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数学
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分；给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，在试卷上作答无效。）
1. 下列各数中， 的相反数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）判断即可．
【详解】解：由相反数的定义可得：-1与1互为相反数，
故选：C．
【点睛】题目主要考查相反数的定义，理解相反数的定义是解题关键．
2. 如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称
为同位角，据此作答即可．
【详解】解：∠1与∠2是对顶角，选项A不符合题意；
∠1与∠3是同位角，选项B符合题意；
∠2与∠3是内错角，选项C不符合题意；
∠3与∠4是邻补角，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
3. 在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个，随机摸出一个球，
摸到黄色乒乓球的概率是（ ）淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用概率公式计算即可．
【详解】解：因为盒子里由黄色乒乓球3个，
所以随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的情况有3种，
因为盒子里一共有2+3=5（个）球，
∴一共有5种情况，
∴随机摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单随机事件的概率，解题关键是牢记概率公式，即事件A发生的概率为事件A包含
的结果数除以总的结果数．
4. 下面四个几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依次分析每个选项中的主视图，找出符合题意的选项即可．
【详解】解：A选项图形的主视图为矩形，符合题意；
B选项图形的主视图为三角形，中间由一条实线，不符合题意；
C选项图形的主视图为三角形，不符合题意；
D选项图形的主视图为梯形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的主视图，解题关键是理解主视图的定义．
5. 2022年我国高考报名人数再创新高，约为1193万（即11930000）人，数据11930000用科学记数法表示
为（ ）
A. B. C. D.淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【答案】C
【解析】
【分析】首先思考科学记数法表示数的形式，再确定a，n的值，即可得出答案．
【详解】解： ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握形式解题的关键．即 ，其中1≤|
a|＜10，n为正整数．
6. 如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
△
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
【详解】解：∵Rt ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90△°-56°=34°；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能
进行推理计算是解决问题的关键．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，同底数幂相乘法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 ，故本选项错误，不符合题意；淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
B、 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，同底数幂相乘法则，熟练掌握相关运算
法则是解题的关键．
8. 如图，在 中， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理得到 ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计
算，得到答案．
【详解】解：
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查 的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关
键．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
9. 己知一次函数 的图象如图所示，则 与 的图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得 ，从而得到一次函数 的图象经过第一、二、四象限，反比
函数 的图象位于第一、三象限内，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，反比函数 的图象位于第一、三象限内．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和
性质是解题的关键．
10. 如图，在等腰直角 中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接
EF，已知阴影部分面积为 ，则EF的长度为（ ）淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，利用阴影部分面积列出等式，得出 ，
然后由勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，
∴
，
解得： ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】题目主要考查不规则图形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理解三角形等，理解题意，综合
运用这些知识点是解题关键．
11. 已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函
数的性质解答．
12. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，
“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱
体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是 ，高是 ；圆柱体底面半径
是 ，液体高是 ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据液体的体积不变列方程解答．
【详解】解：圆柱体内液体的体积为：
由题意得，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及圆柱与圆锥的体积，是基础考点，掌握液体体积不变列方程
是解题关键．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答题卡对应的位置上，
在卷上作答无效。）
13. 若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得数x的取值范围．
【详解】 在实数范围内有意义，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
14. 因式分解： __________．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：原式=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)；
故答案为：3(x+2)(x−2)．
【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中， 为等腰三角形， ，点B到x轴的距离为4，若将
绕点O逆时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标为__________．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【答案】
【解析】
【分析】过B作 于 ，过 作 轴于 ，构建 ，即可得出答案．
【详解】过B作 于 ，过 作 轴于 ，
∴ ，
∴ ，
由旋转可知 ， ，
∴ ，
∴ ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段
长度是解题的关键．
16. 若实数m，n满足 ，则 __________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解．
【详解】解：由题意知，m，n满足 ，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，
∴m=3，n=-2，
∴ ，
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可
以求解这类题目．
17. 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上
的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为__________．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【答案】
【解析】
【分析】列出所有可能出现的情况，再得到能被3整除的情况，最后根据概率公式解答．
【详解】解：画树状图如下，
所有等可能的情况共36种，其中组成的两位数中能被3整除的有12，15，21，24，33，36，42，45，
51，54，63，66共12种，
即这个两位数能被3整除的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查画树状图或列表法求概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
18. 如图，在矩形ABCD中， ，E，F分别是AD，AB的中点， 的平分线交AB
