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一、选择题（本大题共10小题，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答
题卡相应的位置上）
1.下列各数中，比 小的数是（ ）
A. 0 B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据大于0的数是正数，而负数小于0，排除A、D，而-1>-2，排除B，而-3<-2，从而可得答案．
【详解】根据正负数的定义，可知-2<0，-2<3，故A、D错误；
而-2<-1，B错误；
-3<-2，C正确；
故选C．
【点睛】本题目考查有理数的大小比较，较容易，熟练掌握有理数的大小比较方法是顺利解题的关键．
2.2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元．用科学记数法表示92700是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝
对值<1时，n是负数．
【详解】解：92700=9.27×104
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 形式，其中 ，n
为整数．表示时关键要确定a的值及n的值．
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】
根据算术平方根的性质，完全平方公式，合并同类二次根式法则，积的乘方的运算法则依次判断即可得到
答案.
【详解】A、 ，故该选项错误；
B、 ，故该选项错误；
C、 中两个二次根式不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；
D、 ，故该选项正确；
故选：D.
【点睛】此题考查算术平方根的性质，完全平方公式，合并同类二次根式法则，积的乘方的运算法则，熟
练掌握各知识点是解题的关键.
4.如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面往下看，上面看到两个正方形，下面看到一个正方形，右齐．
故选： ．
【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握物体的三视图是解题的关键．
5.从长度分别为 、 、 、 四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
试验发生包含的基本事件可以列举出共4种，而满足条件的事件是可以构成三角形的事件，可以列举出共
1种，根据概率公式得到结果．
【详解】解：∵试验发生包含的基本事件为（1cm，3cm，5cm）；（1cm，3cm，6cm）；（1cm，5cm，
6cm）；（3cm，5cm，6cm），共4种；
而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为（3cm，5cm，6cm），共1种；
∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，
6.已知 ，作 的平分线 ，在射线 上截取线段 ，分别以O、C为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线 ，分别交 于D，交 于G．那么， 一
定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.
【详解】如图，连接CD、CG，
∵分别以O、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F
∴EF垂直平分OC，
设EF交OC于点N，
∴∠ONE=∠ONF=90°，∵OM平分 ，
∴∠NOD=∠NOG，
又∵ON=ON，
∴△OMD≌△ONG，
∴OD=OG，
∴△ODG是等腰三角形，
故选：C.
【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定
定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的关键.
7.已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，下列说法正确的是（ ）
A. 正比例函数 的解析式是
B. 两个函数图象的另一交点坐标为
C. 正比例函数 与反比例函数 都随x的增大而增大
D. 当 或 时，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式 和 ，可判断A错误；两个函
数的两个交点关于原点对称，可判断B错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性质，可判断C错误，
D正确，即可选出答案．【详解】解：根据正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，即可设 ，
，
将 分别代入，求得 ， ，
即正比例函数 ，反比例函数 ，故A错误；
另一个交点与 关于原点对称，即 ，故B错误；
正比例函数 随x的增大而减小，而反比例函数 在第二、四象限的每一个象限内y均随x的
增大而增大，故C错误；
根据图像性质，当 或 时，反比例函数 均在正比例函数 的下方，故D正确．
故选D．
【点睛】本题目考查正比例函数与反比例函数，是中考的重要考点，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题
的关键．
8.如图， 、 为⊙O的切线，切点分别为A、B， 交 于点C， 的延长线交⊙O于点D．下
列结论不一定成立的是（ ）
A. 为等腰三角形 B. 与 相互垂直平分
C. 点A、B都在以 为直径的圆上 D. 为 的边 上的中线
【答案】B
【解析】
【分析】连接 OB，OC，令 M 为 OP 中点，连接 MA，MB，证明 Rt△OPB≌Rt△OPA，可得 BP=AP，
∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出 为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角
三角形，OP为斜边，可得 PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据
△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明 与 相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴ 为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以 为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴ 为 的边 上的中线，故D正确；
无法证明 与 相互垂直平分，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运
用是解题关键．
9.如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边 ．则点C到x轴的距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
【详解】作CE⊥y轴于E．
在Rt△OAD中，
∵∠AOD=90°，AD=BC= ，∠OAD= ，
∴OD= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD= ，
∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB= ，∠CDE= ，∴DE= ，
∴点C到 轴的距离=EO=DE+OD= ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10.已知二次函数 图象的对称轴为 ，其图象如图所示，现有下列结论：① ；
② ；③ ；④ ；⑤ ．正确的是（ ）
A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；
根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，
y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a= ，代入9a+3b+c<0可判断⑤．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x= =1>0，
∴b=-2a，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，①错误；
∵b=-2a，∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②错误；
由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③错误；
当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，
当x=n时，y=an2+bn+c，
a+b+c>an2+bn+c，
即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确；
当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，
∵b=-2a，即a= ，
代入9a+3b+c<0得9（ ）+3b+c<0，
+c<0，
-3b+2c<0，即2c<3b，⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线图像和二次函数系数之间的关系，熟知抛物线图像和二次函数系数之间的
关系是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）
11.— 的绝对值是______________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【详解】解：- 的绝对值是
故答案为 ．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
12.分解因式： =_________________________．
【答案】 ．
【解析】
【详解】试题分析： = = ．
故答案为 ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
13.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是_____边形.
