2025 届广州市普通高中毕业班神刺题（二〉
数学
－、选择题z 本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有－
项是符合题目要求的．
I. 设复数%= 1+ i . i 沟虚数单位）， %的共辄复数是言，则L ·－ 二 ’ 二 于 ＝
A. -t+i B. -1-i c. l+i D. 1-i
2 已知集合A={+
A ｛川 y<l} B. {ylO<y<l} c. ｛.叫O<y~l} D. ｛川 y>l)
3. 若函数f(x ) = 1n le"' - ti＋鹏为偶函数，则实数m=
!
－~
A. 1 B. C. - I D.
4. 若圆锥的侧面积与过轴白。截面面积之比为2π，则圆锥母钱与底面所成角的大小为
A 石π B. ~ ! !
C. D.
3 2
s. 己知向盘P，与满足： p =(1,-1),lql = l,(jj-q)·q =-2，则。在P上的投彤向量为
，、
l
r
-2
•
2
n
j
r.Ji.’在1j
A. (.J言，－.J2) B. ’ O. 1~－2·2 D. (1,-1)
6. 若直线l与函数f (x ) = e:t-2( x > t）布lg(.Y)=I阳的图象分别相切于点A,B，则＼ABI=
2.Ji c.
A. 2 B. ~ D. 2.J3
7. 己知抛物纯σz y! =16x的焦点为F，过点A(7,l）作直线／； x+ay-2y-1a+4=0的~钱，
垂足为B，点P是抛物线C上的动点， 则IPFl+IPBI的最小值为
..
rs
1 2s
2s-3~，
• 14－~主主 B. - C. 14 D. ＿＿＿＿＿：！..二
2 2 2
8. 下因为函数／（x)= sin(mx ＋ψ）的部分图象．将点C是AB中点，则点B的纵坐标为
2-J3
A. 在－.Ji B.-
2
J3-l
c. 在－1 D. 2 - \ :u11 ＼ 丁X
第 1 页共 4 页二、选择题s 本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分地对的得部分份，有选错的得0分－
9. 下列命题中正确的为
A. 若O<P(C)<l, O<P(D)<l，且P（δ）＝t-P(DIC），则C,D相互独立
B. 若三个事件A.JJ,C两两独立，则满足P(ABC)= P( A) P( B) P( C)
c. 给定三个非件A,B,C ，且P(C)>O，则P(AUBIC)孟P(AIC)+ P(B IC)
叫!IH机，刷刷斗响÷ P(A＋叫，则P(AB+AB）＝去
1月．己知函数f(x）是R上的奇函数，等差数列（州的前n项的和为Sn’数列｛／（an）｝的
前n项的和为汇．则下列各项的两个命题中， P廷q的必要条件的是
A. p:/(a5)=0, q：乌＝0 8. p: s.俨0, q :f(a5 +a6)=0
C. p:a5 =0, q：写＝O D. p:1；。＝0, q：αs＋α，＝。
11. 设定义在R上的函数f（均与g(x）的导函数分别为f’。）和g’（x），苦g(x)-f(3-x)=2,
f’（x)'='g’（~~•＞， 且g(x+2）为奇函数， 则下列说法中一定正确前是
A. 函赞.g(x）的图象关于x=l对称 8. /(2)·1刑的＝4
1025
c. 艺g(k)=0 D. 1~f(k）＝斗050
三、填空题s 本题共3小题，每小题β分知共15分．
12. 千剖’附式中韧项附阳
13. 已知椭阔C：毛＋牛l(a >0）的左，右焦点分别为坷，凡，棚C上仰一点P,
>b
b
使得fj.Pf;乓为等腰三角形，且LPJ飞罚为钝角，则椭圆「的尚，h率的取值范围为一一－－－
14. 一口袋装有形状、大小完全相同的3个小球，其中任球、黄球、黑球各 1 个．现从口
袋中颇有放回地取球2以（ne N•），且锹取1 个球， X表示2n次棚中取到j红球
rx’， X为奇数
的次数，记Y斗lo, ，则Y的数学期望为一一－·（用n表示〉
x为偶数
第 2 页共 4 页四、解答题z 本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13 分）
已知数列｛an｝满足a1=1, a3 = 6，且对任意的n注2，时町，都有α川＋Qn-1 = 2an + 3.
