中考总复习：勾股定理及其逆定理--巩固练习（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_30总复习：勾股定理及其逆定理（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：勾股定理及其逆定理(提高) 巩固练习 撰稿：赵炜 审稿：杜少波 【巩固练习】 一、选择题 1．（2011湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶 点A在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最 大边的长为（ ）. A. 3cm B. 6cm C. 3 cm D. 6 cm 2．在△ 中，若 ，则△ 是（ ）. . 锐角三角形 . 钝角三角形 . 等腰三角形 . 直角三角形 3. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小 值时，△APD中边AP上的高为（ ）. A. B. C. D.3 4如图，分别以直角 的三边 为直径向外作半圆．设直线 左边阴影部分的面 积为 ，右边阴影部分的面积和为 ，则（ ）. A． B． C． D．无法确定 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 5（2012•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧， 交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）. A. -4和-3之间 B．3和4之间 C．-5和-4之间 D．4和5之间 6（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦 五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图 2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形 KLMJ的面积为（ ）. A.90 B．100 C．110 D．121 二、填空题 7. 如图，在由12个边长都为1且有一个锐角是60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点， 以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形 斜边的长________． 8. 如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是此图像上的一动 点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5－ x(0≤x≤5),则结论：①AF=2； ②BF=5； ③OA=5； ④OB=3中，正确结论的序号是______________. 9.如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短． EP＋BP 的最小值是_______． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 10.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中， 已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在 边PQ上，那么△PQR的周长等于_________________. 11．观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25；… 列举：13、b、c，猜想：132=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=_____,c=________. 12.如图，正方体的棱长为2，O为AD的中点，则O，A，B三点为顶点的三角形面积为________________． 1 三、解答题 13. 作长为 、 、 的线段. 14.如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处 开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二： E→C→B→A．经测量得 千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．已知：地下电缆的修建 费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米． 求：1)河宽AD(结果保留根号)； 2)公路CD的长; 3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 15.如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB⇒BD做匀速运动，点Q从点D 同时出发沿线路DC⇒CB⇒BA做匀速运动． （1）已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断 △AMN的形状，并说明理由； （2）如果（1）中的点P、Q有分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经 过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（1）中的△AMN相似，试求v的值． 16．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°， ∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的 直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC 边上（移动开始时点D与点A重合）． （1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐________.．（填“不变”、 “变大”或“变小”） （2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？ 问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直 角三角形？ 问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果 不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 【答案与解析】 一．选择题 1.【答案】D. 【解析】过点A作AH垂直于纸带边沿于点H， 在直角△AHC中，∵AH=3，∠ACH=30°， ∴AC=2AH=6, 再在等腰直角△ABC中，∵AC=6, ∠B=45°， ∴AB= . 故选D. 2．【答案】D. 【解析】因为 =4 ，所以 ， ，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形, 答案选D. 3．【答案】C． 【解析】如图，过D点作DE⊥BC于E,则DE=AB，AD=BE,EC=BC－BE=3 在Rt△CDE中，DE= , 延长AB至F，使AB=BF，连接DF，交BC于P点，连接AP， 这时候PA+PD取最小值， ∵AD∥BC，B是AF中点， ∴ 在Rt△ABP中，AP= ∵ ∴ = ,故选C. 4．【答案】A. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 【解析】圆的面积为 ，设三条边长为a,b,c,分别表示三块阴影部分面积，用勾股定理即可. 5．【答案】A． 【解析】∵点P坐标为（-2，3）， ∴OP= ， （-2）2+32= 13 ∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上， ∴OA=OP= ， 13 ∵9＜13＜16， ∴3＜ ＜4． 