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2010 年江西高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，
有一项是符合题目要求的。
1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）
A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2
C. x=1，y=1 D. x=1，y=2
2.若集合A= x| x £1，xÎR ，B= y| y = x2，xÎR ，则AÇB=（ ）
A. x|-1£ x£1 B. x|x³0
C. x|0£ x£1 D. Æ
x-2 x-2
>
x x
3.不等式 的解集是（ ）
A. (0，2) B. (-¥，0) C. (2，+¥) D. （-¥，0）È(0，+¥)
æ 1 1 1 ö
lim 1+ + + + =
ç L ÷
x®¥è 3 32 3n ø
4. （ ）
5 3
3 2
A. B. C. 2 D. 不存在
5.等比数列a 中，a =2，a =4，函数 f x= x(x-a )(x-a ) (x-a )，则 f '0=
n 1 8 1 2 L 8
（ ）
A．26 B. 29 C. 212 D. 215
8
6. 2- x 展开式中不含x4项的系数的和为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanÐECF =（ ）
16 2 3 3
27 3 3 4
A. B. C. D.
8.直线 y
=kx+3与圆x-32 +y-22
=4相交于M,N两点，若 MN ³2 3，则k的取
值范围是
第1页 | 共16页é - 3 ，0 ù é -¥，- 3ù 0，+¥ é ê- 3 ， 3ù ú é - 2 ，0 ù
ê ë 4 ú û ê ë 4 ú û U ë 3 3 û ê ë 3 ú û
A. B. C. D.
9．给出下列三个命题：
1 1-cosx x
①函数y = ln 与y =lntan 是同一函数；
2 1+cosx 2
②若函数 y = f x与 y = gx的图像关于直线 y = x对称，则函数
1
y = f 2x与y = gx的图像也关于直线y = x对称；
2
③若奇函数 f x对定义域内任意x都有 f x= f(2-x)，则 f x为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
10.过正方体ABCD-ABC D 的顶点A作直线L，使L与棱AB,AD,AA
1 1 1 1 1
所成的角都相等，这样的直线L可以作
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑
大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方
法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 p
1
和 p ，则
2
A. p = p B. p < p C. p > p D。以上三种情况都有可能
1 2 1 2 1 2
12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露
出水面部分的图形面积为St S0=0 ，则导函数y =S't的图像大致为
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上。
r r r r r r r r
13.已知向量a，b满足 a =1， b =2， a与b的夹角为60°，则 a-b =
14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的
四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
第2页 | 共16页x2 y2
15.点A(x，y )在双曲线 - =1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x ，则x =
0 0 4 32 0 0
16.如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且
OA>OB>OC,分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱
锥的体积，截面面积依次为S ，S ，S ，则S ，S ，S 的大小关系
1 2 3 1 2 3
为 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
æ pö æ pö
f x=1+cotxsin2 x+msin x+ sin x-
ç ÷ ç ÷
è 4ø è 4ø
已知函数 。
ép 3pù
(1) 当m=0时，求 f x在区间 ， 上的取值范围；
ê ú
ë8 4 û
3
(2) 当tana=2时， f a= ，求m的值。
5
18. （本小题满分12分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机
（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号
通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你
未到过的通道，直至走完迷宫为止。令x表示走出迷宫所需的时间。
（1） 求x的分布列；
（2） 求x的数学期望。
第3页 | 共16页19. （本小题满分12分）
设函数 f x=lnx+ln2-x+ax(a>0)。
（1）当a=1时，求 f x的单调区间。
1
（2）若 f x在0，1上的最大值为 ，求a的值。
2
20. （本小题满分12分）
如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD^平面
BCD，AB^平面BCD，AB=2 3。
（1） 求点A到平面MBC的距离；
（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
21. （本小题满分12分）
x2 y2
C : + =1(a>b>0)
1 a2 b2 C :x2 +by =b2
设椭圆 ，抛物线 2 。
（1） 若C 经过C 的两个焦点，求C 的离心率；
2 1 1
æ 5ö
（2） 设A（0，b），Q ç 3 3， ÷,又M、N为C 与C 不在y轴上的两个交点，若△AMN的
è 4ø 1 2
æ 3 ö
垂心为B ç 0，b ÷，且△QMN的重心在C 上，求椭圆C 和抛物线C 的方程。
è 4 ø 2 1 2
第4页 | 共16页22. （本小题满分14分）
证明以下命题：
（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b
x x
3.不等式 的解集是（ ）
A. (0，2) B. (-¥，0) C. (2，+¥) D. （-¥，0）È(0，+¥)
【答案】 A
x-2
【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数. <0，解得A。
x
或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。
æ 1 1 1 ö
lim 1+ + + + =
ç L ÷
x®¥è 3 32 3n ø
4. （ ）
5 3
3 2
A. B. C. 2 D. 不存在
【答案】B
第6页 | 共16页【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。
1
1-
3n 3
lim( )=
n®+¥ 1 2
1-
3
5.等比数列a 中，a =2，a =4，函数 f x= x(x-a )(x-a ) (x-a )，则 f '0=
n 1 8 1 2 L 8
（ ）
A．26 B. 29 C. 212 D. 215
【答案】C
【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数
学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则 f '0只与函数 f x的一次项
有关；得：a ×a ×a a =(aa )4 =212。
1 2 3L 8 1 8
8
6. 2- x 展开式中不含x4项的系数的和为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难
则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C820(-1)8 =1即为所求，答案
8
为0.
