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2025 届广州市普通高中毕业班神刺题（二〉
数学
－、选择题z 本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有－
项是符合题目要求的．
I. 设复数%= 1+ i . i 沟虚数单位）， %的共辄复数是言，则L ·－ 二 ’ 二 于 ＝
A. -t+i B. -1-i c. l+i D. 1-i
2 已知集合A={+
A ｛川 yl)
3. 若函数f(x ) = 1n le"' - ti＋鹏为偶函数，则实数m=
!
－~
A. 1 B. C. - I D.
4. 若圆锥的侧面积与过轴白。截面面积之比为2π，则圆锥母钱与底面所成角的大小为
A 石π B. ~ ! !
C. D.
3 2
s. 己知向盘P，与满足： p =(1,-1),lql = l,(jj-q)·q =-2，则。在P上的投彤向量为
，、
l
r
-2
•
2
n
j
r.Ji.’在1j
A. (.J言，－.J2) B. ’ O. 1~－2·2 D. (1,-1)
6. 若直线l与函数f (x ) = e:t-2( x > t）布lg(.Y)=I阳的图象分别相切于点A,B，则＼ABI=
2.Ji c.
A. 2 B. ~ D. 2.J3
7. 己知抛物纯σz y! =16x的焦点为F，过点A(7,l）作直线／； x+ay-2y-1a+4=0的~钱，
垂足为B，点P是抛物线C上的动点， 则IPFl+IPBI的最小值为
..
rs
1 2s
2s-3~，
• 14－~主主 B. - C. 14 D. ＿＿＿＿＿：！..二
2 2 2
8. 下因为函数／（x)= sin(mx ＋ψ）的部分图象．将点C是AB中点，则点B的纵坐标为
2-J3
A. 在－.Ji B.-
2
J3-l
c. 在－1 D. 2 - \ :u11 ＼ 丁X
第 1 页共 4 页二、选择题s 本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分地对的得部分份，有选错的得0分－
9. 下列命题中正确的为
A. 若OO，则P(AUBIC)孟P(AIC)+ P(B IC)
叫!IH机，刷刷斗响÷ P(A＋叫，则P(AB+AB）＝去
1月．己知函数f(x）是R上的奇函数，等差数列（州的前n项的和为Sn’数列｛／（an）｝的
前n项的和为汇．则下列各项的两个命题中， P廷q的必要条件的是
A. p:/(a5)=0, q：乌＝0 8. p: s.俨0, q :f(a5 +a6)=0
C. p:a5 =0, q：写＝O D. p:1；。＝0, q：αs＋α，＝。
11. 设定义在R上的函数f（均与g(x）的导函数分别为f’。）和g’（x），苦g(x)-f(3-x)=2,
f’（x)'='g’（~~•＞， 且g(x+2）为奇函数， 则下列说法中一定正确前是
A. 函赞.g(x）的图象关于x=l对称 8. /(2)·1刑的＝4
1025
c. 艺g(k)=0 D. 1~f(k）＝斗050
三、填空题s 本题共3小题，每小题β分知共15分．
12. 千剖’附式中韧项附阳
13. 已知椭阔C：毛＋牛l(a >0）的左，右焦点分别为坷，凡，棚C上仰一点P,
>b
b
使得fj.Pf;乓为等腰三角形，且LPJ飞罚为钝角，则椭圆「的尚，h率的取值范围为一一－－－
14. 一口袋装有形状、大小完全相同的3个小球，其中任球、黄球、黑球各 1 个．现从口
袋中颇有放回地取球2以（ne N•），且锹取1 个球， X表示2n次棚中取到j红球
rx’， X为奇数
的次数，记Y斗lo, ，则Y的数学期望为一一－·（用n表示〉
x为偶数
第 2 页共 4 页四、解答题z 本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13 分）
已知数列｛an｝满足a1=1, a3 = 6，且对任意的n注2，时町，都有α川＋Qn-1 = 2an + 3.