( 1）设ι＝an叫－a”’求数列｛川的通项公式：
(2）数列en = [lgbn] , [x］表示不超过X的最大整数，求｛en｝的前350项和凡。
16. us 分J
为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上．某学校团委组织学生参加了“青
春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了 200份试卷进行调查，这200
份试翩翩（栩如00分〉频率分布直方阳如剧所示 0.04t；君主
(1）用样本估计总体，试估计此次知识宽赛成绩的平均数： 0.035~········
(2）将此次竞赛成绩5近似看作服从比态分布N(µ,u2)
o&b~t::::··
（用样本平均数和标准左x 分别作为μ， σ的近似值〉， 。’60 70 8090100 分
已知样本的标准接单得7.5.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取 100 人，
记这mo人中知识竞赛成绩超过88 分的学生人数为随机变量x，求X的数学期望：
(3）从得分区问（80,90）和（90,l。”的试卷中用分居抽样的方法抽取 10份试卷，再从这 10
份样本中随机抽测3份试卷，若己知抽测的，3，..份试卷不来自于同一区间，求抽测3份试卷有
2份来自区间［90,100］的概率．
参考数据z 若~- N(µ.ui）. 则P（µ－σ＜~5.µ＋σ）z0.68, P(µ-2σ＜~5.µ+2σ） ~ 0.95.,
P(µ-3σ＜t;s.ρ＋3σ）z0.99,
17. ( 15 分〉
已知双曲线C： 兰－乒1（叫叫的实轴阳岛两渐近线的夹角为2
(I) 求双曲线C的方程：
(2）当a<b时，记双曲线C的左、右顶点分别为矶、码， i;JJ直线I: x=my+2与双曲线C
的右支交于M, N两点 （异于A2），直线码M, AiN相交于点T，证明：点T在定直线上，
并求出定直线方程．
第 3 页共 4 页18. ( 17分〉
如图，在平而四边形，4BCD中， t:.ABC为等腰直角三角形， t:.ACD为正三角形， LABC =90°,
AB=2，现将t:.DAC沿AC翻折至t:.SAC ，形成三棱锥S-ABC，其中S为动点．
( 1 ）证明z AC l.SB:
(2）若SCl.BC，二楼锥S-ABC的各个顶点都在球0的球面上，求球心0到平而SAC的
19. (17分〉
己知A是函数Y=f.(x）定义域的子集，若3tε R, vxeA,f(x+t)-(t+l)·f'(x） 主 O
成立， lillj称y＝［（均为AK的“L(t）函数”·
Cl）剌断f(x） 严 cosx是否是［o，司上的“L(O）函数”？消说明理由：
+
(2）证明z 当们：：｝＝ 0 (p是与x无关的实弛， g(x) ＝.川成（q, oo）上的“L(l）函数”
时， q;::. p:
(3）己知h(x) = x2 －αx是（0，刻’l二的.＂L(2）函数”，若存在这样的实数α， Vx1,X2 E (1,2],
当Xi<X2I时， γ〈坐止旦旦！，求r的最大值．
• " lnx1· lnx1
第 4 页共 4 页2025 年广州市普通高中毕业班〈数学〉冲刺题〈二〉参考答案
－、选择题z 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
B
｜题目 I I I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 7
| 答案 I c I B I D I A I B I c D 一
1. 【解析】由z = l+i ，得z=I-i.
2 2= '.! -2(1-i) - 2i - 2i(l-i) -’
所以一一=一 ＝ ， －一一－ - l
l+i l+i (l+i)(l-i)
c
i吱j先z
2. 【解析】因为对数函数y=log-ix是（O,+ro）上的减函数，
所附＞±，得logfx＜忖＝I ~rj
. A = {yl y < l} :
因为指数函数y=2x是R I二的增函数，
所以由xso. 得0,,... 2x三l ，则B={ylO<ySI},
由此. A fl B = {y!O < y < l}.
AtJ~： B.
3. 【解析】由函数f(x)= mlex - ll+mx 为偶函数，吁得.f(-1) =f (1)'
即tnle-1-tl-m=lnl←Il+m,
I
解之得m斗，贝1J1 ( x ) :-: tn
11-
川~ m!e·A 叶X＝叫x - X + ix = ln Fx斗 ｝x=f (x ).