7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanÐECF =（ ）
16 2 3 3
27 3 3 4
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1：约定AB=6,AC=BC=3 2,由余弦定理CE=CF= 10,再由余弦
4
定理得cosÐECF = ，
5
3
解得tanÐECF =
4
解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=3 2,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）
利用向量的夹角公式得
4 3
cosÐECF = ，解得tanÐECF = 。
5 4
第7页 | 共16页8.直线 y
=kx+3与圆x-32 +y-22
=4相交于M,N两点，若 MN ³2 3，则k的取
值范围是
é - 3 ，0 ù é -¥，- 3ù 0，+¥ é ê- 3 ， 3ù ú é - 2 ，0 ù
ê ë 4 ú û ê ë 4 ú û U ë 3 3 û ê ë 3 ú û
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.
解法 1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与 y 轴相切.当
3
|MN|=2 3时，由点到直线距离公式，解得[- ,0]；
4
解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取
+¥，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A
9．给出下列三个命题：
1 1-cosx x
①函数y = ln 与y =lntan 是同一函数；
2 1+cosx 2
②若函数 y = f x与 y = gx的图像关于直线 y = x对称，则函数
1
y = f 2x与y = gx的图像也关于直线y = x对称；
2
③若奇函数 f x对定义域内任意x都有 f x= f(2-x)，则 f x为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除
A、B，验证③, f -x= f[2-(-x)]= f(2+x),又通过奇函数得 f -x=-f(x)，所以f
（x）是周期为2的周期函数，选择C。
10.过正方体ABCD-ABC D 的顶点A作直线L，使L与棱AB,AD,AA
1 1 1 1 1
所成的角都相等，这样的直线L可以作
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】D
【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一
类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC 第二类：在图形外部和每条棱的外
1，
角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。
第8页 | 共16页11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他
用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查
两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 p 和 p ，则
1 2
A. p = p B. p < p C. p > p D。以上三种情况都有可能
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，
作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为
1
10
1
，总概率为1-C0 (0.1)0(0.9)10；同理，方法二：每箱的选中的概率为 ，总事件的概率为
10 5
1 4
1-C0( )0( )5，作差得 p < p 。
5 5 5 1 2
12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露
出水面部分的图形面积为St S0=0 ，则导函数y =S't的图像大致为
【答案】A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究
能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保
持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑
到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上。
r r r r r r r r
13.已知向量a，b满足 a =1， b =2， a与b的夹角为60°，则 a-b =
【答案】 3
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等
r uuur r uuur r r uuur uuur uuur
知 识 ，如 图 a=OA,b=OB,a-b=OA-OB= BA， 由 余 弦 定 理 得 ：
r r
a-b = 3
14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场
第9页 | 共16页馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
【答案】 1080
【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分
C2C2 C1C1
组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组 6 4 两个一人组 2 1 ，再全排列得：
A2 A2
2 2
C2C2 C1C1
6 4 × 2 1 ×A4 =1080
A2 A2 4
2 2
x2 y2
15.点A(x，y )在双曲线 - =1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x ，则x =
0 0 4 32 0 0
【答案】 2
r
【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6, =e Þr =3d ,
d
a2
2x =3(x - )Þ x =2
0 0 c 0
16.如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且
OA>OB>OC,分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱
锥的体积，截面面积依次为S ，S ，S ，则S ，S ，S 的大小关系
1 2 3 1 2 3
为 。
【答案】 S 0)。
（1）当a=1时，求 f x的单调区间。
1
（2）若 f x在0，1上的最大值为 ，求a的值。
2
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
1 1
解：对函数求导得： f¢(x)= - +a，定义域为（0，2）
x 2-x
（1） 单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。
1 1 -x2 +2
当a=1时，令 f¢(x)=0得 - +1=0Þ =0
x 2-x （x 2-x）
当xÎ(0, 2), f¢(x)>0,为增区间；当xÎ( 2，2), f¢(x)<0,为减函数。
（2） 区间0，1上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确
定
待定量a的值。
1 1
当xÎ0，1有最大值，则必不为减函数，且 f¢(x)= - +a>0，为单调递增区间。
x 2-x
1
最大值在右端点取到。 f = f(1)=a= 。
max 2
20. （本小题满分12分）
如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD^平面
BCD，AB^平面BCD，AB=2 3。
（3） 求点A到平面MBC的距离；
（4） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
第12页 | 共16页【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面
角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能
力和推理能力
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，
OM⊥CD.又平面MCD^平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、
B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的
角.OB=MO= 3，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作
OH^BC于H，连MH，则MH^BC，求得：
3 15
OH=OCsin600= ,MH= , 利 用 体 积 相 等 得 ：
2 2
2 15
V =V Þd = 。
A-MBC M-ABC 5
（2）CE是平面ACM 与平面BCD的交线.