13 ∵点A在x轴的负半轴上， ∴点A的横坐标介于-4和-3之间． 故选A． 6．【答案】 C. 二．填空题 7．【答案】2， ， ，4， . 【解析】如下图，可能的直角三角形斜边长有2， ， ，4， . 8．【答案】①； ②； ③ . 【解析】令x=0得到d=5,此时点P与点B重合，BF=5，由勾股定理的OB=4.令x=5得到d=2,此时点P与点 A重合，可得AO=5，AF=2. 9．【答案】5. 【解析】根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP， 即最短距离EP＋BP也就是ED． ∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4， ∴AD＝4，根据勾股定理得： ． ED2  AE2  AD2 32 42 25 ∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距离EP＋BP＝5． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 10．【答案】27+13 ． 3 【解析】在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角 函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长． 11.【答案】 84,85. 【解析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续 的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出 (2n1)2 1 (2n1)2 1 第n组数为（2n+1），（ 2 ），（ 2 ），由此规律解决问题． 12．【答案】 . 6 【解析】直角△AAO和直角△OBA中，利用勾股定理可以得到OA=OB= ， 1 1 5 在直角△AAB中，利用勾股定理得AB=2 2 ，过点O作高，交AB与M，连接AM， 1 1 1 1 则△AOM是直角三角形，则AM= AB= 2 ，OM= OA2  AM2 = 3， 1 2 1 ∴△OAB的面积= AB•OM= 6 ． 1 1 2 三.综合题 13．【解析】 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB，使AB为斜边； （2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的Rt 。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长 度就是 、 、 、 . 14．【解析】1).过B作BF⊥AD交DA延长线于F， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 在Rt△ABF中，可知∠BAF=60°，AB ， ∴ BF=6， ， 在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°， ∴ DF=BF=6， ∴ 2).过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8， ∴ DC=CG+DG=14. 3).设CE=x，则方案一、二费用分别为： ， ， 由 可解得 ∴ 当 ＜CE＜14时，方案一较省； 当0＜CE＜ 时，方案二较省； 当CE= 时，方案一、二均可． 15．【解析】 （1）∵∠A=60°，AD=AB=12， ∴△ABD为等边三角形，故BD=12， 又∵V=2cm/s P ∴S=Vt=2×12=24（cm）， P P ∴P点到达D点，即M与D重合v=2.5cm/s S=Vt=2.5×12=30（cm）， Q Q Q ∴N点在AB之中点，即AN=BN=6（cm）， ∴∠AND=90°即△AMN为直角三角形； （2）V=2m/s t=3s P ∴S=6cm， P ∴E为BD的中点， 又∵△BEF与△AMN相似， ∴△BEF为直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°， ①Q到达F 处：S=BP-BF=6- BP =3（cm），故V=S =1（cm/秒）； 1 Q 1 Q Q 2 3 ②Q到达F 处：S=BP+ BP =9，故V=S =9=3（cm/秒）； 2 Q Q Q 2 3 3 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 ③Q到达F 处：S=6+2BP=18，故V=S =18=6（cm/秒）． 3 Q Q Q 3 3 16. 【解析】 （1）变小； （2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm ∴AC=12 ∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4 ∴DF=4cm 连接FC，设FC∥AB ∴∠FCD=∠A=30° ∴在Rt△FDC中，DC=4 3 ∴AD=AC-DC=12-4 3 ∴AD=12-4 时，FC∥AB； 3 问题②：设AD=x，在Rt△FDC中，FC2=DC2+FD2=（12-x）2+16 ∵AC=12cm，DE=4cm， ∴AD≤8cm， （I）当FC为斜边时， 31 由AD2+BC2=FC2得，x2+62=（12-x）2+16，x= ； 6 （II）当AD为斜边时， 49 由FC2+BC2=AD2得，（12-x）2+16+62=x2，x= ＞8（不合题意舍去）； 6 （III）当BC为斜边时， 由AD2+FC2=BC2得，x2+（12-x）2+16=36，x2-24x+160=0， 方程无解， 31 ∴由（I）、（II）、（III）得，当x= 时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形； 6 另解：BC不能为斜边， ∵FC＞CD，∴FC+AD＞12 ∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6， ∴BC不能为斜边， 31 ∴由（I）、（II）、（III）得，当x= cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形； 6 问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD=15,° 理由如下： 假设∠FCD=15° ∵∠EFC=30° 作∠EFC的平分线，交AC于点P 则∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60° 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 ∴PD=4 ，PC=PF=2FD=8 3 ∴PC+PD=8+4 ＞12 3 ∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°; 解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD=15° 假设∠FCE=15°AD=x 由∠FED=45° 得∠EFC=30° 作EH⊥FC，垂足为H． 1 ∴HE= EF=2 2 2 CE=AC-AD-DE=8-x 且FC2=（12-x）2+16 ∵∠FDC=∠EHC=90° ∠DCF为公共角 ∴△CHE∽△CDF EC HE ∴ = FC DF 又（ HE ）2=（2 2 ）2=1 DF 4 2 ∴（ EC ）2= 1 ，即 (8x)2 = 1 FC 2 (12x)2 16 2 整理后，得到方程x2-8x-32=0 ∴x=4-4 ＜0（不符合题意，舍去） 1 3 x=4+4 ＞8（不符合题意，舍去） 2 3 ∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共10页