【答案】六
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数为 ，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可．
【详解】设这个多边形的边数为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：六．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，是基础知识要熟练掌握内角和公式和外角和公式．
14.不等式组 的解集为______________．
【答案】
【解析】
【分析】
分别解不等式即可得到不等式组的解集.
【详解】解： ，解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
故答案为： .
【点睛】此题考查求不等式组的解集，正确解每个不等式求出不等式组的解集，熟记不等式组解集的口诀：
同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了.
15.如图，直线 ∥ ， ，若 ，则 ___________度．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质先求解 利用 ，从而可得答案．
【详解】解： ∥ ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线的性质，垂直的性质，掌握以上知识是解题的关键．
16.从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心，选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试
验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是 ， ，方
甲 乙
差分别是 2甲 2乙 ，你认为应该选择的玉米种子是_________．
【答案】乙
【解析】
【分析】
通过平均数和方差的性质判断稳定性即可．
【详解】∵ ， ，
甲 乙
∴ = ，
甲 乙
∴甲，乙的每公顷产量相同，
∵ ， ，
∴ > ，
∴乙的产量比甲的产量稳定，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是解题关键．
17.在平面直角坐标系中，O为原点，点 ，点B在y轴的正半轴上， ．矩形 的
顶点D，E，C分别在 上， ．将矩形 沿x轴向右平移，当矩形 与
重叠部分的面积为 时，则矩形 向右平移的距离为___________．【答案】2
【解析】
【分析】
先求出点B的坐标（0， ），得到直线AB的解析式为： ，根据点D的坐标求出
OC的长度，利用矩形 与 重叠部分的面积为 列出关系式求出 ，再利用一次
函数关系式求出 =4，即可得到平移的距离.
【详解】∵ ，
∴OA=6，
在Rt△AOB中， ，
∴ ，
∴B（0， ），
∴直线AB的解析式为： ，
当x=2时，y= ，
∴E（2， ），即DE= ，
∵四边形CODE是矩形，
∴OC=DE= ，
设矩形 沿x轴向右平移后得到矩形 ， 交AB于点G，
∴ ∥OB，
∴△ ∽△AOB，
∴∠ =∠AOB=30 ，
°
∴∠ =∠ =30°，∴ ,
∵平移后的矩形 与 重叠部分的面积为 ，
∴五边形 的面积为 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴矩形 向右平移的距离 = ，
故答案为：2.
【点睛】
此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点
的综合题型，且较为基础的题型.