( 1）设ι＝an叫－a”’求数列｛川的通项公式：
(2）数列en = [lgbn] , [x］表示不超过X的最大整数，求｛en｝的前350项和凡。
16. us 分J
为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上．某学校团委组织学生参加了“青
春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了 200份试卷进行调查，这200
份试翩翩（栩如00分〉频率分布直方阳如剧所示 0.04t；君主
(1）用样本估计总体，试估计此次知识宽赛成绩的平均数： 0.035~········
(2）将此次竞赛成绩5近似看作服从比态分布N(µ,u2)
o&b~t::::··
（用样本平均数和标准左x 分别作为μ， σ的近似值〉， 。’60 70 8090100 分
已知样本的标准接单得7.5.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取 100 人，
记这mo人中知识竞赛成绩超过88 分的学生人数为随机变量x，求X的数学期望：
(3）从得分区问（80,90）和（90,l。”的试卷中用分居抽样的方法抽取 10份试卷，再从这 10
份样本中随机抽测3份试卷，若己知抽测的，3，..份试卷不来自于同一区间，求抽测3份试卷有
2份来自区间［90,100］的概率．
参考数据z 若~- N(µ.ui）. 则P（µ－σ＜~5.µ＋σ）z0.68, P(µ-2σ＜~5.µ+2σ） ~ 0.95.,
P(µ-3σ＜t;s.ρ＋3σ）z0.99,
17. ( 15 分〉
已知双曲线C： 兰－乒1（叫叫的实轴阳岛两渐近线的夹角为2
(I) 求双曲线C的方程：
(2）当al), B（码，l叫），
因为f’。）＝e气 g＇（叶
所以函数f(x)=e刊的图象在点A处’的切线方程为y-ex1-2=ex1-2(x－材，
en
y=ex'-2X+(l-X1 ）~ ·I,
函削｛川
ftll尸丰x+I叫－1,
，、2
telJE l (
H －
因为直线 是两函数图象的公』
l
nH纯A ’E
A气 -
，L
-
句v
d @
t E，，k 几 萨 叽
‘、 E
由①可得2-x, =I阳•：！.代人也）得（1-x1)e刊＝l-x1’
I x二＝2
因为x1 ::-I ，所以弘＝I ’所以A(2,l), B(l,O),
所以IABl＝~（2-1)2 +(1-0)2 =.J2.
c.
故选z
7. 【解析】由／： x+ay-2y-7a+4 =0得x-2y+4+u（＇’－7)=0,
（;斗-2＝川0气得x=lO，川，所以直线，过定点M(l0,7).
(17 \
所以点儿M 的中点坐标为｜·言，41，连接AM,
第 2 页共 14 页../9+36
则IAMI= = 3./5， 由l理意知点B在以AM为直径的困上，
所以点B的轨迹方程为（x-¥J＋（川
( 17飞2 2 45 ( 17 飞
记囚Ix－τI +(y-4) ＝τ的囚心为NI τ 什
过点 r. N分别作准：线x=-4的垂线，垂足分别为D, H,
3./5 3./5 25 - 3./5
1n11 IPFI + IPBI =I PDI + IPBI ~ IPD忻州－2注INHl-2＝一τ一，
当且仅当 p, D, N, H四点共线且点 Q在p, N之间时等号同时成立，
所以IPFl+IPBI的最小值为与空
故地： D.
8 【解析】削价，0），贝ljsin(mm I· J
c~ (-1)(1 +c ; (-1)2 +c: (-1)4 +c: (-1)6 +c! (-1)8 = c：ιc; :tC~ 吨；＋C!= 28 =256
故答案为z 256.
13. 【解析】因为丘Pl飞R钝角，所以cosLP.丘町、o.
又t:.P.罚乓为等腰三角形．所以IF.乓i=IP乓｜＝纭，
在t:.PF.J三中，由余弦定理可得
coi;/.'.fr:F.._1PF;l2 +IF;乌12-IPF.12 = (2c)2 +(2c)2-(2a-2c)2 0
2jP.乓l·IF.乓I 2·2c·2c -
I
即～＋2
故答案为：（±，.J2-I).
14. 附】由题知X～轩，~｝·叫1,0，~，.. 肌1,0,
刚4吨
步［c~俨
第 6 页共 14 页叫＝2nc~：~.，叩）＝乡（ω
叫2+1)2n-I = C~n-122n-1 + C~n-122n-2 + C：“2川＋……＋ci：＝~ i1 + ci:=: 2° ,
(2-1）川＝C~川2川－C~n-12川＋C~n-12川＋……＋c；：：~ 21 -ci::: 2° ,
:. c~ 12in-• . c;,,_1 2in-3 + …·· +C 2 2 1 .n 1- - 1 2 2 I ← 32川 一 2 ＋ ， I ：E( 飞 I Y) 、 I ::1了 J 2 一 n 二 一 32叫 2 － ＋ I :: n 3 » - f (cid:157) 1 n 1
故答案为： 旦＋~.
