文档内容
数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答题
无效．
第Ⅰ卷:选择题（60分）
一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置．
1. 已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知a 为实数，若 （i为虚数单位），则 （ ）
A. 1 B. C. D.
3. 已知锐角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 3
4. 已知向量 满足 ，且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D. 7
5. 已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（
）
A. B. C. D.
6. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即
前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sin θ的值为( )
A. B. C. D.
7. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
8. 抛物线 ： 与双曲线 ： 有一个公共焦点 ，过 上一点
向 作两条切线，切点分别为 、 ，则 （ ）
A. 49 B. 68 C. 32 D. 52
二、多选题：本小题共4小题，全选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共
计20分，将答案填涂在答题卡的相应位置．
9. 已知数列 的前n项和为 ，且 (其中a为常数)，则下列说法正确的是（
）
A. 数列 一定是等比数列 B. 数列 可能是等差数列
C. 数列 可能是等比数列 D. 数列 可能是等差数列
的
10. 以下四个命题表述正确 是（ ）
A. 直线 恒过定点 ；
B. 圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1
C. 曲线 与曲线 恰有三条公切线，则
D. 若双曲线 的一条渐近线被圆 截得的弦长为 ，则双曲线的离心率为 ．
的
11. 如图，棱长为1 正方体 中， 为线段 上的动点（不含端点），则下列结论正
确的是（ ）
A. 直线 与 所成的角可能是
B. 平面 平面
C. 三棱锥 的体积为定值
D. 平面 截正方体所得的截面可能是等腰梯形
12. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的极值点为1
B.
C. 若 分别是曲线 和 上的动点.则 的最小值为
D. 若 对任意的 恒成立，则 的最小值为
第Ⅱ卷:非选择题（90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若直线3x＋4y－8＝0被圆(x－a)2＋y2＝4截得的弦长为 ，则a＝______．14. 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 ，深度为 .如果池底每 的造价为150
元，池壁每 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______ .
15. 已知点 在圆C： （ ）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值
为8，则 ______．
16. 已知抛物线 的焦点到准线的距离为 ， 为坐标原点，点 在抛物线上，平面上
一点 满足 ，则直线 斜率的最大值为_______.
四、解答题（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程，否则扣分）
17. 已知数列 的前n项和 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和．
18. 已知函数 .
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）已知锐角 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，求acosB﹣bcosC
△
的取值范围.
为
19. 已知圆C：x2+y2﹣4y+1＝0，点M（﹣1，﹣1），从圆C外一点P向该圆引一条切线，记切点 T．
（1）若过点M的直线l与圆交于A，B两点且|AB|＝2 ，求直线l的方程；
（2）若满足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值时点P的坐标．
20. 如图，四棱锥 的底面是等腰梯形， ， ， ，
， 为棱 上的一点．（1）证明： ；
（2）若二面角 余的弦值为 ，求 的值．
21. 已知曲线C上任意一点到点 的距离比它到y轴的距离大2，过点 的直线l与曲线C交于
A，B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C在A，B处的切线交于点M，求 面积的最小值．
22. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 在 上的值域；
（2）若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答题
无效．
第Ⅰ卷:选择题（60分）
一、单选题，本题共8小题，每题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置．
1. 已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分别求出集合 ， ，从而求出 ，由此能求出 ．
【详解】解： 全集 ，集合 或 ，
，
，
．
故选： ．
2. 已知a为实数，若 （i为虚数单位），则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把 分子分母同时乘以 ，整理为复数的一般形式，根据题中条件计算即可得出结论.
【详解】解： ，
.
故选：D
【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算，属于基础题.
3. 已知锐角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于 的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数
关系求得 的值.
【详解】∵ ，∴ ，
即 ，
又∵ 为锐角，∴ ，
∴ ，
即 ，∴ .
故选：A4. 已知向量 满足 ，且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程组求出 ， ，再分别求它们的模，相加即可.
【详解】由 得： ，
又 ， ，
∴ ，
.
所以 .