的.f~ x) = ln le·T- II-_!_ x 为偶函数，符合题意．
2
I I
故逃： D.
4. 【解析】设囚锥底面的半径为r，母线长为l，高为Ji '
i×2πr×l
则由题意得与 =2π，解得／＝2/z'
主×2rxh
2
fπ ） h I 骨
设囚锥母线与底面所成角为θIO＜θ〈一｜，则sinθ＝－＝－＝＞θ＝二，
l 2 J I 2
第 1 页共 14 页所以回锥母线与底面所成角的大小为：
故地： A.
IPl=v'i ·
5 【解析】由题意可知＝
因为（p-q)·ij = p·q－号2=-2，即p·ij-l=-2,
(p·q)_ I_ ( 111
可街 p·q二－－1 ，所以司在P上的投影向量为I -p-'-:;-lp=--p＝卜一，一｜
l 2 l 2 2)
J
战选： B.
o. 【解析】设A（坷，e刊）（x,>l), B（码，l叫），
因为f’。）＝e气 g＇（叶
所以函数f(x)=e刊的图象在点A处’的切线方程为y-ex1-2=ex1-2(x－材，
en
y=ex'-2X+(l-X1 ）~ ·I,
函削｛川
ftll尸丰x+I叫－1,
，、2
telJE l (
H －
因为直线 是两函数图象的公』
l
nH纯A ’E
A气 -
，L
-
句v
d @
t E，，k 几 萨 叽
‘、 E
由①可得2-x, =I阳•：！.代人也）得（1-x1)e刊＝l-x1’
I x二＝2
因为x1 ::-I ，所以弘＝I ’所以A(2,l), B(l,O),
所以IABl＝~（2-1)2 +(1-0)2 =.J2.
c.
故选z
7. 【解析】由／： x+ay-2y-7a+4 =0得x-2y+4+u（＇’－7)=0,
（;斗-2＝川0气得x=lO，川，所以直线，过定点M(l0,7).
(17 \
所以点儿M 的中点坐标为｜·言，41，连接AM,
第 2 页共 14 页../9+36
则IAMI= = 3./5， 由l理意知点B在以AM为直径的困上，
所以点B的轨迹方程为（x-¥J＋（川
( 17飞2 2 45 ( 17 飞
记囚Ix－τI +(y-4) ＝τ的囚心为NI τ 什
过点 r. N分别作准：线x=-4的垂线，垂足分别为D, H,
3./5 3./5 25 - 3./5
1n11 IPFI + IPBI =I PDI + IPBI ~ IPD忻州－2注INHl-2＝一τ一，
当且仅当 p, D, N, H四点共线且点 Q在p, N之间时等号同时成立，
所以IPFl+IPBI的最小值为与空
故地： D.
8 【解析】削价，0），贝ljsin(mm I· <PI::. - I ， 故ω川＝÷川eZ,
设C(a,b), ／＞ 、0，则B(2a-m,'2b),
战t"（川＝b
sinLm(2a-m ）＋ψ］ =2b’
其中sin[m(2a-m）＋ψ］＝ sin［写ω＋份刊倒叫．
=sin[2(m叫什？叫 cos2川忏叫叫).Jeez,
则叫阳叩恒2吼叫ω协附sin…二！亏空，时，
1牛‘J?. r=
即b罕2工二，故B的纵坐标为2b= 3-1.
