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2023-2024 学年度第一学期第一次月考
高三年级数学试题
满分：120分 时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 命题“ ，使得 ”的否定形式是（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
【答案】C
【解析】
的
【分析】由全称命题 否定是特称命题，按定义即可得解.
【详解】由命题的否定的定义，因为原命题是“ ，使得 ”，
因此其否定形式应该把全称量词 改为存在量词 ，把 改为 ，
所以命题“ ，使得 ”的否定形式是“ ，使得 ”.
故选：C.
2. 已知 ， ，若 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简已知条件，利用基本不等式即可得出结论.
【详解】由题意，
， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
当且仅当 即 时等号成立，
故选：C.
3. 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意先求出 的定义域，再可求出 的定义域
【详解】由 ，得 ，
所以 的定义域为 ，
由 ，得 ，
所以 的定义域为 ，
故选：D
4. 若 ， ， ，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数和对数函数的性质，利用中间值确定a，b，c的范围，即可求解．
【详解】指数函数 在R上为减函数，则 ，即 ，
对数函数 在 上为增函数，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司对数函数 在 上为增函数，则 ．因此 .
故选：B．
5. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）
A. 0 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据 在 上的奇函数，且 ，得到 的周期为4求解.
【详解】解：因为 在 上的奇函数，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，则 周的期为 ，
所以 ，
故选：A
6. 已知幂函数 在 上单调递减，则 （ ）
A. B. C. 3 D. 或3
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出 的值，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为函数 为幂函数，
所以 ，即 ，解得 或 ，
又 在 上单调递减，所以 ，
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知函数 与 的图像关于 对称，则 （ ）
A. 3 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解.
【详解】由题知 是 的反函数，所以 ，所以 .
故选：B.
8. 定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数 的图象关于直线 对称可得 ，再根据当 时， 单调递减可
得答案.
【详解】定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，所以 ，
因为当 时， 为单调递增函数，
定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，
所以当 时， 单调递减，
因为 ，所以 ，即 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】化简集合，根据交集，并集及补集的定义运算即得.
【详解】由题可得 或 ， ，
则 ，
所以 , .
故选：BD.
10. 函数 在下列哪个区间内必有零点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由零点的存在性定理求解即可
【详解】 ， ，
， ，
，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 和 内存在零点.
故选：AD
11. 若正实数a，b满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值9
B. 的最小值是
C. ab有最大值
D. 的最小值是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知等量关系，应用基本不等式及“1”的代换、二次函数性质求各式的最值，注意取值条
件.
【详解】 ，当且仅当
时等号成立，A对；
，当且仅当 即 时等号成立，B对；
，则 ，当且仅当 即 时等号成立，C错；
由 ，则 ，而 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，D错.
故选：AB
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学科网（北京）股份有限公司12. 设函数 ，则（ ）
A. 当 时， 的值域为
B. 当 的单调递增区间为 时，
C. 当 时，函数 有2个零点
D. 当 时，关于x的方程 有3个实数解
【答案】ABD
【解析】
的
【分析】对A，先求出函数在每一段 范围，进而求出函数的值域；
对B，先得出函数的单调区间，然后结合条件求出的范围；
对C，根据函数零点的个数讨论出a的范围，进而判断答案；
对D，画出函数的图象即可得到答案.
【详解】A.当 时，若 ， ，
若 ， ，于是 的值域为 ，故A正确；
B. 的单调递增区间是 和 ，因为 的单调递增区间是 ，所以 ，
即 ，故B正确；
C.当 时，由 ，得 ，
当 时，令 ，得 ，此方程有唯一解，得 ，即 ，故C
错误；
D.当 时，如图所示， 的图象与直线 有3个交点，D正确；
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学科网（北京）股份有限公司故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若 ，则 的范围为_______________
【答案】
【解析】
【分析】先求得 的取值范围，根据不等式的性质求得 的取值范围.
【详解】依题意可知 ，由于 ，由不等式的性质可知 .
故填： .
【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查运算求解能力，属于基础题.
14. “ ， ”是假命题，则实数 的取值范围为 _________ ．（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不
等式恒成立问题，分情况讨论，求 的范围．
【详解】由题意可知，“ ， ”的否定是真命题，
即“ ， ”是真命题，
当 时， ，不等式显然成立；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，由二次函数 图像及性质可知 ，解得 ，
的
综上，实数 的取值范围为 ，
故答案为： ．
15. 不等式 的解集是 ，则不等式 的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据解集得到 ，解出 值，代入不等式解出即可.
【详解】 不等式 的解为 ,
一元二次方程 的根为 , ,
根据根与系数的关系可得: ,所以 ;
不等式 即不等式 ,
整理,得 ，即
解之得 ，
不等式 的解集是 ,
故答案为： .
16. 已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）
（2）
【答案】17. 1 18.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可得；
（2）根据对数的运算性质计算即可得.
【小问1详解】
原式 ；
【小问2详解】
原式 .
18. 设全集 ，集合 ，集合 ．
（1）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
（2）若命题“ ，则 ”是真命题，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答.
（2）将问题转化为 ，再分空集和非空集合讨论求解作答.
【小问1详解】
由“ ”是“ ”的充分不必要条件，得 ，
又 ， ，
因此 或 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【小问2详解】
命题“ ，则 ”是真命题，则有 ，
当 时， ，解得 ，符合题意，因此 ；
当 时，而 ，
则 ，无解，
所以实数 的取值范围 .
19. 已知二次函数 ， ，且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在区间 上的值域．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）函数图象与 轴交点确定 值，函数 和函数 相等，对应系数相
等确定 、 值.
（2）根据区间 上的单调性求出最值，即可得到区间 上的值域.
【小问1详解】
解：因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ．
【小问2详解】
解：因为 ，所以 是开口向上，对称轴为 的抛物线．
因为 在 递减，在 递增，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 在 上的值域为 ．
20. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 时，函数 的解析式；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）设 ，计算 ，再根据奇函数的性质，得 ，即可得解；
（2）作函数 的图像，若 在区间 上单调递增，结合函数图像，列出关于 的不等式
组求解.
【小问1详解】
设 ，则 ，所以
又 为奇函数，所以 ，
所以当 时， .
【小问2详解】
作函数 的图像如图所示，
要使 在 上单调递增，结合 的图象知 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
21. 已知函数 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求该函数的定义域；
（2）求该函数的单调区间.
【答案】21.
22. 单调递增区间为 ，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）令 ，解不等式即可求得定义域；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定 的单调区间.
【小问1详解】
由题意可得 ，解得 ，
的定义域为 .
【小问2详解】
令 ，
在 上单调递增；在 上单调递减，
又 在 上单调递减，
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
22. 已知 .
（1）作出函数 的图象；
（2）写出函数 的单调区间；
（3）若函数 有两个零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）作图见解析
（2） 的单调增区间是 ；无单调递减区间；
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学科网（北京）股份有限公司（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数 的表达式，作出函数的图象即可；
（2）根据函数 的函数图象，写出单调区间即可；
（3）问题转化为求函数的交点问题，结合函数的图象，数形结合得出结果即可．
【小问1详解】
画出函数 的图象，如图所示：
【小问2详解】
由图象得：
的单调增区间是 ；无单调递减区间；
【小问3详解】
若函数 有两个零点，
则 与 有2个交点，结合图像得 .
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学科网（北京）股份有限公司