18.观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形 中，点M，N是 上的点，且 ，则 ，
；
（2）如图②，在正方形 中，点M，N是 上的点，且 ，则 ，
；
（3）如图③，在正五边形 中，点M，N是 上的点，且 ，则 ，；……
根据以上规律，在正n边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是
上的点，且 ， 与 相交于O．也会有类似的结论．你的结论是
_________________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出（1）、（2）、（3）的结论，根据以上规
律可得出正n边形的结论．
【详解】（1）∵正三角形ABC中，点M、N是AB、AC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AC，∠CAM=∠ABN= ，
∵在△ABN和△CAM中，
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN= CM，∠BAN=∠MCA，
∴∠NOC=∠OAC+∠MCA =∠OAC+∠BAN =∠BAC=60°，
故结论为：AN= CM，∠NOC=60 ；
（2）∵正方形ABCD中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，∴AB=AD，∠DAM=∠ABN= ，
同理可证：Rt ABN Rt DAM，
∴AN= DM，∠△BAN=∠A△DM，
∠NOD=∠OAD+∠ADM =∠OAD+∠BAN =∠BAC=90°，
为
故结论 ：AN= DM，∠NOD=90 ；
（3）∵正五边形ABCDE中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AE，∠EAM=∠ABN= ，
同理可证得：Rt ABN Rt EAM，
∴AN= EM，∠B△AN=∠AEM△，
∠NOE=∠OAE+∠AEM =∠OAE+∠BAN =∠BAE=108°，
故结论为：AN= EM，∠NOE=108 ；
∵正三角形的内角度数为：60°，
正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，
∴以上所求的角恰好等于正n边形的内角 ，
在正n边形 中，点M，N是 上的点，且 ， 与 相交于
O，结论为： ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了正n边形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是发现 与
的夹角与正 边形的内角相等．三、解答题（本大题共8小题，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明
的主要步骤）
19.计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算及去绝对值法则进行计算即可．
【详解】解：
＝2× +1+2－
= +1+2－
=3．
【点睛】本题考查零次幂的性质、特殊角的三角函数值，绝对值性质实数的运算，熟练掌握计算法则是正
确计算的前提．
20.化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算括号内异分母分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得.
【详解】解：原式=
=
= .
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟记分式混合运算的顺序和各类运算法则是解题的关键．21.如图，在正方形 的外侧，作等边角形 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】(1)见解析；(2)15°．
【解析】
【分析】
(1)利用正方形的性质得到 AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等边三角形的性质得到 AE=DE，
∠EAD=∠EDA=60°即可证明；
(2)由AB=AD=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用
三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中:
，
∴ ．
(2)∵AB=AD，且AD=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB，
又∠BAE=150°，
∴由三角形内角和定理可知：∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．
故答案为：15°．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，第二问中能得出△ABE是等腰三角
形且∠BAE=150°是解题关键．
22.为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌
握情况．现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述
和分析．部分信息如下：
a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组： ， ， ，
， ）如图所示
b．七年级参赛学生成绩在 这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78
，79
c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七 76.9 m 80
d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有______人；
（2）表中m的值为__________；
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第______名；
（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【答案】（1）31；（2）77.5；（3）24；（4） 人
【解析】
【分析】
（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得；（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分在70≤x＜80这一组的数据的最后1位，据此可得到答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．
【详解】（1）成绩在70≤x＜80这一组的数据中，75分以上（含75分）的有8人，
∴在这次测试中，七年级75分以上（含75分）的有15+8+8=31(人)，
故答案为：31；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，
∴m= =77.5，
故答案为：77.5；
（3）七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分在70≤x＜80这一组的数据的最后1位，
即15+8+1＝24(名)
∴在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，
故答案为：24；
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500 (人) ．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所
需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
23.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需
求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】（1）10%；（2）26620个
【解析】
【分析】
（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
【详解】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x＝0.1＝10%，x＝−2.1（不合题意舍去），
1 2
∴x＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
为
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量 26620个．
【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
24.如图， 是⊙O的直径， 是⊙O的切线， 交⊙O于点E．
（1）若D为 的中点，证明： 是⊙O的切线；
（2）若 ， ，求⊙O的半径 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径 的长为4
【解析】
【分析】
（1）连接AE和OE，由直角三角形的性质和圆周角定理易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACE中求得AE的长，证得Rt△ABE Rt△CAE，利用对应边成比例即可求解．