故选： C
二、选择题z 本题共 3 1J、题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对得异分，部分选对的得部分分，选对但不
金的得部分分，有选错的得0分．
| 题目 | 9 10 11
| | ACD
答案 AD ACD
9. 【解析】对于A，因为P(i5)=1-P(DIC），所以P(DIC)=P(D),
第 3 页共 14 页P(CD)
由条件概率公式得P(DIC）＝亨否了’得到P(CD)= P( C)· P( D),
即C,D相互独立，故A正确，
对于且，当三个事件A,B,C两两独立时， P(ABC)= P(A)P(B)P(C）一般不成立．
比如：设样本宅间0＝怡，b,c,d｝含有等可能的样本点，
且A={a.b},B＝怡，c},C={a，的，
则P( A) = P(B ) = P（。＝.!. , P(AB) = P(AC) = P(BC) = .!. ,
2
所以P(AB) = P(A)P（的，P(AC} = P(A)P(C},P(BC) = P(B)P(C),
即三个事件。，C两两独立，但是P(ABC)=. !. * ＝；，故B错误：
P(A)P(B)P(C)
4 8
对C，当A,B互斥时， P(AvBI C)=·P(A C)+P(B IC);
当A,B不互斥时， P(AvBIC), P(:llC)+P(BIC), C正确：
P(A+B）卡P(.1）叫B)-P(Aii）＝~~~＋l÷P(A作i~P(A牛？，
D:
因为P(A)= P( ..JB),r P( AB）＝。.！.＝P(AB)+3_~ P(AB) ＝土．
2 5 IQ
飞 I
冈为刑的＝P(AB)+P(AB）~：古＋P(AB)~
P(A8)=i·
所以P(AiJ＋互作P（冉P(AB）＝~十；．凶此D正确
ACD
故选：
10. 【解析】 选项A：因为｛an｝为簿差数列，所以S9=9a5 =0， 得a5 =0,
因函数f(x）是R上的奇函数，／（乌）＝／（0)=0,
昕l况P是q的必要条件，故A 正确：
选项B：若f(x)=sinx，则05 ＋句＝π时满足／（as ＋马）＝0.
此时S,o 10（γ川＝5（川）＝川，
=
故P不是q的必要条件，故B错误，：
选项C：若f(x ) =sin x , an = mt满足马 ＝f(a,)+f（α2）＋…＋ J (a9 )= o,
但as ~o，故P不是q的必要条件，故C错误：
选项0：由Os ＋向＝ 0且｛an｝为等差数列
第 4 页共 14 页可得as＋乌＝a4+a1 =a3＋α8=a2+a9 =a1+a0 =0,
因函数f(x）是R上的奇函数，
所以
！（乌）＋f(a")= f（向）＋f(a,)=f（内）＋f(a8)=
- j{ a、.） + Jl a~ = A a~ + J a，~ ::() '
故罚。 ＝f(a)1+f(a2）＋…＋ f (Clio ) = 0 •
:. p是q的必要条件，故D正确：
故选： AD
=
11. 【解析】 因为／’（x) g'(x-l），则f(x)+a=g(x-l)+b,
因为g(x)-/(3-x)=2，所以g(x)=/(3-x)+2,
用3-x去替x，所以育／（x)=g(3-x)-2，所以有g(3-x)-2+a=g(x-l)+b,
取x=2代入得拍tjg(l). 2+a=g(l)+b则a-2=b,
前gp-x)=g(x-l),
用x+l秧x，可得g(2-x)= g（功，函数g(x）的阁银关于.Y=l对称，故A正确：
g(x+2）在R上为奇函数，
则g(x+2）过（0,0），图像向右移到J两乍单也得到g(x）过（2,0)'
故g(x）图像关于（2.0）对称. g(2) __, 0 ;g(x+ 2) =-g(-x+2),
而g(2-x)= g(x}. l~i以自.J!收＋2)=-g(x），则g(x）的周期T=4;
又因为剖：~）囚i紧关于（2,0）对称， g(2)=0：且函数以x）的图象关于x=l对称．
捡到1)= ·g（匀，g(2)= g(4 ) = 0 ,
乞（k) g(l）咔（2)+. 吁（2则 ＝g川（2)+g(3)=0，前C 正确
=
f(x) = g(3-x)-2，是由g(x）的图像移动变化l币~.故f(x）周期也为4,
因为g(l)= -g(3),g(2) = g(4) = 0,
所以／（2)= g(l)-2, /(4) = g(-1)-2 = g(-l +4)-2 = g(3)-2'
所以／（2)+/(4) = g(l)- 2+ g(3)-2 ＝斗，故B错误：
f(x) = g(3-x)-2, f(x）周期为4,
所以／（1)=g(2)-2 =-2, /(2)= g(l)-2, /(3) = g(0)-2 =-2,
第 5 页共 14 页/(4) = g(-1)-2 = g(-1 +4)-2 = g(3)-2
=JO)+
故:LJ<k) 1c2)+ ... + 1c202s)
=506×(-8)+ f(l) =-4048-2 = -4050,
故D正确：
故边： ACT
二‘旗空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
13. 斗，ιI) n n
I:?. 256 14. -+-=-
3
3~”
12. CWHfil
Ix---!=Y 的展开式的通项为
1 、JXJ
叫－剖’＝C~ .r~ r-: (-1 川r叩夕，
(-1 )' =C;
当r= 0.2,4,6.8时，展开式为有理项，所以展开式中有理项的系数的和l>J
c~ (-1)(1 +c ; (-1)2 +c: (-1)4 +c: (-1)6 +c! (-1)8 = c：ιc; :tC~ 吨；＋C!= 28 =256
故答案为z 256.