故选：B
5. 已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据柱体外接球的特点可知，该正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处，再根据
勾股定理即可求出外接球的半径；由正三棱柱的性质可知，当球半径 是底面正三角形内切圆的半径时，
该内切球的半径最大，由此即可求出该内切球的半径，再根据球的表面积公式，即可求出结果.
【详解】设正三棱柱 ，取三棱柱 的两底面中心 ， ，连结 ，取 的中点 ，连结 ，则 为正三棱柱外接球的半径．
∵ 是边长为 的正三角形， 是 的中心，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴正三棱柱 外接球的表面积 ．
根据题意可知，当球半径 是底面正三角形内切圆的半径时，此时正三棱柱内的球半径最大，即
，
所以正三棱柱 内 半径最大的球表面积为 ，
所以该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：
①一般地，柱体的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处；②柱体的内切球的半径为其中截面内切圆的半径.
6. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即
前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方
向沿直线前往B处救援，则sin θ的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题中所给的条件，画出对应的图形，在 中，利用余弦定理求得BC，然后根据正弦
定理求得 ，则 可得，进而利用 ，根据正弦函数的两角和公
式解决.
【详解】本题考查正余弦定理的应用及两角和与差的正弦公式．在三角形ABC中，由AC＝10，AB＝20，
∠CAB＝120°.由余弦定理可得 BC＝10 .又由正弦定理可得 ＝ ＝ sin
⇒ ⇒
∠ACB＝ .故sin θ＝sin ＝ × ＋ × ＝ .
【点睛】该题考查的是利用正余弦定理解决海上救援的问题，在解题的过程中，注意正确分析题中的条件，
熟练掌握正余弦定理，将所涉及到的量代入对应的式子正确求解即可.
7. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断这三个数与1的大小，确定 最小；对 、 先开方，再利用函数 ，
的单调性判断他们的大小.【详解】∵ ， ， ，∴ 最小.
设 ，则 ，因为 ，所以 ，所以 在 上
为增函数.
又 ，所以 ，即 即 ，
所以 .
综上可得： .
故选：D
【点睛】（1）先把 ， 开方，利用函数 的单调性比较是难点.
（2）也可以先把 ， 取自然对数： ， ，然后利用函数
的单调性来比较它们的大小.
8. 抛物线 ： 与双曲线 ： 有一个公共焦点 ，过 上一点
向 作两条切线，切点分别为 、 ，则 （ ）
A. 49 B. 68 C. 32 D. 52
【答案】A
【解析】
【分析】将P坐标代入双曲线方程求得双曲线的方程，进一步求得抛物线的方程中的参数p,利用导数几何
意义求得两切线的方程，利用韦达定理求得两根之和，两根之积，利用抛物线的定义，将A,B到焦点的距
离转化为到准线的距离，表示为A,B的纵坐标的关系式，求得|AF||BF|关于A,B纵坐标的表达式.
【详解】由P在双曲线上，将P点坐标代入双曲线的方程， ，
∴双曲线的方程为 ，双曲线的焦点在y轴上， ∴ ,
∴ ,双曲线的焦点坐标为 ,抛物线 的焦点坐标为 ,∵抛物线与双曲线的焦点重合，∴ ，∴抛物线的准线为 ， ，
抛物线的方程为 ,即 ,
,设 ,切线PA,PB的斜率分别为 ,切线方程分别为
将P的坐标及 , 代入，并整理得 , ,
可得 为方程 的两个实数根，由韦达定理得
,
= ,
故选:A.
【点睛】本题考查双曲线与抛物线的方程和性质，考查利用导数研究切线问题，关键是设而不求思想和韦
达定理的灵活运用.
二、多选题：本小题共4小题，全选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共
计20分，将答案填涂在答题卡的相应位置．
9. 已知数列 的前n项和为 ，且 (其中a为常数)，则下列说法正确的是（
）
A. 数列 一定是等比数列 B. 数列 可能是等差数列
C. 数列 可能是等比数列 D. 数列 可能是等差数列
【答案】BD
【解析】【分析】由 和 的关系求得 ， ，分类讨论a是否为0，判断选项正误.