【详解】（1）连接AE，OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AC是圆⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
在直角△AEC中，∵D为AC的中点，
∴DE=DC=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵∠DAE+∠OAE=90°，
∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE 是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ACE中， CA=6， CE=3.6= ，
∴AE= ，
∴∠B+∠EAB=90°，
∵∠CAE+∠EAB=90°，
∴∠B=∠CAE，
∴Rt△ABE Rt△CAE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴⊙O的半径OA= ．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、
相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25.问题背景：如图1，在四边形 中， ， ， ， ，， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．探究图中线段 ， ，
之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长 到G，使 ，连接 ，先证明
，再证明 ，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形 中， ， ， ，
， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．上述结论是否仍然成立？
请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形 中， ， ， ，
绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处舰艇乙在指挥中心
南偏东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小
时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测
到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间
的距离．
【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际
应用：210海里．
【解析】
【分析】延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再
证明 ，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸1：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，
∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸2：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，
∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；
的
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF 长
代入即可．
【详解】解：EF=AE+CF
理由：延长 到G，使 ，连接 ，
在 BCG和 BAE中，
△ △
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，
在 BGF和 BEF中，
△ △
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．
理由：延长 到G，使 ，连接 ，
在 BCG和 BAE中，
△ △
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC，
即∠GBF= ∠ABC，
在 BGF和 BEF中，
△ △，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．
理由：延长 到G，使 ，连接 ，
∵ ，∠BCG+∠BCD=180°，
∴∠BCG=∠BAD
在 BCG和 BAE中，
△ △
，
∴ （SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC，
即∠GBF= ∠ABC，
在 BGF和 BEF中，
△ △，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中 的条件
∴结论EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26.已知直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的一个交点为 ，点
是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的另一个交点为该抛物线的顶点
E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当
时，求m的值；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为 ，当 的最小值多 时，求b的值．
【答案】（1）-2，2，-3， ；（2）3或7；（3）3
【解析】
【分析】
（1）由题意可知直线 经过 ，因而把 代入直线 即可求出k的值，然
后把 代入抛物线得出含b的代数式表达c，再根据直线 与抛物线 （b，c
为常数， ）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标E ，并代入直线 ，解方程
即可求出b的值，代入即可求解；
（2）由（1）可知直线的解析式是 ，抛物线的解析式为 ，根据题意使 求
出C的坐标，使 求出Q的坐标，根据已知条件作图，延长EQ交x轴于点B，因为点D在y轴上且
在直线 上，所以令 时求出点D的坐标，看图可知AO是△ACE以CD为底的高，设E到y轴
的距离为 ，是△CED以CD为底的高，因此可以求出 ，根据 求出 ，设点E
和Q所在直线的解析式为 ，求出点B的坐标，设点Q和点E到x轴的距离分别为 ， 是
△EMB以MB为底的高， 是△BQM以MB为底的高，再根据 求解，即可求出m的值；
（3）将点D的横坐标 代入抛物线 （b，c为常数， ），根据点A的坐标得到含
b的代数式表达c，求出点D的纵坐标为 ，可知点D 在第四象限，且在直线的右侧，取点 ，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，过点D作QH⊥x轴
于点H，则点H ，在Rt△MDH中，可知 ，由题意可知点 ，用
含b的代数式表示m，因 ，可得方程，求解即可得出答案．
【详解】解：（1）∵直线 经过 ，
∴把 代入直线 ，可得 ，解得 ；
∵抛物线 （b，c为常数， ）经过 ，
∴把 代入抛物线 ，可得 ，
∵当直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的另一个交点为该抛物线的顶点E，
∴顶点 的坐标为 ，把 代入直线 ，
可得 ，
∴ ，解得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴顶点 的坐标为 ．
（2）由（1）可知直线的解析式是 ，抛物线的解析式为 ，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴令 ，C的坐标为 ，
∵点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，由（1）可知 ，∴ ，
∴Q的坐标为 ．
延长EQ交x轴于点B，如图1所示，
∵D在y轴上，且在直线 上，
∴当 时，点D的坐标为 ，
∵AO是△ACE以CD为底的高，设E到y轴的距离为 ，是△CED以CD为底的高，
∴ ，
∴ ．
设点E和Q所在直线的解析式为 ，
把点E 和点Q 代入，解得： ，∴该直线的解析式为 ，
令 ，求得点B的坐标为 ．
设点Q和点E到x轴的距离分别为 ， 是△EMB以MB为底的高， 是△BQM以MB为底的高，
∴ ，
解得： 或7，．（3）∵点D在抛物线 （b，c为常数， ）上，且点D的横坐标为 ，
∴ ，
∵ 在抛物线 （b，c为常数， ）上，
∴ ，即 ，
∴ ，
可知点D 在第四象限，且在直线 的右侧．
∵ ，
∴可取点 ，
如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，
∴ ，得 ，
则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H ，在Rt△MDH中，可知 ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、
三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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