13. 【解析】因为丘Pl飞R钝角，所以cosLP.丘町、o.
又t:.P.罚乓为等腰三角形．所以IF.乓i=IP乓｜＝纭，
在t:.PF.J三中，由余弦定理可得
coi;/.'.fr:F.._1PF;l2 +IF;乌12-IPF.12 = (2c)2 +(2c)2-(2a-2c)2 0
2jP.乓l·IF.乓I 2·2c·2c -
I
即～＋2
故答案为：（±，.J2-I).
14. 附】由题知X～轩，~｝·叫1,0，~，.. 肌1,0,
刚4吨
步［c~俨
第 6 页共 14 页叫＝2nc~：~.，叩）＝乡（ω
叫2+1)2n-I = C~n-122n-1 + C~n-122n-2 + C：“2川＋……＋ci：＝~ i1 + ci:=: 2° ,
(2-1）川＝C~川2川－C~n-12川＋C~n-12川＋……＋c；：：~ 21 -ci::: 2° ,
:. c~ 12in-• . c;,,_1 2in-3 + …·· +C 2 2 1 .n 1- - 1 2 2 I ← 32川 一 2 ＋ ， I ：E( 飞 I Y) 、 I ::1了 J 2 一 n 二 一 32叫 2 － ＋ I :: n 3 » - f (cid:157) 1 n 1
故答案为： 旦＋~.
3 3'
四、解答题z 本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程就溃
算步骤．
=
15. （答案】 (I) b
1 1
3n - 2 : ( 2) 681.
【解析】 （1） 依题意，对任意的n注2, 11EN •都有a,,.1+a,,_1=2a,,+3,
-
故对任意的n注2 . 11c民. . a”“ a,, =a,, -a,,_1+ 3,
所以对侄意的n主2, neN', b,, =b,,_1+ 3，即b,, -b,,_, = 3为定值，
l"i以敬列｛bn｝是公差为3 的等差数列，
据。，＝I，向 ＝6 ，得向＝02 -1' b2 = 6－吨，
所以（6-a2 )-(a 2 - 1) = 3 ，解得α，＝2 ，故b, = 02-l = 1,
所以轧＝l+(n-l)x3二311 -2
(2） 肉为I?~ -= 10 . b34 = 100 , b334 = 1000 '
0, 1 :s; n :s; 3
1,4 ！二n:s; 33
所以c,, =
2,34 :s; n :s; 333 ’
3,334 :s; n ~ 350
所以骂”＝0 x 3 + I x 30 + 2 x 300 + 3 × 17 = 681.
16. 【答案】 （ l) 80.5; (2) 16; (3) ~.
【解析】 (I） 由频率分布直方图可知： x=65×0.1+75×0.4+85× 0.35+95× 0.1=80.5 ,
故此次知识竞赛成绩的平均数为80.5分：
第 7 页 共 14 页(2）由题意可知5～N(80.S,7.52），因为P（µ－σ＜~~µ＋σ）：：：：：0.68,
1-0.68
即P(73＜~~88）勾0.68，故P（占＞88)=-i-一＝0.16,
由题意知，抽取的 100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数X服从二项分布，
即X～B(IO队0.16），故X的数学期望E(X)=100×0.16=16.
