文档内容
黄石市 2020 年初中毕业生学业水平考试
数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 3的相反数是（ ）．
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义即可得．
【详解】3的相反数是-3
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题关键．
2. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用中心对称图与轴对称图形定义对每个选项进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图与轴对称图形定义，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题关键．
3. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据俯视图的定义判断即可．
【详解】俯视图即从上往下看的视图,因此题中的几何体从上往下看是左右对称的两个矩形．
故选B．
【点睛】本题考查俯视图的定义,关键在于牢记定义．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可．
【详解】A、 与 不是同类项，不可合并，此项错误
B、 ，此项错误
C、 ，此项错误
D、 ，此项正确
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘除法，熟记各运算法则是解题关键．
5. 函数 的自变量x的取值范围是（ ）A. ，且 B. C. D. ，且
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式与二次根式的性质即可求解．
【详解】依题意可得x-3≠0，x-2≥0
解得 ，且
故选A．
【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．
6. 不等式组 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可．
【详解】解
由①得， x＜−2；
由②得，x≥−3，
所以不等式组的解集为 ．
故选：C．
【点睛】本题的实质是求不等式的公共解，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小
中间找，大大小小解不了．
7. 在平面直角坐标系中，点G的坐标是 ，连接 ，将线段 绕原点O旋转 ，得到对应线段
，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得两个点关于原点对称，即可得到结果．
【详解】根据题意可得， 与G关于原点对称，
∵点G的坐标是 ，
∴点 的坐标为 ．
故选A．
【点睛】本题主要考察了平行直角坐标系中点的对称变换，准确理解公式是解题的关键．
的
8. 如图，在 中， ，点H、E、F分别是边 、 、 中点，若
，则 的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】∵∠ACB＝90°，点H是边AB的中点，
∴AB＝2CH，
∵点E、F分别是边AC、BC的中点，
∴AB＝2EF
∴CH=EF
∵ ，
∴ =4故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且
等于第三边的一半是解题的关键．
9. 如图，点A、B、C在 上， ，垂足分别为D、E，若 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在优弧AB上取一点F，连接AF，BF，先根据四边形内角和求出∠O的值，再根据圆周角定理求出∠F的
值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：在优弧AB上取一点F，连接AF，BF．
∵ ，
∴∠CDO=∠CEO=90°．
∵ ，
∴∠O=140°，
∴∠F=70°，
∴∠ACB=180°-70°=110°．
故选C．【点睛】本题考查了多边形的内角和，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，正确作出辅助线是解答本
题的关键．
10. 若二次函数 的图象，过不同的六点 、 、 、
、 、 ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出 ，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称
性，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，把点 、 、 代入 ，则
，
消去c，则得到 ，解得： ，
∴抛物线的对称轴为： ，
∵ 与对称轴的距离最近； 与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
∴ ；
故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键
是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算： ______．
【答案】4-
【解析】
【分析】
根据实数的性质即可化简求解．
【详解】 3- +1=4-
故答案为：4- ．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算．
12. 因式分解： _______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据因式分解的方法，分别使用提公因式法和公式法即可求解．【详解】根据因式分解的方法，先提取公因式得 ，再利用公式法得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
13. 据报道，2020年4月9日下午，黄石市重点园区（珠三角）云招商财富推介会上，我市现场共签项目
20个，总投资137.6亿元，用科学计数法表示137.6亿元，可写为_____元．
【答案】1.376×1010
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时，n是负数．
【详解】将137.6亿用科学记数法表示为：1.376×1010．
故答案为：1.376×1010．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14. 某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩 的比，计算学期
成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是______分．
【答案】85
【解析】
【分析】
按照 的比例算出本学期的体育成绩即可．
【详解】解：小明本学期的体育成绩为： =85（分），
故答案为：85．
【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
15. 如图，在 的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作 的
外接圆，则 的长等于_____．【答案】
【解析】
【分析】
由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就
能利用弧长公式求出 的长了．
【详解】∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2 ，AC＝ ，BC＝ ，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝
∴ 的长为： ＝
故答案为： ．
【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．
16. 匈牙利著名数学家爱尔特希（P. Erdos，1913-1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构
成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、
C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则 的
度数是_____．
【答案】18°
【解析】
【分析】
先 证 明 △ AOB≌△BOC≌△COD ， 得 出 ∠ OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC ，
∠ AOB=∠BOC=∠COD ， 然 后 求 出 正 五 边 形 每 个 角 的 度 数 为 108° ， 从 而 可 得
∠ OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54° ， ∠ AOB=∠BOC=∠COD=72° ， 可 计 算 出
∠AOD=144°，根据OA=OD，即可求出∠ADO．
【详解】∵这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成，
∴根据正五边形的性质可得OA=OB=OC=OD，AB=BC=CD，
∴△AOB≌△BOC≌△COD，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，∠AOB=∠BOC=∠COD，
∵正五边形每个角的度数为： =108°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC=54°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=（180°-2×54°）=72°，
∴∠AOD=360°-3×72°=144°，
∵OA=OD，
∴∠ADO= （180°-144°）=18°，
故答案为：18°．
【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
求出∠AOB=∠BOC=∠COD=72°是解题关键．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步
骤）
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】
的
先根据分式 减法法则进行化简，再将 代入求值即可．
