2 n  1  1  2 n  1 
1
2
，
所以 a
n
 2 2 n  1  2 n  1 ( n ≥ 2 ) ，
又 n  1 时，上式也成立，所以 a
n

1
2
( 4 n  2 n ) ． ··················································12分
19．【答案】(1) 方法一：连结 P M ， M B ，BD.
因为 △ P A D 为等边三角形， M 是 A D 的中点，所以 P M  A D .
又因为平面 P A D  平面 A B C D ，平面PAD 平面 A B C D  A D ， P M  平面 P A D ，
所以 P M  平面ABCD.··················································································· 2分
因为MB、BC平面ABCD，所以 P M  M B ，PM BC.
在 R t △ P M B 中， P M  3 ， P B  6 ，所以 M B  P B 2  P M 2  3 ，
在 △ M A B 中，MA1，AB2，
所以 M A 2  M B 2  A B 2 ，所以 A M B
2

  ，则 M B  A D . ······································· 4分
又 A D ∥ B C ，所以BCMB，
又因为 B C  P M ， P M M B  M ， P M 、 M B  平面 P B M ，
所以 B C  平面 P B M ，又 M N  平面 P B M ，所以 B C  M N . ································· 6分
x
A
z
P
M D
N
B y
C
x
A
z
P
M D
N
B
Q
y
C
(方法一图) (方法二图)
方法二：连结PM ，
因为△PAD为等边三角形， M 是 A D 的中点，所以 P M  A D .
又因为平面PAD平面ABCD，平面 P A D 平面ABCD  A D ，PM 平面PAD，
所以 P M  平面 A B C D . ··················································································· 2分
如图，在平面 A B C D 内，作 M Q  M A ，分别以MA,MQ,MP为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，则 A (1 , 0 , 0 ) ， P ( 0 , 0 , 3 ) .
设C(a,b,0)（ b  0 ），则B(a2,b,0).
因为 A B  2 ，所以(a1)2 b2 4. ①
因为PC 10，所以 a 2  b 2  3  1 0 . ② ···························································· 4分
由①②，解得： a   2 ， b  3 （舍负）.
所以C(2, 3,0)，B(0, 3,0)，
3 3 3 3
因为N为PB的中点，所以N(0, , )，所以BC(2,0,0)，MN (0, , )，
2 2 2 2
所以BCMN 0，所以BCMN． ································································· 6分
{#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}(2) 由(1)可知，
第3页（共5页）
P M  平面ABCD，又 M A 、 M B  平面 A B C D ，
所以 P M  M A ， P M  M B ，又 A D  M B ，
所以以 M 点为坐标原点， M A 、 M B 、 M P 所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角
坐标系.
则 A (1 , 0 , 0 ) ， B ( 0 , 3 , 0 ) ， P ( 0 , 0 , 3 ) ， M ( 0 , 0 , 0 ) .
因为 M P  M B  3 ， N 为 P B 的中点，所以 M N  P B ， N ( 0 ,
2
3
,
2
3
) ，
由(1)知 M N  B C ，又 P B B C  B ， P B 、 B C  平面 P B C ，
所以 M N  平面PBC，所以 M N  ( 0 ，
2
3
，
2
3
) 为平面PBC的一个法向量. ·················· 8分
设 n  ( x , y , z ) 为平面 P A B
nAB0,
的一个法向量，则
nAP0.
因为AB(1, 3,0)，AP(1,0, 3)，所以
 

x
x


3
3
y
z


0
0
,
,
取 y  1 ，则x 3， z  1 ，则 n  ( 3 ,1 ,1 ) 为平面 P A B 的一个法向量. ·····················10分
所以 c o s  M N , n  
M
M
N
N


n
n

0 2  (
0
2

3
) 2
3


(
3
2
3
2
)

