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山东高中名校 2024 届高三上学期统一调研考试
数学试题
2023.12
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出集合 ，再运用并集运算求解.
【详解】 ，
则 .
故选：C
2. 已知直线 和平面 ，满足 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据线面关系，结合必要条件以及充分条件的定义，可得答案.
【详解】充分性：当且仅当 时，由 ，则 ，故“ ”是“ ”的不充分条件；
必要性：由题意可知： 与 无公共点，则 或者 与 异面，故“ ”是“ ”的不必要条
件.
故选：D.
3. 复数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，作图，利用点到直线距离公式，可得答案.
【详解】设复数 在复平面上的对应点为 ，
则 可表示为复平面上点 到 的距离，
可表示为复平面上点 到 的距离，
由题意可知：点 在线段 的中垂线上，如下图：
线段 的中点为 ，直线 的斜率 ，
则 的轨迹方程为 ，整理可得 ，
由 可表示为点 到 的距离 ，
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：A.
4. 已知 是半径为2的圆上的三个动点，弦 所对的圆心角为 ，则 的最大值为（
）
A. 6 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将 中向量进行分解，即： ，
由 是 的中点，可将上式进行化简整理为 ，所以只需求 最大，即 的长加圆
的半径即可，然后代入即可求得 的最大值.
【详解】因为弦 所对的圆心角为 ，且圆的半径为2，所以 ，
取 的中点 ，所以 ， ，如图所示：
因为 ,
因为 是 的中点，所以 ，
，
所以若 最大，所以只需 最大，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 .
故选：A
5. 已知函数 的部分图象，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图象求得函数解析式，可求 .
【详解】函数 ，
由图象可知， ，
函数最小正周期为 ，有 ，则 ， ，
得 ，
由 ，取 ，
则 ，
.
故选：B
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 是周期函数
B. 在区间 上单调递增
C. 的图象关于 对称
D. 方程 在 有2个相异实根
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数周期性定义可判断A；根据特殊值，即 时，函数无意义判断B；结合正弦函数的对
称性判断C；求出方程 在 上的根，判断D.
【详解】函数 ，定义域为 ，
对于A， ，故 是周期函数，A正确；
对于B，当 时， ，则 ，
此时 无意义，故B错误；
对于C，当 时， ，
即 的图象关于 对称，
由于 的定义域为 也关于 对称，
故 的图象关于 对称，C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，令 ，即 ，
则 ，或 ，
即 ，或 ，
则当 时， ，
即方程 在 有2个相异实根，D正确，
故选：B
7. 已知 ，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造 ，根据导函数得出函数 在 上单调递增，即可得出
，所以 ；构造 ，根据导函数得出函数 在 上单调
递增，可判断 ，再根据对数函数的运算性质得到 .
详解】令 ，则 .
【
当 时，有 ，所以 ，
所以， 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以， ，
.
所以， ，即 ，所以
令 ，则 在 时恒大于零，故 为增函数，
所以 ，而 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
8. 已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意 ，都有 ，当
时， ，则 在 上的零点个数为（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件 ，得到函数 的周期为 ，再根据条件得出
时， ，从而得出 ，再利用周期性及图像即可
求出结果.
【详解】因为 ，令 ，得到 ，
所以 ，从而有 ，又函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，所以函数 的周期为 ，
令 ，则 ，又当 时， ，
所以 ，得到 ，
故 ，又 ，所以 在 上的图像如图，
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学科网（北京）股份有限公司又当 时，由 ，得到 ，当 ，由 ，得到 ，即
，
又 ，所以 ，
， ，
又由 ，得到 ，即 ，
所以 ，
再结合图像知， 在 上的零点个数为21个，
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知 ，下列结论正确的是（ ）
A. 对任意实数
B. 若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 ，则 的最小值是
D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】举出反例即可判断AD；作差即可判断B；根据 结合基
本不等式即可判断C.
【详解】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B，因为 ， ，
所以 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
所以 的最小值是 ，故C正确；
对于D，当 时， ， ， ，故D错误.
故选：BC.
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 在 上的最小值为
B. 的图象与 轴有3个公共点
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学科网（北京）股份有限公司C. 的图象关于点 对称
D. 的图象过点 的切线有3条
【答案】ABD
【解析】
【分析】将原函数 的导函数求出，即为： ，由导函数的正负判
断原函数的单调性，然后即可判断出函数在 上的最值，将原函数的极大值与极小值求出，即可画出
函数图象，判断出函数与 轴的交点个数，对于 C 选项，只需判断出 即能说明
的图象关于点 对称，D选项需求过点 的切线方程，注意区分过某点的切线方程和
在某点的切线方程.