详解】原式
【
将 代入得：原式 ．
【点睛】本题考查了分式的减法运算与求值，熟练掌握分式的减法运算法则是解题关键．
18. 如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房 的楼顶，测量对面的乙栋楼房 的高
度，已知甲栋楼房 与乙栋楼房 的水平距离 米，小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋
楼房顶部D点的仰角是 ，底部C点的俯角是 ，求乙栋楼房 的高度（结果保留根号）．【答案】18( +1)m
【解析】
【分析】
根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解．
【详解】如图，依题意可得∠BCA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CE=
∵∠DBE=30°
∴DE=BE×tan30°=18
∴ 的高度为CE+ED=18( +1)m．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．19. 如图， ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】（1）∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），
∴AD=BC．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．
20. 如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 、B两点，点C在第
四象限，BC∥x轴．（1）求k的值；
（2）以 、 为边作菱形 ，求D点坐标．
【答案】（1）k=2；（2）D点坐标为(1+ ，2)．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，点 在正比例函数 上，故将点 代入正比例函数 中，可求出a
值，点A又在反比例函数图像上，故k值可求；
（2）根据（1）中已知A点坐标，则B点坐标可求，根据两点间距离公式可以求出AB的长，最后利用已
知条件四边形ABCD为菱形，BC∥x，即可求出D点坐标．
【详解】（1）根据题意，点 在正比例函数 上，故将点 代入正比例函数 中，
得a=2，故点A的坐标为(1,2)，点A又在反比例函数图像上，设反比例函数解析式为 ，将
A(1,2)代入反比例函数解析中，得k=2．
故k=2．
（2）如图，A、B为反比例函数与正比例函数的交点，故可得 ，解得 ， ，如图，已
知点A坐标为(1,2)，故点B坐标为(－1，－2)，根据两点间距离公式可得AB= ，根据已知
条件中四边形ABCD为菱形，故AB=AD= ，AD∥BC∥x轴，则点D坐标为(1+ ，2)．故点D坐标为(1+ ，2)．
【点睛】（1）本题主要考查正比例函数和反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式
的方法以及已知解析式求点坐标是解答本题的关键．
（2）本题主要考查求正比例函数和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式，掌握求正比例函
数和反比例函数交点坐标、菱形性质、两点间距离公式是解答本题的关键．
21. 已知：关于x的一元二次方程 有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为 、 ，且满足 ，求m的值．
【答案】（1）m≥0（2）9
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得 =- ， =-2，根据 可得关
于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】（1）根据题意得△＝（ ）2−4×（−2）≥0，且m≥0，
解得m≥−8且m≥0．
故m的取值范围是m≥0；
（2）方程的两根为 、 ，
∴ =- ， =-2
∵
∴
即m+8=17
解得m＝9
∴m的值为9．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式
△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；（3）△
⇔ ⇔＜0 方程没有实数根．以及根与系数的关系：x，x 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x
1 2 1
⇔
＋x＝− ，x•x＝ ．
2 1 2
22. 我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛．某中学要从2名男生2名女生共4名学生中选派2名学
生参赛．
（1）请列举所有可能出现的选派结果；
（2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）6种，见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）用列举法写出所有可能的结果即可；
（2）根据（1）中的数据进行求解即可；
【详解】（1）设2名男生分别为x和y，2名女生分别为n和m，则根据题意可得不同的结果有； ，
， ， ， ， 共6种结果；
（2）由（1）可得，恰好为1名男生1名女生的结果有4种，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点，通过所给数据准确分析是解题的关键．
23. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．
问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，
问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购
买方法？列出所有的可能．
【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只
或买牛1头,买养8只．
【解析】【分析】
(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．
解得:
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛a头,买养b只．
3a+2b=19,即 ．
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
24. 如图，在 中， ， 平分 交 于点D，O为 上一点，经过点A、D的
分别交 、 于点E、F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径；
（3）求证： ．
【答案】（1）见解析（2）8（3）见解析【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错
角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；
（2）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义即可求出r的值；
（3）先判断出∠AEF＝∠B．再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出
△ABD∽△ADF，即可得出结论．
【详解】（1）如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE＋OE＝8＋R，
在Rt△BDO中，sinB＝ ，
∴sinB＝ ＝ ，
∴R＝5;
(3) 连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴ ，
∴AD2＝AB•AF．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三
角函数，求出圆的半径是解本题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为N．
（1）若此抛物线过点 ，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接 ，C为抛物线上一点，且位于线段 的上方，
过C作 垂直x轴于点D， 交 于点E，若 ，求点C坐标；
（3）已知点 ，且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当 时，求抛物线
的解析式．
【答案】（1） （2）C（-2,4）（3） ．
【解析】【分析】
（1）把 代入 即可求解；
（2）根据题意作图，求出直线AB的解析式，再表示出E点坐标，代入直线即可求解；
（3）先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI=30°，再根据题意分情况即可求解．
【详解】（1）把 代入
得-9-3k-2k=1
解得k=-2
∴抛物线的解析式为 ；
（2）设C（t, ）,则E（t, ）,
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-3，1），（0,4）代入得
解得
∴直线AB的解析式为y=x+4
∵E（t, ）在直线AB上
∴ =t+4
解得t=-2（舍去正值），
∴C（-2,4）；（3）由 =k（x-2）-x2,
当x-2=0即x=2时，y=-4
故无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，-4）
二次函数的顶点为N（ ）
1°如图，过H点做HI⊥x轴，若 ＞2时，则k＞4
∵ ，H（2，-4）
∴MI= ，
∵HI=4
∴tan∠MHI=
∴∠MHI=30°
∵
∴∠NHI=30°
即∠GNH=30°
由图可知tan∠GNH=
解得k=4+2 ，或k=4（舍）2°如图，若 ＜2，则k＜4
同理可得∠MHI=30°
∵
∴HN⊥IH，即
解得k=4不符合题意；
3°若 =2，N、H重合，舍去．
∴k=4+2
的
∴抛物线 解析式为 ．
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及三角函数
的定义．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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