于点G，点P是线段DG上的一个动点，则 的周长最小值为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，
从而得到当点F、P、H三点共线时， 的周长最小，最小值为FH+EF，再分别求出EF和FH，即可
求解．
【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∵DG平分∠ADC，
∴DG垂直平分EH，
∴PE=PH，
∴ 的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF，
∴当点F、P、H三点共线时， 的周长最小，最小值为FH+EF，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE=DE=DH=3，AF=4，
∴EF=5，
∵FK⊥CD，
∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°，
∴四边形ADKF为矩形，
∴DK=AF=4，FK=AD=6，
∴HK=1，
∴ ，
∴FH+EF= ，即 的周长最小为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点
F、P、H三点共线时， 的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在试
卷上作答无效。）淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
19. 计算： ．
【答案】5
【解析】
【分析】根据 解答．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角的正切值等知识，是基
础考点，掌握相关知识是解题关键．
20. 解方程： ．
【答案】原方程无解
【解析】
【分析】方程两边同时乘以最简公分母 ，先去分母，化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、
化系数为1，最后验根即可．
【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得
解方程，得
检验：当 时， ，
不是原方程的根，原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，涉及分式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
21. 为了落实“双减”政策，提倡课内高效学习，课外时间归还学生，“鸿志”班为了激发学生学习热情，提
高学习成绩，采用分组学习方案，每7人分为一小组，经过半个学期的学习，在模拟测试中，某小组7人
的成绩分别为98，94，92，88，95，98，100（单位：分）．
（1）该小组学生成绩的中位数是__________，众数是__________．
（2）若成绩95分（含95分）以上评为优秀，求该小组成员成绩的平均分和优秀率（百分率保留整数）．
【答案】（1）95；98
（2）平均分为95分，优秀率为 ．
【解析】淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【分析】（1）直接根据中位数与众数的定义求解即可；
（2）根据平均数公式求平均数，然后确定优秀的人数所占的比例，再化为百分数即可得到优秀率的值．
【小问1详解】
将数据从小到大排列为88，92，94，95，98，98，100，
由于最中间的数是95，出现次数最多的数是98，
所以中位数是95，众数是98；
【小问2详解】
该小组成员成绩的平均分为
（分）
95分（含95分）以上人数为4人，所以优秀率为：
答：该小组成员成绩的平均分为95分，优秀率为 ．
【点睛】本题考查了中位数与众数、平均数、频率，解题关键是读懂题意，牢记相关概念和公式．
22. 如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．
现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B
处，测量人员用高为 的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的
仰角 ，同时量得CD为 ．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到 ，
参考数据： ）
【答案】53.2
【解析】淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【分析】设 ，得 ， ，得方程 ，解出x，即
求出AB的长．
【详解】设 ，
在 中，
，得 ．
在 中，
，得 ．
．
解方程，得 ．
．
答：烟囱AB的高度为53.2米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角
形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且 ，连接AF，CE，AC，EF，
且AC与EF相交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AC平分 ， ，求四边形AFCE的面积．
【答案】（1）详见解析；
（2）24．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【解析】
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（2）由平行线的性质可得 ，再根据角平分线的性质解得 ，继而证明
，由此证明平行四边形AFCE是菱形，根据菱形的性质得到 ，结合
正切函数的定义解得 ，最后根据三角形面积公式解答．
【小问1详解】
证明： 四边形ABCD是平行四边形
，即 ．
四边形AFCE是平行四边形．
【小问2详解】
解： ，
．
平分 ，
．
．
，由（1）知四边形AFCE是平行四边形，
平行四边形AFCE是菱形．
，
在 中， ，
．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、正切函数的
定义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
24. 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，
成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，
每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
【答案】（1） ；
（2）每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【解析】
【分析】（1）根据 “该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少
卖4套．”列出函数关系式，即可求解；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，得
的
与x之间 函数关系式是 ．
【小问2详解】
解：根据题意，得
∴抛物线开口向下，W有最大值
当 时，
答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的
关键．
25. 如图， 内接于 ，AB是直径，延长AB到点E，使得 ，连接EC，且
，点D是 上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F．
（1）求证：EC是 的切线；
（2）若BC平分 ，求AD的长．
【答案】（1）详见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）连接OC，证明∠OCE=90°即可；
（2）先证明出CD⊥AB，再利用直角三角形的性质和三角函数分别求出∠CAD和CF后即可求出AD的值．
【小问1详解】
证明：连接OC．
，
．
，
．
是 的直径，
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．
，即 ．
又 是 的半径，
是 的切线．
【
小问2详解】
解： 平分 ，
．
，
.
又 ，
．
又 是 的直径，
．
在 中，
，
．
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在 中， ，
．
，AB是 的直径，
．
在 中， ，
．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、垂径定理的推论、三角函数等知识，解题关键是
连半径构造或证明直角三角形等，主要运用了转化的思想方法．
26. 如图，抛物线 过点 ，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得 ？若存在，求出点M
的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）点P坐标为 ；淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）把 代入 即可的得出抛物线解析式；
的
（2）依题意可得出即P点在 平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出
P点的坐标；
（2）利用铅垂线ME，即可表达出 ，再由 即可列出方程求解．
【小问1详解】
根据题意，得
，
解得 ，
抛物线解析式为： ．
【小问2详解】
由（1）得 ，
点 ，且点 ，
．
∵当 是以BC为底边的等腰三角形
∴PC=PB，
∵OP=OP，
∴ ，
∴ ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
设抛物线的对称轴与 轴交于H点，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线对称轴 ，
∴ ，
∴ ，
．
点P坐标为 ．
【小问3详解】
存在．
理由如下：过点M作 轴，交BC于点E，交x轴于点F．
设 ，则 ，
设直线BC的解析式为： ，依题意，得：
，
解得 ，淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
直线BC的解析式为： ，
当 时， ，
点E的坐标为 ，
∵点M在第一象限内，且在BC的上方，
，
，
．
∵ ，
，
解得 ．
【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛
物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键．淘宝：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022