【详解】因为 ，当 时， ，得 ，
将 代入，得 ， ，
即 ，
当 时， ， 不是等比数列，是等差数列， ， 也是等差数列；
当 时， 是以 为首项，2为公比的等比数列， 不是等比数列；
故答案为：BD.
10. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线 恒过定点 ；
B. 圆 上有且仅有3个点到直线 的距离都等于1
C. 曲线 与曲线 恰有三条公切线，则
D. 若双曲线 的一条渐近线被圆 截得的弦长为 ，则双曲线的
离心率为 ．
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆
心距等于半径和列式求得 判断C；求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆 所截
得的弦长为 ，结合弦心距和勾股定理，即可求出双曲线的离心率，即可判断选项D是否正确．【详解】由 ，得 ，联立 ，
解得 ，∴直线 恒过定点 ，故A错误；
∵圆心 到直线 的距离等于 ，
∴直线与圆相交，而圆的半径为 ，故到直线距离为 的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此
圆上有三个点到直线 的距离等于 ，故B正确；
两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线 化为标准式 ，曲线
化为标准式 ，圆心距为
，解得 ，故C正确；
双曲线 的一条渐近线方程为 ，
圆 的圆心 到双曲线的渐近线的距离为： ，
又圆的半径为 ，所以 ，解得 ，所以 ，即 ，所以离
心率为 ，故D正确．
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：与圆有关的线段长问题，一般不是直接求出线段两端点坐标，用两点间距离公式求解，
而是应用几何方法去求解．
方法是：直线与圆相交时，若 为弦长， 为弦心距， 为半径，则有 ，即 ，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式．
11. 如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 上的动点（不含端点），则下列结论正
确的是（ ）
A. 直线 与 所成的角可能是
B. 平面 平面
C. 三棱锥 的体积为定值
D. 平面 截正方体所得的截面可能是等腰梯形
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求
1
出直线DP与AC所成的角为 ；对于B，由AD AA，AD AB，得AD 平面AAP，从而平
1 1 1 1 1 1 1 1 1
面DAP 平面AAP；对于C，三棱锥D﹣CDP的体积 为定值；对于D，当AP延
1 1 1 1
长线交BB 的中点时，可以得到等腰梯形的截面．
1
【详解】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系，
1，设
当 时， ；
当 时， ，
,∴ ,
,
∴直线DP与AC所成的角为 ，
1
故A错误；
对于B，正方体ABCD﹣ABC D 中，AD AA，AD AB，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∵AA AB＝A，∴AD 平面AAP，
1 1 1 1
∵AD 平面DAP，∴平面DAP 平面AAP，故B正确；
1 1 1 1 1 1 1
对于C， ，P到平面CDD 的距离BC＝1，
1的
∴三棱锥D﹣CDP 体积：
1
为定值，故C正确；
对于D，当AP延长线交BB 的中点E时，设平面 与直线BC 交于点F,
1 1 1
因为平面ADD A∥平面BCC B, 平面 ∩平面ADD A=AD, 平面 ∩平面BCC B=EF,所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1
EF∥AD,∴F为BC 的中点，∴截面ADFE为等腰梯形的截面，故D正确；
1 1 1 1
故选：BCD．
12. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
的
A. 函数 极值点为1
B.
C. 若 分别是曲线 和 上的动点.则 的最小值为
D. 若 对任意的 恒成立，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，求导，利用导数研究函数的单调性，即可求出极值点；对于B，设 ，
求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可求解；对于C，利用曲线 与曲线互为反函数，可先求点 到 的最小距离 ，然后再求 的最小值；对于D，利用同构把恒成立问
题转化为 ，分离参数，构造函数 ，利用导数求解最值即可.
【详解】 ．所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极值点为1，故A正确；
设 ，则 ，
由单调性的性质知 在 上单调递增．
又 ，则存在 ．使得 ，
即 ， ，所以当 时． ，当 时． ．
所以 在 上单调递减．在 上单调递增.