所以抽取的 mo人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为 16人：
~3｝由频率分布直方图可知，分数在［80,90）和［90,100］的频率分别为 0.35 和 0.15,
0.35
按照分层抽样，抽取 10份，其中分数在（80,90），应抽取IOx =7份，
0.35+0.IS
0.15
分数在［90,100］应抽取IOx =3
0.35+ 0.15
记事件A：抽测的 3份试卷不来自于｜司·区问：
事件B：取出的试卷有 2 份来自区间［90,100],
<:!,, · c~
-c:
7
c•c:
7
则P(A）＝” ’＝一， P(AB）＝」c:一o ＝一
10 40 ’
(AB） 石
~P(BIA）＝布了哇丁
10
所以抽测3份试卷有2份来自区间rt)川
17. 瞅】 （ I ) x2 - 3y 2 = 1 I!xx 寸ιI: (2) x＝~.
【解析】 (1）由周知2a=2， 得a=1,
·-=tan与！咣生＝tan冬， 得b＝豆或♂
αb a J 3
所以双曲线C的方程为C: x2 -3y2 =I或C: x2－~~1.
~
(2）由（I）知，当a<b时， C: x2-L=I· 民点儿·I(x1,y1), N（巧，Y2),
3
I 2
x=mv~
联立直线l与双曲线C得： bx2－＞毛3~（3m2-l)y2+12附9=0,
~ = 36(m 2 +I)> 0，方程的两根为Y1 , Yi•
. - 1211 9
则y.＋几＝－寸一， Y1Y2 ＝一→一
· ' ' 3mi-l '' 3mi-l
第 8 页共 M 页而A,(-1,0), A2(1,0), 911JA1M: y＝古（川1). AiN: y＝击（俨1).
因为直线A,M, A2N相交于点T（岛，Yo)•
制＝古（ +l），几＝击（ -1),
X0 X0
消去儿，她边得．主立＝主鱼旦L= y1( my, +3)
)’
．马－1 y，（毛－1) y1( my2 +I
即与-＋1 _ -y2 (my, -+3) _ m y1y2 +3{ y1 + yJ -3y1
与－1 月（my2+I) n叭Y2+Y,
1
9m ＋三坠－3v -3f一与！！..＿＿ +y,
_ 3m2 - I ' 3m2 -1 ·" ＿飞3m’－1 J _ _l_
- 9m - 9m ·"
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3m2 - 1 · "" 3mz -1 "
因此x0+1=-3(x1。－1)::)..X，，.＝土，故点T在定直线x才上
2
ii:
18. 【答案】 （］ ）证明见解析z (3） 豆
2
3 3
【解析】 （J） 取AC的中点E，连接SE, BE,
因为JlB=BC, SA=SC，且AC的中点E，所以SE-AC, BE 1-AC
=
;J.. SE nBE E, SE,BE c平面SBE，故AC1-"r丽SBE.,
由于SBc平面SBE，故AC1-SB,
s.
A
.:? l 拱－：当SC.L BC时，由11.CBS三11.ABS，则SA1-BA,
取88的中点0，连接OA,OC,
故0到A,B,C,S 四点的距离相等，故O为三棱锥S-.48（＇外接球的球心，
.J2 ,
因为AB=BC = 2,AS = CS = 2.J2，故SE=../6.SB - 2../3.EB =
设S到平面ABC的距离为hi.B .¥1J平丽A沉·的距离为鸟，
由等体积法可得凡，ABC ＝几－Aα：：）..!.s.ABC ×h1 =. !. s.ASC X鸟，
3
而cosLSEB＝子，
第 9 页共 14 页由于础ε（0π）故sinLSEB＝子，
所以归 ＝SE ）＝品孚 2，从而h2 ＝芋，
x sin ( n-LSEB
故0到平而阳的距离为主
3
S作平面ABC的垂线，垂足为Q,
当SC.l BC时，由r.CBS三r.ABS，则SA..1.. BA，取BS的中点o.
故0到A,B,C,S 四点的距离相等，故。为三棱锥S-ABC外接球的球心，
= =
因为AB=BC= 2,A~ =CS= lJ2，故SE=./6,SB 2.J3,EB ..J言，
所以oos.JBQ习，由于呵咐，π灿叫Q＝子，
则SQ=2. QB= 2..／言，
则B{0,0,0),C(2,0,0 ), A{0,2,0 ~ Q(2,2,0 ）仰，2.刀，α~.I,I) ,
设平面SAC的法向量元＝(x V' •= ).