【详解】因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 或 时， ， 单调递增，
A选项中，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
，
所以 在 上的最小值为 ，A正确；
因为 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
，
，
且当 时， ， 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司如图所示：
所以 的图象与 轴有3个公共点，B正确；
若 的图象关于 对称，则有 ，
因为 ，
所以C错误；
因为 ，设 的切点为 ，
所以 ，
所以在切点 处的切线方程为： ，
当切线过 时，即： ，
整理得： ，
设 ，
则
所以 时， 或 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， 或 ， 单调递增，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的图象如图所示：
所以由图象知 有三个零点，所以 有三个根，
所以 的图象过点 的切线有3条，D正确.
故选：ABD
11. 如图，长方形 中， 为 的中点，现将 沿 向上翻折到 的
位置，连接 ，在翻折的过程中，以下结论正确的是（ ）
A. 存在点 ，使得
B. 四棱锥 体积的最大值为
C. 的中点 的轨迹长度为
D. 与平面 所成的角相等
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ABD
【解析】
【分析】根据面面垂直性质，锥体体积、动点轨迹、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，当平面 平面 时有 ，下面证明：
在底面 中， ，所以 ，
当平面 平面 时，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故A正确.
对于B，梯形 的面积为 ， ，直角 斜边 上的高为 ．
当平面 平面 时，四棱锥 的体积取得最大值 ，B正确．
对于C，取 的中点 ，连接 ，则 平行且相等，四边形 是平行四边形，
所以点F的轨迹与点G的轨迹形状完全相同．
过G作AE的垂线，垂足为H，G的轨迹是以H为圆心， 为半径的半圆弧，
从而PD的中点F的轨迹长度为 ，C错误.
对于D，由四边形ECFG是平行四边形，知 ，
又 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，则 到平面 的距离相等，
故 与平面 所成角的正弦值之比为 ，D正确．
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学科网（北京）股份有限公司故选：ABD
【点睛】关键点点睛：求F的轨迹关键是证得点F与点G的轨迹相同，转化为G的轨迹解决. 与
平面 所成的角相等的证明关键要先证得E与C到平面 的距离相等.
12. 设 为平面 内的 个点，平面 内到点 的距离之和最小的点，称为点
的“优点”.例如，线段 上的任意点都是端点 的优点.则有下列命题为真命题的有：（
）
A. 若三个点 共线， 在线段 上，则 是 的优点
B. 若四个点 共线，则它们的优点存在且唯一
C. 若四个点 能构成四边形，则它们的优点存在且唯一
D. 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据优点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可.
【详解】对于A，若三个点 共线，C在线段 上，根据两点之间线段最短，则C是 的优
点，故A正确；
对于B，若四个点 共线，则它们的优点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的优点存在
但不唯一，如B，C三等分AD，设 ，则 ，
故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，如图，设在梯形 中，对角线的交点O，M是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边
得 ，
∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一优点．故C正确．
对于D，举一个反例，如边长为 的直角三角形 ，点P是斜边AB的中点，此直角三角形的斜边
的中点P到三个顶点的距离之和为 ，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形
斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的优点；故D错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该
报告厅座位的总数是______.
【答案】840
【解析】
【分析】根据题意将问题转化为等差数列问题，应用等差数列的通项公式和前 项和公式，基本量运算即
可求解.
【详解】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列 ，其前 项和
为 ．
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学科网（北京）股份有限公司根据题意，数列 是一个公差为 的等差数列，且 ，
故 ．
由 ，
因此，则该报告厅总座位数为840个座位．
故答案为：840
14. 已知 ，则 ______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题设可得 ，进而求得 ，再应用二倍角余弦公式及诱导公式求
目标函数值.
【详解】由题设 ，又 ，则 ，
所以 ，则 .
故答案为：
15. 已知圆锥的母线长为 （定值），当圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角大小为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】表达出圆锥的体积，通过求导得出其单调性，即可求出当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的
圆心角的弧度数．
【详解】由题意，圆锥的母线长为 ，
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学科网（北京）股份有限公司设圆锥的底面半径为r，高为h，则 ，∴ ，
体积： ，
∴ ，
∴当 时， ，V单调递增；当 时， ，V单调递减，
∴当 时，V取得最大值，
此时 ，侧面展开图的圆心角 ．
故答案为： ．
16. 已知 内角分别为 ，且满足 ，则 的最小值为______.
【答案】16
【解析】
【分析】由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得 ，进而有
，结合 ， 将目标式化为 ，应
用基本不等式求最小值即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题设 ，
所以 ，
所以 ， 即 ，
又 ， ，
则
，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为 ，再应用万能公式用正切表示正
弦为关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ：
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求 面积.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，可求 ；
（2）由正弦定理和两角和的正弦公式化简等式，求出角 ，面积公式求 面积.
【小问1详解】
由余弦定理 ，得 ，
所以 .