所以 ，又 ，则 ，
所以 ，故B错误；
因为函数 与函数 互为反函数，其图象关于 对称，
设点 到 的最小距离为 ，设函数 上斜率为 的切线为 ，
，由 得 ，所以切点坐标 ，即 ，所以 ，
为所以 的最小值为 ，故C正确；
若 对任意的 恒成立，
则 对任意的 恒成立，
令 ，则 ．所以 在 上单调递增，则 ，
即 ，令 ，所以 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，所以 ，即 的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
第Ⅱ卷:非选择题（90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若直线3x＋4y－8＝0被圆(x－a)2＋y2＝4截得的弦长为 ，则a＝______．
【答案】1或
【解析】
【分析】根据几何关系及点到直线的距离公式求解.【详解】
过 作 ，
在Rt△ 中，∠ ＝90°， ，
故 ，
因为 ，
即 ，解得a＝1或 ．
故答案为：1或 .
14. 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为 ，深度为 .如果池底每 的造价为150
元，池壁每 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______ .
【答案】160
【解析】
【分析】设水池底面一边的长度为 ，则另一边的长度为 ，由题意可得水池总造价 ，然后
利用基本不等式求最值，可得水池总造价最低时的水池底部的周长．
【详解】设水池底面一边的长度为 ，则另一边的长度为 ，
由题意可得水池总造价，
则
，，
当且仅当 ，即 时， 有最小值297600，
此时另一边的长度为 ，
因此，当水池的底面周长为 时，水池的总造价最低，最低总造价是 元，
故答案为160．
【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于
中档题．
15. 已知点 在圆C： （ ）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值
为8，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得
到关于r的方程，求解即可.
【详解】由点 在圆C： 内，且
所以 ，又 ，解得
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为
又 ，
所以 ，解得故答案为：
16. 已知抛物线 的焦点到准线的距离为 ， 为坐标原点，点 在抛物线上，平面上
一点 满足 ，则直线 斜率的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线方程中 的几何意义，结合共线向量的坐标表示公式、直线斜率的公式、基本不等式
进行求解即可.
【详解】因为抛物线 的焦点到准线的距离为 ，
所以 ，因此该抛物线的方程为 ， ，
设 ，
因为 ，
所以有 ，
设直线 斜率为 ，
则 ，要想直线 斜率有最大值，一定有 ，
，
当且仅当 时取等号，即 ， 舍去，故答案为：
【点睛】关键点睛：对直线斜率的表达式进行变形，利用基本不等式是解题的
关键.
四、解答题（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程，否则扣分）
17. 已知数列 的前n项和 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用 求得数列 的通项公式.
（2）利用分组求和法求得数列 的前 项和.
【详解】（1）当 时， ；
当 时， ，当 时，上式也符合.
故数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知， ，记数列 的前 项和为 ，则 ．
记 ，
则 ，
．
故数列 的前 项和 ．
18. 已知函数 .
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）已知锐角 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，求acosB﹣bcosC
△
的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，再利用整体代换解不等式的方法求函数
的单调递减区间即可；
（2）先根据 求得 ，再利用正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换等知识将
化简为 ，最后结合角 的范围求解即可.
【详解】解：（1）由题意．
令 ， ，
解得 ， ，
故函数 的单调递减区间为 ， ；
（2）由（1）知 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
由正弦定理可知 ，
则 ， ，
所以在锐角 中，易知 ，得 ，
因此 ，则 ．
故 的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，在第（2）题中关键
是利用正弦定理将所求式转化为 ，结合题中条件求出 的范围，从而得解.
19. 已知圆C：x2+y2﹣4y+1＝0，点M（﹣1，﹣1），从圆C外一点P向该圆引一条切线，记切点为T．
（1）若过点M的直线l与圆交于A，B两点且|AB|＝2 ，求直线l的方程；
（2）若满足|PT|＝|PM|，求使|PT|取得最小值时点P的坐标．
【答案】（1）x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；（2）（ ， ）
【解析】
【分析】（1）首先判断 斜率不存在时，符合题意.当 斜率存在时，设出直线 的方程，利用弦长列方程，
解方程求得直线的斜率，进而求得直线方程.
（2）设出 点的坐标，根据切线长以及 列方程，化简后求得 的轨迹方程 ，
将 最小转化为 到直线 的距离，求得 垂直直线 时直线 的方
程，和 联立求得 点坐标.