AC=(2,0,2),AC＝（工 2.0).
-2r
｜日·AC-1x ~υ
则｛ ． ．，
lii·.rlS·.-2x ,2z =0
’
:.11 :.:.1(1,1,-1),
U阳市＂－ 叮I IOC·~I ~
J .J liil
设0到平面SAC的距离为d，则d＝」－ 3
口比问川H q -
z
第 10 页 共 14 页(3） 法－：以8为原点， BC,BA,BZ分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系B－均在，
过点S作平面ABC的垂线，垂足为Q,
设ζSEQ＝θ为翻折过程中所旋转的角度，贝1JQE=J6cosθ，
J6 .fi. J6
Ir= SQ= sin O,QB = + cosθ，
故B(0.0.0).C(2.叫忡，川钊＋品。s ~I + .f"cos ~O ) ,
Sjllf-J3°c叫I+../3cosθ，J6s叫，
则BC＝（川的，页＝（1+.J3 cosθ，1+../3 cosθ，../6 s叫，
设平面SBC的法向量为品＝(X1J'1,z1），贝1)
（局丧＝2x1 =
.J6
局否＝（t+.J3cosθ）x,+( l •.Jj cos() )y1 + ( sinθ）z, =0’
取y1 = .J6 sin fJ.贝。z, = -(1 +../3 co叫，病＝ (o ,../6 sin 0, -1- .J3 cos的，
设平而s,u：的法向盘ii=(x2的，Z2),
日＝（－t+J3cosθJ+../3cosO,$sinθ）无＝ (l ， 川．
｛＂冗＝
2
+( .J6
ii .cs= (-t +../3 cosθ）x2 .J3coslJ+11.r; +( s叫Z2 =O’
取引＝sin8，则y2 = sinO. ：.再＝(sin 8,sin 0,- .fi. cos 8) ,
设平面SBC平丽与SAC的夹角为α，
d
Im· iii .fi. ·l.J3 +cos Bl θ -T- - ∞ V A ＋ 3-
”时＝lcos（川｜＝ι~＝ .fi. 一 s h u－ --c阳 d
｜局Hnl ~7 -3cos2 B + 2.J3 cos Bx
ω M
d
+ ∞ J ＋q ι－
cosα＝ － 一 － 一W － F AU
叮 J ω o － 叫 L t t J ∞
＋
令在cosθ＋2=1· 2-.J3<t<2+..f3. 故
e
…
ns I
M
L :.... .I1 --+-x-
6
--
-
,
(
..
1
..
+
--.
!
-.
1
,-
·
3. 3
由于1＋！注2，故
. I 8 I 、 J
cosα＝ 1--+-x~~ －：－一
3 3 6-11＋~1 3
第 11 页共 14 页当且仅当I=1即cosθ＝子时取等号，
故平面SAC与平面SBC夹仰值的最小值为子，此时叶子
z.
法二：延长SE，过B作 BMl. SE，垂足为M，过M作MN l. SC垂足为M，还接BM ,
由（1）可得， AC l.平面SBE, .Xγ BM C平面SBE λAC l. BM
.X ·: BM l. SE.fiAC n SE= E :. BM l.平面·SAC
XγSC elf面SAC :. MB l. SC
,X'SC l. MN, MB n MN= M λSC l.平丽MNB
砌MN l. SC, BN l. SC
：. ιMNB肝·丽队C与平面SBC 夹角的平面角，记LMNB＝α<O<a 号）
i让LBEM ＝例。〈们对，则在RtilEBM 中， R-:if=-.fi.sin<p,EM =.J'2.cosψ
则SM ..fi. cosψ＋币， AIN- ! SM~鱼。OSψ＋./3)
= SE + EM =
l 2
. _ ..fi.
r.in <P _ __l塑些
…一←
在RtM.fNB 中，…专（../3＋仰的占＋cosφ
.J3
- 2 cos q>( ＋阳的＋2sin2 (0 _ 2 + 2./3 cosψ
“+
设f（ψ）＝~一－一，贝lj／’（φ）户
cos<p - (./3 +cos的2 (./3 +cos<pJ- •
(0，功，使得川的）＝0，此时COS<p0 =－ 子，
• .3(011 E
且当ψe(O，的）时， f’（ψ）＞0, f（ψ）在（0，的） L单调遍地．
当ψe（帆， 对时， f’（ψ）> 0, f（的在（饨，川 Lf\i·惆递减．
故当ψ呐C吵豆时， f(<p}fl＂最大值，此时ω附小值为子
“扣” 3
故平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值为子
第 12 页共 14 页A
19. 【答案】 （1 J 娃，理由见解析： （2）证明见解析： （3) 6.