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为q.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
BF = BC×sin60o = 3，
AB 2 5
tanq= =2，sinq=
BF 5
2 5
所以，所求二面角的正弦值是 .
5
【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊
位置的元素解决
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD^平面BCD,
则MO⊥平面BCD.
A z
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直
角坐标系如图.
OB=OM= 3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M
（0，0， 3），B（0，- 3，0），A（0，- 3，2 3）， M
r uuur
（1）设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量，则BC=(1, 3,0)， B D
uuuur r uuur r uuuur
BM =(0, 3, 3)， 由 n^ BC得 x+ 3y =0； 由 n^ BM 得
O y
r uuur
3y+ 3z =0；取n=( 3,-1,1),BA=(0,0,2 3)，则距离
x
C
第13页 | 共16页uuur r
BA×n
2 15
d = =
r
n 5
uuuur uuur
（2）CM =(-1,0, 3)，CA=(-1,- 3,2 3).
ur uuuur
ur ì ïn ^CM ì ï-x+ 3z =0
设平面 ACM的法向量为n =(x,y,z)，由í 1 得í .解得
1 ur uuur
ïî n ^CA ïî-x- 3y+2 3z =0
1
ur r
x= 3z， y = z， 取 n =( 3,1,1). 又 平 面 BCD 的 法 向 量 为 n=(0,0,1)， 则
1
ur r
ur r n ×n 1
cos= 1 =
1 ur r
n × n 5
1
1 2 5
设所求二面角为q，则sinq= 1-( )2 = .
5 5
【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于
建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计
算必须慎之又慎
21. （本小题满分12分）
x2 y2
C : + =1(a>b>0)
1 a2 b2 C :x2 +by =b2
设椭圆 ，抛物线 2 。
（3） 若C 经过C 的两个焦点，求C 的离心率；
2 1 1
æ 5ö
（4） 设A（0，b），Q ç 3 3， ÷,又M、N为C 与C 不在y轴上的两个交点，若△AMN的
è 4ø 1 2
æ 3 ö
垂心为B ç 0，b ÷，且△QMN的重心在C 上，求椭圆C 和抛物线C 的方程。
è 4 ø 2 1 2
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：c2 =b2，由
c2 1 2
a2 =b2 +c2 =2c2,有 = Þe= 。
a2 2 2
(2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 ， 设
M(-x ,y ),N(x ,y )(x >0),由DAMN 的垂心为B，有
1 1 1 1 1
uuuur uuur 3
BM ×AN =0Þ-x2 +(y - b)(y -b)=0。
1 1 4 1
b
由点N(x ,y )在抛物线上，x2 +by =b2，解得：y =- 或y =b(舍去)
1 1 1 1 1 4 1
第14页 | 共16页5 5 b 5 b b
故x = b,M(- b,- ),N( b,- )，得DQMN 重心坐标( 3, ).
1 2 2 4 2 4 4
b2 1 1
由重心在抛物线上得：3+ =b2,所以b=2，M(- 5,- ),N( 5,- )，又因为
4 2 2
16 x2 y2
M、N在椭圆上得：a2 = ，椭圆方程为 + =1，抛物线方程为x2 +2y =4。
3 16 4
3
22. （本小题满分14分）
证明以下命题：
（3） 对任一正整a,都存在整数b,c(b