【详解】（1）圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2＝3．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，
此时|AB|＝2 ，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣1＝0．
∵|AB|＝2 ，
∴圆心C到直线l的距离d 1．
∴d 1．
解得k ，
则直线l的方程为4x﹣3y+1＝0．
∴所求直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+1＝0；
（2）设P（x，y），|PT| ，
0 0
∵|PT|＝|PM|，∴ ，
化简得2x+6y+1＝0，
0 0
∴点P（x，y）在直线2x+6y+1＝0．
0 0
当|PT|取得最小值时，即|PM|取得最小值，
即为点M（﹣1，﹣1）到直线2x+6y+1＝0的距离，
此时直线PM垂直于直线2x+6y+1＝0，
∴直线PM的方程为6x﹣2y+4＝0，即3x﹣y+2＝0．
由 ，解得 ，
∴点P的坐标为（ ， ）．
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查与圆有关的弦长问题，考查最值问题的求解策略，考
查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20. 如图，四棱锥 底的面是等腰梯形， ， ， ，
， 为棱 上的一点．（1）证明： ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的关系及余弦定理求得线与线垂直，再利用线面垂直的性质定理即证；
（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设出 ，利用空间向量的性质表示出二面角
的余弦值，求得即可.
【小问1详解】
证明：过点A作 ，垂足为N，
在等腰梯形 中，因为 ，所以 ．
在 中， ，则 ，则 ．
因为 底面 ， 底面 ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ．
又 平面 ，以 ．
【小问2详解】解：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令 ， ，则
，
则 ．
设平面 的法向量为 ，则 令 ，得 ．
由图可知， 是平面 的一个法向量．
因为二面角 的余弦值为 ，所以 ，解得
．
故当二面角 的余弦值为 时， ．
21. 已知曲线C上任意一点到点 的距离比它到y轴的距离大2，过点 的直线l与曲线C交于
A，B两点．（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C在A，B处的切线交于点M，求 面积的最小值．
【答案】（1） 或
（2）16
【解析】
【分析】（1）设曲线C上任意一点P 的坐标为 ，根据题意得到 ，然后分类化
简；
（2）由题意设l的方程为 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理，弦长公式求得
，设切线MA的方程为 ，与抛物线方程联立，利用判别式等于
零求得 ，得到切线MA的方程为 ，同理写出切线MB的方程，解方程组求得
的坐标，进而求得点M到直线l的距离 ，得到 ，求得其最小值.
【小问1详解】
设曲线C上任意一点P的坐标为 ，则有： ，
当 时，有 ；当 时，有 ，
所以曲线的方程为 或 ．
【小问2详解】
由题意设l的方程为 ， ， ，
由 ， ， ， ，
，
设切线MA的方程为 ，由 ， ，
切线MA的方程为 ，化简得： ，①
同理可得切线MB的方程为 ，②
（注意：直接写出切线MA的方程 扣2分！）
由①②得点M的坐标为 ，
点M到直线l的距离 ，
，当且仅当 时等号成立，
故 面积的最小值为16．
22. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 在 上的值域；
（2）若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数求得 的单调区间，进而求得函数 在 上的值域；
（2）由 ，构造函数 ，利用导数，结合对 进行分类讨论来求得
的取值范围.
【小问1详解】当 时， ，所以 ，
令 ，则 ，
0
单调递
极小值 单调递增
减
所以 ，又 ，
所以 在 上的值域为 .
【小问2详解】
函数 在 上仅有两个零点，
令 ，则问题等价于 在 上仅有两个零点，
易求 ，因为 ，所以 .
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上没有零点，不符合题意；
②当 时，令 ，得 ，
所以在 上 ，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
因为 在 上有两个零点，
所以 ，所以 .因为 ，
令 ，
所以在 上 ，在 上， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递
增；
所以 ，所以 ，
所以当 时， 在 和 内各有一个零点，即当 时， 在 上仅有两
个零点.
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定 的定义域；（2）计算导数 ；（3）求出
的根；（4）用 的根将 的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内
的符号，进而确定 的单调区间： ，则 在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；
，则 在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行
分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