2
1


(
2
3
3

2 )
1
 1 2  1 2

1
5
0
， ············· 11分
由图可知二面角 A  P B  C 的平面角为钝角，
所以二面角 A  P B  C 的余弦值为 
1
5
0
. ··························································12分
20．【答案】(1) 由题可知 X ~ B (1 0 0 0 0 , 0 .2 5 % ) ，
则E(X)100000.002525， ········································································ 2分
记该公司今年这一款保险产品利润为变量 Y ，则Y 2005X ，
所以 E ( Y )  E ( 2 0 0  5 X )  2 0 0  5 E ( X )  7 5 万元. ················································ 4分
(2) 因为 X ~ B ( n , p ) ，当 n 较大且 p 较小时， E ( X )  2 5 ，则D(X)25.
由于 n 较大，X ~ N(,2)，其中E(X)25，2 D(X)25， ······················· 6分
若该公司今年这一款保险产品利润Y 2005X(50,100)，则 X  ( 2 0 , 3 0 ) ，
P ( Y 2 0 0 5 X ( 5 0 ,1 0 0 ) ) P ( 2 0 X 3 0 ) P ( X ) 0 .6 8 3                 ； ·············· 9分
若该公司今年这一款保险产品利润 Y  2 0 0  5 X  0 ，则 X  4 0 ，
P ( Y 2 0 0 5 X 0 ) P ( X 4 0 ) P ( X 3 )
1 0 .9
2
9 7
0 .0 0 1 5           

 . ······················ 11分
答：(1)E(X)25，该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元；
(2) ①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率为0.683；
②亏损的概率为 0 .0 0 1 5 . ·················································································12分
x2 y2
21．【答案】(1) 因为双曲线E:  1的渐近线方程为bxay0，左焦点F(c,0)，
a2 b2
c 6
  ,
a 2
所以 则b 3，又
bc

 3,
  b2 a2
a 2  b 2  c 2
3
，所以a2 3 a2，所以
2
a 2  6 ，
x2 y2
故双曲线E的标准方程为  1. ································································ 4分
6 3
{#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}(2) 由题设可知
第4页（共5页）
l1 : y  k
1
( x  3 ) ， l2 : y  k
2
( x  3 ) .
设 A ( x
1
, y
1
) ， B ( x
2
, y
2
) ，
则由
 y
x

2 
k
1
2
( x
2 y


3 )
6
,
得 (1  2 k 21 ) x 2  1 2 k 21 x  1 8 k 21  6  0 ，所以 x
1
 x
2

1
1

2 k
2
21
2 k
1
，
又 M 是 A B 的中点，所以 x
M

1
6

k
2
21k
21
， y
M
 k
1
(
1
6

k
2
21k
21
 3 ) 
1
3

k
2
1k
21
，
则 M (
1
6

2 k
12
k 21
,
1
3

k
2
1k
21
) .
同理 N (
1
6

k
2
22k
22
,
1
3

k
2
2k
22
) . ·················································································· 6分
思路一：若 x
M
 x
N
，即
1
6

2 k
12
k 21

1
6

k
2
22k
22
，即 k 21 (1  2 k 22 )  k 22 (1  2 k 21 ) ，即 k 21  k 22 ，
又 k
1
k
2
 
1
5
，则 k 21  k 22 
1
5
，此时 x
M
 x
N
 2 ，此时 M N : x  2 ，
由图形的对称性，猜测直线MN 过x轴上一定点 T ( 2 , 0 ) . ········································ 8分
下面，验证一般性： k
M T

1
1
6

3 k
1
 2 k
2 k
1
2 2 k
1
21
 2

1 0
3
k
k
21
1
2
，
k
N T

1 0
3
k
k
22
2
2

1 0
3
(


(
5

1
k
1
5 k
2 )
1
1
)
 2

1 0
3
k
k
21
1
2
，则 k
M T
 k
N T
，所以 M 、T、 N 三点共线.
综上，直线 M N 过定点 T ( 2 , 0 ) . ········································································10分
所以存在定圆 G : ( x  2 ) 2  y 2  4 ，使得直线MN 被圆 G 截得的弦长恒为4. ···············12分
思路二：若x x ，则
M N
k
M N

1
1
3

6

k
2
k
2
2k
22k
22
22


1
1
3

6

k
2
k
2
1k
21k
21
21

2
k
k
222
(1
(1


2
2
k
k
2121 )
)


k
2
1k
(1
21

(1
2

k
2
22k )
22 )

1
2

( k
2
1
k

k
1k 2
2
)
，
又 k
1
k
2
 
1
5
，所以 k
M N

1
2

(
2
k
1


( 
1
5 k
1
5
1
)
)