3 3'
四、解答题z 本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程就溃
算步骤．
=
15. （答案】 (I) b
1 1
3n - 2 : ( 2) 681.
【解析】 （1） 依题意，对任意的n注2, 11EN •都有a,,.1+a,,_1=2a,,+3,
-
故对任意的n注2 . 11c民. . a”“ a,, =a,, -a,,_1+ 3,
所以对侄意的n主2, neN', b,, =b,,_1+ 3，即b,, -b,,_, = 3为定值，
l"i以敬列｛bn｝是公差为3 的等差数列，
据。，＝I，向 ＝6 ，得向＝02 -1' b2 = 6－吨，
所以（6-a2 )-(a 2 - 1) = 3 ，解得α，＝2 ，故b, = 02-l = 1,
所以轧＝l+(n-l)x3二311 -2
(2） 肉为I?~ -= 10 . b34 = 100 , b334 = 1000 '
0, 1 :s; n :s; 3
1,4 ！二n:s; 33
所以c,, =
2,34 :s; n :s; 333 ’
3,334 :s; n ~ 350
所以骂”＝0 x 3 + I x 30 + 2 x 300 + 3 × 17 = 681.
16. 【答案】 （ l) 80.5; (2) 16; (3) ~.
【解析】 (I） 由频率分布直方图可知： x=65×0.1+75×0.4+85× 0.35+95× 0.1=80.5 ,
故此次知识竞赛成绩的平均数为80.5分：
第 7 页 共 14 页(2）由题意可知5～N(80.S,7.52），因为P（µ－σ＜~~µ＋σ）：：：：：0.68,
1-0.68
即P(73＜~~88）勾0.68，故P（占＞88)=-i-一＝0.16,
由题意知，抽取的 100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数X服从二项分布，
即X～B(IO队0.16），故X的数学期望E(X)=100×0.16=16.
所以抽取的 mo人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为 16人：
~3｝由频率分布直方图可知，分数在［80,90）和［90,100］的频率分别为 0.35 和 0.15,
0.35
按照分层抽样，抽取 10份，其中分数在（80,90），应抽取IOx =7份，
0.35+0.IS
0.15
分数在［90,100］应抽取IOx =3
0.35+ 0.15
记事件A：抽测的 3份试卷不来自于｜司·区问：
事件B：取出的试卷有 2 份来自区间［90,100],
<:!,, · c~
-c:
7
c•c:
7
则P(A）＝” ’＝一， P(AB）＝」c:一o ＝一
10 40 ’
(AB） 石
~P(BIA）＝布了哇丁
10
所以抽测3份试卷有2份来自区间rt)川
17. 瞅】 （ I ) x2 - 3y 2 = 1 I!xx 寸ιI: (2) x＝~.
【解析】 (1）由周知2a=2， 得a=1,
·-=tan与！咣生＝tan冬， 得b＝豆或♂
αb a J 3
所以双曲线C的方程为C: x2 -3y2 =I或C: x2－~~1.
~
(2）由（I）知，当a 0，方程的两根为Y1 , Yi•
. - 1211 9
则y.＋几＝－寸一， Y1Y2 ＝一→一
· ' ' 3mi-l '' 3mi-l
第 8 页共 M 页而A,(-1,0), A2(1,0), 911JA1M: y＝古（川1). AiN: y＝击（俨1).
因为直线A,M, A2N相交于点T（岛，Yo)•
制＝古（ +l），几＝击（ -1),
X0 X0
消去儿，她边得．主立＝主鱼旦L= y1( my, +3)
)’
．马－1 y，（毛－1) y1( my2 +I
即与-＋1 _ -y2 (my, -+3) _ m y1y2 +3{ y1 + yJ -3y1
与－1 月（my2+I) n叭Y2+Y,
1
9m ＋三坠－3v -3f一与！！..＿＿ +y,
_ 3m2 - I ' 3m2 -1 ·" ＿飞3m’－1 J _ _l_
- 9m - 9m ·"
-+v. ~＋ l
3m2 - 1 · "" 3mz -1 "
因此x0+1=-3(x1。－1)::)..X，，.＝土，故点T在定直线x才上
2
ii:
18. 【答案】 （］ ）证明见解析z (3） 豆
2
3 3
【解析】 （J） 取AC的中点E，连接SE, BE,
因为JlB=BC, SA=SC，且AC的中点E，所以SE-AC, BE 1-AC
=
;J.. SE nBE E, SE,BE c平面SBE，故AC1-"r丽SBE.,
由于SBc平面SBE，故AC1-SB,
s.