【小问2详解】
若 ，由正弦定理，
，
，
所以 ，
因为 ，故 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故 的面积为 .
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 .
（1）若 在 处的切线 垂直于直线 ，求 的方程；
（2）讨论 的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得参数m的值，即可求得答案；
（2）求出函数导数，分类讨论m的取值，结合解不等式，求得导数大于0和小于0时的解，即可求得答
案.
【小问1详解】
由题意得 ；
因为 在 处的切线 垂直于直线 ，
所以 ，即 ，解之得 ；
又 ，
所以 的方程为 ，即 .
【小问2详解】
的定义域为 ，
由（1）得 ；
所以当 时，令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，令 得 或 ，令 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增；
当 时，令 得 或 ，令 得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在和 上单调递增，在 上单调递减.
19. 已知数列 是公比不相等的两个等比数列，令 .
（1）证明：数列 不 是等比数列；
（2）若 ，是否存在常数 ，使得数列 为等比数列？若存在，求出 的值；若
不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在， 或
【解析】
【分析】（1）要证明证 不是等比数列，只需证 即可，由此计算 即可证明结论；
（2）假设存在常数 ，使得数列 为等比数列，则利用等比中项性质，列式化简求解，可求得
k的值，验证即得结论.
【小问1详解】
设 的公比分别为 ，
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学科网（北京）股份有限公司为证 不是等比数列，只需证 .
而 ，
由于 ，且 不为零，
因此 ，故 不是等比数列.
【小问2详解】
假设存在常数 ，使得数列 为等比数列，
则有 ，
将 代入上式，得
，
即 ，
整理得 ，
解得 或 .
经检验，当 时， ，
此时数列 为等比数列；
当 时， ，
数列 为等比数列，
所以，存在常数 或 ，使得数列 为等比数列.
20. 如图，在四棱台 中，底面 为平行四边形， ，侧棱 底
面 为棱 上的点. .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）若 为 的中点， 为棱 上的点，且 ，求平面 与平面 所成角的余弦
值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明 ，则可得 ，继而推出 ，即可证明 平面
，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面 与平面 的法向量，根据空间角的向
量求法，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：在平行四边形 中， ，
在 中， ，
所以 ，
可得 ，所以 .
又 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司又侧棱 底面 平面 ，所以 .
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
【小问2详解】
因为 为 的中点， ，所以平行四边形 为菱形，
则四边形 也为菱形，则四边形 为直角梯形，则 ，
由（1）知： 两两垂直，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则点 .
..
设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，所以 ，
令 ，得 .
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 ，
由原图可知平面 与平面 所成角为锐角，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
21. 已知数列 前 项和为 ，且对任意的正整数 与 的等差中项为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据 与 之间的关系，利用构造法结合等比数列分析求解；
（2）根据题意分析可得 ， ，进而求和分析证明.
【小问1详解】
由题意可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司时， ，可得 ；
时， ， ，
两式相减得： ，即 .
可得 ，且 ，
可知 是以 为首项，2为公比的等比数列.
所以 ，即 .
【小问2详解】
因为 ，
所以 ；
又因为
，
所以 ，
综上所述： .
22. 已知函数 ，其导函数为 .
（1）若 在 不是单调函数，求实数 的取值范围；
（2）若 在 恒成立，求实数 的最小整数值.
第26页/共29页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可知 在 有变号零点，由此结合函数的单调性，解
不等式即可求得答案；
（2）法一：采用分离参数法，将原不等式变为即为 在 恒成立，构造函数
，求函数的导数，利用导数求其最小值，即可求得答案；
法二：求函数 的导数，利用导数判断其单调性，求得函数最小值，结合解不等
式即可求得答案.
【小问1详解】
；
因为 在 不是单调函数，所以 在 有变号零点；
因为 恒成立，令 ，则 在 有变号零点；
因为 ，所以 在 单调递增，
因为 ，当 的值趋近正无限大时， 趋近于正无限大，a为待定的参数，
故 趋近于正无限大，故只需 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司（法一）令 ，
因为 在 恒成立，所以 在 单调递减，
所以 ，
所以 在 恒成立，即为 在 恒成立，
令 ，
则
，
令 ，则 在 恒成立，
所以 在 单调递减；
因为 ；
所以 有唯一零点 ，且
当 时， ，即 ，所以 在 单调递增；
当 时， ，即 ，所以 在 单调递减；
所以 ；
所以实数 的最小整数值为 .
（法二）
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得，当 时， 在 上单调递增，
所以 成立.
当 时，存在 ，使得
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 ，
令 得 ；
解之得 .
综上， ，
所以实数 的最小整数值为 .
【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，常用方法有：（1）将原不等式变形整理，分离参数，继而
构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；（2）直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小
值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.
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学科网（北京）股份有限公司