1 0
3
k
k
21
1
2
，
所以直线 M N
3k 3k 6k2
的方程为y 1  1 (x 1 )，
12k2 10k2 2 12k2
1 1 1
3k 3k 6k2 3k 3k 6k
即y 1 x 1  1  1 ，即y 1 x 1 ，
10k2 2 10k2 2 12k2 12k2 10k2 2 10k2 2
1 1 1 1 1 1
即 y 
1 0
3
k
k
21
1
2
( x  2 ) ，所以直线MN 过定点 ( 2 , 0 ) . ··············································· 9分
若 x
M
 x
N
6k2 6k2
，即 1  2 ，即k2(12k2)k2(12k2)，即
12k2 12k2 1 2 2 1
1 2
k 21  k 22 ，
1 1
又kk  ，则k2 k2  ，此时x x 2，此时MN:x2也过(2,0).
1 2 5 1 2 5 M N
故直线MN 过定点T(2,0). ··············································································10分
所以存在定圆G:(x2)2  y2 4，使得直线MN 被圆G截得的弦长恒为4. ···············12分
{#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}22．【答案】(1) 因为 f(x)lnx1m（
第5页（共5页）
x  0 ），
所以当 x  ( 0 , e m  1 ) 时， f(x)0， f ( x ) 单调递减；当 x  ( e m  1 ,   ) 时， f(x)0， f ( x ) 单调递增．
所以 f ( x )
m in
 f ( e m  1 )   e m  1   1 ，所以m1. ····················································· 4分
(2) 由(1)知， f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，
又当 x  ( 0 , e ) 时， f ( x )  0 ，当 x  ( e ,   ) 时， f ( x )  0 ，
所以0x 1x e，
1 2
 1  a  0 . ···································································· 5分
先证明：x x 2.
1 2
记 g ( x )  f ( x )  f ( 2  x )  x ln x  ( x  2 ) ln ( 2  x )  2 x  2 ，则 g ( x )  ln x  ln ( 2  x )  ln [ x ( 2  x ) ] ，
当x(0,1)时，0x(2x)1，所以 g ( x )  0 ，g(x)单调递减，
所以当 x  ( 0 ,1 ) 时， g ( x )  g (1 )  0 ，即 f ( x )  f ( 2  x ) ，
故 f ( x
1
)  f ( 2  x
1
) ，即 f ( x
2
)  f ( 2  x
1
) ．
又 x
2
 1 , 2  x
1
 1 ，由单调性可知： x
2
 2  x
1
，即 x
1
 x
2
 2 . ································· 8分
再证明： x
2
 x
1
 ( a  1 ) e .
记函数 y  a 与y x和
1
y
2

x
e


e
1
交点的横坐标分别为 x
3
, x
4
.
①当 x  ( 0 ,1 ) 时， f ( x )  x  x ln x  0 ，故 a   x
3
 f ( x
1
)   x
1
，所以， x
1
 x
3
  a .
【或： y  f ( x ) 的图象在 y
1
  x 的图象的下方，且两个函数在 ( 0 ,1 ) 上都是减函数】
②当 x  (1 , e ) 时，记 h ( x )  f ( x ) 
x
e


e
1
 x ln x  x 
x
e


e
1
1
，所以h(x)lnx .
e1
当 x  (1 , e
1e
 1 ) 时， h ( x )  0 ， h ( x ) 单调递减；当 x  ( e
1e
 1 , e ) 时， h ( x )  0 ， h ( x ) 单调递增．
又h(1)h(e)0，所以当 x  (1 , e ) 时， h ( x )  0 ，即 f ( x ) 
x
e


e
1
.
故 a  f ( x
2
) 
x
4e


e
1

x
2e


e
1
，
所以 x
2
 x
4
 a e  a  e ，故 x
2
 x
1
 x
4
 x
3
 ( a  1 ) e .
【或 y  f ( x ) 的图象在 y
2

x
e


e
1
的图象的下方，且两个函数在 (1 , e ) 上都递增】
综上， 2  x
2
 x
1
 x
2
 ( a  1 ) e ． ·····································································12分
{#{QQABQQCAogCgAAAAAAgCEwVKCEEQkAGAAAoOAFAIIAAASBNABAA=}#}