A
.:? l 拱－：当SC.L BC时，由11.CBS三11.ABS，则SA1-BA,
取88的中点0，连接OA,OC,
故0到A,B,C,S 四点的距离相等，故O为三棱锥S-.48（＇外接球的球心，
.J2 ,
因为AB=BC = 2,AS = CS = 2.J2，故SE=../6.SB - 2../3.EB =
设S到平面ABC的距离为hi.B .¥1J平丽A沉·的距离为鸟，
由等体积法可得凡，ABC ＝几－Aα：：）..!.s.ABC ×h1 =. !. s.ASC X鸟，
3
而cosLSEB＝子，
第 9 页共 14 页由于础ε（0π）故sinLSEB＝子，
所以归 ＝SE ）＝品孚 2，从而h2 ＝芋，
x sin ( n-LSEB
故0到平而阳的距离为主
3
S作平面ABC的垂线，垂足为Q,
当SC.l BC时，由r.CBS三r.ABS，则SA..1.. BA，取BS的中点o.
故0到A,B,C,S 四点的距离相等，故。为三棱锥S-ABC外接球的球心，
= =
因为AB=BC= 2,A~ =CS= lJ2，故SE=./6,SB 2.J3,EB ..J言，
所以oos.JBQ习，由于呵咐，π灿叫Q＝子，
则SQ=2. QB= 2..／言，
则B{0,0,0),C(2,0,0 ), A{0,2,0 ~ Q(2,2,0 ）仰，2.刀，α~.I,I) ,
设平面SAC的法向量元＝(x V' •= ).
AC=(2,0,2),AC＝（工 2.0).
-2r
｜日·AC-1x ~υ
则｛ ． ．，
lii·.rlS·.-2x ,2z =0
’
:.11 :.:.1(1,1,-1),
U阳市＂－ 叮I IOC·~I ~
J .J liil
设0到平面SAC的距离为d，则d＝」－ 3
口比问川H q -
z
第 10 页 共 14 页(3） 法－：以8为原点， BC,BA,BZ分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系B－均在，
过点S作平面ABC的垂线，垂足为Q,
设ζSEQ＝θ为翻折过程中所旋转的角度，贝1JQE=J6cosθ，
J6 .fi. J6
Ir= SQ= sin O,QB = + cosθ，
故B(0.0.0).C(2.叫忡，川钊＋品。s ~I + .f"cos ~O ) ,
Sjllf-J3°c叫I+../3cosθ，J6s叫，
则BC＝（川的，页＝（1+.J3 cosθ，1+../3 cosθ，../6 s叫，
设平面SBC的法向量为品＝(X1J'1,z1），贝1)
（局丧＝2x1 =
.J6
局否＝（t+.J3cosθ）x,+( l •.Jj cos() )y1 + ( sinθ）z, =0’
取y1 = .J6 sin fJ.贝。z, = -(1 +../3 co叫，病＝ (o ,../6 sin 0, -1- .J3 cos的，
设平而s,u：的法向盘ii=(x2的，Z2),
日＝（－t+J3cosθJ+../3cosO,$sinθ）无＝ (l ， 川．
｛＂冗＝
2
+( .J6
ii .cs= (-t +../3 cosθ）x2 .J3coslJ+11.r; +( s叫Z2 =O’
取引＝sin8，则y2 = sinO. ：.再＝(sin 8,sin 0,- .fi. cos 8) ,
设平面SBC平丽与SAC的夹角为α，
d
Im· iii .fi. ·l.J3 +cos Bl θ -T- - ∞ V A ＋ 3-
”时＝lcos（川｜＝ι~＝ .fi. 一 s h u－ --c阳 d
｜局Hnl ~7 -3cos2 B + 2.J3 cos Bx
ω M
d
+ ∞ J ＋q ι－
cosα＝ － 一 － 一W － F AU
叮 J ω o － 叫 L t t J ∞
＋
令在cosθ＋2=1· 2-.J3( ＋阳的＋2sin2 (0 _ 2 + 2./3 cosψ
“+
设f（ψ）＝~一－一，贝lj／’（φ）户
cos
0, f（的在（饨，川 Lf\i·惆递减．
故当ψ呐C吵豆时， f(