【解析】 l f(x) = cosx是［叫上的“L(O）函数”， 理由如下：
γf(x) = cosx, :. f (x) =-sinx.
·: x E [o,i］， ιx＋~εE剖，
λ cosx+ sinx = "2s叫x＋~） ε ［l,'12).
λf(x + O) - (0 + 1) · f (x) = f(x) - f (x) =cos x + sinx去。在［o.i］恒成立，
λf （功＝ cosx是lo引上的“‘L(
(2）飞.o(x) = aX +x是（q,+co）上的“L(l）函数”,
= =
λg(x + 1) - 2g'(x) ex+l + x + 1-2(eX + 1) eX(e - 2) + x - 1注。
在（q,+co）上恒成立，
设u(x) = ex(e - 2) + x-1， 贝IJu(x) = eX(e-.l) + 1 > O,
:.u(x) = ex(e- 2) + x -1.(f.R .t.单调递增，且u(q) = eq(e - 2) + q-1 ~ 0.
o.
又eP＋艺＝ ：. 州
·:u(x) = eX(f' - 2) + x -1在R上单调递增， u(q） 主u(p), :.q 主 p.
3、 γ h(x) = x2 －邸， 叶飞x) = 2x-a.
'.'h(x) = x2 －即是［0,2］上的“L(2）函数”，
:. h(x + 2) - 3h (x) = (x + 2)2 - a(x + 2) - 3(2x - a)
+
=xZ －（α＋ 2)x （α＋4）去。在［0,2］上恒成立，
+
flllα（x - 1) S x2 - 2x 4在［0,2］上恒成立．
当x=1 时，对任意的αεR， 上式恒成立，符合题意：
当 osx<l 时， α三三三立~＝巳~＝ x- 1＋主恒成立，
x-1 x-1 x-1
设F忡
第 13 页共 14 页则F＇（均＝ 1 －注尹＜ 0，所以函数F(x）在［0,1）上单调递减，
所以F(x)max = F(O) ＝斗，即α三－ 4:
当 1<xS2 时，“土豆旦＝乞豆豆＝x-1 ＋牛恒成立，
x-1 x-1 x-1
设H（均可－ 1＋击， xe[l,2)
吧。H0(x)=l －注)2<0，所以函数H（均在（1,2）上单调递减，
听以H(x）町、in=H(2)=4, t!Pa:54.
综上所述，－4 至 α三 4.
h(xt) -h(xz)
"."t/X1,X2ε ［1,2］，当X1 < X2时， γ〈τ万τ言’
．·．γ（lnx1 - lnx2) > h(x1) -h(xl)• Nl1h(x1) - rlnx1 < h(x2) －γlnx2.
令G(x) = h(x) - r ln x = .甘－ax-rlnx, xe[1,2],
则由题意可知z 仔，在αE L-4,4］，使得G(x）在［1,2）上为增函数，
即ff."([aE l-4,4），使得G＇（均 ＝ 2x－α－；注0,
对JciS 2x－；对： 任意的x E [1,2］恒成立，
可得 2x－；注－4对任意的xε ［1,2）恒成在，
s
llPr 2x2 + 4x对任意的xεfl,211直成立．
而函数y= 2x2 +4x在11,21 上单调递增，
所以y= 2xl +4x ~ 2× 12 +4× 1=6，即γs 6.
另一市高，己与α＝－4， γ:5 6时，
= =
li(x) h(x) -rlnx x2 + 4x－γlnx, x E [1,2],
可知G'(x) = 2x + 4 －ζ＝豆兰ζ！：. = 2(x+1)2+2-r 2: 0 n！成立·满足愿意，
x x x
所以实数r的最大值为6.
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